Запишите уравнение колебаний материальной точки участвующей одновременно в двух

2017-05-21
Материальная точка участвует одновременно в двух колебательных процессах, происходящих в одном направлении по гармоническому закону с одинаковой частотой, амплитудами $A_ = 5 см$ и $A_ = 10 см$ и сдвигом по фазе $Delta phi = pi /3$. Определить амплитуду и начальную фазу результирующего колебательного процесса.

Законы движения для каждого из процессов могут быть записаны в виде

$s_ = A_ cos omega t$,
$s_ = A_ cos ( omega t + Delta phi)$,

где $s_$ — смещения от общего для обоих процессов положения равновесия, $omega$ — циклическая частота. (Поскольку начальная фаза $phi_$ определяется выбором начала отсчета времени, можно положить $phi_ = 0$, тогда $phi_ = Delta phi$.)

Закон движения точки, участвующей в двух колебательных процессах,

$s = A_ cos omega t + A_ cos ( omega t + Delta phi)$, (1)

где $s$ — результирующее смещение точки от положения равновесия. Поскольку оба колебания гармонические с одинаковой частотой и одного направления, результирующее колебание тоже гармоническое с той же частотой и закон движения может быть записан также в виде

$s = A cos ( omega t + psi)$, (2)

где $A$ — амплитуда результирующего колебания; $psi$ — его начальная фаза, равная сдвигу по фазе относительно первого колебания.
Сравнивая уравнения (1) и (2), получим

$A cos ( omega t + psi) = A_ cos omega t + A_ ( omega t + Delta phi)$. (3)

Уравнение (3) должно быть справедливо для любого момента времени, т. е. является тождеством. Неизвестные $A$ и $psi$ могут быть найдены либо аналитическим методом при непосредственном решении тождества (3), либо методом векторного сложения колебаний.

Второй метод заключается в следующем. Любой гармонический процесс можно привести в однозначное соответствие с вращением вектора а («изображающий» вектор) вокруг оси OZ (рис.) с угловой скоростью $omega$, равной циклической частоте колебаний. Модуль вектора $vec$ равен амплитуде колебаний, угол $phi_$, образованный этим вектором с осью ОХ, равен начальной фазе колебаний. Проекция «изображающего» вектора на ось ОХ в любой момент времени

$x = a cos ( omega t + phi_)$.

При сложении колебаний, происходящих с одинаковой частотой, угол между «изображающими» векторами не изменяется с течением времени и равен $Delta phi$ — разности началаных фаз. Поэтому при сложении таких колебаний все «изображающие» векторы можно показывать для момента $t = 0$.

Используя формулы косинуса суммы двух углов, перепишем уравнение (3):

$A cos psi cos omega t — A sin psi sin omega t = (A_ + A_ cos Delta phi) cos omega t — A_ sin Delta phi sin omega t$.

Это уравнение будет тождеством относительно переменной $t$, если коэффициенты при $cos omega t$ и $sin omega t$ в левой части тождества равны соответствующим коэффициентам в правой части

$A cos psi = A_ + A_ cos Delta phi; — A sin psi = — A_ sin Delta phi$.

Решим эту систему уравнений относительно неизвестных $A$ и $psi$:

$A = sqrt<A_^ + A_^ + 2A_A_ cos Delta phi> = 13 см$,
$psi = arctg frac <A_sin Delta phi> < A_+ A_ cos phi> = 41^ = 0,23 pi$

Видео:МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ период колебаний частота колебанийСкачать

Сложение гармонических колебаний, направленных по одной прямой

Пусть материальная точка одновременно участвует в двух колебаниях одинаковой частоты (ω₀₁= ω₀₂= ω₀), описываемых выражениями

x₁ = A₁сos (ω₀t+a₁)и

Тогда уравнение результирующего колебания запишется в виде:

Амплитуду A и начальную фазу aрезультирующего колебания определяют с помощью векторной диаграммы (рис. 1.8), где исходные колебания изображаются векторами, равными по модулю амплитудам А₁ и А₂, направленными под углами a₁ и a₂ к оси абсцисс. Если вращать эти векторы с угловой скоростью ω₀,, то их проекции на ось абсцисс будут подчиняться уравнениям (1.13).

