Внутренняя задача дирихле для уравнения лапласа в шаре интеграл пуассона

Видео:Уравнения математической физики 15+16 Задача Дирихле для уравнения Лапласа - Пуассона в кругеСкачать

Уравнения математической физики 15+16 Задача Дирихле для уравнения Лапласа - Пуассона в круге

Задача Дирихле для уравнения Лапласа – интеграл Пуассона

Уравнению Лапласа удовлетворяет не только потенциал гравитационного поля вне области содержащий источники, но и все его производные вместе с их линейными комбинациями. Этому уравнению в свободном пространстве, т.е. в области, где отсутствуют источники, удовлетворяют и многие другие геофизические поля – компоненты напряженности магнитного поля, естественного электрического, теплового для установившегося температурного режима поля при постоянных электропроводности и теплопроводности среды. Уравнение Лапласа это фундаментальное внеметодное уравнение в геофизике, а функции ему удовлетворяющие называются гармоническими.

Задачей Дирихледля уравнения Лапласа называется задача нахождения значений гармонической функции внутри области по ее граничным – краевым значениям на границе области. Ее также называют задачей аналитического продолжения потенциального поля. Это устоявшееся, но не совсем удачное название. Формально краевая задача Дирихле записывается следующим образом:

Внутренняя задача дирихле для уравнения лапласа в шаре интеграл пуассона

Г – граница области V.

На самом деле для однозначности ее решения необходимо добавление еще дополнительных условий. Однако в некоторых частных случаях достаточно простейших из них.

Частным случаем этой задачи является задача Дирихле для полупространства. Формулируется она следующим образом. Пусть плоскость Внутренняя задача дирихле для уравнения лапласа в шаре интеграл пуассона, разбивает все пространство на нижнее Внутренняя задача дирихле для уравнения лапласа в шаре интеграл пуассона, в котором сконцентрированы все источники поля, и верхнее Внутренняя задача дирихле для уравнения лапласа в шаре интеграл пуассона, в котором источники заведомо отсутствуют. Гармоническая в области Внутренняя задача дирихле для уравнения лапласа в шаре интеграл пуассонафункция Внутренняя задача дирихле для уравнения лапласа в шаре интеграл пуассоназадана своими краевыми значениями на Внутренняя задача дирихле для уравнения лапласа в шаре интеграл пуассона. Считаем, что Внутренняя задача дирихле для уравнения лапласа в шаре интеграл пуассонанепрерывна на Внутренняя задача дирихле для уравнения лапласа в шаре интеграл пуассонаи стремится к нулю на бесконечности. Тогда значения Внутренняя задача дирихле для уравнения лапласа в шаре интеграл пуассонав любой точке области Внутренняя задача дирихле для уравнения лапласа в шаре интеграл пуассонанаходится по Внутренняя задача дирихле для уравнения лапласа в шаре интеграл пуассонас помощью известного интеграла Пуассона, дающего решение задачи Дирихле для полупространства:

Внутренняя задача дирихле для уравнения лапласа в шаре интеграл пуассона(2.6)

В двухмерном случае интеграл Пуассона имеет вид:

Внутренняя задача дирихле для уравнения лапласа в шаре интеграл пуассона(2.6а)

Каждое из приведенных соотношений может быть также как и ранее, записано в операторной форме:

Внутренняя задача дирихле для уравнения лапласа в шаре интеграл пуассона.(2.7)

Расчет интеграла Пуассона, как для двухмерного, так и для трехмерного случаев является типичной задачей из области решения уравнений математической физики. Она не содержит «подводных камней». Она имеет решение, это решение единственно и устойчиво зависит от начальных данных во всех имеющих смысл нормах. Степень гладкости продолженного поля, т.е. Внутренняя задача дирихле для уравнения лапласа в шаре интеграл пуассонадля (6) всегда выше, чем степень гладкости краевых значений Внутренняя задача дирихле для уравнения лапласа в шаре интеграл пуассона. Мы пока обращаемся к интуитивному пониманию смысла гладкости. Однако, эта задача может рассматриваться и как обратная задача – нахождения по известному Внутренняя задача дирихле для уравнения лапласа в шаре интеграл пуассонаили Внутренняя задача дирихле для уравнения лапласа в шаре интеграл пуассонана некотором множестве в Внутренняя задача дирихле для уравнения лапласа в шаре интеграл пуассоназначения этих функций на Внутренняя задача дирихле для уравнения лапласа в шаре интеграл пуассона. В операторной постановке (7) это соответствует расчету величины u под знаком оператора A по заданной правой части y. При попытке решения этой обратной задачи возникает целый «букет» неприятностей, которые почти очевидны. Они начинаются с того, что совсем не факт, что решение будет существовать для конкретных данных. И уже совершенно очевиден факт, что гладкость результата будет ниже, и даже катастрофически ниже гладкости исходных данных. Решение будет неустойчиво, разваливаться от малейших вариаций исходных данных. Это проявление тех же эффектов, предупреждение о которых было сделано выше

Видео:6.2 Решение задач для уравнения Лапласа в круге, вне круга и в кольцеСкачать

6.2 Решение задач для уравнения Лапласа в круге, вне круга и в кольце

Задача Дирихле в круге. Интеграл Пуассона

и граничному условию

где окружность Сго — граница круга Kro, a f — заданная на ней непрерывно дифференцируемая функция.

Запишем уравнение (8.1) в полярных координатах:

1 д / ди 1 д 2 г

Будем искать частные решения этого уравнения в виде и(т, r

Внутренняя задача дирихле для уравнения лапласа в шаре интеграл пуассона

Заметим, что u(r, 2 . Если А = 0, то из (8.5) следует

— (г—— )=0, R(r) = ед In г + С2, (8.7)

где с и С2 — постоянные. Поскольку и(г, р) непрерывна в замкнутом круге и, следовательно, ограничена, a In г —> оо при г 0, то с.[ = 0. При А = п 2 0 решение уравнения (8.5) ищем в виде R — r k , см. [1] или [28]. Подставляя эту функцию в уравнение и сокращая на r k , найдем к 2 = п 2 , или к = ±п (п > 0) и, следовательно, R(r) = сг

п + С2Г П , где с и — постоянные. Опять следует положить с = 0, так как R(r) непрерывна внутри круга. Итак, найдены частные решения

Замечание. Гармоническая функция ип(г,р) являетея однородным многочленом степени п относительно декартовых координат х, у, так как согласно формуле Муавра

r n (cos р + г sin р) п = r n (cos пр + г sin пр),

т. е. r n cos пр = Re(o? + iy) n , r n sin p = Im(a? + iy) n (здесь i 2 = -l, [17]).

Полиномы вида Pn(x,y) = a„Re(x + iy) n + 67)Im(x + iy) n называются однородными гармоническими многочленами.

Решение задачи (8.1)-(8.2) будем искать в виде

4 Э. Р. Розендорн, Е.С. Соболева, Г. М. Фатеева

Для определения коэффициентов ап и Ьп воспользуемся условием (8.2):

считая, что f задана как функция угла р. Тогда из разложения /( 27Г

При предположениях, сделанных относительно функции /( г/vq 2 Г f 1 +°° / г п )

= — /(V9 й + У? ( — ) ( cos n V ; cos n

1 2 / Г 1 +°° 7 Г П 1

= — /ОЖ й + 12 ( — ) С08? Ф -V0 (8.И)

Используя следствие из формулы Эйлера: cos а = ^(е г(Х + е га ), и формулу суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии: 52 с 1 п =

, |q| n cos па = | | ? t n (e““ + е — ““) =

to 1 1 -1 2
2 ‘ 1 — te ta 1 — te

ta / 2 1 — 21 cos a +t 2

Подставляя (8.12) при t = r/r^, а = г ф в (8.11), получим

Ж) 2 9 0 .—- 8 — 13 >

J г 2 — 2гог cos( Tq

Полученная формула (8.13), дающая решение задачи Дирихле в круге А’го, носит название интеграла Пуассона.

