Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид (7 видео)

Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами

Линейное дифференциальное уравнение (*) назовём уравнением с постоянными коэффициентами, если в этом уравнении коэффициенты постоянны, то есть a_i(x)=const. Тогда соответствующее однородное уравнение L(y)=0 будет иметь вид
. (6)
Решение уравнения (6) будем искать в виде y = e rx . Тогда y’ = r·e rx , y» = r 2 ·e rx ,…, y ( n ) = r n ·e rx . Подставляя в (6), получаем

Пример №1 . Для уравнения y»-3y’ + 2y=0 корни характеристического уравнения r 2 — 3r + 2 = 0 равны r₁ = 1, r₂ = 2 (корни были найдены через сервис нахождения дискриминанта). Следовательно, фундаментальную систему решений составляют функции y₁ = e x , y₂ = e 2 x , а общее решение записывается в виде y = C₁e x + C₂e 2 x .
2. Среди корней характеристического уравнения есть кратные. Предположим, что r₁ имеет кратность α, а все остальные различны. Рассмотрим вначале случай r₁ = 0. Тогда характеристическое уравнение имеет вид:
a_n(x)·r n +a_n-1(x)·r n-1 + . + a_n-α(x)·r α =0
так как в противном случае r не являлось бы корнем кратности α. Следовательно, дифференциальное уравнение имеет вид:
a_n(x)·y (n) +a_n-1(x)·y (n-1) + . + a_n-α(x)·y α =0
то есть не содержит производных порядка ниже α. Этому уравнению удовлетворяют все функции, у которых производные порядка α и выше равны нулю. В частности, таковыми являются все полиномы степени не выше α-1, например,
1, x, x 2 , …, x α-1 . (9)
Покажем, что данная система линейно независима. Составив определитель Вронского этой системы функций, получим

Пример №2 . Для уравнения y»’-4y»+4y’ = 0 характеристическое уравнение r 3 -4r 2 + 4r = 0 имеет корни r=0 кратности 1 и r=2 кратности 2, так как r 3 -4r 2 + 4r = r(r-2) 2 , поэтому фундаментальной системой решений исходного уравнения является система функций y₁ = 1, y₂ = e 2 x , y₃ = xe 2 x , а общее решение имеет вид y = C₁ + C₂e 2 x + C₃xe 2 x .
3. Среди корней характеристического уравнения есть комплексные корни. Можно рассматривать комплексные решения, но для уравнений с действительными коэффициентами это не очень удобно. Найдём действительные решения, соответствующие комплексным корням. Так как мы рассматриваем уравнение с действительными коэффициентами, то для каждого комплексного корня r_j = a+bi кратности α характеристического уравнения комплексно сопряжённое ему число r_k = a-bi также является корнем кратности α этого уравнения. Соответствующими этим корням парами решений являются функции y_j l =x l ·e (a+b·i)x и y_k l =x l ·e (a-b·i)x , l=0,1. α-1. Вместо этих решений рассмотрим их линейные комбинации

Содержание

Дифференциальные уравнения второго порядка
Дифференциальные уравнения (варианты)
Вариант 2
Вариант 5
📽️ Видео

Видео:Линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентамиСкачать

Дифференциальные уравнения второго порядка

1) Линейные однородные дифференциальные уравнения
второго порядка с постоянными коэффициентами

Линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами p и q называется уравнение вида

(8)

Алгебраическое уравнение k 2 + pk + q = 0 называется характеристическим уравнением для данного дифференциального уравнения, а его корни – характеристическими числами (корнями).

Для нахождения общего решения уравнения (8):

1. Запишем соответствующее характеристическое уравнение

2. В соответствии со знаком дискриминанта возможны три случая:

а) D > 0. Тогда характеристическое уравнение имеет два действительных корня k₁ ¹ k₂, и общее решение уравнения (8) имеет вид

(9)

б) D = 0. Тогда k = k₁ = k₂ – действительный корень и общее решение уравнения (8) имеет вид

(10)

1. Запишем характеристическое уравнение k 2 + k – 2 = 0.