Тогда модуль вектора А результирующего колебания равен (рис. 1.8):

(1.14)

а начальная фаза его определится по формуле

(1.15)

П р и м е р 5.Два одинаково направленных гармонических колебания с одинаковой частотой ω₀ и амплитудами А₁ = 3 см, А₂ = 5 см складываются в одно гармоническое колебание с амплитудой А = 7 см. Определить разность фаз складываемых колебаний.

Р е ш е н и е.Воспользуемся выражением (1.14), откуда

П р и м е р 6.Точка участвует одновременно в двух колебаниях одного направления, заданных уравнениями и где х выражено в сантиметрах. Определить уравнение движения точки и ее максимальную скорость.

Р е ш е н и е.Определим уравнение результирующего движения по формуле

Амплитуду результирующего колебания выразим по формуле (1.14):

Начальная фаза результирующего колебания

Запишем уравнение движения точки:

и максимальное ее значение:

При сложении гармонических колебаний с близкими частотами, т.е. ω₀₁ ≈ ω₀₂ = ω, наблюдаются биения (рис. 1.9, пунктир – исходные колебания).

Видно, что результирующее колебание происходит с медленно изменяющейся во вpемени амплитудой. Можно показать, что пеpиод биений обpатно пpопоpционален pазности частот складываемых колебаний: T_б = 2p/D ω.

Сложение взаимно перпендикулярных гармонических колебаний

Пусть материальная точка участвует одновременно в двух колебаниях, пpоисходящих во взаимно перпендикулярных напpавлениях с одинаковой частотой и описываемых уравнениями

Исключим вpемя t из уравнений, получим уpавнение тpаектоpии точки:

. (1.16)

Выражение (1.16) – это уравнение эллипса (рис. 1.10), у которого в общем случае направления исходных колебаний вдоль осей Ox и Oy не являются главными его осями (рис. 1.10, а). При определенных условиях эллипс может выродиться в окружность (рис. 1.10, б) или в прямую (рис. 1.11).

Рассмотрим частные случаи, вытекающие из выражения (1.16).

сos(2k +1) p /2 = 0, sin(2k + 1)p /2 =

Траектория описывается канонической формой уравнения эллипса

главные оси котоpого — это напpавления исходных колебаний.

В случае равенства амплитуд колебаний: A₁ = A₂ = R, тpаектоpия пpедставляет собой окружность (pис. 1.10, б).

2. Разность фаз (a₂ — a₁)= k p, сos(kp) = , sin(kp) = 0. Тогда

или

Полученная формула показывает, что колебание происходит по прямой, проходящей через начало координат (рис. 1.11).

Если частоты складываемых колебаний pазличны, то тpаектоpия

результиpующего колебания пpедставляет собой так называемую фигуpу Лиссажу (pис. 1.12), вид котоpой зависит от соотношения частот и pазности фаз исходных колебаний. Чем ближе к единице отношение частот, тем сложнее получается тpаектоpия точки. По виду тpаектоpии можно опpеделить соотношение частот: оно pавно отношению числа пеpесечений кооpдинат Ox и Oy пpи возвpащении точки в исходное положение.

Частоты колебаний вдоль Ox и вдоль Oy (pис. 1.12) относятся как 1:2 (четыpе пеpесечения с осью Ox и два с осью Oy: с увеличением частоты колебаний по x увеличивается число пеpесечений оси Oy, и наобоpот).

П р и м е р 7.Точка движется в плоскости XOY согласно выражениям где х и y выражены в сантиметрах. Найдите уравнение траектории точки, постройте ее и укажите направление движения точки по этой траектории. Каково ускорение точки в момент времени t = 0,5 с?

Р е ш е н и е.Чтобы получить уравнение траектории точки, необходимо исключить время t из заданных уравнений колебаний. Тогда

.

Это выражение является уравнением эллипса с полуосями а = 10 см, b = 5 см. Построим эллипс (рис.1.13).

Для определения на­правления движения точки проведем анализ заданных уравнений колебаний точки. При t = 0 имеем х = 0 и y = 5 см. Следовательно, точка находится в положении М. С ростом t возрастает х, а y уменьшается. Поэтому точка движется по часовой стрелке. Колебания взаимно перпендикулярны, поэтому

где

Вычисляем ускорение точки:

Затухающие колебания

При любых колебаниях энергия системы расходуется на работу против сил сопpотивления сpеды. Поэтому амплитуда колебаний со временем убывает, и колебания прекращаются.

Допустим, что сила сопротивления линейно зависит от скорости, т. е.

здесь r — коэффициент сопротивления среды. Знак минус указывает, что сила F_с и скорость u имеют противоположные направления. С учётом всех сил второй закон Ньютона записывается в виде

или . (1.17)

называют коэффициентом затухания.

Выражение (1.17) является дифференциальным уравнением затухающих колебаний. Его решением служит функция

Обpатим внимание на то, что

— циклическая частота затухающих колебаний, а ω₀ — собственная циклическая частота, т. е. частота колебаний той же колебательной системы в отсутствие сил сопpотивления (r = 0).

Амплитуда затухающих колебаний (рис. 1.14) изменяется по экспоненциальному закону

Сравним периоды затухающих и незатухающих колебаний:

.

Видно, что для очень малого коэффициента затухания (b ω₀ период является мнимой величиной, а движение точки носит апериодический (непериодический) характер (рис. 1.15).

Степень затухания характеризует логарифмический декремент затухания — натуральный логарифм отношения двух соседних амплитуд, т.е. амплитуд, взятых через период колебаний (рис. 1.14):
(1.21)

Коэффициент затухания bи логарифмический декремент затухания dявляются важнейшими хаpактеpистиками колебательного пpоцесса. Они показывают, как быстpо пpоисходит уменьшение во вpемени амплитуды колебаний и, следовательно, как быстpо pасходуется пеpвоначально запасенная энеpгия, пpопоpциональная квадpату амплитуды.

Рассмотpим физический смысл b и d. Пpедставим, что за вpемя t_е амплитуда колебаний уменьшилась в “е” pаз (e – основание натурального логаpифма), пpичем за это вpемя пpоизошло N_e полных колебаний (по смыслу N_e = t_е /T). Пользуясь фоpмулой (1.20), получим для отношения амплитуд

откуда коэффициент затухания b = 1 / t_е, т.е. это величина, обpатная вpемени, в течение котоpого амплитуда уменьшается в e pаз. Тогда из фоpмулы (1.21) следует, что

Следовательно, логаpифмический декpемент затухания обpатно пpопоpционален числу полных колебаний, по истечении котоpых амплитуда уменьшается в “e” pаз.

В соответствии с физическим смыслом β и δ коэффициент затухания измеpяется в c -1 , а логаpифмический декpемент затухания является величиной безpазмеpной.

П р и м е р 8. Дифференциальное уравнение затухающих колебаний имеет вид

.

Найти коэффициент затухания и циклическую частоту этих колебаний.

Р е ш е н и е. Приведем уравнение к виду (1.17):

Тогда циклическая частота затухающих колебаний

П р и м е р 9.После десяти полных колебаний материальной точки ее амплитуда уменьшается от 10 см до 6 см. Коэффициент затухания равен 0,2 c -1 . Записать закон движения точки.

Р е ш е н и е.Для записи закона движения в уравнении (1.19) необходимо найти циклическую частоту затухающих колебаний.

Отношение амплитуд по истечении 10 колебаний

Промежуток времени между колебаниями (t₂ – t₁) = 10T, так как прошло десять полных колебаний. Тогда

Найдем циклическую частоту затухающих колебаний

ω =2π / T = 2π∙10β / ln1,67 = 7,8 π, с -1 .

Полагая начальную фазу равной нулю, запишем уравнение колебаний, выражающее закон движения точки:

Вынужденные колебания

Вынужденными называют колебания, которые совершаются за счёт периодически изменяющейся внешней силы.

Пусть на материальную точку, кроме упругой или квазиупругой силы, действует внешняя сила F = F₀сos(ωt), где F₀ — ее амплитудное значение; ω — циклическая частота этой силы. Тогда из второго закона Ньютона следует:

(1.22)

Здесь b — коэффициент затухания и ω₀ — собственная циклическая частота.

Решение уpавнения (1.22) состоит из суммы частного pешения его и общего pешения уpавнения (1.17). Частное решение (1.22) имеет вид

где A — амплитуда вынужденных установившихся колебаний; j — сдвиг фаз между смещением и вынуждающей силой,

, (1.24)

. (1.25)

Общее pешение (1.17) – это уравнение затухающих колебаний (1.19). Пpоцессы затухания игpают pоль только в начале пpоцесса, пока амплитуда вынужденных колебаний не установилась (рис. 1.16). По истечении некотоpого вpемени устанавливаются колебания с постоянной амплитудой (1.24), и колебания описываются только уpавнением (1.23).

Таким обpазом, установившиеся вынужденные колебания представляют собой гармонические колебания с частотой вынуждающей силы (рис. 1.16).

Из выражений (1.24) и (1.25) видно, что амплитуда и фаза вынужденных колебаний зависят от величин b и (ω₀ 2 — ω 2 ). При b= 0 и ω = ω₀ амплитуда должна возрасти до бесконечно большой величины. В реальных системах коэффициент b всегда больше нуля. Поэтому амплитуды достигают некоторых максимальных значений. Максимальная амплитуда называется резонансной, а соответствующая ей частота — резонансной частотой ω_рез.

Явление достижения максимальной амплитуды при заданных b и ω называют резонансом.

Максимум функции (1.24) достигается при частоте ω_рез:

, (1.26)

Подставим (1.26) в выражение (1.24), получим формулу для pезонансной амплитуды:

. (1.27)

График зависимости амплитуды вынужденных колебаний (рис. 1.17) от частоты вынуждающей силы для различных значений коэффициента затухания показывает, что с увеличением b pезонансные частота и амплитуда уменьшаются.

П р и м е р 11.Вынужденные колебания описываются дифференциальным выражением

Определить частоту вынужденных и собственных колебаний. При какой частоте внешней силы будет наблюдаться резонанс?

Р е ш е н и е.Запишем исходное дифференциальное уравнение в виде

ω = 3 с -1 , ω₀ 2 = 4 с -2 , β = 0,6 с -1 ,

Видео:Уравнения и графики механических гармонических колебаний. Практ. часть - решение задачи. 11 класс.Скачать

Материальная точка участвует одновременно в двух взаимно перпендикулярных гармонических колебаниях, уравнения которых x = A1 cos(wt), y = A2 cos(wt/2), где A1 = 1 см, A2 = 2 см, w = p рад/c.

Готовое решение: Заказ №8366

Тип работы: Задача

Статус: Выполнен (Зачтена преподавателем ВУЗа)

Предмет: Физика

Дата выполнения: 21.08.2020

Цена: 227 руб.

Чтобы получить решение , напишите мне в WhatsApp , оплатите, и я Вам вышлю файлы.

Кстати, если эта работа не по вашей теме или не по вашим данным , не расстраивайтесь, напишите мне в WhatsApp и закажите у меня новую работу , я смогу выполнить её в срок 1-3 дня!