Замечание 1. Положим в (8.13) г = 0. Тогда будем иметь

т. е. значение гармонической функции в центре круга равно ее среднему значению на окружности.

Замечание 2. Как следует из формул (8.8)—(8.10) и (8.13), внутри круга г vq гармоническая функция является аналитической функцией.

Замечание 3. Аналогично можно рассмотреть решение внешней задачи Дирихле для круга, т. е. найти непрерывную вне круга Кго и на его границе функцию и, удовлетворяющую уравнению (8.1) вне этого круга, ограниченную на бесконечности и удовлетворяющую условию (8.2) на границе круга. Функции Ф( ) определяются теми же формулами, что и выше, a R = сг

п при п > 0, либо 7?.(г) = С2 при п = 0. Поэтому вместо (8.8) решение будет определяться формулой

где постоянные ап, Ъп являются в силу (8.9) коэффициентами Фурье функции /( Г 0

Z7T J — ZrrQ COS( Zq

📸 Видео

Задача Дирихле для круга. Уравнение ЛапласаСкачать

Задача Дирихле для круга. Уравнение Лапласа

Задача Дирихле для шараСкачать

Задача Дирихле для шара

6.1 Уравнение Лапласа в полярных координатах. Принцип решения и постановка задачСкачать

6.1 Уравнение Лапласа в полярных координатах. Принцип решения и постановка задач

OTAROVA JAMILA МЕТОД ФУРЬЕ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА В КРУГЕСкачать

OTAROVA  JAMILA   МЕТОД  ФУРЬЕ  РЕШЕНИЯ  ЗАДАЧИ  ДИРИХЛЕ  ДЛЯ  УРАВНЕНИЯ  ЛАПЛАСА  В  КРУГЕ

Уравнение Лапласа. Задача Дирихле для уравнения Лапласа внутри и вне кругаСкачать

Уравнение Лапласа. Задача Дирихле для уравнения Лапласа внутри и вне круга

Решение уравнения Лапласа в шареСкачать

Решение уравнения Лапласа в шаре

Лекция №5 по УМФ. Задача Дирихле для ур-ия Лапласа в круге. Константинов Р. В.Скачать

Лекция №5 по УМФ. Задача Дирихле для ур-ия Лапласа в круге. Константинов Р. В.

Задача Дирихле для уравнения Лапласа в кольце и сектореСкачать

Задача Дирихле для уравнения Лапласа в кольце и секторе

7.1 Решение уравнения Лапласа в прямоугольникеСкачать

7.1 Решение уравнения Лапласа в прямоугольнике

Методы математической физики. Задача Дирихле для уравнения Лапласа в круге. 19.05.21 Фролова Е.В.Скачать

Методы математической физики. Задача Дирихле для уравнения Лапласа в круге. 19.05.21 Фролова Е.В.

7.2 Уравнение Лапласа в секторе и кольцевом сектореСкачать

7.2 Уравнение Лапласа в секторе и кольцевом секторе

Теория функций комплексного переменного 21. Решение общей задачи ДирихлеСкачать

Теория функций комплексного переменного 21. Решение общей задачи Дирихле

Попов И.Ю. Функция Грина задачи Дирихле для уравнения ЛапласаСкачать

Попов И.Ю. Функция Грина задачи Дирихле для уравнения Лапласа

Горицкий А. Ю. - Уравнения математической физики. Часть 2 - Функция ГринаСкачать

Горицкий А. Ю. - Уравнения математической физики. Часть 2 - Функция Грина

Задача Дирихле и НейманаСкачать

Задача Дирихле и Неймана

Уравнение Пуассона и задача ДирихлеСкачать

Уравнение Пуассона и задача Дирихле

9. Уравнение ПуассонаСкачать

9. Уравнение Пуассона
Поделиться или сохранить к себе: