Дана точка и направляющий вектор составить уравнение прямой

Видео:Геометрия. 9 класс. Уравнение прямой. Направляющий вектор и вектор нормали прямой /22.10.2020/Скачать

Геометрия. 9 класс. Уравнение прямой. Направляющий вектор и вектор нормали прямой /22.10.2020/

Пункт 1. Построение уравнения прямой в пространстве по точке и направляющему вектору.

Дана точка и направляющий вектор составить уравнение прямойПусть дана точка Дана точка и направляющий вектор составить уравнение прямойс координатами Дана точка и направляющий вектор составить уравнение прямойи направляющий вектор Дана точка и направляющий вектор составить уравнение прямой(выделен жирно на чертеже) Представим себе, что какая-то произвольная точка Дана точка и направляющий вектор составить уравнение прямойс координатами Дана точка и направляющий вектор составить уравнение прямойлежит на этой же прямой. Тогда Дана точка и направляющий вектор составить уравнение прямойи Дана точка и направляющий вектор составить уравнение прямойколлинеарны, то есть их координаты — пропорциональны, т.е. Дана точка и направляющий вектор составить уравнение прямой

тогда Дана точка и направляющий вектор составить уравнение прямой.

Это канонические уравнения прямой в пространстве.

Фактически здесь не одно, а два уравнения, впрочем, это прямая может быть задана как пересечение 2 плоскостей. Кстати, если перемножить 1-ю и 2-ю пропорции независимо друг от друга, и свести к обычным уравнениям, то мы и получили бы уравнения каких-то 2 плоскостей.

Если эти 3 дроби равны, то можно приравнять их к некоторому параметру t.

Дана точка и направляющий вектор составить уравнение прямой. Если теперь выразим x,y,z через t из каждой дроби по отдельности, получим:

Дана точка и направляющий вектор составить уравнение прямой— параметрические уравнения. Это физические уравнения движения, в момент времени t=0 находимся в точке Дана точка и направляющий вектор составить уравнение прямой, в момент времени t=1 сдвинулись к концу направляющего вектора.

Векторный вид записи этих 3 равенств: Дана точка и направляющий вектор составить уравнение прямой. При t=0 радиус-вектор из начала координат к исходной точке, через 1 секунду он будет направлен в конец вектора Дана точка и направляющий вектор составить уравнение прямой.

Пример. Построить уравнения прямой, если начальная точка (1,1,1) направляющий вектор (1,2,3).

Дана точка и направляющий вектор составить уравнение прямой,

тогда Дана точка и направляющий вектор составить уравнение прямой— канонические уравнения.

Параметрические: Дана точка и направляющий вектор составить уравнение прямой

Если привести 2 пропорции Дана точка и направляющий вектор составить уравнение прямойи Дана точка и направляющий вектор составить уравнение прямойто получим

Дана точка и направляющий вектор составить уравнение прямойи Дана точка и направляющий вектор составить уравнение прямой, то есть Дана точка и направляющий вектор составить уравнение прямойи Дана точка и направляющий вектор составить уравнение прямой

это и есть уравнения двух плоскостей, в пересечении который лежит эта прямая.

Замечание. Если требуется построить уравнение прямой по 2 точкам, то направляющий вектор от 1-й ко 2-й точке, и далее известный алгоритим.

Пункт 2. Построение уравнения прямой в пространстве по точке и двум перпендикулярам.

Если дана точка и 2 нормали, то можно найти направляющий как векторное произведение этих 2 нормалей:

Дана точка и направляющий вектор составить уравнение прямой. Далее можно решать тем методом, как в прошлом пункте.

Замечание. Кстати, канонические уравнения существуют не всегда, а вот параметрические — более универсальны, они существуют всегда, даже если направляющий лежит параллельно какой-то оси. А для канонических уравнений при этом получался бы 0 в знаменателе. Пример, показывающий данную ситуацию:

Пример. Если 2 перпендикуляра (1,0,0) и (1,1,0) то их векторное произведение (0,0,1) — направляющий.

Параметрические уравнения: x = 0 , y = 0 , z = t.

Пункт 3. Расстояние от точки до прямой в пространстве.

Во-первых, закономерен вопрос, а почему требуется выводить новую формулу, если у нас уже была выведена формула расстояния от точки до прямой? Дело в том, что в пространстве уравнение прямой это вовсе не Дана точка и направляющий вектор составить уравнение прямой, а канонические или параметрические уравнения, то есть формула из прошлой темы не применима. В том случае мы пользовались проекцией на нормаль, а в пространстве нормаль к прямой однозначным образом не определяется.