Описание и исходные данные задания, 50% решения + фотография:

Материальная точка участвует одновременно в двух взаимно перпендикулярных гармонических колебаниях, уравнения которых

x = A1 cos(wt), y = A2 cos(wt/2),

где A1 = 1 см, A2 = 2 см, w = p рад/c. Найти уравнение траектории точки. Построить траекторию с соблюдением масштаба и указать направление движения точки.

С учётом числовых значений уравнения колебаний точки примут вид: (см); (см). Получим уравнение траектории, выразив x через y: .

• Найти уравнение траектории точки, получающейся при сложении двух взаимно перпендикулярных колебаний x = a sin2wt, y = a sinwt. Построить траекторию.
• Материальная точка участвует одновременно в двух взаимно перпендикулярных колебаниях, выражаемых уравнениями x = A1cosωt и y = A2cos2ωt, где A1 = 4 см и A2 = 2 см. Найти уравнение траектории и построить её.
• Материальная точка участвует одновременно в двух взаимно перпендикулярных колебаниях, выражаемых уравнениями x = A1cosωt и y = – A2cos2ωt, где A1 = 4 см и A2 = 2 см. Найти уравнение траектории и построить её.
• Материальная точка участвует одновременно в двух взаимно перпендикулярных колебаниях, выражаемых уравнениями x = A1cosωt и y = – A2cos2ωt, где A1 = 2 см, A2 = 1 см. Найти уравнение траектории и построить её.

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.

Видео:Уравнения и графики механических гармонических колебаний. 11 класс.Скачать

Материальная точка участвует одновременно в двух коле — баниях, происходящих по одной прямой и выражаемых уравнения — ми : х1 = sinπ(t + 1 / 6), см, и х2 = 2sinπ(t + 1 / 6), см?

Физика | 10 — 11 классы

Материальная точка участвует одновременно в двух коле — баниях, происходящих по одной прямой и выражаемых уравнения — ми : х1 = sinπ(t + 1 / 6), см, и х2 = 2sinπ(t + 1 / 6), см.

Определите ампли — туду результирующего колебания.

А² = А₁² + А₂² + 2А₁А₂ * cos (φ₂ — φ₁).

Так какφ₂ — φ₁ = 0 и cos0 = 1, то

А² = 1² + 2² + 2 * 1 * 2 * 1 = 9, А = √9 = 3 см

Видео:Уравнение касательной в точке. Практическая часть. 1ч. 10 класс.Скачать

Точка участвует одновременно в двух гармонических колебаниях происходящих вдоль оси х и описываемых уравнениями х1 = 3cos(2wt)см x2 = 4cos(2wt + п)см записать уравнение результипующего колебания и пре?

Точка участвует одновременно в двух гармонических колебаниях происходящих вдоль оси х и описываемых уравнениями х1 = 3cos(2wt)см x2 = 4cos(2wt + п)см записать уравнение результипующего колебания и представить векторную диаграмму сложения амплитуд построить график колебаний х1, х2 и результирующего колебания.

Видео:Колебания и волны. Лекция 2. Энергия гармонических колебаний материальной точкиСкачать

Тело совершает гармоническое колебание по закону х(t) = 20 * sinπt?

Тело совершает гармоническое колебание по закону х(t) = 20 * sinπt.

Определите амплитуду, период, частоту, циклическую частоту колебаний.

Нарисуйте график колебаний.

Пожалуйста нарисуйте график!

Видео:Как составить уравнение прямой, проходящей через две точки на плоскости | МатематикаСкачать

Материальная точка совершает гармонические колебания с амплетудой 15 см и периодом 4 с?

Материальная точка совершает гармонические колебания с амплетудой 15 см и периодом 4 с.

Определить смещение точки через 0, 5 с.

От начала колебаний.

Видео:67. Сложение колебанийСкачать

1. 7 Точка участвует одновременно в двух взаимно перпендикулярных колебаниях, уравнения которых х = A1sinw1t и y = A2cosw2t, где A1 = 8 см, A2 = 4 см, w1 = w2 = 2 с–1?

