Арксинус общая формула решения уравнения sin x a и частные случаи

п.1. Понятие арксинуса

В записи (y=sinx) аргумент x — это значение угла (в градусах или радианах), функция y – синус угла, действительное число в пределах [-1;1]. Т.е., по заданному углу мы находим косинус.
Можно поставить обратную задачу: по заданному синусy найти угол. Но одному значению синусa соответствует бесконечное количество углов. Например, если (sinx=1), то (x=fracpi2+2pi k, kinmathbb); если (sinx=0), то (x=pi k, kinmathbb) и т.д.
Поэтому, чтобы построить однозначную обратную функцию, ограничим значения углов x отрезком, на котором синус принимает все значения из [-1;1], но только один раз: (-fracpi2 leq xleq fracpi2) (правая половина числовой окружности).

(arcsinfrac12=fracpi6, arcsinleft(-frac<sqrt>right)=-frac)
(arcsin2) – не существует, т.к. 2> 1

п.2. График и свойства функции y=arcsinx

1. Область определения (-1leq xleq1) .
2. Функция ограничена сверху и снизу (-fracpi2leq arcsinxleq fracpi2) . Область значений (yin[-fracpi2; fracpi2])
3. Максимальное значение (y_=fracpi2) достигается в точке x=1
Минимальное значение (y_=-fracpi2) достигается в точке x =-1
4. Функция возрастает на области определения.
5. Функция непрерывна на области определения.
6. Функция нечётная: (arcsin(-x)=-arcsin(x)) .

п.3. Уравнение sin⁡x=a

Значениями арксинуса могут быть только углы от (-fracpi2) до (fracpi2) (от -90° до 90°). А как выразить другие углы через арксинус?

Углы в левой части числовой окружности записывают как разность π и арксинуса (угла справа). А остальные углы, которые превышают π по модулю, записывают через сумму арксинуса и величин, которые «не помещаются» в область значений арксинуса.

1) Решим уравнение (sinx=frac12).
Найдем точку (frac12) в числовой окружности на оси синусов (ось OY). Построим горизонталь – перпендикуляр, проходящий через через эту точку. Он пересечёт числовую окружность в двух точках, соответствующих углам (fracpi6) и (frac) — это базовые корни.
Если взять корень справа (fracpi6) и прибавить к нему полный оборот (fracpi6+2pi=frac), синус полученного угла (sinfrac=frac12), т.е. (frac) также является корнем уравнения. Корнями будут и все другие углы вида (fracpi6+2pi k) (с любым количеством добавленных или вычтенных полных оборотов). Аналогично, корнями будут все углы вида (frac+2pi k).
Получаем ответ: (x_1=fracpi6+2pi k) и (x_2=frac+2pi k)
Заметим, что (arcsinfrac12=fracpi6). Полученный ответ является записью вида
(x_1=arcsinfrac12+2pi k) и (x_2=pi-arcsinfrac12+2pi k)
А т.к. арксинус для (frac12) точно известен и равен (fracpi6), то мы его просто подставляем и пишем ответ. Но так бывает далеко не всегда.

2) Решим уравнение (sinx=0,8)

Найдем точку 0,8 в числовой окружности на оси синусов (ось OY). Построим горизонталь – перпендикуляр, проходящий через точку. Он пересечёт числовую окружность в двух точках. По определению правая точка – это угол, равный arcsin0,8. Тогда левая точка – это разность развернутого угла и арксинуса, т.е. (π–arcsin⁡0,8). Добавление или вычитание полных оборотов к каждому из решений даст другие корни. Получаем ответ: (x_1=arcsin0,8+2pi k,) (x_2=pi-arcsin0,8+2pi k)

Докажем, что семейства решений для корней справа и слева можно записать одним выражением (x=(-1)^k arcsina+pi k).
Действительно, для чётных (k=2n) получаем: $$ x=(-1)^ arcsina+pi cdot 2n=arcsina+2pi n $$ это семейство решений для корня справа (с добавлением и вычитанием полных оборотов).
Для нечётных (k=2n+1):
$$ x=(-1)^ arcsina+pi cdot (2n+1)=-arcsina+2pi n +pi=pi-arcsina+2pi n $$ это семейство решений для корня слева (с добавлением и вычитанием полных оборотов).
Обратное преобразование двух семейств решений в общую запись аналогично.
Следовательно: $$ x=(-1)^k arcsina+pi kLeftrightarrow left[ begin x=arcsina+2pi n\ x=pi-arcsina+2pi n end right. $$ Что и требовалось доказать.