Найдем его корни

; k₁ = –2; k₂ = 1.

Так как k₁ ¹ k₂ – действительные числа, то общее решение находим по формуле (9)

2. Запишем характеристическое уравнение k 2 + 2k + 1 = 0.

Найдем его корни

В этом случае общее решение находим по формуле (10)

3. Запишем характеристическое уравнение k 2 + 4k + 5 = 0.

Найдем его корни

Здесь

Общее решение находим по формуле (11)

Тест 19. Однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами является уравнение вида:

Тест 20. Однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами является:

Тест 21. При решении однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами = 0:

1) вводится подстановка вида y = u × v, где u = u(x) и v = v(x) – некоторые неизвестные функции;

2) вводится подстановка вида y = u × x, где u = u(x) – некоторая неизвестная функция;

3) составляется характеристическое уравнение k 2 + pk + q = 0.

Тест 22. Характеристическое уравнение k 2 + pk + q = 0 имеет два различных действительных корня k₁ и k₂. Тогда общее решение однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид:

2) y = u × x, где u = u(x) – некоторая неизвестная функция;

Тест 23. Характеристическое уравнение k 2 + pk + q = 0 имеет комплексные корни Тогда общее решение однородного диф-
ференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид:

2) y = u × x, где u = u(x) – некоторая неизвестная функция;

Тест 24. Характеристическое уравнение k 2 + pk + q = 0 имеет равные корни k₁ = k₂. Тогда общее решение однородного дифферен-
циального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид:

2) y = u × x, где u = u(x) – некоторая неизвестная функция;

Тест 25. Характеристическое уравнение k 2 + pk + q = 0 имеет комплексные корни Тогда общее решение однородного диф-
ференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид:

2) y = u × x, где u = u(x) – некоторая неизвестная функция;

Тест 26. Характеристическое уравнение k 2 + pk + q = 0 имеет D = 0. Тогда общее решение однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид:

2) y = u × x, где u = u(x) – некоторая неизвестная функция;

Тест 27. Характеристическое уравнение k 2 + pk + q = 0 имеет D 2 + Bx + C и т. д.

Пример 10. Определить вид частного решения уравнения

Запишем соответствующее однородное уравнение

1. Характеристическое уравнение k 2 – 4k + 3 = 0 имеет корни k₁ = 1; k₂ = 3.

2. В правой части данного уравнения функция вида (13)

3. Здесь a = 2 – не является корнем характеристического уравнения; – многочлен первой степени.

Следовательно, частное решение данного неоднородного уравнения надо искать в виде (14), т. е. = e 2x (Ax + B).

2. Пусть в правой части уравнения (12) функция

f(x) (17)

Тогда частное решение уравнения (12) будем искать в виде решений, приведенных в таблице 5.

Если a ± bi не являются корнями соответствующего характеристического уравнения	Если a ± bi – корни характеристического уравнения
(18)	(19)

Пример 11. Определить вид частного решения уравнения

Запишем соответствующее однородное уравнение

1. Характеристическое уравнение k 2 + 4k – 2 = 0 имеет корни

2. В правой части данного уравнения функция вида (17)
f(x) т. е. f(x)

3. Здесь a = 0; b = 2. Составленные из этих значений комплексные числа a ± bi = 0 ± 2i не являются корнями характеристического уравнения.

Следовательно, частное решение данного неоднородного уравнения надо искать в виде (18), т. е. или

Тест 34. Характеристическое уравнение k 2 – 4k + 3 = 0, соответ-
ствующее однородному дифференциальному уравнению второго порядка с постоянными коэффициентами имеет корни k₁ = 1; k₂ = 3. Тогда частное решение соответствующего неоднородного уравнения имеет вид:

Тест 35. Характеристическое уравнение k 2 – 4k + 4 = 0, соответ-
ствующее однородному дифференциальному уравнению второго порядка с постоянными коэффициентами имеет корень k = 2. Тогда частное решение соответствующего неоднородного уравнения имеет вид:

После того, как вид частного решения определен, методом неопределенных коэффициентов находим коэффициенты A и B.