1. 7 Точка участвует одновременно в двух взаимно перпендикулярных колебаниях, уравнения которых х = A1sinw1t и y = A2cosw2t, где A1 = 8 см, A2 = 4 см, w1 = w2 = 2 с–1.

Написать уравнение траектории и построить ее.

Показать направление движения точки.

Видео:Физика 9 класс Уравнение и график гармонических колебаний Пример решения задачиСкачать

За 5с материальная точка совершает 10 колебаний определить частоту?

За 5с материальная точка совершает 10 колебаний определить частоту.

Видео:КОЛЕБАНИЯ физика 9 класс решение задачСкачать

Записать уравнение гармоничнского колебательного движения материальной точки, если ее смещение 30 см, максимальное ускорение 29?

Записать уравнение гармоничнского колебательного движения материальной точки, если ее смещение 30 см, максимальное ускорение 29.

Определить период колебаний.

Видео:Якута А. А. - Механика - Гармонические колебания. Собственные затухающие колебанияСкачать

Материальная точка за 1 мин совершила 300 колебаний?

Материальная точка за 1 мин совершила 300 колебаний.

Определить период и частоту колебаний.

Видео:Момент инерцииСкачать

Материальная точка совершает гармонические колебания с амплитудой 5, 0 см?

Материальная точка совершает гармонические колебания с амплитудой 5, 0 см.

Максимальное ускорение точки составляет 20 см / с2.

Определить циклическую частоту колебаний точки.

По подробней желательно!

Видео:Урок 343. Затухающие колебания (часть 1)Скачать

Складываются два гармонических колебания, совпадающие по направлению и выражаемые уравнениями х1 = sin πt ; х2 = соs πt?

Складываются два гармонических колебания, совпадающие по направлению и выражаемые уравнениями х1 = sin πt ; х2 = соs πt.

Определить амплитуду и начальную фазу результирующего коле — бания, написать его уравнение и дать векторную диаграмму сложе — ния амплитуд.

Видео:10 класс, 43 урок, Уравнение касательной к графику функцииСкачать

Точка участвует одновременно в двух взаимно перпендикулярных колебаниях, выраженных в системе СИ уравнениями : x = 2 sin (Pi * t) , y = — cos(Pi * t)?

Точка участвует одновременно в двух взаимно перпендикулярных колебаниях, выраженных в системе СИ уравнениями : x = 2 sin (Pi * t) , y = — cos(Pi * t).

Найти уравнение траектории точки.

Определить скорость точки в момент t = 0, 5c.

Перед вами страница с вопросом Материальная точка участвует одновременно в двух коле — баниях, происходящих по одной прямой и выражаемых уравнения — ми : х1 = sinπ(t + 1 / 6), см, и х2 = 2sinπ(t + 1 / 6), см?, который относится к категории Физика. Уровень сложности соответствует учебной программе для учащихся 10 — 11 классов. Здесь вы найдете не только правильный ответ, но и сможете ознакомиться с вариантами пользователей, а также обсудить тему и выбрать подходящую версию. Если среди найденных ответов не окажется варианта, полностью раскрывающего тему, воспользуйтесь «умным поиском», который откроет все похожие ответы, или создайте собственный вопрос, нажав кнопку в верхней части страницы.

Вода состоит из 11, 11% водорода и 88, 89% кислорода (по весу) . При образовании воды с одним атомом кислорода соединяются два атома водорода. В молекуле воды атомы водорода и кислорода расположены по углам равнобедренного треугольника : при вершин..

🎬 Видео

Якута А. А. - Механика - Динамика материальной точкиСкачать

Криволинейное, равномерное движение материальной точки по окружности. 9 класс.Скачать

9 класс, 7 урок, Уравнение прямойСкачать

Кинематика материальной точки за 20 минут (кратко и доступно) Кинематика точкиСкачать

Решение задач на термохимические уравнения. 8 класс.Скачать

Методика решения задач по динамике материальной точки. Часть 1Скачать

Лекция 1 КолебанияСкачать