Алгебра как наука о решении уравнений

Содержание:

Видео:Математика | Решение уравненийСкачать

Введение

Алгебра, наряду с арифметикой, является наукой о числах и, через числа, о количествах вообще. Не изучая свойств каких-либо частных, конкретных величин, обе эти науки исследуют свойства абстрактных величин как таковых, независимо от того, на какие конкретные приложения они способны. Разница между арифметикой и алгеброй состоит в том, что первая наука изучает свойства данных, определенных величин, в то время как алгебра изучает общие величины, значение которых может быть произвольным, и, следовательно, алгебра изучает только те свойства величин, которые являются общими для всех величин, независимо от их значений. Таким образом, алгебра-это обобщенная арифметика. Это заставило Ньютона назвать свой трактат по алгебре «Общей арифметикой». Гамильтон, полагая, что так же, как геометрия изучает свойства пространства, алгебра изучает свойства времени, назвал алгебру «Наукой о чистом времени» — название, которое Морган предложил изменить на «Исчисление последовательности». Однако такие определения не выражают ни существенных свойств алгебры, ни ее исторического развития. Алгебру можно определить как «науку о количественных отношениях».

Видео:Решение уравнения методом замены переменнойСкачать

Деление алгебры

В настоящее время, отчасти по педагогическим соображениям, отчасти в силу исторического развития этой науки, алгебра делится на низшую и высшую. К низшей алгебре относятся теория элементарных арифметических операций над алгебраическими выражениями, решение уравнений первой и второй степени, теория степеней и корней, теория логарифмов и комбинаторика. Высшая алгебра включает в себя теорию уравнений произвольных степеней, теорию исключений, теорию симметричных функций, теорию подстановок и, наконец, представление различных частных способов разделения корней уравнений, определения числа действительных или мнимых корней данного уравнения с числовыми коэффициентами и приближенных или аналитических (когда это возможно) уравнений произвольных степеней.

Видео:Повторяем решение уравнений. Полезно всем! Вебинар | МатематикаСкачать

История алгебры

Происхождение термина «алгебра».

Происхождение самого слова «алгебра» не совсем ясно. По мнению большинства исследователей, слово «алгебра» происходит от названия работы арабского математика аль-Хорезми (от названия которого, по мнению большинства исследователей, происходит популярное слово «алгоритм») «аль-Джабр аль-мукабала», то есть «учение о перестановках, соотношениях и решениях», но некоторые авторы производят слово «алгебра» от имени математики ГЕБЕРА, но само существование такой математики подлежит сомнению.

Видео:Как решают уравнения в России и США!?Скачать

Самые старые комбинации в алгебре

Первой дошедшей до нас работой, содержащей исследование алгебраических вопросов, является трактат Диофанта, жившего в середине IV века. В этом трактате мы находим, например, правило знаков (минус на минус дает плюс), изучение степеней чисел и решение многих неясных вопросов, которые в настоящее время относятся к теории чисел. Из 13 книг, составлявших полное собрание сочинений Диофанта, до нас дошло только 6, в которых решаются уже довольно сложные алгебраические задачи. Мы не знаем никаких других работ по алгебре в древности, кроме утраченной работы знаменитой дочери Теона, Ипатии.

Видео:Алгебра 7 класс (Урок№43 - Решение линейных уравнений с одним неизвестным.)Скачать

Арабская алгебра

В Европе алгебра вновь появляется только в эпоху Возрождения, и то от арабов. Как арабы достигли истин, которые мы находим в их писаниях, дошедших до нас в большом количестве, неизвестно. Возможно, они были знакомы с трактатами греков или, как некоторые думают, получили свои знания из Индии. Сами арабы приписывали изобретение алгебры. Магомед ибн Муса, живший примерно в середине девятого века в царствование халифа Аль-Мамуна. Во всяком случае, греческие авторы были известны арабам, которые собирали древние труды по всем отраслям науки. Магомед Абульвафа переводил и комментировал труды Диофанта и других предшествовавших ему математиков (в X веке). Но ни он, ни другие арабские математики не привнесли в алгебру много своего. Они изучили его, но не улучшили.