Пусть дана прямая (с помощью точки Дана точка и направляющий вектор составить уравнение прямойи направляющего Дана точка и направляющий вектор составить уравнение прямой) и точка Дана точка и направляющий вектор составить уравнение прямой, не лежащая на прямой.

Дана точка и направляющий вектор составить уравнение прямойСоединим Дана точка и направляющий вектор составить уравнение прямойи Дана точка и направляющий вектор составить уравнение прямой, это одна из двух сторон параллелограмма, вторая это Дана точка и направляющий вектор составить уравнение прямой. Требуемое расстояние это высота, надо площадь поделить на длину основания. Площадь равна векторному произведению векторов, образующих стороны. Поэтому Дана точка и направляющий вектор составить уравнение прямой.

Пункт 4. Взаимное расположение прямых в пространстве.

Кроме совпадения, параллельности и пересечения, в пространстве появляется ещё одна ситуация: скрещивающиеся прямые.

Скрещивающиеся прямые можно определить как две прямые, не лежащие в одной плоскости. Через совпадающие, пареллельные, пересекающиеся прямые можно провести общую плоскость. Скрещивающиеся прямые можно представить себе как пару прямых, лежащих в параллельных плоскостях, но при этом сами прямые не параллельны (если рассмотреть вид сверху, то они пересекались бы).

Еслии при этом:тогда прямые:
Дана точка и направляющий вектор составить уравнение прямой Дана точка и направляющий вектор составить уравнение прямойСовпадающие
Дана точка и направляющий вектор составить уравнение прямойПараллельные
Дана точка и направляющий вектор составить уравнение прямой Дана точка и направляющий вектор составить уравнение прямойи Дана точка и направляющий вектор составить уравнение прямойкомпланарны (в одной плоскости)Пересекающиеся
Дана точка и направляющий вектор составить уравнение прямойСкрещивающиеся

Примером отрезков, лежащих на скрещивающихся прямых, могут быть, например, мост и русло реки. Из-за того, что в пространстве возможны скрещивающиеся прямые, как раз и есть возможность строительства мостов и развязок.

Видео:Математика без Ху!ни. Уравнения прямой. Часть 2. Каноническое, общее и в отрезках.Скачать

Математика без Ху!ни. Уравнения прямой. Часть 2. Каноническое, общее и в отрезках.

Практика. Решение задач. Часть 1. Уравнения прямой

Этот видеоурок доступен по абонементу

У вас уже есть абонемент? Войти

Дана точка и направляющий вектор составить уравнение прямой

Мы изучили новые инструменты – координаты и действия с векторами в координатах, операцию скалярного умножения векторов. Этот урок мы посвятим решению задач и потренируемся применять эти новые инструменты на практике.

Видео:Аналитическая геометрия, 6 урок, Уравнение прямойСкачать

Аналитическая геометрия, 6 урок, Уравнение прямой

Уравнение прямой

Дана точка и направляющий вектор составить уравнение прямой

Видео:9 класс, 7 урок, Уравнение прямойСкачать

9 класс, 7 урок, Уравнение прямой

Уравнение прямой на плоскости

Любую прямую на плоскости можно задать уравнением прямой первой степени вида

где A и B не могут быть одновременно равны нулю.

Дана точка и направляющий вектор составить уравнение прямой

Уравнение прямой с угловым коэффициентом

Общее уравнение прямой при B≠0 можно привести к виду

где k — угловой коэффициент равный тангенсу угла, образованного данной прямой и положительным направлением оси ОХ.

Дана точка и направляющий вектор составить уравнение прямой

Уравнение прямой в отрезках на осях

Если прямая пересекает оси OX и OY в точках с координатами ( a , 0) и (0, b ), то она может быть найдена используя формулу уравнения прямой в отрезках

x+y= 1
ab

Уравнение прямой, проходящей через две различные точки на плоскости

Если прямая проходит через две точки M( x 1, y 1) и N( x 2, y 2), такие что x 1 ≠ x 2 и y 1 ≠ y 2, то уравнение прямой можно найти, используя следующую формулу

x — x 1=y — y 1
x 2 — x 1y 2 — y 1

Дана точка и направляющий вектор составить уравнение прямой

Параметрическое уравнение прямой на плоскости

Параметрические уравнения прямой могут быть записаны следующим образом

x = l t + x 0 y = m t + y 0

где N( x 0, y 0) — координаты точки лежащей на прямой, a = — координаты направляющего вектора прямой.

Каноническое уравнение прямой на плоскости

Если известны координаты точки N( x 0, y 0) лежащей на прямой и направляющего вектора a = ( l и m не равны нулю), то уравнение прямой можно записать в каноническом виде, используя следующую формулу

x — x 0=y — y 0
lm

Решение. Воспользуемся формулой для уравнения прямой проходящей через две точки

x — 1 2 — 1 = y — 7 3 — 7

Упростив это уравнение получим каноническое уравнение прямой

Выразим y через x и получим уравнение прямой с угловым коэффициентом

Найдем параметрическое уравнение прямой. В качестве направляющего вектора можно взять вектор MN .

Взяв в качестве координат точки лежащей на прямой, координаты точки М, запишем параметрическое уравнение прямой

x = t + 1 y = -4 t + 7

Решение. Так как M y — N y = 0, то невозможно записать уравнение прямой проходящей через две точки.

Найдем параметрическое уравнение прямой. В качестве направляющего вектора можно взять вектор MN .

Взяв в качестве координат точки лежащей на прямой, координаты точки М, запишем параметрическое уравнение прямой

Видео:Видеоурок "Канонические уравнения прямой"Скачать

Видеоурок "Канонические уравнения прямой"

Уравнение прямой в пространстве

Уравнение прямой, проходящей через две различные точки в пространстве

Если прямая проходит через две точки M( x 1, y 1, z 1) и N( x 2, y 2, z 2), такие что x 1 ≠ x 2, y 1 ≠ y 2 и z 1 ≠ z 2, то уравнение прямой можно найти используя следующую формулу

x — x 1=y — y 1=z — z 1
x 2 — x 1y 2 — y 1z 2 — z 1

Параметрическое уравнение прямой в пространстве

Параметрические уравнения прямой могут быть записаны следующим образом

Дана точка и направляющий вектор составить уравнение прямойx = l t + x 0
y = m t + y 0
z = n t + z 0

где ( x 0, y 0, z 0) — координаты точки лежащей на прямой, — координаты направляющего вектора прямой.

Каноническое уравнение прямой в пространстве

Если известны координаты точки M( x 0, y 0, z 0) лежащей на прямой и направляющего вектора n = , то уравнение прямой можно записать в каноническом виде, используя следующую формулу

x — x 0=y — y 0=z — z 0
lmn

Прямая как линия пересечения двух плоскостей

Если прямая является пересечением двух плоскостей, то ее уравнение можно задать следующей системой уравнений

📹 Видео

Составляем уравнение прямой по точкамСкачать

Составляем уравнение прямой по точкам

Математика без Ху!ни. Уравнение плоскости.Скачать

Математика без Ху!ни. Уравнение плоскости.

Как составить уравнение прямой, проходящей через две точки на плоскости | МатематикаСкачать

Как составить уравнение прямой, проходящей через две точки на плоскости | Математика

Видеоурок "Нормальное уравнение прямой"Скачать

Видеоурок "Нормальное уравнение прямой"

1. Уравнение плоскости проходящей через точку перпендикулярно вектору / общее уравнение / примерыСкачать

1. Уравнение плоскости проходящей через точку перпендикулярно вектору / общее уравнение / примеры

Математика без Ху!ни. Уравнения прямой. Часть 1. Уравнение с угловым коэффициентом.Скачать

Математика без Ху!ни. Уравнения прямой. Часть 1. Уравнение с угловым коэффициентом.

Построение угла, равного данному. 7 класс.Скачать

Построение угла, равного данному. 7 класс.

Видеоурок "Общие уравнения прямой"Скачать

Видеоурок "Общие уравнения прямой"

Написать канонические и параметрические уравнения прямой в пространствеСкачать

Написать канонические и параметрические уравнения прямой в пространстве

Уравнения прямой на плоскости | Векторная алгебраСкачать

Уравнения прямой на плоскости | Векторная алгебра

11. Прямая в пространстве и ее уравненияСкачать

11. Прямая в пространстве и ее уравнения

9 класс, 6 урок, Уравнение окружностиСкачать

9 класс, 6 урок, Уравнение окружности

18+ Математика без Ху!ни. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.Скачать

18+ Математика без Ху!ни. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.

Лекция 23. Виды уравнений прямой на плоскости.Скачать

Лекция 23. Виды уравнений прямой на плоскости.

Уравнение прямой в пространстве через 2 точки. 11 класс.Скачать

Уравнение прямой в пространстве через 2 точки. 11 класс.
Поделиться или сохранить к себе: