Зная уравнение движения материальной точки записанное в си x t3 3 2t 8 (7 видео)

Уравнение движения материальной точки

Движение материальной точки в пространстве – это изменение ее положения относительно других тел с течением времени.

Имеет смысл говорить только о движении в некоторой системе отсчета.

Содержание

Система отсчета. Системы координат
Кинематическое уравнение движения материальной точки
Кинематическое уравнение движения материальной точки для координаты имеет вид х = (8 + 3t + 5t^2) м. Определите координату и скорость
Ваш ответ
решение вопроса
Похожие вопросы
Кинематика материальной точки. Кинематическое уравнение движения материальной точки по прямой
Страницы работы
Содержание работы
Основные определения
🎬 Видео

Видео:Физика 10 класс (Урок№2 - Равномерное прямолинейное движение материальной точки.)Скачать

Система отсчета. Системы координат

Точки, располагаемые в пустом пространстве, не различаются. Поэтому о точке рассуждают при условии нахождения в ней материальной точки. Определить ее положение можно при помощи измерений в системе координат, где и проводится нахождение пространственных координат. Если рассматривать в виде примера поверхность Земли, то следует учитывать широту и долготу располагаемой точки.

В теории используется декартова прямоугольная система координат, где определение точки возможно при наличии радиус-вектора r и трех проекций x , y , z – ее координат. Могут быть применены другие:

сферическая система с положением точек и ее радиус-вектором, определенных координатами r , υ , φ ;
цилиндрическая система с координатами p , z , α ;
на полярной плоскости с параметрами r , φ .

В теории зачастую не принимают во внимание реальную систему отсчета, а сохраняют только ту, которая представляет собой ее математическую модель, применяемую во время практических измерений.

Видео:Уравнение движения тела дано в виде x=2−3t. ВычислиСкачать

Кинематическое уравнение движения материальной точки

Любая система отсчета или координат предполагает определение координат материальной точки в любой момент времени.

При условии положения и определения материальной точки в данной системе отсчета считается, что ее движение задано или описано.

Это возможно при использовании кинематического уравнения движения:

Аналитически положение точки определяется совокупностью трех независимых между собой чисел. Иначе говоря, свободная точка имеет три степени свободы движения.

Ее перемещение по уравнению ( 1 ) определено, если имеется указанное положение в любой момент времени t . Для этого следует задавать декартовы координаты точки в качестве однозначных и непрерывных функций времени:

x ( t ) = x , y ( t ) = y , z ( t ) = z ( 2 ) .

Прямоугольные декартовы координаты x , y , z — это проекции радиус-вектора r ¯ , проведенного из начала координат. Очевидно, что длину и направление r ¯ можно найти из соотношений, где a , β , γ являются образованными радиус-вектором углами с координатными осями.

Равенства ( 2 ) считают кинематическими уравнениями движения материальной точки в декартовых координатах.

Они могут быть записаны в другой системе координат, которая связана с декартовой взаимно однозначным преобразованием. Если движение точки происходит в плоскости О х у , тогда применимы полярные координаты r , φ , относящиеся к декартовым преобразованиям. Данный случай подразумевает использование уравнения движения точки следующего вида:

r = r ( t ) , φ = φ ( t ) ( 3 ) .

Кинематическое уравнение движения точки в криволинейных координатах q 1 , q 2 , q 3 , связанных с декартовыми преобразованиями вида x = x ( q 1 , q 2 , q 3 ) , y = y ( q 1 , q 2 , q 3 ) , z = z ( q 1 , q 2 , q 3 ) ( 4 ) , записывается как

q 1 = q 1 ( t ) , q 2 = q 2 ( t ) , q 3 = q 3 ( t ) ( 5 ) .

Кривая радиус-вектора, описываемая концом вектора r при движении точки, совпадает с ее траекторией. Параметрическое уравнение траектории с t представлено кинематическими уравнениями ( 2 ) , ( 5 ) . Чтобы получить координатное уравнение траектории следует исключить время из кинематических уравнений.

Определение движения точки возможно с помощью задания траектории и мгновенного положения точки на ней. Ее положение на кривой определяется с помощью указания только одной величины: расстояния вдоль кривой от некоторой начальной точки с положительным направлением:

Это и есть уравнение движения точки по траектории. Способ его задания относят к естественному или траекторному.

Понятия координатного и естественного способа задания движения точки физически эквивалентны. С математической стороны это рассматривают как возможность применения разных методов, исходя из случая математической задачи.

Задание такого закона возможно аналитическим, графическим путем или с использованием таблицы, последние два из которых зачастую рассматривают в виде графиков и расписаний движений поездов.

Дано уравнение движения материальной точки x = 0 , 4 t 2 . Произвести запись формулы зависимости υ x ( t ) , построить график зависимости скорости от времени. На графике отметить площадь, численно равную пути, пройденному точкой за 4 секунды, произвести вычисление.

Дано: x = 0 , 4 t 2 , t = 4 c

Найти: υ x ( t ) , S — ?

Решение

При решении необходимо учитывать зависимость скорости от времени:

υ x = υ 0 x + a x t .

Зависимость координаты от времени и сравнение уравнения с заданным принимает вид:

x = x 0 + υ 0 x t + a x t 2 2 , x = 0 , 4 t 2 .

Очевидно, что x 0 = 0 , υ 0 x = 0 , a x = 0 , 8 м / с 2 .