Видео:Хитрый подход при решении уравнений. #математика #алгебра #уравнение #счет #симметрия #быстроСкачать

Возрождение алгебры в Европе

Первым произведением, появившимся в Европе после долгого перерыва со времен Диофанта, считается трактат итальянского купца Леонардо, который, путешествуя по своим торговым делам на Восток, познакомился там с индийскими (ныне называемыми арабскими) числами, а также с арифметикой и алгеброй арабов. По возвращении в Италию он написал сочинение, охватывающее как арифметику, так и алгебру, а также частично геометрию. Однако эта работа не имела большого значения в истории науки, поскольку оставалась малоизвестной и была вновь открыта только в середине xviii века во флорентийской библиотеке. Тем временем сочинения арабов начали проникать в Европу и переводиться на европейские языки. Известно, например, что древнейший арабский труд по алгебре Магомеда-бен-Мусы был переведен на итальянский язык, но этот перевод не сохранился до нашего времени. Первый известный печатный трактат по алгебре — «Summa de Arithmetica, Geometria, Proportioni et Proportionalita», написанный итальянцем Лукасом де Бурго. Первое издание вышло в 1494 году, а второе-в 1523 году. Она показывает нам состояние алгебры в начале XVI века в Европе. Здесь не видно большого прогресса по сравнению с тем, что уже было известно арабам или Диофанту. Кроме решения некоторых частных задач высшей арифметики, автором решаются только уравнения первой-второй степени, и притом из-за отсутствия символического обозначения все задачи и способы их решения приходится излагать словами, предельно пространно. Наконец, нет общих решений даже для квадратичного уравнения, а отдельные случаи рассматриваются отдельно, и для каждого случая выводится специальный метод решения, так что наиболее существенная особенность современного А. — общность его решений еще полностью отсутствует в начале XVI века.

Видео:Cистемы уравнений. Разбор задания 6 и 21 из ОГЭ. | МатематикаСкачать

Решение уравнений третьей и четвертой степени

В 1505 году Сципион Феррео впервые решил частный случай кубического уравнения. Это решение, однако, не было им опубликовано, а было сообщено одному студенту — Флориде. Последний, находясь в Венеции в 1535 году, вызвал на соревнование известного тогда математика Тарталья из Брешии и предложил ему несколько вопросов, для решения которых необходимо было уметь решать уравнения третьей степени. Но Тарталья уже сам нашел решение таких уравнений, причем не только в одном частном случае, который был решен Феррео, но и в двух других частных случаях. Тарталья принял вызов и предложил Флориде свои собственные задачи. Результатом состязания стало полное поражение от Флориды. Тарталья решал предложенные ему задачи в течение двух часов, в то время как Флориде не мог решить ни одной из задач, предложенных ему противником (число задач, предложенных с обеих сторон, составляло 30). Тарталья, как и Феррео, продолжал скрывать свое открытие, которое заинтересовало Кардано, профессора математики и физики в Милане. Последний готовил к изданию обширный труд по арифметике, алгебре и геометрии, в котором он также хотел дать решение уравнений 3-й степени. Но Тарталья отказался рассказать ему о своем методе. И только когда Кардано принес клятву на Евангелии и дал честное слово дворянина, что не откроет метод решения уравнений Тартальи, а запишет его в виде непонятной анаграммы, Тарталья после долгих колебаний согласился открыть свою тайну любопытному математику и довольно туманно показал ему правила решения кубических уравнений, изложенные в стихах. Остроумный Кардано не только понял эти правила в туманном изложении Тартальи, но и нашел им подтверждение. Однако, несмотря на свое обещание, он опубликовал метод Тартальи, и этот метод до сих пор известен как «формула Кардано».

Вскоре было найдено решение уравнений четвертой степени. Итальянский математик предложил задачу, решение которой по известным до того времени правилам было недостаточным и требовало умения решать биквадратичные уравнения. Большинство математиков считали эту проблему неразрешимой. Но Кардано предложил его своему ученику Луиджи Феррари, который не только решил задачу, но и нашел способ решения уравнений четвертой степени в целом, сведя их к уравнениям третьей степени. В работе Тартальи, напечатанной в 1546 году, мы также находим изложение метода решения не только уравнений первой и второй степени, но и кубических уравнений, и описан инцидент между автором и Кардано, описанный выше. Работа Бомбелли, опубликованная в 1572 году, интересна тем, что в ней рассматривается так называемый неприводимый случай кубического уравнения, который смутил Кардано, не сумевшего решить его с помощью своего правила, а также указывается на связь этого случая с классической задачей о трисекции угла. алгебра уравнения математической

Видео:Решение уравнений - математика 6 классСкачать

Развитие алгебры в Европе

В Германии первая работа по алгебре принадлежит Христиану Рудольфу Яуэрскому и впервые появилась в 1524 году, а затем снова была опубликована Штифелем в 1571 году. Сами Штифель и Шейбл, независимо от итальянских математиков, разработали некоторые алгебраические вопросы.