Для примеров, решённых выше, можем записать: $$ 1) left[ begin x_1=fracpi6+2pi k\ x_2=frac+2pi k end right. Leftrightarrow x=(-1)^kfracpi6 +pi k $$
$$ 2) left[ begin x_1=arcsin0,8+2pi k\ x_2=pi-arcsin0,8+2pi k end right. Leftrightarrow x=(-1)^karcsin0,8 +pi k $$ Выбор общей или раздельной записи решения зависит от задачи.
Как правило, если ответ еще не найден, и нужны дальнейшие преобразования, решение записывают как два раздельных семейства.
Если же просто нужно записать ответ, то пишут общее выражение.

п.4. Примеры

Пример 1. Найдите функцию, обратную арксинусу. Постройте графики арксинуса и найденной функции в одной системе координат.

Для (y=arcsinx) область определения (-1leq xleq 1), область значений (-fracpi2leq yleq fracpi2).
Обратная функция (y=sinx) должна иметь ограниченную область определения (-fracpi2leq xleq fracpi2) и область значений (-1leq yleq 1).
Строим графики:

Графики симметричны относительно прямой y=x.
Обратная функция найдена верно.

Пример 2. Решите уравнения:

a) (sin x=-1) (x=-fracpi2+2pi k)	б) (sin x=frac<sqrt>) $$ left[ begin x_1=fracpi4+2pi k\ x_2=frac+2pi k end right. Leftrightarrow x=(-1)^frac +pi k $$
в) (sin x=0) (x=pi k)	г) (sin x=sqrt) (sqrtgt 1, xinvarnothing) Решений нет
д) (sin x=0,7) begin left[ begin x_1=arcsin(0,7)+2pi k\ x_2=pi-arcsin(0,7)+2pi k end right. Leftrightarrow\ Leftrightarrow x=(-1)^k arcsin(0,7) +pi k end	e) (sin x=-0,2) Арксинус нечетный, поэтому: $$ srcsin(-0,2)=-arcsin(0,2) $$ Получаем: begin left[ begin x_1=-arcsin(0,2)+2pi k\ x_2=pi+arcsin(0,7)+2pi k end right. Leftrightarrow\ Leftrightarrow x=(-1)^arcsin(0,2) +pi k end

Пример 3. Запишите в порядке возрастания: $$ arcsin0,2; arcsin(-0,7); arcsinfracpi4 $$

Способ 1. Решение с помощью числовой окружности

Отмечаем на оси синусов (ось OY) точки с абсциссами 0,2; -0,7; (fracpi4approx 0,79)
Значения синусов (углы) считываются на правой половине окружности: чем больше синус (от -1 до 1), тем больше угол (от (-fracpi2) до (fracpi2)).
Получаем: $$ arcsin(-0,7)lt arcsin0,2lt arcsinfracpi4 $$Способ 2. Решение с помощью графика (y=arcsinx)

Отмечаем на оси OY аргументы 0,2; -0,7; (fracpi4approx 0,79). Восстанавливаем перпендикуляры на кривую, отмечаем точки пересечения. Из точек пересечения с кривой восстанавливаем перпендикуляры на ось OY — получаем значения арксинусов по возрастанию: $$ arcsin(-0,7)lt arcsin0,2lt arcsinfracpi4 $$Способ 3. Аналитический
Арксинус – функция возрастающая: чем больше аргумент, тем больше функция.
Поэтому располагаем данные в условии аргументы по возрастанию: -0,7; 0,2; (fracpi4).
И записываем арксинусы по возрастанию: (arcsin(-0,7)lt arcsin0,2lt arcsinfracpi4)

Пример 4*. Решите уравнения:
(a) arcsin(x^2-3x+3)=fracpi2) begin x^2-3x+3=sinfracpi2=1\ x^2-3x+2=0\ (x-2)(x-1)=0\ x_1=1, x_2=2 end Ответ:

(б) arcsin^2x-arcsinx-2=0)
( text -1leq xleq 1 )
Замена переменных: (t=arcsin x, -fracpi2leq tleq fracpi2)
Решаем квадратное уравнение: $$ t^2-t-2=0Rightarrow (t-2)(t+1)=0Rightarrow left[ begin t_1=2gt fracpi2 — text\ t_2=-1 end right. $$ Возвращаемся к исходной переменной: begin arcsinx=-1\ x=sin(-1)=-sin1 end Ответ: -sin1