После подстановки данных в уравнение:

Определим точки, изобразим график:

υ x = 0 , t = 0 , υ x = 4 , t = 5

Путь, по которому двигалось тело, равняется площади фигуры, ограниченной графиком, и находится с помощью формулы:

Видео:Задача на движение материальной точки - bezbotvyСкачать

Кинематическое уравнение движения материальной точки для координаты имеет вид х = (8 + 3t + 5t^2) м. Определите координату и скорость

Видео:Уравнение равномерного прямолинейного движения | Физика 10 класс #3 | ИнфоурокСкачать

Ваш ответ

Видео:Траектория и уравнения движения точки. Задача 1Скачать

решение вопроса

Видео:Дифференциальное уравнение движения материальной точки.Скачать

Кинематика материальной точки. Кинематическое уравнение движения материальной точки по прямой

Страницы работы

Содержание работы

Министерство образования Российской Федерации

Санкт-Петербургский государственный горный институт им. Г.В. Плеханова

Кафедра общей и технической физики

Тема: «Кинематика материальной точки»

Выполнил: студент гр. БА-02 ________________ /Михалов А.И./

Проверил: доцент ________________ /Смирнова Н.Н./

(должность) (подпись) (Ф.И.О.)

1. Формулировка задания.

Кинематическое уравнение движения материальной точки по прямой (ось x) имеет вид,

1. Путь, пройденный материальной точкой за интервал времени от t₁=2.2с до t₂=10с.

2. Среднюю путевую скорость V за тот же интервал времени.

3. Среднее значение ускорения.

4. Координату материальной точки в момент времени t₁ и t₂

Построить графики зависимостей величин V(t), а(t) при изменении времени.

2 Краткое теоретическое содержание.

Основные определения

Исходное уравнение – х=f(t)=7+3t-0,02t 3 – уравнение зависимости координаты от времени. Данное уравнение является уравнением прямолинейного движения, т.к. изменяется только одна координата.

Материальная точка – тело, размерами которого можно пренебречь по сравнению с расстоянием до других тел.

Путь (S) – расстояние по траектории (от начала движения до данной точки). [S]=м

Скорость () – векторная величина, которая определяет как быстроту движения, так и его направление в данный момент времени. Скорость – это первая производная радиус-вектора по времени. [V]=м/с

Среднепутевая скорость () – физическая величина, которая определяется отношением пути, пройденного точкой, к промежутку времени.

Ускорение () – векторная физическая величина, определяющая быстроту изменения скорости по модулю и направлению. Ускорение – это вторая производная радиус-вектора по времени, или первая производная скорости по времени. [a]=м/с 2

Среднее ускорение (а_ср) — физическая величина, которая равна отношению изменения скорости к интервалу времени.

Равнозамедленное прямолинейное движение – движение, при котором скорость материальной точки за равные промежутки времени изменяется на одну и тужу величину, причём направления вектора скорости и ускорения противоположны.)

Основные формулы, применяемые в работе.

1. Путь, пройденный материальной точкой за интервал времени от t₁до t_2:

Для определения пути разобьем его на два, т.к. при изменении знака проекции скорости, точка изменяет направление движения и начинает двигаться в обратном направлении:

где S₁— путь, пройденный материальной точкой за время t _max-t ₁;

S₂ — путь, пройденный материальной точкой за время t ₂-t _max;

t _max– время в момент возврата материальной точки (когда точка начинает двигаться в обратном направлении: путь возрастает, а координата материальной точки убывает).

Чтобы найти формулы вычисления S₁ и S₂, схематично изобразим данное движение:

Зная уравнение движения материальной точки записанное в си x t3 3 2t 8

Из данного рисунка видно, что путь равен приращению координаты:

где x₁,x₂ – координаты точки в моменты времени t ₁ и t ₂ соответственно;

x_max – максимальная координата, которую материальная точка достигает в момент, когда начинает двигаться обратно (скорость меняет знак).

2. t _max определяется приравниванием к нулю первой производной от координаты по времени, т.к. по свойству максимума в точке, в которой функция х=f(t) максимальное значение, первая производная этой функции равна нулю. Т.к. при данном движении все переменные изменяются только по координате Х, то приращение (дифиренцал) радиус-вектора равно приращению (дифиренцалу) координаты ():

3. Средняя путевая скорость V_ср за тот же интервал времени (в соответствии с определением):

4. Среднее значение ускорения (в соответствии с определением):

Т.к. скорость равна отношению приращения радиус вектора к интервалу времени, за которое это приращение произошло, то можно записать данную формулу следующим образом:

Данное кинематическое уравнение движения материальной точки соответствует равнопеременному движению.

3.1. Координаты материальной точки в моменты времени t ₁ и t ₂ определяются подстановкой соответствующих значений моментов времени:

3.2. Для определения момента возврата найдём первую производную от координаты по времени.

Чтобы определить момент возврата приравняем полученное выражение к нулю.

3.3. Время в момент возврата материальной точки:

3.4. Максимальная координата

Подставив, значение момента возврата материальной точки в уравнение координаты определим:

3.5. Путь, пройденный материальной точкой за интервал времени от t₁до t_2:

3.6. Средняя путевая скорость V_ср за тот же интервал:

3.7. Среднее значение ускорения:

Уравнение зависимости скорости от времени уже найден в пункте 3.2 (). Он представляет собой ветвь перевернутой параболы

График зависимости скорости от времени.

Потому что точка меняет направление движения в момент времени t=5,77 с., график зависимости скорости от времени пересекает ось Х.

Найдём уравнение мгновенного ускорения в произвольный момент времени t. Для этого возьмём вторую производную от координаты x:

График зависимости а(t) представляет собой прямую. .

Вывод: В расчетно-графическом задании “Кинематика материальной точки” рассматривалось движения материальной точки по прямой. В результате решения я нашёл: