Дифференциальное уравнение процесса фильтрования при постоянном перепаде давления и его решение (5 видео)

Содержание

Лекция 4. Фильтрование
Уравнения фильтрования под действием перепада давления
Рассмотрим процесс фильтрования с образованием осадка. Скорость фильтрования W Определяют как производную объема фильтрата по времени τ, отнесенную к поверхности фильтрования S:
Дифференциальное уравнение процесса фильтрования при постоянном перепаде давления и его решение
🎦 Видео

Видео:Линейное неоднородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами 4y''-y=x^3-24x #1Скачать

Лекция 4. Фильтрование

4.1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ

Фильтрованием называется процесс разделения суспензий, пылей и туманов через пористую, так называемую фильтровальную перегородку, способную пропускать жидкость или газ, но задерживать взвешенные в них частицы (фильтрация в отличие от фильтрования — это движение жидкости или газа сквозь пористую среду, например просачивание воды сквозь грунт основания плотины). Фильтрование осуществляется под действием разности давлений перед фильтрующей перегородкой и после нее или в поле центробежных сил.

Интенсивность фильтрования зависит от качества суспензий, полученных на предыдущих стадиях технологического процесса: дисперсной системы с пониженным сопротивлением осадка, без смолистых, слизистых и коллоидных веществ.

При разделении неоднородных систем фильтрованием возникает необходимость выбора конструкции фильтра или фильтрующей центрифуги, фильтровальной перегородки, режима фильтрования.

В качестве фильтрующих материалов применяют зернистые материалы — песок, гравий для фильтрования воды, различные ткани, картон, сетки, пористые полимерные материалы, керамику и т. д.

По целевому назначению процесс фильтрования может быть очистным или продуктовым.

Очистное фильтрование применяют для разделения суспензий, очистки растворов от различного рода включений. В этом случае целевым продуктом является фильтрат. В пищевой промышленности очистное фильтрование используют при осветлении вина, виноматериалов, молока, пива и других продуктов.

Назначение продуктового фильтрования — выделение из суспензии диспергированных в них продуктов в виде осадка. Целевым продуктом является осадок. Примером такого фильтрования является разделение дрожжевых суспензий.

4.2. ВИДЫ ФИЛЬТРОВАНИЯ

При разделении суспензий в зависимости от вида фильтровальной перегородки и свойств самой суспензии фильтрование может происходить с образованием осадка на поверхности перегородки, с закупориванием пор фильтрующей перегородки и с тем и другим явлениями одновременно (промежуточный вид фильтрования).

Фильтрование с образованием осадка на поверхности фильтрующей перегородки имеет место, когда диаметр твердых частиц больше диаметра пор перегородки (рис. 4.1,а). Этот способ осуществим при концентрации твердой фазы суспензии более 1 мас. %, когда создаются благоприятные условия для образования сводиков над входами в поры фильтровальной перегородки. Образованию сводиков способствует увеличение скорости осаждения и концентрации твердой фазы в суспензии.

Фильтрование с закупориванием пор (рис. 4.1,б) происходит, когда твердые частицы проникают в поры фильтровальной перегородки. Закупоривание пор твердыми частицами наблюдается уже в начальный период процесса фильтрования, что снижает производительность фильтра. Для поддержания ее на должном уровне фильтр регенерируют, промывая обратным током жидкости либо прокаливая металлические фильтровальные перегородки.

Промежуточный вид фильтрования имеет место в случае одновременного закупоривания пор фильтровальной перегородки и отложения осадка на поверхности фильтровальной перегородки.

Рис. 4.1. Схемы фильтрования:

а — с образованием осадка; б — с закупориванием пор

Для повышения скорости фильтрования при разделении суспензий с небольшой концентрацией твердой фазы либо содержащих слизистые вещества фильтрование проводят в присутствии вспомогательных веществ, препятствующих закупориванию пор фильтровальной перегородки. Слой вспомогательного вещества наносят на фильтровальную перегородку перед фильтрованием суспензии. В качестве вспомогательных веществ используют тонкодисперсные угли, перлит, асбест, кизельгур, фиброфло, аксанит и другие материалы.

4.3. ДВИЖУЩАЯ СИЛА И СКОРОСТЬ ПРОЦЕССА

Движущая сила процесса фильтрования — разность давлений по обе стороны фильтровальной перегородки либо центробежная сила. Разность давлений можно получить разными способами: созданием избыточного давления над фильтровальной перегородкой либо подсоединением пространства под фильтровальной перегородкой к вакуумной линии. В этих случаях фильтрование происходит при постоянном перепаде давлений и скорость процесса прямо пропорциональна разности давлений и обратно пропорциональна сопротивлению осадка. Процесс описывается кинетическим уравнением

(4.1)

где: V – объем фильтрата, м3; F – площадь поверхности фильтрования, м2; — продолжительность фильтрования, с; — перепад давлений, Н/м2; — вязкость жидкой фазы, и Rф. п – сопротивление соответственно осадка и фильтровальной перегородки, м-1.