(в) arcsin^2x-pi arcsinx+frac=0)
( text -1leq xleq 1 )
Замена переменных: (t=arcsin x, -fracpi2leq tleq fracpi2)
Решаем квадратное уравнение: begin t^2-pi t+frac=0\ D=(-pi)^2-4cdot frac=frac, sqrt=fracpi3 Rightarrow left[ begin t_1=frac=fracpi3\ t_2=frac=fracgt fracpi2 — text end right. end Возвращаемся к исходной переменной:
begin arcsinx=fracpi3\ x=sinfracpi3=frac<sqrt> end Ответ: (frac<sqrt>)

Видео:Арксинус. Решение уравнения sin t = a | Алгебра 10 класс #27 | ИнфоурокСкачать

Арксинус. Решение простейших уравнений с синусом. Часть 2

Арксинусом числа (a) ((a∈[-1;1])) называют число (x∈[-frac;frac]) синус которого равен (a) т.е.

Проще говоря, арксинус обратен синусу.

На круге это выглядит так:

Видео:ТРИГОНОМЕТРИЯ ЗА 10 МИНУТ — Arcsin, Arccos, Arctg, Arcсtg // Обратные тригонометрические функцииСкачать

Как вычислить арксинус?

Чтобы вычислить арксинус — нужно ответить на вопрос: синус какого числа (лежащего в пределах от (-frac) до (frac) ) равен аргументу арксинуса?

Например, вычислите значение арксинуса:

а) Синус какого числа равен (-frac)? Или в более точной формулировке можно спросить так: если (sin ⁡x=-frac), то чему равен (x)? Причем, обратите внимание, нам нужно такое значение, которое лежит между (-frac) и (frac). Ответ очевиден:

б) Синус какого числа равен (frac<sqrt>)? Кто-то вспоминает тригонометрический круг, кто-то таблицу, но в любом случае ответ (frac).

в) Синус от чего равен (-1)?
Иначе говоря, (sin ⁡x=-1), (x=) ?

Тригонометрический круг со всеми стандартными арксинусами:

Видео:Решение тригонометрических уравнений. Подготовка к ЕГЭ | Математика TutorOnlineСкачать

Зачем нужен арксинус? Решение уравнения (sin x=a)

Чтобы понять зачем придумали арксинус, давайте решим уравнение: (sin ⁡x=frac).

Это не вызывает затруднений:

Внимание! Если вдруг затруднения всё же были, то почитайте здесь о решении простейших уравнений с синусом.

А теперь решите уравнение: (sin ⁡x=frac).

Что тут будет ответом? Не (frac), не (frac), даже не (frac) — вообще никакие привычные числа не подходят, однако при этом очевидно, что решения есть. Но как их записать?

Вот тут-то на помощь и приходит арксинус! Значение правой точки равно (arcsin⁡frac), потому что известно, что синус равен (frac). Длина дуги от (0) до правой точки тогда тоже будет равна (arcsin⁡frac). Тогда чему равно значение второй точки? С учетом того, что правая точка находится на расстоянии равному (arcsin⁡frac) от (π), то её значение составляет (π- arcsin⁡frac).

Ок, значение этих двух точек нашли. Теперь запишем полный ответ: ( left[ beginx=arcsin frac+2πn, n∈Z\ x=π-arcsin frac+2πl, l∈Zendright.) Без арксинусов решить уравнение (sin ⁡x=frac) не получилось бы. Как и уравнение (sin ⁡x=0,125), (sin ⁡x=-frac), (sin⁡ x=frac<sqrt>) и многие другие. Фактически без арксинуса мы можем решать только (9) простейших уравнений с синусом:

С арксинусом – бесконечное количество.

Пример. Решите тригонометрическое уравнение: (sin ⁡x=frac<sqrt>).
Решение:

Пример. Решите тригонометрическое уравнение: (sin ⁡x=frac<sqrt>).

Решение:
Кто поторопился написать ответ ( left[ beginx=arcsin frac<sqrt>+2πn, n∈Z\ x=π-arcsin frac<sqrt>+2πl, l∈Zendright.), тот на ЕГЭ потеряет 2 балла. Дело в том, что в отличии от прошлых примеров (arcsin⁡ frac<sqrt>) — вычислимое значение, но чтобы это стало очевидно нужно избавиться от иррациональности в знаменателе аргумента. Для этого умножим и числитель и знаменатель дробь на корень из двух (frac<sqrt> = frac<1 cdot sqrt> <sqrtcdot sqrt>= frac<sqrt>). Таким образом, получаем:

Значит в ответе вместо арксинусов нужно написать (frac).

Пример. Решите тригонометрическое уравнение: (sin ⁡x=frac).

