Значение буквы при котором уравнение обращается в верное равенство (8 видео)

Уравнения

Определение. — это два выражения, соединенные знаком равенства («=»).

Определение. Равенство, верное при всех значениях входящих в него букв, называется .

Равенство, содержащее букву, значение которой нужно найти, называется .

Значение буквы, при котором уравнение превращается в верное равенство, называется решением или .

Решить уравнение — это значит найти все его решения или показать, что уравнение решений не имеет. Степень неизвестного (буквы) определяет название уравнении и способ его решения. Если неизвестное в первой степени, то уравнение называется линейным.

Например: 6х + 18 = 60 (неизвестное х в первой степени).

Если неизвестное во второй степени, то уравнение называется квадратнгмм.

Например: 2x 2 + 18 = 26 (неизвестное x во второй степени).

Для решения линейных уравнений применяются законы сложения (переместительный и сочетательный). Чтобы решить линейное уравнение, надо:

Раскрыть скобки в уравнении, если они есть.
Слагаемые с неизвестным перенести в одну часть от знака равенства, а числа — в другую часть. При переносе слагаемого из одной части равенства в другую знак перед этим слагаемым изменяется на противоположный («+» на «-». а «-» на «+»).
Привести подобные слагаемые в обеих частях уравнения.
Вычислить значение неизвестного, используя свойство действия умножения (чтобы найти один из множителей. надо произведение разделить на второй множитель).

Например: 7 (4 — х) + 3 (х — 5) = 9х.

Раскрыть скобки: 28 — 7х + Зх — 15 = 9х
Перенести слагаемые с неизвестным в левую часть равенства, а числа — в правую часть равенства: -7х + Зх — 9x = -28 + 15.
Привести подобные члены: -13x = -13.
Вычислить неизвестное x.
- х = -13 : (-13)
- х = 1

Определив значение неизвестного, мы решили уравнение.

Чтобы произвести проверку правильности решения уравнения, надо полученное значение неизвестного (буквы) подставить в условие (заданное уравнение) и решить числовое равенство. Если числовое равенство обращается в тождество, то уравнение решено верно.

Уравнение решено верно, так как в результате проверки получено тождество.

Содержание

Уравнение и его корни: определения, примеры
Понятие уравнения
Корень уравнения
Основные понятия линии уравнений и неравенств
📹 Видео

Видео:АЛГЕБРА 7 класс : Уравнение и его корни | ВидеоурокСкачать

Уравнение и его корни: определения, примеры

После того, как мы изучили понятие равенств, а именно один из их видов – числовые равенства, можно перейти к еще одному важному виду – уравнениям. В рамках данного материала мы объясним, что такое уравнение и его корень, сформулируем основные определения и приведем различные примеры уравнений и нахождения их корней.

Видео:Уравнение. Корни уравнения.Скачать

Понятие уравнения

Обычно понятие уравнения изучается в самом начале школьного курса алгебры. Тогда оно определяется так:

Уравнением называется равенство с неизвестным числом, которое нужно найти.

Принято обозначать неизвестные маленькими латинскими буквами, например, t , r , m др., но чаще всего используются x , y , z . Иными словами, уравнение определяет форма его записи, то есть равенство будет уравнением только тогда, когда будет приведен к определенному виду – в нем должна быть буква, значение которое надо найти.

Приведем несколько примеров простейших уравнений. Это могут быть равенства вида x = 5 , y = 6 и т.д., а также те, что включают в себя арифметические действия, к примеру, x + 7 = 38 , z − 4 = 2 , 8 · t = 4 , 6 : x = 3 .

После того, как изучено понятие скобок, появляется понятие уравнений со скобками. К ним относятся 7 · ( x − 1 ) = 19 , x + 6 · ( x + 6 · ( x − 8 ) ) = 3 и др. Буква, которую надо найти, может встречаться не один раз, а несколько, как, например, в уравнении x + 2 + 4 · x − 2 − x = 10 . Также неизвестные могут быть расположены не только слева, но и справа или в обеих частях одновременно, например, x · ( 8 + 1 ) − 7 = 8 , 3 − 3 = z + 3 или 8 · x − 9 = 2 · ( x + 17 ) .

Далее, после того, как ученики знакомятся с понятием целых, действительных, рациональных, натуральных чисел, а также логарифмами, корнями и степенями, появляются новые уравнения, включающие в себя все эти объекты. Примерам таких выражений мы посвятили отдельную статью.

В программе за 7 класс впервые возникает понятие переменных. Это такие буквы, которые могут принимать разные значения (подробнее см. в статье о числовых, буквенных выражениях и выражениях с переменными). Основываясь на этом понятии, мы можем дать новое определение уравнению:

Уравнение – это равенство, включающее в себя переменную, значение которой нужно вычислить.

То есть, к примеру, выражение x + 3 = 6 · x + 7 – это уравнение с переменной x , а 3 · y − 1 + y = 0 – уравнение с переменной y .

В одном уравнении может быть не одна переменная, а две и более. Их называют соответственно уравнениями с двумя, тремя переменными и др. Запишем определение:

Уравнениями с двумя (тремя, четырьмя и более) переменными называют уравнения, которые включают в себя соответствующее количество неизвестных.

К примеру, равенство вида 3 , 7 · x + 0 , 6 = 1 является уравнением с одной переменной x , а x − z = 5 – уравнением с двумя переменными x и z . Примером уравнения с тремя переменными может быть выражение x 2 + ( y − 6 ) 2 + ( z + 0 , 6 ) 2 = 26 .

Видео:Урок 6 УРАВНЕНИЕ И ЕГО КОРНИ 7 КЛАСССкачать

Корень уравнения

Когда мы говорим об уравнении, сразу возникает необходимость определиться с понятием его корня. Попробуем объяснить, что оно означает.

Нам дано некое уравнение, включающее в себя одну переменную. Если мы подставим вместо неизвестной буквы число, то уравнение станет числовым равенством – верным или неверным. Так, если в уравнении a + 1 = 5 мы заменим букву числом 2 , то равенство станет неверным, а если 4 , то получится верное равенство 4 + 1 = 5 .

Нас больше интересуют именно те значения, с которыми переменная обратится в верное равенство. Они и называются корнями или решениями. Запишем определение.

Корнем уравнения называют такое значение переменной, которое обращает данное уравнение в верное равенство.

Корень также можно назвать решением, или наоборот – оба эти понятия означают одно и то же.

Возьмем пример для пояснения этого определения. Выше мы приводили уравнение a + 1 = 5 . Согласно определению, корнем в данном случае будет 4 , потому что при подстановке вместо буквы оно дает верное числовое равенство, а двойка не будет решением, поскольку ей отвечает неверное равенство 2 + 1 = 5 .

Сколько корней может иметь одно уравнение? Любое ли уравнение имеет корень? Ответим на эти вопросы.

Уравнения, не имеющие ни одного корня, тоже существуют. Примером может быть 0 · x = 5 . Мы можем подставить в него бесконечно много разных чисел, но ни одно из них не превратит его в верное равенство, поскольку умножение на 0 всегда дает 0 .

Также бывают уравнения, имеющие несколько корней. У них может быть как конечное, так и бесконечно большое количество корней.

Так, в уравнении x − 2 = 4 есть только один корень – шесть, в x 2 = 9 два корня – три и минус три, в x · ( x − 1 ) · ( x − 2 ) = 0 три корня – нуль, один и два, в уравнении x=x корней бесконечно много.

Теперь поясним, как правильно записывать корни уравнения. Если их нет, то мы так и пишем: «уравнение корней не имеет». Можно также в этом случае указать знак пустого множества ∅ . Если корни есть, то пишем их через запятую или указываем как элементы множества, заключив в фигурные скобки. Так, если у какого-либо уравнения есть три корня — 2 , 1 и 5 , то пишем — 2 , 1 , 5 или .

Допускается запись корней в виде простейших равенств. Так, если неизвестная в уравнении обозначена буквой y , а корнями являются 2 и 7 , то мы пишем y = 2 и y = 7 . Иногда к буквам добавляются нижние индексы, например, x 1 = 3 , x 2 = 5 . Таким образом мы указываем на номера корней. Если решений у уравнения бесконечно много, то мы записываем ответ как числовой промежуток или используем общепринятые обозначения: множество натуральных чисел обозначается N , целых – Z , действительных – R . Скажем, если нам надо записать, что решением уравнения будет любое целое число, то мы пишем, что x ∈ Z , а если любое действительное от единицы до девяти, то y ∈ 1 , 9 .

Когда у уравнения два, три корня или больше, то, как правило, говорят не о корнях, а о решениях уравнения. Сформулируем определение решения уравнения с несколькими переменными.

Решение уравнения с двумя, тремя и более переменными – это два, три и более значения переменных, которые обращают данное уравнение в верное числовое равенство.

Поясним определение на примерах.

Допустим, у нас есть выражение x + y = 7 , которое представляет из себя уравнение с двумя переменными. Подставим вместо первой единицу, а вместо второй двойку. У нас получится неверное равенство, значит, эта пара значений не будет решением данного уравнения. Если же мы возьмем пару 3 и 4 , то равенство станет верным, значит, мы нашли решение.

Такие уравнения тоже могут не иметь корней или иметь бесконечное их количество. Если нам надо записать два, три, четыре и более значений, то мы пишем их через запятую в круглых скобках. То есть в примере выше ответ будет выглядеть как ( 3 , 4 ) .

На практике чаще всего приходится иметь дело с уравнениями, содержащими одну переменную. Алгоритм их решения мы подробно рассмотрим в статье, посвященной решению уравнений.

Видео:Cистемы уравнений. Разбор задания 6 и 21 из ОГЭ. | МатематикаСкачать

Основные понятия линии уравнений и неравенств

Характеризуя уравнение, нужно учитывать разные стороны этого понятия. Уравнение представляет собой некоторую запись, составленную по определенным правилам (синтаксический подход). Заменяя в записи буквы (переменные) конкретными числами, переходят к верным или неверным равенствам (высказываниям — логический подход). Стоящие в левой и правой частях уравнения выражения задают функции, значения которых связаны знаком «=» (функциональный подход). Действия над уравнениями производятся по некоторым правилам (операциональный подход). Задание «решить уравнение» предполагает отыскание всех его корней (целевой подход).

На практике понятие уравнения может быть введено посредством выделения его в результате решения задач алгебраическим методом. В этом случае существенным является подход к понятию уравнения, при котором уравнение представляет косвенную форму задания некоторого неизвестного числа, имеющего в соответствии с сюжетом конкретную математическую интерпретацию (модельный подход). Указанный способ введения понятия уравнения соответствует прикладному аспекту понятия уравнения, отраженному в следующем определении.

Равенство, содержащее неизвестное число, обозначенное буквой, называется уравнением. Корнем уравнения называется то значение неизвестного, при котором уравнение обращается в верное равенство.

Существует другой вариант определения уравнения: «Равенство с переменной называется уравнением. Значение переменной, при котором равенство с переменной обращается в верное числовое равенство, называется корнем уравнения». Это определение характеризует уравнение как предикат особого вида, а корень уравнения — число из множества истинности этого предиката. Термин «уравнение» несет в себе признаки знакового компонента, а термин «корень уравнения» учитывает смысловой компонент.

Можно встретить и третий вариант определения, роль которого проявляется при изучении графического метода решения уравнений: «Уравнение — это равенство двух функций».

Каждое из приведенных определений задает достаточно широкие классы математических объектов, к которым относятся и записи:

Если первое равенство можно отнести к уравнениям особого вида, то второе скорее будет являться тождеством, а третье — уравнением кривой. Одна и та же запись в зависимости от контекста может отражать и подлежащее решению уравнение, и тождество, и уравнение кривой.

Вследствие сложности дефиниции понятия уравнения в методике обучения математике встречается мнение, что не обязательно формулировать определение понятия уравнения. Достаточно, если учащиеся будут понимать, что значит «решить уравнение» 1 [1]. Различные варианты определения термина «решить уравнение» отличаются лишь наличием или отсутствием термина «множество».

Связь основных понятий линии уравнений отражена на схеме.

1 Бекаревич А. И. Уравнения в школьном курсе математики. Минск.: Народная асвета, 1968.

Аналогичные рассмотренным выше определения могут быть даны неравенствам, уравнениям с несколькими неизвестными, системам уравнений и неравенств.

Классификация уравнений и неравенств тесно связана с конкретными функциями, изучаемыми в школьном курсе математики. В соответствии с этим выделяются определенные виды уравнений. Аналогичная классификация используется и для неравенств.

В отношении формирования понятия равносильности и его применения учебные пособия можно разделить на две группы. К первой относятся те пособия, в которых использование равносильных преобразований явно основано на введении и изучении понятия равносильности; ко второй — те, в которых применение равносильных преобразований предшествует определению понятия равносильности.

Методика работы над понятием при указанных подходах существенно отличается.

В школьном курсе математики можно выделить три этапа, связанных с рассмотрением этого вопроса.

Во-первых, на пропедевтическом этапе в начальном курсе математики и в начале изучения алгебры решаются простейшие уравнения. Используемые преобразования получают индуктивное обоснование. По мере накопления опыта индуктивные рассуждения чаще заменяются такими, где равносильность используется, но сам термин не вводится.

Во-вторых, выделяется понятие равносильности и сопоставляется его теоретическое содержание с правилами преобразований, которые выводятся на его основе.

В-третьих, на основе общего понятия равносильности происходит развертывание и общей теории, и теории отдельных классов уравнений и неравенств. Это характерно для старших классов при изучении курса «Алгебра и начала анализа», а также имеет место и в основной школе в классах углубленного изучения математики.

В процессе решения уравнений также используется понятие логического следования, которое изучается позже понятия равносильности и является дополнением к нему. Логическое следование применяется в основном тогда, когда не удается найти вариант равносильного преобразования. Реже, когда соблюдение требования равносильности приводит к громоздким преобразованиям, логическое следование используется как прием, упрощающий процесс решения.

Выделяются три основных типа преобразований.

1. Преобразование одной из частей уравнения или неравенства. Используется при необходимости упрощения выражения в какой- то из частей уравнения или неравенства. Имеется возможность перехода к неравносильной модели. Основой преобразований данного типа являются тождественные преобразования (рассмотрены в теме о тождественных преобразованиях), поэтому классифицировать их можно в соответствии с классификацией тождественных преобразований (раскрытие скобок, приведение подобных слагаемых, приведение к общему знаменателю и др.).
2. Согласованное изменение обеих частей уравнения (неравенства). На основе основных свойств числовых равенств (неравенств) формулируются основные свойства равенств (неравенств) с одним неизвестным, например (для неравенств):
- • к обеим частям неравенства можно прибавлять (вычитать) одно и то же число, при этом знак неравенства не меняется;
- • обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю; если это число положительно, то знак неравенства не меняется, а если это число отрицательно, то знак неравенства меняется на противоположный.
3. Преобразования, изменяющие логическую структуру. Можно выделить два подтипа:
- • преобразования, осуществляемые на основе свойств арифметических операций. К ним можно отнести переход от уравнения к совокупности уравнений после предварительного разложения на множители; переход от уравнения к системе после приравнивания суммы квадратов выражений к нулю; почленное сложение, умножение, деление уравнений, неравенств и т.д.;
- • преобразования, осуществляемые при помощи логических операций. Примерами их являются выделение из системы одного из компонентов, замена переменных.