Ответы на тестовые задания

Номер теста

Правильный ответ

Ряды

Числовые ряды

Пусть дана числовая последовательность .

(1)

называется числовым рядом, или просто рядом.

Числа называются членами ряда, член a_n с произвольным номером – общим членом ряда.

Суммы конечного числа членов ряда …, … называются частичными суммами ряда (1). Так как число членов ряда бесконечно, то частичные суммы ряда образуют бесконечную последовательность частичных сумм

(2)

Пример 1. Пусть дана числовая последовательность

. (3)

Тогда последовательность будет иметь вид

…,

Последовательности (3) соответствует ряд

(4)

Пример 2.Рассмотрим ряд

(5)

Найдем его частичную сумму S_n. Имеем

Его частичную сумму можно упростить, если заметить, что

Тест 1. Определить второй член ряда

Ряд (1) называется сходящимся, если последовательность его частичных сумм (2) сходится к какому-нибудь числу S, которое называется суммой ряда (1). Символически

Если же последовательность частичных сумм (2) расходится, то ряд (1) называется расходящимся. Такой ряд суммы не имеет.

Тест 2.Определить частичную сумму S₃ ряда 1 + + + +… :

Простейшими примерами числовых рядов, вопрос о сходимости которых решен, являются следующие ряды:

1. – геометрический ряд, который при 1 сходится, при α ≤ 1 расходится.

Пример 3.Исследовать сходимость ряда + + +…+ +… .

Это геометрический ряд, так как q = 1;

5) при

Видео:18+ Математика без Ху!ни. Дифференциальные уравнения.Скачать

Дифференциальные уравнения (варианты)

Это уравнение вида — линейное дифференциальное уравнение I порядка. Такое уравнение можно решать методом Бернулли с помощью подстановки где u и v две неизвестные функции. Подставляя в исходное уравнение получим

или

Так как одна из неизвестных функций может быть выбрана произвольно, возьмем в качестве v одно из частных решений уравнения

Тогда исходное дифференциальное уравнение примет вид

Рассмотрим каждое из получившихся уравнений. Первое уравнение – дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Разделяем переменные:

Подставим найденную функцию v во второе уравнение . Получим откуда

Это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Решая его, находим функцию и:

Возвращаясь к функции у, получим

Используем условие . Тогда , Окончательно

Ответ:

Решим соответствующее однородное уравнение

Составим характеристическое уравнение Его корни

Так как его корни действительные и есть кратные, общее решение однородного уравнения имеет вид .

Частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде , тогда , . Подставим в исходное , . Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и правой части получим систему:

Тогда частное решение

Общее решение неоднородного примет вид:

Продифференцируем по х второе уравнение

Исключая с помощью первого уравнения и с помощью второго уравнения системы, получим

, ,

Таким образом, задача свелась к линейному неоднородному уравнению с постоянными коэффициентами второго порядка. Решим соответствующее однородное уравнение.

Характеристическое уравнение имеет корни и . Следовательно, общее решение для х будет .

Частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде , тогда , .

Подставим в исходное , , . Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и правой части получим систему:

Тогда частное решение

Общее решение неоднородного примет вид:

Из второго уравнения

Ответ:

Видео:Задача Коши ➜ Частное решение линейного однородного дифференциального уравненияСкачать

Вариант 2

Данное уравнение – уравнение с разделяющимися переменными. Разделим переменные: . Интегрируем:

Посчитаем интегралы отдельно:

Тогда: или

Ответ:

или

Тогда исходное дифференциальное уравнение примет вид

Подставим найденную функцию v во второе уравнение . Получим откуда

Это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Решая его, находим функцию и:

Возвращаясь к функции у, получим

Используем условие . Тогда , Окончательно

Ответ:

Данное уравнение не содержит у, следовательно понизить его порядок можно с помощью подстановки , тогда .