Решение:
И вновь тот, кто поторопился написать ( left[ beginx= arcsin frac+2πn, n∈Z\ x=π- arcsinfrac+2πl, l∈Zendright.) на ЕГЭ потеряет (2) балла. Что не так? – спросите вы. Ведь точно не табличное значение, почему нельзя написать (arcsin⁡frac)? Пролистайте до самого верха, туда, где было определение арксинуса. Там написана маленькая, но очень важная деталь – аргумент арксинуса должен быть меньше или равен (1) и больше или равен (-1). Ведь синус не может выходить за эти пределы! И если решить уравнение с помощью круга, а не бездумно пользоваться готовыми формулами, то станет очевидно, что у такого уравнения решений нет.

Думаю, вы уловили закономерность.

Если (sin ⁡x) равен не табличному значению между (1) и (-1), то решения будут выглядеть как: ( left[ beginx= arcsin a +2πn, n∈Z\ x=π- arcsin a +2πl, l∈Zendright.)

Видео:10 класс - Алгебра - Арксинус. Решение уравнения sin t = aСкачать

Арксинус отрицательного числа

Прежде чем научиться решать тригонометрические уравнения с отрицательным синусом советую запомнить формулу:

Если хотите понять логику этой формулы, внимательно рассмотрите картинку ниже:

Удивил последний пример? Почему в нем формула не работает? Потому что запись (arcsin⁡(-frac<sqrt>)) в принципе неверна, ведь (-frac<sqrt> Синус
Тригонометрические уравнения

Видео:Простейшие тригонометрические уравнения. y=sinx. 1 часть. 10 класс.Скачать

Арксинус и решение уравнения sin x = a

Этот видеоурок доступен по абонементу

У вас уже есть абонемент? Войти

На уроке по теме «Арксинус и решение уравнения sin x=a» рассматривается понятие арксинуса числа, который можно вычислять по графику и на единичной окружности, и решается уравнение sin x=a.

Видео:10 класс. Решение уравнений sin x = aСкачать

План-конспект урока в 10-м классе по теме «Арксинус. Решение уравнения sin x = a»

Разделы: Математика

Цели урока:

• вывести общую формулу решений уравнения ;
• сформировать навык решения уравнения
• дать определение арксинуса.

Задачи урока:

• формирование умения решать данные уравнения;
• создание условий, способствующих воспитанию у учащихся внимательности и аккуратности в решении уравнения.

Тип урока: модульный урок.

Формы контроля: самопроверка самостоятельно решённых задач, проверка самостоятельной работы учителем на оценку.

Оборудование: ноутбук, мультимедийный проектор, экран.

План урока:

1. мотивационная беседа, завершающаяся постановкой интегрирующей цели урока;
2. входной контроль (повторение изученного ранее материала);
3. работа с новым материалом;
4. закрепление изученного материала;
5. завершающий контроль (проверка усвоенного на уроке материала);
6. рефлексия.

Видео:Уравнение sinx=aСкачать

Ход урока

В тригонометрии важное место уделено решению тригонометрических уравнений. Методов решения тригонометрических уравнений несколько, но невозможно будет их решить, не умея решать простейшие. Уравнения с косинусом учащиеся уже умеют решать, на данном уроке познакомить их с уравнениями, содержащими синус. Для решения простейших тригонометрических уравнений используется трёхшаговый алгоритм:

1. составить общую формулу;
2. вычислить значение арксинуса (арккосинуса);
3. подставить найденное значение в общую формулу.

Вспомнить формулу для решения уравнения с косинусом и предложить учащимся выполнить самостоятельную работу (7-8 минут).

На экран, с помощью ноутбука, выводится задание:

I вариант	II вариант
Решите уравнения:
1. 2. 3. 4. 5.	1. 2. 3. 4. 5.

После выполнения данной работы на экран вывести решение, учащиеся сверяют своё решение с решением на экране. При необходимости провести необходимую коррекцию, учителю ответить на вопросы, которые возможно возникнут у учащихся по решению уравнений. Учащиеся выставляют себе оценку (по количеству верно решённых уравнений).

Рассмотрим простейшее тригонометрическое уравнение: где -1

Определение: Если то arcsin a (арксинус а) – это такое число из отрезка синус которого равен а. Итак:

если то
arcsin a = х

Теперь сделаем общий вывод о решении уравнения

Если то уравнение имеет две серии решений: х₁=

В трёх случаях предпочитают пользоваться не полученной общей формулой, а более простыми соотношениями:

=1 , x =
= 0 , x =
= -1, x = —

Объяснить учащимся, что означает в формуле запись (+ 2, почему в одном случае 2.