Примем, что при прохождении 1 м3 фильтрата образуется осадка, тогда

(4.2)

где: hо– высота слоя осадка, м.

Допустим, что сопротивление слоя осадка пропорционально его высоте:

(4.3)

где: rо – удельное сопротивление осадка, м-2.

Подставим полученное соотношение в уравнение (4.1)

(4.4)

Для начального момента фильтрования (V=0) Rф. n=p/(). Для случая фильтрования при из уравнения (4.4) после его интегрирования в пределах 0-V и 0- получим

(4.5)

Решая уравнение (4.5) относительно продолжительности фильтрования , получим

(4.6)

или с учетом выражения (4.2)

(4.7)

Таким образом, продолжительность фильтрования прямо пропорциональна квадрату объема полученного фильтрата.

Решая его же относительно удельной производительности фильтра (в м3/м2), получим

(4.8)

Для случая фильтрования при v= const из уравнения (4.4) получим

(4.9)

(4.10)

или

Таким образом, перепад давления возрастает с увеличением продолжительности фильтрования:

Удельная производительность фильтра (в м3/м2)

(4.11)

Фильтрование под действием центробежной силы проводят в фильтрующих центрифугах. Фильтрующая центрифуга в отличие от отстойной имеет перфорированный барабан, обтянутый внутри фильтровальной тканью. Суспензия под действием центробежной силы отбрасывается на фильтровальную ткань. Дисперсионная жидкая фаза фильтруется через ткань, фильтрат выводится из центрифуги, а взвешенные частицы задерживаются на фильтровальной ткани, образуя осадок.

Процесс фильтрования можно разделить на три периода: образование осадка, его уплотнение и отжим.

При центробежном фильтровании на массу элементарного кольца суспензии действует центробежная сила

dGц=dmr,

где: dm — масса элементарного кольца, кг; — угловая скорость (=πn/30), с -1; r — расстояние кольца от оси вращения, м.

Отношение центробежной силы к силе тяжести, как было указано выше, является фактором разделения, характеризующим эффективность разделения суспензии в центрифуге. Фактор разделения растет пропорционально квадрату угловой скорости вращения барабана центрифуги и уменьшению его диаметра.

Производительность фильтрующих центрифуг рассчитывают на основании теории фильтрования. Движущая сила процесса, действующая на элементарный объем суспензии (рис. 4.2),

(4.12)

где: L – высота барабана центрифуги, м; С – плотность суспензии, кг/м.

Движущую силу найдем, проинтегрировав полученное выражение в пределах

от R0 до R:

Скорость центробежного фильтрования

(4.13)

где: Rф. п. — сопротивление фильтрующей перегородки; r0 — удельное сопротивление слоя осадка; x0 — толщина слоя осадка, которая для непрерывнодействующих центрифуг не изменяется во времени; R, Ro — соответственно внешний и внутренний радиусы барабана центрифуги.

Продолжительность фильтрования определим из уравнения (4.5)

Отметим, что уравнения (4.5), (4.9) и (4.13) являются приближенными, так как не учитывают осаждения твердых частиц под действием гравитационных сил, благодаря чему слой осадка растет быстрее, чем отбираемый фильтрат; кроме того, осадки на фильтровальной перегородке сжимаются под действием перепада давлений и их сопротивление растет быстрее, чем высота слоя осадка.

На практике отношение объема осадка к объему фильтрата x0, удельное объемное сопротивление осадка r0 и сопротивление фильтровальной перегородки Rф. п. определяют экспериментальным путем

Рис.4.2. К расчету производительности фильтрующих центрифуг

Уравнение (4.5) при F=1 м2может быть представлено в виде

(4.14)

где: С — константа фильтрования, характеризующая гидравлическое сопротивление фильтрующей перегородки, м3/м2; К: — константа фильтрования, учитывающая режим фильтрования и физико-химические свойства осадка в жидкости, м2/с.

(4.15)

(4.16)

Преобразуем уравнение (4.14)

(4.17)

Уравнение (4.17) является уравнением прямой линии, наклоненной к горизонтальной оси под углом , тангенс которого , и отсекающей на оси ординат отрезок m=2С/К (рис. 4.3).

Рис.4.3. К определению констант фильтрования

Для построения этой линии откладывают по оси абсцисс измеренные значения V1, V2,…Vn, а по оси ординат — соответствующие значения

По найденным значениям К и С по уравнениям (4.15) и (4.16) определяют r0 и Rф. п.

Величину х0 находят в результате измерения объемов фильтрата и осадка.

4.4. ОБОРУДОВАНИЕ ДЛЯ ФИЛЬТРОВАНИЯ

По принципу действия фильтровальное оборудование делится на оборудование, работающее при постоянном перепаде давления либо при постоянной скорости фильтрования; по способу создания перепада давления на фильтровальной перегородке — на работающее под вакуумом либо под избыточным давлением; в зависимости от организации процесса — на оборудование непрерывного и периодического действия.

Избыточное давление может создаваться силами давления или центробежной силой. В зависимости от способа создания перепада давления фильтровальное оборудование может быть разделено на фильтры и центрифуги.

Фильтры, используемые для разделения суспензии, работают как под вакуумом, так и под избыточным давлением, периодически и непрерывно. К фильтрам, работающим под давлением, предъявляют повышенные требования к механической прочности. Их изготовляют по нормам Госгоркотлонадзора для сосудов, работающих под давлением.

В фильтрах периодического действия осадок удаляется после прекращения процесса фильтрования, в фильтрах непрерывного действия — по мере необходимости без остановки процесса.

При разработке новых видов фильтровального оборудования следует ориентироваться на создание компактных аппаратов с развитой фильтровальной поверхностью, позволяющих проводить ее регенерацию без остановки технологического процесса.

Нутч-фильтр (рис. 4.4), работающий как под вакуумом, так и под избыточным давлением, широко распространен в малотоннажных производствах. Выгрузка из него осадка механизирована. Для сброса осадка фильтр снабжен перемешивающим устройством в виде однолопастной мешалки. Для удаления осадка из фильтра на цилиндрической части корпуса предусмотрен люк.

Рис.4.4. Нутч-фильтр с перемешивающим устройством:

1-привод, 2-корпус фильтра, 3-мешалка, 4- спускной кран, 5-фильтровальная перегородка, 6- фильтровальная ткань

Суспензия и сжатый воздух подаются через раздельные штуцера, фильтрат удаляется через спускной кран 4. Фильтр снабжен предохранительным клапаном.

Цикл работы фильтра состоит из заполнения его суспензией, фильтрования суспензии под давлением, удаления осадка с фильтровальной перегородки при вращающейся мешалке и регенерации фильтровальной перегородки. В таких фильтрах может проводиться одновременно промывка осадка.

Для фильтрования суспензии применяют фильтровальные перегородки из картона, бельтинга и синтетических волокон. Преимуществами фильтровальных перегородок из синтетических волокон являются высокая механическая прочность, термическая и химическая стойкость.

Из синтетических волокон изготовляют фильтровальные перегородки с постепенно изменяющейся плотностью, что обеспечивает глубинное фильтрование суспензий, содержащих малое количество твердой фазы. Меняющаяся по глубине плотность фильтровального материала позволяет захватывать частицы по всей глубине фильтра. При этом крупные частицы задерживаются в наружных, а мелкие — в глубинных слоях фильтра. Селективное фильтрование обеспечивает высокую скорость фильтруемой среды, предотвращает закупоривание поверхностных пор и продлевает срок службы фильтров.

Рамный фильтр-пресс (рис. 4.5) используется для осветления виноматериалов, вина, молока и пива. Фильтрующий блок состоит из чередующихся рам и плит с зажатой между ними фильтровальной тканью или картоном. Рамы и плиты зажимаются в направляющих 6 зажимным винтом 7. Фильтр монтируют на металлической станине.

Рис.4.5 Рамный фильтр-пресс:

1 — опорная плита; 2 – рама; 3 – плита; 4 — фильтровальная перегородка; 5 — подвижная плита; 6 — горизонтальная направляющая; 7 – винт; 8 – станина; 9 — желоб

Каждая рама и плита (рис. 4.6) имеют каналы для ввода суспензии и промывной жидкости. На поверхности плит с обеих сторон расположены сборные каналы 4, ограниченные сверху дренажными каналами, а снизу отводным каналом.

Рис.4.6 Рама (а) и плита (б) фильтр-пресса:

1,2 — каналы для ввода суспензии и промывной жидкости; 3 — жренажный канал; 4 — сборный канал; 5 — отводной канал

При фильтровании (рис. 4.7, а) суспензия под давлением подается через каналы в рамах и плитах и распределяется по всем рамам. Фильтрат стекает по дренажным и сборным каналам в плитах и удаляется через отводные каналы. При промывке осадка (рис. 4.7, б) промывная жидкость под давлением вводится через соответствующие каналы, распределяется по рамам и проходит обратным током через фильтровальную перегородку, промывает осадок, а затем удаляется из фильтра через отводные каналы. При промывке отводные каналы всех нечетных плит блока должны быть закрыты.

Основной недостаток рамных фильтр-прессов — трудоемкость выгрузки осадка и замены фильтровальной перегородки. Для выгрузки осадка необходимы разборка вручную фильтровального блока и промывка плит и рам.

Рис. 4.7 Схема работы фильтр-пресса:

а – фильтрование; б — промывка осадка; 1 – рама; 2 — плита

Фильтр-пресс автоматизированный камерный с механизированной выгрузкой осадка (ФПАКМ) используют для разделения тонкодисперсных суспензий концентрацией 10. 500 кг/м3 при температурах до 80 °С. Является фильтром периодического действия. Он состоит из ряда прямоугольных фильтров (рис. 4.8), расположенных вплотную один под другим, благодаря чему возрастает удельная площадь поверхности фильтрования по отношению к площади, занимаемой фильтром.

