Бигармоническое уравнение и его назначение (2 видео)

БИГАРМОНИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ

Расстановка ударений: БИГАРМОНИ`ЧЕСКАЯ ФУ`НКЦИЯ

БИГАРМОНИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ — функция u(х) = u(x₁, . x_n) действительных переменных, определенная в области D евклидова пространства ℝ n , n ≥ 2, имеющая непрерывные частные производные до 4-го порядка включительно и удовлетворяющая в D уравнению

Δ 2 u ≡ Δ (Δ u) = 0,

где Δ — оператор Лапласа. Это уравнение наз. бигармоническим уравнением. Класс Б. ф. включает класс гармонических функций и является подклассом класса полигармонических функций. Каждая Б. ф. есть аналитич. функция от координат х_i .

Наибольшее значение с точки зрения приложений имеют Б. ф. u(х₁, х₂) двух переменных. Такие Б. ф. представимы при помощи гармонич. функций u₁, u₂ или v₁, v₂ в виде

где r 2 = х₁ 2 + х₂ 2 , а r 2 ₀ — постоянная. Основная краевая задача для Б. ф. состоит в следующем: найти Б. ф. в области D, непрерывную вместе с производными 1-го порядка в замкнутой области D¯ = D ∪ C и удовлетворяющую на границе С условиям

где ∂u/∂n — производная по нормали к С. a f₁ (s), f₂ (s) — заданные непрерывные функции дуги s на контуре С. Указанные выше представления Б. ф. позволяют получить решение задачи (*) в явном виде в случае круга D, исходя из интеграла Пуассона для гармония, функций (см. [1]).

Б. ф. двух переменных допускают также представление

при помощи двух аналитич. функций φ (z), χ (z) комплексного переменного z = x₁ + ix₂ . Это представление позволяет свести краевую задачу (*) для произвольной области D к системе краевых задач для аналитич. функций, метод решения к-рой подробно разработан Г. В. Колосовым и Н. И. Мусхелишвили. Эта методика получила развитие при решении различных плоских задач теории упругости, в к-рых основной Б. ф. является функция напряжений, или Эйри функция (см. [2], [3]).

Лит. : [1] Тихонов А. Н., Самарский А. А., Уравнения математической физики, 3 изд., М., 1966, гл. 4; [2] Мусхелишвили Н. И., Некоторые основные задачи математической теории упругости, 5 изд., М., 1966, гл. 2; [3] Лаврентьев М. А., Шабат Б. В., Методы теории функций комплексного переменного, 3 изд., М., 1965.

Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А — Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] — М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.

Видео:Решение биквадратных уравнений. 8 класс.Скачать

Гармонические и бигармонические функции

Автор работы: Пользователь скрыл имя, 26 Апреля 2012 в 03:14, курсовая работа

Краткое описание

Теория гармонических функций представляет собой один из наиболее изящных и стройных разделов классического анализа. Будучи во многих отношениях естественным обобщением линейных функций одной переменной, гармонические функции являются в определенном смысле простейшими функциями нескольких переменных. Вместе с тем запас таких функций весьма богат и разнообразен. Они занимают важное место не только во многих математических исследованиях, но также и в приложениях анализа к физике и механике, где ими часто описываются различные стационарные процессы.

Содержание

Введение…………………………………………………………………………3
Глава 1. Гармонические функции.
1.1. Свойства гармонических функций.
Глава 2. Бигармоническая функция.
Единственность решения.
Представление бигармонических функций через гармонические функции.
Решение бигармонического уравнения для круга.
Список используемой литературы

Вложенные файлы: 1 файл

Видео:5.4 Уравнение гармонических колебанийСкачать

Гармонические и бигармонические функции.docx

Теорема 10. Пусть задана последовательность функций , гармонических в области D и непрерывных в . Если ряд равномерно сходится на границе D, то он равномерно сходится и внутри D, причем его сумма является гармонической в D функцией.

Из принципа экстремума вытекает равномерная сходимость ряда внутри D. В самом деле, по известному признаку признаку сходимости Коши из равномерной сходимости ряда на границе области D следует, что для любого найдется целое число N такое, что для любого и любого целого положительного р и всех точек границы

Так как сумма, стоящая под знаком модуля, гармонична, то по принципу экстремума и для всех точек области

Но по тому же принципу Коши отсюда вытекает равномерная сходимость ряда . Остается показать, что сумма этого ряда — гармоническая функция. Для этого воспользуемся теоремами 9 и 4. Для любого достаточно малого имеем:

(почленное интегрирование ряда законно в силу его равномерной сходимости). По теореме 4 интегралы справа равны , следовательно,

и по теореме 9 функция гармонична в точке . Теорема доказана, так как произвольная точка области D.

Теорема 11. Если функция гармонична в области D и аналитическая в некоторой области функция, значения которой лежат в D, то сложная функция гармонична в .

В самом деле, построим (может быть, многозначную) аналитическую функцию , для которой . Функция , очевидно, аналитическая в области и, следовательно, гармонична в этой области.

Теорема 12. Если функция гармонична в односвязной области D и непрерывна вместе со своими частными производными в , то

где C – граница области D и обозначает производную в направлении нормали к C, a – дифференциал дуги.

Построим в сопряженную к гармоническую функцию ; она однозначна в силу односвязности D. Условия Коши – Римана можно записать в виде

где обозначает производную в направлении касательной к некоторой кривой, а — производную в направлении нормали к ней ( так, что вращение от вектора к происходит против часовой стрелки). В силу непрерывности частных производных , а следовательно, и их комбинаций и , равенство имеет место и на границе C области D. поэтому вдоль замкнутого контура С

в силу однозначности функции .

Глава 2. Бигармоническая функция.

Уравнение называется бигармоническим, а его решения, имеющие производные до 4-го порядка включительно, называются бигармоническими функциями.

Основная краевая задача для бигармонического уравнения ставится следующим образом:

Найти функцию , непрерывную вместе с первой производной в замкнутой области S+C, имеющую производные до 4-го порядка в S, удовлетворяющую уравнению внутри S и граничным условиям на С

где и — непрерывные функции дуги s.

При решение задачи ( с граничными условиями и на границе, кроме того, функция должна удовлетворять начальным условиям ) с начальными условиями методом разделения переменных полагают, как обычно,

Подставляя это выражение в уравнение и разделяя переменные, мы приходим к задаче об отыскании собственных значений уравнения

При граничных условиях

Докажем, что бигармоническое уравнение

при граничных условиях

имеет единственное решение.

Пусть существует два решения и . Рассмотрим их разность

Функция удовлетворяет бигармоническому уравнению и однородным граничным условиям

Применяя формулу Грина

к функциям, получаем:

Принимая во внимание, что , получаем и . Следовательно, бигармоническая функция однозначно определяется граничными условиями

Представление бигармонических функций через гармонические функции.

Докажем следующую теорему:

Если и — две гармонические в некоторой области G функции, то функция бигармонична в области G.

Для доказательства воспользуемся тождеством

Применяя еще раз оператор , учитывая, что , получим:

Если область G такова, что каждая прямая параллельная оси , пересекает её границу не более чем в двух точках, то имеет место обратная теорема:

для каждой заданной в области G бигармонической функции найдутся такие гармонические функции и , что

Для доказательства этого утверждения, очевидно, достаточно установить возможность выбора функции , удовлетворяющей двум условиям:

Из условия и формулы следует:

Этому уравнению удовлетворяет функция

Так как =, то зависит только от :.

Определим функцию так, чтобы , и положим . Эта функция очевидно будет удовлетворять условиям .

Рассмотрим другой вид представления гармонических функций. Допустим, что начало координат выбрано внутри области G, в одной точке. Тогда любая бигармоническая в G функция может быть представлена с помощью двух гармонических функций и в виде . Здесь

, а — заданная постоянная. Это доказывается Аналогично с помощью тождества