Есть формула в сокращённом виде, она выглядит так х = (-1) k arcsin a + Но об этом мы поговорим позже, когда научимся пользоваться основной формулой, т.к. сейчас в задании С₁ в тестах ЕГЭ предпочтительнее пользоваться не этой сокращённой формулой, а формулой записанной в виде двух.

Рассмотрим решение простейших уравнений:

(оформление решений на доске, 1, 6, 8 – объяснение учителя, остальные – учащиеся)

1. Sin x =
2. Sin x =
3. Sin x = 1
4. Sin x =
5. Sin x =
6. Sin 2x =
7. Sin
8. 2Sin (3x —
9. 2Sin (

Для решения уравнений учащиеся (особенно слабоуспевающие учащиеся) пользуются таблицей тригонометрических значений (таблица на демонстрационном стенде и на столах учащихся).

Но лучше при нахождении корней уравнения пользоваться единичной окружностью:

(научить учащихся находить значения по числовой окружности).

Проконтролировать умения учащихся решать простейшие тригонометрические уравнения можно с помощью предложенной ниже самостоятельной работы:

(Задание выводится на экран, заранее текст набрать на ноутбуке и вывести на экран):

I вариант	II вариант
1	Вычислите: arcsin	1	Вычислите: arcsin
2	Решите уравнения: sin x = 0	2	Решите уравнения: sin x = -1
3	Sin x =	3	Sin x = 0,5
4	Sin x = —	4	Sin x =
5	2sin x =	5	2 sin x = —
6	Sin (2x —	6	Sin (

Учащиеся сдают тетради с выполненной самостоятельной работой учителю на проверку. Учитель объявляет, что за любые пять заданий выставляется отметка «5», за четыре – «4», за три «3», отметка «2» выставляться не будет, нужна будет дополнительная работа с учащимися, не справившимся с работой (если такие будут). И далее повторное выполнение работы, идентичной данной.

После этого учитель показывает на экране решение самостоятельной работы.

Провести рефлексию. Дать учащимся возможность проанализировать свои ошибки (а такие учащиеся найдутся, т.к. в общеобразовательной школе на базовом уровне математику изучают все учащиеся и слабоуспевающие в том числе).

Подвести итоги урока.

Учащимся записать домашнее задание: выучить формулу, изученную на уроке; прочитать теоретический материал по учебнику и выполнить упражнения из учебника по данной теме (с указанием №№).

Провести анализ урока:

Урок проведён в 10 «б» классе.

Количество учащихся – 26. Данный материал оказался доступным и интересным для учащихся. В самостоятельной работе учащиеся показали уровень сформированности навыков решения простейших тригонометрических уравнений (приведён в таблице). Тема урока актуальна тем, что в ЕГЭ (часть В, задание С₁) включены в основном простейшие уравнения и у учащихся по данной теме должны быть сформированы устойчивые знания и умения.

Результаты самостоятельных работ:

Из таблицы видно, что в основном все учащиеся справились с уравнениями, хотя есть над, чем поработать ещё на следующем уроке. В уравнениях с косинусом нужна коррекция знаний учащихся, с синусом – выполнять тренировочные упражнения для ликвидации пробелов. В основном учащиеся допускают ошибки при нахождении корней уравнения по единичной окружности или таблице. Минус работы с таблицей – слабые учащиеся не смогут её выучить, а значит на ЕГЭ, возможно, не смогут правильно записать ответ. На первых этапах изучения темы ею можно пользоваться, но на последующих уроках нужно развивать навык работы с единичной окружностью до автоматизма. Тема эта была изучена до решения уравнений, с применением методов.

🔥 Видео

Тригонометрические уравнения (Частные случаи)Скачать

Алгебра 10 класс 29 неделя Уравнение sin x=aСкачать

Обратные тригонометрические функции, y=arcsinx и y=arccosx, их свойства и графики. 10 класс.Скачать

Алгебра 10 класс (Урок№42 - Уравнение sin x = a.)Скачать

Решение тригонометрических уравнений. Однородные уравнения. 10 класс.Скачать

Преобразование выражений, содержащих арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс. 2 ч. 10 класс.Скачать

Алгебра 10 класс. Тригонометрия. Уравнения: sinx=a.Скачать

Решение уравнений вида tg x = a и ctg x = aСкачать

10 класс, 23 урок, Методы решения тригонометрических уравненийСкачать

КАК РЕШАТЬ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ? // УРАВНЕНИЕ COSX=AСкачать

Простейшие тригонометрические уравнения. y=cosx. 1 часть. 10 класс.Скачать

Тригонометрические уравнения. Как запомнить частные случаи.Скачать

Простейшее тригонометрическое уравнение sin x = aСкачать