Рис.4.8 Фильтр-пресс с горизонтальными камерами (ФПАКМ):

1 — нижняя плита; 2 — верхняя плита; 3 — пространство для суспензии и осадка; 4 — перфорированный лист; 5 — пространство для фильтрата; 6 — эластичная диафрагма; 7, 9, 12 — каналы; 8 — коллектор для суспензии; 10 — коллектор для отвода фильтрата; 11 — пространство для воды; 13 — фильтровальная ткань

В положении А в камеру из коллектора 8 последовательно поступают суспензия на разделение, жидкость для промывки и сжатый воздух для подсушки осадка. Фильтрат, промывная жидкость и воздух отводятся по каналам 12 в коллектор 10. В пространстве 11 по каналам 9 подается вода под давлением, которая с помощью водонепроницаемой диафрагмы 6 отжимает осадок (положение Б). Затем плиты раздвигаются и осадок удаляется из фильтра через образовавшиеся щели (положение В).

Барабанные вакуум-фильтры применяют при непрерывном разделении суспензий концентрацией 50. 500 кг/м3. Твердые частицы могут иметь кристаллическую, волокнистую, аморфную, коллоидальную структуру. Производительность фильтра зависит от структуры твердых частиц и снижается в указанной выше последовательности.

Барабанные вакуум-фильтры (рис. 4.9) выпускают с внешней и внутренней фильтрующей поверхностью, которая обтягивается текстильной фильтровальной тканью. Вращающийся горизонтальный перфорированный барабан разделен перегородками на несколько секций одинаковой формы, которые за оборот барабана проходят несколько рабочих зон: фильтрования, обезвоживания, промывки, удаления осадка и регенерации фильтровальной ткани. Устройством, управляющим работой фильтра, является распределительная головка, через которую секции барабана в определенной последовательности подсоединяют к магистралям вакуума, сжатого воздуха и промывной жидкости.

Рис.4.9 Барабанный вакуум-фильтр с распределительной головкой:

1 — перфорированный барабан; 2 — фильтровальная ткань; 3 — ножевое устройство; 4 – секция; 5 – корыто; 6 – мешалка; 7 – труба; 8 – разбрызгиватель; 9 — распределительная головка

В стадии фильтрования зона фильтра под фильтрующей тканью соединяется с вакуумом и фильтрат, находящийся в корыте, проходит через фильтровальную ткань. Осадок откладывается на ее поверхности. Промытый и подсушенный осадок непрерывно срезается ножом. Чтобы взвешенные частицы не отстаивались, корыто снабжено качающейся мешалкой.

Для извлечения пива и дрожжей из дрожжевой суспензии, образующейся при седиментации в бродильных чанах и танках, применяют барабанный вакуум-фильтр, изображенный на рис. 4.10. Фильтровальный элемент состоит из крупноячеистой сетки, на которую накладывается мелкоячеистая сетка. Для улучшения условий фильтрования на мелкоячеистую сетку намывается слой вспомогательного материала — кизельгура либо картофельного крахмала. Пивная или дрожжевая суспензия, подаваемая из бака, при вращении барабана равномерно распределяется по фильтровальной поверхности, а дрожжевой осадок (лепешка) срезается ножом, установленным над баком.

Рис.4.10 Барабанный вакуум-фильтр:

1 — насос для фильтрата; 2 — вакуум-насос; 3 – пеногаситель; 4 — фильтровальный элемент; 5 – барабан; 6 — труба для фильтрата

Содержание сухих веществ в дрожжевой лепешке достигает 25. 28 %. Обрызгивание подсыхающей лепешки водой способствует увеличению выхода пива примерно на 20 %.

Детали фильтра, находящиеся в контакте с фильтрующей средой, выполнены из нержавеющей стали. Все детали фильтра легко очищаются.

Схема фильтровальной установки с барабанным вакуум-фильтром показана на рис. 4.11. Суспензия подается в корыто фильтра, где установлена качающаяся мешалка, препятствующая сепарации крупных твердых частиц большой плотности. При погружении 30 % поверхности барабана в суспензию он подключается к вакуум-насосу. Фильтрат и промывная жидкость собираются в сборниках 3, где от них отделяется воздух, поступивший в фильтр во время обезвоживания и промывки осадка, и затем откачиваются насосами.

Дисковые фильтры (рис. 4.12) применяют для разделения тонкодисперсных суспензий; они работают под давлением с намывным слоем вспомогательного вещества. Дисковый фильтр представляет собой вертикальную емкость с обогреваемой рубашкой. Внутри фильтра на полый вал 6 насажены дисковые металлические перфорированные фильтровальные элементы 7. На диски натягивают полипропиленовую или другую фильтровальную ткань, закрепляемую хомутами. Рабочее давление в фильтре достигает 0,5 МПа, в рубашке — 0,3 МПа.

Рис.4.11 Схема фильтровальной установки:

1 — барабанный вакуум-фильтр; 2 — приемник осадка; 3 — сборники фильтрата и промывной жидкости; 4 – воздуходувка; 5 — вакуум-насос; 6 — насосы для отбора фильтрата и промывной жидкости; 7 — насос для суспензии; 8- ёмкость для суспензии

В дисковых фильтрах предусмотрен центробежный сброс подсушенного осадка. Полый вал вместе с фильтровальными дисками приводится во вращение электро — и гидродвигателем. Частота вращения вала достигает 250 мин-1. Вал имеет сальниковые тефлоновые уплотнения.

Рис 4.12 Дисковый фильтр:

1 – шкив; 2 — сальниковое уплотнение; 3 – крышка; 4 — корпус фильтра; 5 – рубашка; 6 – вал; 7 — фильтровальный элемент; 8 — подпятник

Перед фильтрованием на фильтровальные элементы намывают слой вспомогательного вещества, суспензия которого готовится в суспензаторе. Готовая суспензия прокачивается насосом через фильтровальные элементы до образования намывного слоя толщиной 15. 30 мм. Фильтрат из дисков через отверстия в полом валу поступает внутрь вала и выводится из фильтра в суспензатор. Аналогичным образом проводится фильтрование суспензии. После окончания фильтрования осадок промывается обратным током фильтрата и подсушивается воздухом.

Ленточный фильтр (рис. 4.13) состоит из рамы, приводного и натяжного барабанов, между которыми натянута бесконечная перфорированная резиновая лента. Под ней расположены вакуум-камеры, соединенные в нижней части с коллекторами для отвода фильтрата и промывной жидкости. За счет вакуума лента прижимается к верхней части вакуум-камер. К резиновой ленте натяжными роликами 7 прижимается фильтровальная ткань, выполненная также в виде бесконечной ленты.

Суспензия подается на фильтровальную ткань из лотка 5. Фильтрат под вакуумом отсасывается в камеры и отводится через коллектор в сборник. Промывная жидкость подается через форсунки 2 на образовавшийся осадок и отсасывается в камеры, из которых через коллектор 9 отводится в сборник.

На приводном барабане фильтрующая ткань отделяется от резиновой ленты и огибает направляющий ролик. При этом осадок соскальзывает с фильтровальной ткани и падает в сборник осадка.

Рис 4.13 Ленточный вакуум-фильтр:

1 — приводной барабан; 2 – форсунка; 3 — вакуум-камера; 4 — резиновая лента; 5 – лоток; 6 — натяжной барабан; 7 — натяжные ролики; 8 — коллектор для отвода фильтра; 9 — коллектор для отвода промывной жидкости; 10 — сборник осадка; 11 — фильтровальная ткань

При прохождении фильтровальной ткани между роликами 7 она промывается, просушивается и очищается.

Фильтрующие центрифуги периодического и непрерывного действия разделяются по расположению вала на вертикальные и горизонтальные, по способу выгрузки осадка — на центрифуги с ручной, гравитационной, пульсирующей и центробежной выгрузкой осадка. Главным отличием фильтрующих центрифуг от отстойных является то, что они имеют перфорированный барабан, обтянутый фильтровальной тканью.

В фильтрующей центрифуге периодического действия (рис. 4.14) суспензия загружается в барабан сверху. После загрузки суспензии барабан приводится во вращение. Суспензия под действием центробежной силы отбрасывается к внутренней стенке барабана. Жидкая дисперсионная фаза проходит через фильтровальную перегородку, а осадок выпадает на ней. Фильт — рат по сливному патрубку направляется в сборник. Осадок после окончания цикла фильтрования выгружают вручную через крышку 3.

Рис.4.14 Фильтрующая центрифуга периодического действия:

1 – станина; 2 — перфорированный барабан; 3 – крышка; 4 – кожух; 5 – ступица; 6 — подшипник; 7 – электродвигатель; 8 — шкив с ременной передачей; 9 — дренажная сетка; 10 — фильтрующая ткань

Конструкция фильтрующей центрифуги с перфорированным барабаном аналогична конструкции автоматической отстойной центрифуги с непрерывным ножевым съемом осадка.

В саморазгружающихся центрифугах (рис. 4.15) осадок удаляется под действием гравитационной силы. Такие центрифуги выполняют с вертикальным валом, на котором располагается перфорированный барабан. Суспензия подается на загрузочный диск при вращении барабана с низкой частотой. Нижняя часть барабана имеет коническую форму, причем угол наклона делается большим, чем угол естественного откоса осадка. После окончания цикла фильтрования и остановки барабана осадок под действием гравитационной силы сползает со стенок барабана и удаляется из центрифуги через нижний люк.

Рис 4.15 центрифуга с гравитацонной выгрузкой осадка:

1 — вал; 2 – барабан; 3 — распределительный диск, 4 — упорная втулка

В непрерывно действующих фильтрующих центрифугах с пульсирующей выгрузкой осадка (рис. 4.16) фильтрат из центрифуги выводится непрерывно, а осадок периодически выгружается из барабана пульсирующим поршнем.

Поршень-толкатель перемещается в горизонтальном направлении в барабане с помощью штока, который находится внутри полого вала барабана. Шток вращается вместе с валом и совершает одновременно возвратно-поступательные движения (10ходов в минуту, длина каждого хода составляет примерно 0,1 длины барабабана). Сервомеханизм автоматически изменяет направление движения поршня.

Рис 4.16 Центрифуга непрерывного действия с пульсирующей выгрузкой осадка:

1 — полый вал; 2 – шток; 3 – корпус; 4 — поршень – толкатель; 5 — приемный конус; 6 – барабан; 7 — сито

Суспензия подводится по оси вала в приемный конус. В конусе имеются отверстия, по которым суспензия поступает в барабан. Внутренняя поверхность барабана покрыта фильтровальным ситом. Осадок, отложившийся на поверхности сита, промывается и перемещается поршнем к открытому концу барабана. Из барабана осадок выгружается в камеру для осадка.

Центрифуга непрерывного действия с центробежной выгрузкой осадка имеет конический перфорированный барабан, внутри которого вращается шнек со скоростью, несколько меньшей скорости вращения барабана. При вращении витки шнека снимают с барабана отложившийся осадок и перемещают его в нижнюю часть барабана, в камеру для осадка. Выгрузка осадка происходит под действием центробежной силы. При этом осадок не измельчается, его структура не изменяется, как, например, в центрифугах с ножевым срезом и выгрузкой осадка пульсирующим поршнем.

4.5. РАСЧЕТ ФИЛЬТРОВАЛЬНОГО ОБОРУДОВАНИЯ

Расчет фильтровального оборудования периодического действия заключается в определении количества аппаратов для обеспечения заданной суточной производительности по фильтрату. Для этого выбирают или рассчитывают площадь поверхности фильтрования и производительность одного аппарата.

Продолжительность фильтрования при ∆р = const определяют по уравнению

где: — продолжительность собственно фильтрования; — продолжительность вспомогательных операций (подготовка аппарата к работе, загрузка суспензии, удаление осадка); r0 и x0 принимаются на основании экспериента

Наибольшая производительность аппарата периодического действия при значительном сопротивлении фильтровальной перегородки достигается при . Для ориентировочного расчета оптимальной продолжительности цикла можно пользоваться зависимостью (для и

Производительность по фильтрату за один цикл определяют по уравнению (4.5), подставляя в него выбранную площадь поверхности фильтра F и.

Производительность центрифуги но суспензии за один цикл (в кг) , где — рабочий объем центрифуги или объем загружаемой за один цикл суспензии; D и D0 — соответственно внешний и внутренний диаметры барабана.

Число циклов работы фильтровальной установки в сутки находят по уравнению nобщ = Qобщ/V, зная суточную производительность установки по фильтрату или суспензии.

Число циклов работы одного аппарата в сутки

Необходимое количество фильтров Ф = nобщ / n1

Расчет фильтровального оборудования непрерывного действия при заданной или принятой площади поверхности фильтрования сводится к определению по заданной производительности скорости перемещения поверхности фильтрования, а также необходимого числа аппаратов для обеспечения заданной производительности.

На основании экспериментальных данных принимают наименьшую толщину осадка, чтобы обеспечить максимальную производительность.

Из уравнения (4.2) определяют объем фильтрата V =h0F/x0.

Подставляя найденную величину V в уравнение (4.4), определяют продолжительность фильтрования для получения слоя осадка заданной толщины .

На основании экспериментальных или расчетных данных определяют продолжительность промывки осадка, общую продолжительность цикла и производительность аппарата.

Производительность по фильтрату при центробежном фильтровании , где vц — скорость центробежного фильтрования, определяемая по формуле (4.13).

Число аппаратов для обеспечения заданной производительности Qобщ определяют из соотношения Ф=Qобщ/Qi где Qi — производительность одного аппарата.

1. Какие неоднородные системы разделяют фильтрованием? 2. Что является движущей силой фильтрования? 3. Какие меры принимают для увеличения эффективности фильтрования? 4. В чем заключается расчет фильтров периодического и непрерывного действия? 5. Какое оборудование применяют для разделения неоднородных систем методом фильтрования? 6. Какие конструкции фильтров используют в пищевой промышленности? 7. Какие конструкции фильтрующих центрифуг применяют в пищевой промышленности? 8. Что является движущей силой в фильтрующих центрифугах? Чем она определяется? 9. В чем заключается расчет фильтрующих центрифуг периодического и непрерывного действия? 10. Проведите сравнительную оценку эффективности фильтрования в фильтрах и фильтрующих центрифугах.

Видео:Дифференциальные уравнения. 11 класс.Скачать

Уравнения фильтрования под действием перепада давления

Рассмотрим процесс фильтрования с образованием осадка. Скорость фильтрования W Определяют как производную объема фильтрата по времени τ, отнесенную к поверхности фильтрования S:

При фильтровании суспензии вследствие небольшого размера пор осадка и фильтровальной перегородки и малой скорости движения жидкой фазы фильтрование протекает в ламинарной области. При этом в каждый момент времени скорость фильтрования прямо пропорциональна разности давлений ∆р И обратно пропорциональна вязкости жидкости и суммарному гидравлическому сопротивлению слоя осадка ROc И фильтровальной перегородки RФ. п:

Приравнивая (10.36) к (10.37), получим основное дифференциальное уравнение фильтрования:

Для приведения уравнения (10.38) к виду, удобному для интегрирования, необходимо выразить величины ROc и RФ. п в виде функции объема фильтрата. В процессе фильтрования может происходить некоторое увеличение RФ. п Из-за проникновения в поры перегородки твердых частиц. Однако это увеличение незначительно, так что для практических целей можно считать = Const. Величина с возрастанием толщины слоя осадка изменяется от нуля в начале фильтрования до максимального значения в конце его. Пренебрегая влиянием гравитационного осаждения (под действием сил тяжести) на образование осадка, можно считать, что объем осадка, VOc Прямо пропорционален объему фильтрата V:

Где Хо — коэффициент пропорциональности, зависящий от концентрации твердой фазы и структуры осадка (его определяют экспериментально как объем осадка, образующегося при прохождении 1 м3 фильтрата).

Представим объем осадка как произведение HOcS (где HOc — Высота слоя осадка). Тогда

Представим теперь сопротивление слоя осадка как произведение

Где RО — удельное объемное сопротивление слоя осадка (м-2), т. е. сопротивление, оказываемое потоку жидкой фазы слоем осадка толщиной 1 м.

Подставляя в соотношение (10.42) высоту осадка, определяемую по (10.41), получим выражение, связывающее сопротивление осадка с объемом фильтрата:

Перепишем выражение (10.38) с учетом (10.43):

= (10.44)

Решая это дифференциальное уравнение, можно получить уравнения фильтрования для различных частных случаев. Поскольку большинство фильтров работает при постоянной разности давлений, а процесс промывки можно рассматривать как фильтрование при постоянных разности давлений и скорости, ограничим рассмотрение этими двумя вариантами.

Уравнение фильтрования при постоянной разности давлений. Перепишем выражение (10.44) в следующем виде:

Проинтегрируем левую часть от 0 до V, А правую — от 0 до τ, вынеся постоянные величины за знак интеграла:

+ μRФ. п = ∆PS ;

Разделив последнее выражение на μRО хо/(2S), Получим:

Это уравнение называют уравнением фильтрования при постоянной разности давлений.

На практике часто можно считать сопротивление фильтровальной перегородки пренебрежимо малым по сравнению с сопротивлением осадка. Тогда уравнение (10.45) принимает вид:

Уравнения (10.45) и (10.46) применимы как к несжимаемым осадкам, так и к сжимаемым, поскольку при ∆Р = const значения RО И хо в процессе фильтрования остаются постоянными. Из уравнения (10.46) видно, что объем фильтрата возрастает пропорционально квадратному корню из времени.

Уравнение фильтрования при постоянных разности давлений И скорости. При постоянной скорости отношение dV/dτ можно заменить отношением V/τ. Кроме того, поскольку рассматриваемый процесс осуществим только при постоянной толщине слоя осадка, заменим XoV/S На высоту слоя осадка HОс. С учетом сказанного уравнение (10.44) примет вид:

Уравнение (10.47) представляет собой уравнение фильтрования при постоянных разности давлений и скорости. Оно применимо для несжимаемых и сжимаемых осадков.

Для выполнения расчетов по уравнениям (10.45)-(10.47) необходимо экспериментально определить величины RО и RФ. п и затем ХО, носящие название Констант фильтрования.

Рассмотрим один из способов определения этих величин. Разделим все члены уравнения (10.45) на 2∆PS2 V /(μ ROXO) и поменяем местами левую и правую части уравнения:

При постоянных разности давлений и температуре все величины, входящие в правые части равенств (10.49) и (10.50), являются постоянными. Таким образом, М = const и N = Const. Теперь перепишем выражение (10.48):

Это уравнение показывает прямолинейную зависимость функции τ /V От аргумента V. Тангенс угла наклона прямой равен М, А отрезок, отсекаемый на оси ординат, — N.

Для определения этих величин проводят эксперимент на модельном фильтре, в процессе которого замеряют во времени объем полученного фильтрата. Обработкой данных по методу наименьших квадратов рассчитывают М И N, А затем с помощью выражений (10.49) и (10.50) находят RО и RФ. п. Кроме того, в эксперименте замеряют объем осадка на фильтре и рассчитывают ХО по соотношению Хо = VOc/ V.

При фильтровании суспензий, содержащих монодисперсные частицы большого размера (порядка нескольких миллиметров), значение RО можно вычислить по уравнению (6.72). Для этого, исключив, из уравнения (10.37) сопротивление фильтровальной перегородки, представим его в следующем виде:

Подставляя сюда ∆Р, Определяемое по (6.72) с учетом того, что Н = HOc И Wo = W, Получим:

Видео:Линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентамиСкачать

Дифференциальное уравнение процесса фильтрования при постоянном перепаде давления и его решение

Фильтрованием называется процесс отделения осадка от жидкости при помощи пористых перегородок, задерживающих осадок и пропускающих жидкость. В качестве перегородок применяют хлопчатобумажную ткань или ткани из капронового и нейлонового волокна.

Однако перегородка не обеспечивает полноту фильтрования. Вследствие того что поры ткани больше мелких частиц осадка, в начале фильтрования получается мутный фильтрат, и лишь когда на перегородке образуется слой осадка определенной толщины, фильтрат становится прозрачным. В дальнейшем жидкость фильтруется через пористый осадок, состоящий из извилистых каналов, сечение которых значительно меньше размеров твердых частиц осадка.

Движущей силой фильтрования служит разность давлений со стороны входа жидкости в поры фильтрующего сока, состоящего из слоя осадка и перегородки, и выхода из него. Для создания разности давлений на одной стороне фильтрующего слоя должно быть избыточное давление или вакуум. В обоих случаях фильтрат течет в сторону пониженного давления.

Скорость фильтрования зависит от структуры осадка, величины перепада давления, толщины слоя осадка и вязкости фильтрата. Если осадок не сжимаем, скорость фильтрования пропорциональна разности давлений. В случае, если осадок сжимаем, с повышением давления размер его пор уменьшается и скорость фильтрования снижается. Следовательно, для сжимаемых осадков скорость фильтрования возрастает не пропорционально разности давлений, а в степени, меньшей единицы. При некотором значении разности давлений с ее увеличением скорость фильтрования не увеличивается, а наоборот, уменьшается вследствие сжатия осадка. Давление, при котором достигается максимальная скорость фильтрования для данного типа осадка, называется критическим.

Производительность фильтра зависит от скорости фильтрования, которая определяется режимом фильтрования, параметрами фильтрующей перегородки и физико-химическими свойствами фильтруемой суспензии.

Экспериментально установлено, что вследствие малого размера пор и небольшой скорости движения жидкости в порах осадка процесс характеризуется весьма малым значением числа Рейнольдса, которое соответствует ламинарному режиму течения жидкости. На этом основании вывод уравнения фильтрования базируется на известном законе ламинарного течения (уравнение Пуазейля)

Δp‾ = (32μLv) / d 2 (9.1)

где Δp‾ – перепад давлений в фильтре, Па; μ – вязкость жидкости, Па·с; L – длина пор, м; v – скорость жидкости в порах осадка, м/с; d – диаметр пор, м.

Исходя из формулы (9.1) скорость движения жидкости в порах осадка (м/с):

Выражение (32μLv) / d 2 ) характеризует сопротивление фильтрованию.

где R_ф — сопротивление фильтрованию, (Н·с)/м 3 .

Зная скорость фильтрования, можно определить объем фильтра V (м 3 ), отложившегося на фильтре за время t:

v = (Δp‾ / R_ф ) * Ft (9.4)

где F – площадь сечения пор осадка, м 2 ; t – время, с

Уравнение фильтрования обычно записывают для 1м 2 поверхности фильтра, т.е. F=1м 2 , тогда:

Поскольку толщина отлагающегося слоя осадка при фильтровании все время растет, скорость жидкости при постоянном давлении непрерывно уменьшается, поэтому уравнение (9.5) записывают в дифференциальной форме и решают для двух случаев в зависимости от характера изменения .Δp‾

Если Δp‾ =const и по мере увеличения толщины осадка скорость фильтрования уменьшается, объем фильтрата V (м 3 /см 2 ·с), прошедшего через единицу поверхности фильтра за время t.

а продолжительность фильтрования, с:

t = bV 2 + V * (R_m /Δp‾) (9.7)

При переменном давлении и постоянной скорости фильтрования:

где r_mu и r_m – массовое удельное сопротивление слоя осадка при постоянном давлении и постоянной скорости фильтрования, м/Н; R_m – сопротивление фильтрующей перегородки, Н·с/м 3 ; μ – динамическая вязкость, Па·с; G_c – вес сухого осадка, отлагающегося на фильтрующей перегородке при прохождении через нее единицы объема фильтрата, Н/м 2 ; Δp‾ и Δp‾ – давление фильтрования при получении определенного количества фильтрата, Па; b – коэффициент, b = (r_m μG) / 2Δp‾

Для практического использования уравнений (9.6), (9.7), (9.8) и (9.9) необходимо заранее определить удельное сопротивление фильтрованию осадка и удельное сопротивление фильтрующей перегородки или использовать их справочные значения.

Продолжительность промывания осадка и количество промывной жидкости определяют из условия, что процесс фильтрования при промывке происходит при постоянной толщине осадка на опорной перегородке и постоянном давлении промывной жидкости, т.е. скорость фильтрования постоянна.

Приняв на основании опытных данных удельный расход промывной жидкости на единицу массы влажного осадка X_о, определяют количество промывной жидкости [м 3 /(м 2 ·с)]:

где p_o– плотность влажного осадка (кг/м 3 )

где p_c – плотность абсолютного сухого осадка, кг/м 3 ; C₂ – концентрация вещества в осадке, кг/кг; p_ф — плотность фильтрата, кг/м 3 .

На основании уравнения (9.8) продолжительность промывки (с):

где Δp_пр – давление промывки, Па; r_mu – удельное сопротивление осадка в конце фильтрования, м/Н; μ_пр – вязкость промывной жидкости, Па·с; v_пр / t _пр – скорость промывки, м 3 /(м 2 ·с)