В Англии первый трактат по алгебре принадлежит Роберту Рекорду, профессору математики и медицины в Кембридже. Его сочинение по алгебре называется «Точильный камень остроумия». Здесь впервые вводится знак равенства ( = ). Во Франции в 1558 году появилось первое сочинение по алгебре Пелетария; в Голландии в 1585 году Стевин не только представил уже известные ему исследования, но и внес некоторые усовершенствования в алгебру. Например, он обозначал неизвестное. Однако для обозначения неизвестного он использовал только цифры, обведенные по кругу. Итак, первое неизвестное (теперь обычно обозначаемое х) В его случае обозначалось обведенной единицей, второе-обведенной двойкой и так далее. Большие успехи были сделаны в алгебре после трудов Виеты, который первым рассмотрел общие свойства уравнений произвольных степеней и показал методы приближенного нахождения корней любых алгебраических уравнений. Он первым обозначил буквами величины, входящие в уравнения, и тем самым придал алгебре ту общность, которая является характерной чертой алгебраических исследований нового времени. Он также очень близко подошел к открытию биномиальной формулы, найденной позднее Ньютоном, и, наконец, в его трудах можно даже найти разложение отношения стороны квадрата, вписанного в окружность, к дуге окружности, выраженной в виде бесконечного произведения. Фламандец Альберт Жирар, или Жерар, чей трактат по алгебре появился в 1629 году, первым ввел в науку понятие мнимых величин. Англичанин Харриот показал, что каждое уравнение можно рассматривать как произведение некоторого числа факторов первого порядка, и ввел знаки > и

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Видео:ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ - Как решать линейные уравнения // Подготовка к ЕГЭ по МатематикеСкачать

А́ЛГЕБРА

В книжной версии

Том 1. Москва, 2005, стр. 415

Скопировать библиографическую ссылку:

А́ЛГЕБРА [ср.-век. лат. al­geb­ra, от араб. аль-джебр, аль-джабр – вос­со­е­ди­не­ние (от­дель­ных ча­стей урав­не­ния)], раз­дел ма­те­ма­ти­ки, при­над­ле­жа­щий, на­ря­ду с ариф­ме­ти­кой и гео­мет­ри­ей, к чис­лу ста­рей­ших вет­вей этой нау­ки; она изу­ча­ет опе­ра­ции над ма­те­ма­тич. объ­ек­та­ми и влия­ет на фор­ми­ро­ва­ние об­щих по­нятий и ме­то­дов ма­те­ма­ти­ки. За­да­чи и ме­то­ды А. за­клю­ча­лись пер­во­на­чаль­но в со­став­ле­нии и ре­ше­нии урав­не­ний. В свя­зи с ис­сле­до­ва­ния­ми урав­не­ний раз­ви­ва­лось по­ня­тие чис­ла, бы­ли вве­де­ны от­ри­ца­тель­ные, ра­ци­о­наль­ные, ир­ра­цио­наль­ные и ком­плекс­ные чис­ла; об­щее ис­сле­до­ва­ние свойств этих чи­сло­вых сис­тем от­но­сит­ся к А. В ал­геб­ре сфор­ми­ро­ва­лись бу­к­вен­ные обо­зна­че­ния, по­зво­лив­шие за­пи­сать свой­ст­ва дей­ст­вий над чис­ла­ми в фор­ме, не со­дер­жа­щей кон­крет­ных чи­сел. Пре­об­ра­зо­ва­ния по оп­ре­де­лён­ным пра­ви­лам (свя­зан­ным со свой­ст­ва­ми дей­ст­вий) бу­к­вен­ных вы­ра­же­ний со­став­ля­ет ап­па­рат клас­сич. А. Раз­ви­тие А. ока­за­ло боль­шое влия­ние на раз­ви­тие но­вых об­лас­тей ма­те­ма­ти­ки, в ча­ст­но­сти ма­те­ма­тич. ана­ли­за, диф­фе­рен­ци­аль­но­го и ин­те­граль­но­го ис­чис­ле­ния. При­ме­не­ние А. воз­мож­но всю­ду, где при­хо­дит­ся иметь де­ло с опе­ра­ция­ми, ана­ло­гич­ны­ми сло­же­нию и ум­но­же­нию чи­сел. Эти опе­ра­ции мо­гут про­из­во­дить­ся над объ­ек­та­ми са­мой раз­лич­ной при­ро­ды. Наи­бо­лее из­вест­ным при­ме­ром та­ко­го рас­ши­рен­но­го при­ме­не­ния ал­геб­ра­ич. ме­то­дов яв­ля­ет­ся век­тор­ная ал­геб­ра (см. Ли­ней­ная ал­геб­ра ) и её даль­ней­шее обоб­ще­ние – тен­зор­ная ал­геб­ра (см. Тен­зор­ное ис­чис­ле­ние ), став­шая од­ним из важ­ных средств совр. фи­зи­ки.

Видео:АЛГЕБРА 7 класс : Решение задач с помощью уравнений | ВидеоурокСкачать

Доклад по алгебре Наука о решении уравнений

МОУ «Средняя общеобразовательная школа №16 с углубленным изучением отдельных предметов»

Наука о решении уравнений

Автор: ученица 10 «А» класса

Руководитель: учитель математики

Видео:Ещё один способ решения квадратных уравненийСкачать

Содержание

Истоки алгебры.. 4

Древний Египет. 4

Древний Вавилон. 5

Древняя Греция. 6

Выделение алгебры в самостоятельную ветвь математики. 7

Мухаммад ибн Муса Хорезми. 7

Седьмая операция. 8

Математический турнир. 9

Антонио Марио Фиоре. 9

Гибрид из мира идей. 10

Кубические уравнения. 10

Список использованной литературы.. 12

Видео:ОГЭ по математике. Решаем уравнения | МатематикаСкачать

Цели работы

I. Рассмотреть алгебру как науку о решении уравнений;

II. Рассмотреть решение уравнений на протяжении с Древних времён до наших дней;

III. Рассмотреть формулы записи алгебраических уравнений.

Видео:Как решать уравнения? уравнение 7 класс. Линейное уравнениеСкачать

Истоки алгебры

Видео:СЛОЖИТЕ ДВА КОРНЯСкачать

Древний Египет

1. Древние египтяне излагали свои алгебраические познания в числовой форме;

2. Решали задачи практического содержания:

b) Объём сосудов;

c) Количество зерна и т. д.

Все задачи были с конкретными числовыми данными.

Задача из папируса Кахуна

X:Y=1: »

В папирусе эта задача решена методом «ложного положения».

Если положить x=1, то y= и x²+y²=

Но по условию задачи x²+y²=10², следовательно, в качестве x надо брать не 1, а 10: =8. Тогда y=6.

Видео:Решение уравнений, сводящихся к линейным | Алгебра 7 класс #18 | ИнфоурокСкачать

Древний Вавилон

В Древнем Вавилоне решались уравнения первой, второй и даже отдельные уравнения третьей степени;

I. Эти достижения нельзя назвать наукой;

II. Все задачи излагались в словесной форме;

III. Вавилоняне владели и общими правилами происхождения корней уравнения первой и второй степени.

Рассмотрим задачу из клинописной таблички:

«Я вычел из площади сторону моего квадрата, это 870»

«Ты берешь 1, число. Делишь пополам 1 , это ½. Умножаешь ½ на ½, это ¼. Ты складываешь (это) с 870, и это есть , что является квадратом для . Ты складываешь½ , которую ты умножал, с

получаешь 30, сторона квадрата»

(Все числа в табличке записаны в 60-ричной системе счисления)

Видео:Решение уравнений сводящихся к квадратным уравнениям. Биквадратные уравнения – 8 класс алгебраСкачать

Древняя Греция

У древних греков вся математика приобрела геометрическую форму.

Например: Соотношение (а+b)²=a²+2ab+b², в «Началах» Евклида формулируется так: «Если отрезок АВ разделён точкой С на два отрезка, то квадрат, построенный на АВ, равен двум квадратам на отрезках АС и СВ вместе с удвоенным прямоугольником на АС и СВ».

Вывод: Древнегреческие математики работали не с числами, а с отрезками. Поэтому найти неизвестное для них означало построить искомый отрезок.

Видео:Неполные квадратные уравнения. Алгебра, 8 классСкачать

Выделение алгебры в самостоятельную ветвь математики

ü Произошло в арабских странах;

ü В Багдаде создаются хорошие условия для работы ученых;

ü Открывается множество библиотек;

ü Построен Дом мудрости;

ü Усердно изучаются труды древнегреческих авторов и достижения индийских учёных

Видео:Алгебра 8. Урок 12 - Задачи на составление дробно-рациональных уравнений (Часть 1)Скачать

Мухаммад ибн Муса Хорезми

1) В арифметическом трактате он изложил «индийское исчисление», открыв тем самым для арабов десятичную систему счисления.

2) наиболее значительным является его трактат по алгебре. Здесь ал-Хорезми, по-видимому, впервые разработал правила преобразования уравнений. Уравнения у него, конечно, были с числовыми коэффициентами и выражались в словесной форме.

3) ал-Хорезми показывает способы решения основных типов линейных и квадратных уравнений. Квадратные уравнения различались по типу не в зависимости от знака дискриминанта, как сейчас

4) В греческих традициях ал-Хорезми строго геометрически обосновывает свои способы. Любое другое уравнение должно было быть преобразовано к одному из рассмотренных видов с помощью 2-ух операций: восполнение и противопоставление

Видео:Решение задач с помощью рациональных уравнений. Алгебра, 8 классСкачать

Седьмая операция

Если начать счет, как в средние века, с нумерации, то седьмая операция над числами после четырех арифметических действий и возведения в степень – это извлечение корня.

I. Отличается от остальных шести неприятной особенностью — не всегда выполняется;

II. Извлечение квадратных и кубических корней всегда имеет наглядный смысл;

III. Ответ не всегда выражается натуральными или рациональными числами;

IV. Разрабатывалась специальная техника работы с корнями.

Видео:Решение логарифмических уравнений #shortsСкачать

Теэтет

В решении первой задачи значительных успехов достиг древнегреческий философ и математик Теэтет.

Теэтет жил в Афинах, был членом академии Платона. Вслед за Феодором из Кирены (V в. До н. э.),доказавшими иррациональность квадратных корней из чисел 3,5,6,…,17.

Ø Теэтет доказал это утверждение относительно корней из любых натуральных чисел, не являющихся целыми квадратами;

Ø Изучал различные выражения, которые можно составить из натуральных чисел с помощью арифметических операций и извлечения квадратного корня;

Ø Исследования Теэтета были облечены в геометрическую форму.

Ø Теэтет рассматривал выражения вида:

Математический турнир

В феврале 1535 года жители итальянского города Болоньи оказались свидетелями необычного зрелища. К зданию Болонского университета направлялись торжественные процессии с герольдами и знаменами. Студенты и профессора, ученые-монахи и пышно одетые дворяне стремились поскорее занять места в аудитории – ведь в университете должен был состояться турнир! Состязаться собирались математики.

v В то время ученые часто соревновались в решении трудных задач;

v От исхода этих состязаний зависела научная репутация и право занимать кафедру;

v Каждый университет старался заполучить к себе победителей таких турниров.

Антонио Марио Фиоре

Болонцы надеялись на победу своего «бойца»-Антонио Марио Фиоре.

Сам Фиоре не слишком славился своими математическими открытиями;

Ø Фиоре был одним из ближайших учеников известного алгебраиста Сцепиона дель Ферро(),который перед смертью открыл ему великую тайну – правило решения кубического уравнения;

v С тех пор он побеждал очень легко – он давал своим противникам задачи, сводящиеся к кубическим уравнениям.

v Соперники сдавались без боя.

Гибрид из мира идей

Общие методы решения уравнений 3-й и 4-й степеней стали первыми математическими результатами нового времени после многовекового застоя. А неприводимый случай для кубического уравнения привлек внимание ученых к квадратным корням из отрицательных чисел

Ø С такими корнями математики сталкивались не впервые — ведь они часто возникают при решении квадратных уравнений;

Ø От этой ситуации античные математики были защищены диоризмами – так в Древней Греции называли ограничения, накладываемые на условия задачи;

От квадратных корней из отрицательных чисел можно было «отмахнуться»: если они вдруг появлялись, значит, коэффициенты шагнули через границу дозволенной области и уравнение просто не имеет корней (действительных).

Кубические уравнения

Но для кубических уравнений такие рассуждения не проходят.

q В неприводимом случае решение по формуле Кордано – Тартальи содержит квадратный корень из отрицательного числа, тем не менее, уравнение имеет корни — полный набор, и все действительные;

q Складывалась какая-то непостижимая связь между действительными числами и удивительными корнями из отрицательных чисел;

q Эту связь пытался понять Тарталья, над ней размышлял и Кардано;

q В своем «Великом искусстве» Кардано привел задачу, но соответствующая этой задаче система уравнений не имеет действительных решений. Кардано назвал её корни софистическими.

Вывод

Итак, цели алгебры оставались неизменными на протяжении тысячелетий – решались уравнения: сначала линейные, потом квадратные, затем кубические, а там и уравнения еще больших степеней. Но форма, в которой излагались алгебраические результаты, менялись до неузнаваемости.

Список использованной литературы

1. Полная энциклопедия школьника. 5-11 класс. Курс подготовки к ЕГЭ: том2.// Под редакцией д-ра пед. наук, проф. , проф. — СПб.: ИГ «Весь»,2005

2. Виленкин, Шибасов, Шибасова: За страницами учебника математики: арифметика. Алгебра: пособие для учащихся 10-11 классов