Отсюда — линейное дифференциальное уравнение. Приведём к виду: ,

Замена где u и v две неизвестные функции. Подставляя в исходное уравнение получим

или

Тогда исходное дифференциальное уравнение примет вид

Подставим найденную функцию v во второе уравнение . Получим

Это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Решая его, находим функцию и:

Возвращаясь к функции у, получим

Ответ:

Решим соответствующее однородное уравнение

Составим характеристическое уравнение Его корни

Так как его корни действительные и есть кратные, общее решение однородного уравнения имеет вид .

Тогда частное решение

Общее решение неоднородного примет вид:

Данное дифференциальное уравнение относится к линейным дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами.

Решение уравнения будем искать в виде y = erx. Для этого составляем характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами: r3-3r2+4= 0

Корни характеристического уравнения:

R1 = -1 и корень характеристического уравнения r2 = 2 кратности 2.

Следовательно, фундаментальную систему решений составляют функции: y1 = e-x, y2 = e2x, y3 = xe2x

Общее решение однородного уравнения имеет вид:

Рассмотрим правую часть: f(x) = (2•x-3)•e-x

Уравнение имеет частное решение вида:

Y’ =

Y» =

Y»’ =

которые подставляем в исходное дифференциальное уравнение:

-3+4=

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему уравнений:

Частное решение имеет вид:

Таким образом, общее решение дифференциального уравнения имеет вид:

Корни характеристического уравнения:r1 = -4, r2 = 0, r3 = 4

Следовательно, фундаментальную систему решений составляют функции:

Y1 = e-4x, y2 = e0x, y3 = e4x

Общее решение однородного уравнения имеет вид:

Правая часть F(x) = e2•x+3cos2x-sinx

Будем искать отдельно частные решения для F1(x) = e2•x, F2(x) = 3cos2x, F3(x) = — sinx

Рассмотрим правую часть: F1(x) = e2•x

Линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами и правой частью вида: R(x) = eαx(P(x)cos(βx) + Q(x)sin(βx)), где P(x), Q(x) — некоторые полиномы

Имеет частное решение y(x) = xkeαx(R(x)cos(βx) + S(x)sin(βx))

Где k — кратность корня α+βi характеристического полинома соответствующего однородного уравнения, R(x), S(x) — полиномы, подлежащие определению, степень которых равна максимальной степени полиномов P(x), Q(x).

Здесь P(x) = 1, Q(x) = 0, α = 2, β = 0.

Следовательно, число α + βi = 2 + 0i не является корнем характеристического уравнения.

Уравнение имеет частное решение вида:

Которые подставляем в исходное дифференциальное уравнение:

Y»’ -16y’ = (8•A•e2x) -16(2•A•e2x) = e2•x или -24•A•e2x = e2•x

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему уравнений:

Решая ее, находим: A = -1/24;

Частное решение имеет вид: y* = -1/24e2x

Рассмотрим правую часть: F2(x) = 3•cos(2•x)

Поиск частного решения.

Уравнение имеет частное решение вида:y* = Acos(2x) + Bsin(2x)

Которые подставляем в исходное дифференциальное уравнение:

Y»’ -16y’ = (8•A•sin(2x)-8•B•cos(2x)) -16(2•B•cos(2x)-2•A•sin(2x)) = 3•cos(2•x)

или 40•A•sin(2x)-40•B•cos(2x) = 3•cos(2•x)

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему уравнений:

Решая ее, находим: A = 0;B =-3/40;

Частное решение имеет вид:

Поиск частного решения.

Уравнение имеет частное решение вида: y* = Acos(x) + Bsin(x)

Которые подставляем в исходное дифференциальное уравнение:

Y»’ -16y’ = (A•sin(x)-B•cos(x)) -16(B•cos(x)-A•sin(x)) = — sin(x)

или 17•A•sin(x)-17•B•cos(x) = — sin(x)

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему уравнений:

Решая ее, находим: A = -1/17;B = 0;

Частное решение имеет вид: y* = -1/17cos(x) + 0sin(x) или y* = -1/17cos(x)

Окончательно, общее решение данного уравнения

Корни характеристического уравнения: r1 = 2, r2 = 4

Следовательно, фундаментальную систему решений составляют функции: y1 = e4x, y2 = e2x

Общее решение однородного уравнения имеет вид:

Для поиска частного решения воспользуемся методом вариации произвольных постоянных. Для этого решим систему:

Тогда окончательно

Корни характеристического уравнения:

Корень характеристического уравнения r1 = 2 кратности 2.

Следовательно, фундаментальную систему решений составляют функции: y1 = e2x, y2 = xe2x

Общее решение однородного уравнения имеет вид:

Рассмотрим правую часть: f(x) = e2•x•sin(5•x)

Поиск частного решения.

Имеет частное решение y(x) = xkeαx(R(x)cos(βx) + S(x)sin(βx))

Здесь P(x) = 1, Q(x) = 0, α = 2, β = 5.

Следовательно, число α + βi = 2 + 5i не является корнем характеристического уравнения.

Уравнение имеет частное решение вида: y* = e2x(Acos(5x) + Bsin(5x))

Которые подставляем в исходное дифференциальное уравнение:

Y» -4y’ + 4y = (-e2x((20•A+21•B)•sin(5x)+(21•A-20•B)•cos(5x))) -4(e2x((2•B-5•A)•sin(5x)+(2•A+5•B)•cos(5x))) + 4(e2x(Acos(5x) + Bsin(5x))) = e2•x•sin(5•x)

или -25•A•e2x•cos(5x)-25•B•e2x•sin(5x) = e2•x•sin(5•x)

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему уравнений:

Решая ее, находим: A = 0;B = -1/25;

Частное решение имеет вид: y* = e2x(0cos(5x) -1/25sin(5x)) илиy* =-1/25 e2x sin(5x)

Таким образом, общее решение дифференциального уравнения имеет вид:

Используем начальные условия

Тогда окончательно,

Характеристическое уравнение исходного дифференциального уравнения имеет мнимые корни . Следовательно, общее решение дифференциального уравнения . Тогда . Подставляем в первое граничное условие

. Тогда .

Подставляем во второе граничное условие

При А=0 и В=0 – тривиальное решение у=0

Поэтому и — собственные значения

— собственные векторы

Метод исключения неизвестных.

Продифференцируем по х первое уравнение

Исключая с помощью второго уравнения , получим ,

Характеристическое уравнение имеет корни и . Следовательно, общее решение для х будет .

Частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде , тогда , . Подставим в исходное ,

Тогда частное решение

Общее решение неоднородного примет вид:

Из первого уравнения

Ответ:

Продифференцируем по х второе уравнение

Исключая с помощью первого уравнения , получим

, ,

Характеристическое уравнение имеет корни и . Следовательно, общее решение для х будет .

Тогда частное решение

Общее решение неоднородного примет вид:

Из второго уравнения

Ответ:

Видео:Линейное неоднородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами 4y''-y=x^3-24x #1Скачать

Вариант 5

Данное уравнение – уравнение с разделяющимися переменными. Разделим переменные: . Интегрируем:

Посчитаем интегралы отдельно:

Тогда: или

Ответ:

или

Тогда исходное дифференциальное уравнение примет вид

Интегрируя, находим

Подставим найденную функцию v во второе уравнение . Получим откуда

Это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Решая его, находим функцию и:

Возвращаясь к функции у, получим

Используем условие . Тогда , Окончательно

Ответ:

Данное уравнение не содержит у, следовательно понизить его порядок можно с помощью подстановки , тогда .

Отсюда — линейное дифференциальное уравнение. Приведём к виду: ,

Замена где u и v две неизвестные функции. Подставляя в исходное уравнение получим

или

Тогда исходное дифференциальное уравнение примет вид

Подставим найденную функцию v во второе уравнение . Получим

Это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Решая его, находим функцию и:

Возвращаясь к функции у, получим

Ответ:

Решим соответствующее однородное уравнение

Составим характеристическое уравнение Его корни

Так как его корни действительные и есть кратные, общее решение однородного уравнения имеет вид

Частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде , тогда , . , , .

Подставим в исходное , . Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и правой части получим систему:

Тогда частное решение

Общее решение неоднородного примет вид:

Вынесем r за скобку. Получим: r(r-1) = 0

Корни характеристического уравнения:r1 = 0, r2 = 1

Следовательно, фундаментальную систему решений составляют функции: y1 = e0x, y2 = ex.

Общее решение однородного уравнения имеет вид:

Рассмотрим правую часть: f(x) =

Уравнение имеет частное решение вида:

которые подставляем в исходное дифференциальное уравнение:

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему уравнений:

Частное решение имеет вид:

Таким образом, общее решение дифференциального уравнения имеет вид:

Составляем характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами:

Корни характеристического уравнения:(комплексные корни): r1 = 4i, r2 = -4i

Общее решение однородного уравнения имеет вид:

Рассмотрим правую часть: f(x) = 16•cos(4•x)-16•e4x, будем искать отдельно частные решения для f1(x)= 16•cos(4•x) и для f2(x)= 16•e4x

Для f1(x) = 16•cos(4•x) имеем

Уравнение имеет частное решение вида: y ч1* = x (Acos(4x) + Bsin(4x))

Которые подставляем в исходное дифференциальное уравнение:

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему уравнений:

Решая ее, находим: A = 0;B = 2;

Частное решение имеет вид: yч1* = x (0cos(4x) + 2sin(4x)) или y ч1* = 2xsin(4x)

Частное решение ищем в виде y(x) = xkeαx(R(x)cos(βx) + S(x)sin(βx))

Здесь P(x) = 16, Q(x) = 0, α = 4, β = 0.

Следовательно, число α + βi = 4 + 0i не является корнем характеристического уравнения.

Уравнение имеет частное решение вида:

Которые подставляем в исходное дифференциальное уравнение:

Y» + 16y = (16•A•e4x) + 16(Ae4x) = 16•e4•x или 32•A•e4x = 16•e4•x

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему уравнений:

Решая ее, находим: A = 1/2;

Частное решение имеет вид: y*ч2 = 1/2e4x

Таким образом, общее решение дифференциального уравнения имеет вид:

Составляем характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами: r2 + 9 = 0

Корни характеристического уравнения: r1 = -3i, r2 = 3i

Общее решение однородного уравнения имеет вид:

Тогда окончательно

Корни характеристического уравнения:(комплексные корни): r1 = i,

Следовательно, фундаментальную систему решений составляют функции:

Общее решение однородного уравнения имеет вид:

Рассмотрим правую часть: f(x) = 2•cos(3•x)-3•sin(3•x)

Поиск частного решения.

Имеет частное решение y(x) = xkeαx(R(x)cos(βx) + S(x)sin(βx))

Здесь P(x) = 2, Q(x) = -3, α = 0, β = 3.

Следовательно, число α + βi = 0 + 3i не является корнем характеристического уравнения.

Уравнение имеет частное решение вида: y* = Acos(3x) + Bsin(3x)

Которые подставляем в исходное дифференциальное уравнение:

Y» + y = (-9(A•cos(3x)+B•sin(3x))) + (Acos(3x) + Bsin(3x)) = 2•cos(3•x)-3•sin(3•x)

или -8•A•cos(3x)-8•B•sin(3x) = 2•cos(3•x)-3•sin(3•x)

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему уравнений:

Решая ее, находим: A = -1/4;B = 3/8;

Частное решение имеет вид: y* = -1/4cos(3x) + 3/8sin(3x)

Таким образом, общее решение дифференциального уравнения имеет вид:

Используем начальные условия

Тогда окончательно,

Характеристическое уравнение исходного дифференциального уравнения имеет мнимые корни . Следовательно, общее решение дифференциального уравнения . Подставляем в первое граничное условие

. Тогда .

Подставляем во второе граничное условие

При А=0 и В=0 – тривиальное решение у=0

Поэтому и — собственные значения

— собственные векторы

Продифференцируем по х второе уравнение

Исключая с помощью первого уравнения и с помощью второго уравнения системы, получим

Таким образом, задача свелась к линейному однородному уравнению с постоянными коэффициентами второго порядка. Характеристическое уравнение имеет корни . Следовательно, общее решение для будет .