Запишите общую формулу корней квадратного уравнения (3 видео)

Содержание

Общая формула для нахождения корней квадратного уравнения
Общие сведения
Формула корней
Другие методы
Разложение на множители
Теорема Виета
Пример задачи
Как решать квадратные уравнения
Понятие квадратного уравнения
Приведенные и неприведенные квадратные уравнения
Полные и неполные квадратные уравнения
Решение неполных квадратных уравнений
Как решить уравнение ax 2 = 0
Как решить уравнение ax 2 + с = 0
Как решить уравнение ax 2 + bx = 0
Как разложить квадратное уравнение
Дискриминант: формула корней квадратного уравнения
Алгоритм решения квадратных уравнений по формулам корней
Примеры решения квадратных уравнений
Формула корней для четных вторых коэффициентов
Формула Виета
Упрощаем вид квадратных уравнений
Связь между корнями и коэффициентами
Корни квадратного уравнения
Основные формулы
Графическая интерпретация
Полезные формулы, связанные с квадратным уравнением
Вывод формулы для корней квадратного уравнения
Примеры определения корней квадратного уравнения
Пример 1
Пример 2
Пример 3
🌟 Видео

Видео:Решение квадратных уравнений. Дискриминант. 8 класс.Скачать

Общая формула для нахождения корней квадратного уравнения

Для нахождения корней квадратичной функции применяется специальная формула квадратного уравнения через дискриминант. Однако не каждый ученик может понять эту тему, поскольку школьный материал излагается не слишком доходчиво. Специалисты предлагают альтернативный метод обучения, позволяющий очень быстро и эффективно освоить этот способ решения.

Видео:Формула корней квадратного уравнения. Алгебра, 8 классСкачать

Общие сведения

Квадратное уравнение — вид квадратичной функции, в которой необходимо найти нули, т. е. точки пересечения с осью абсцисс. Его математическая запись выглядит следующим образом: Qt^2+Rt+S=0. Последнее соотношение еще называется общим видом квадратного уравнения. Следует отметить, что особенностью выражения является наличие второй степени при переменной.

Кроме того, коэффициенты (Q, R и S) — это константы, которые могут быть эквивалентны единице и нулевому значению. Если Q=0, то уравнение не является квадратным. Определение последнего формулируется в таком виде: квадратным уравнением является любое выражение с одной неизвестной, возведенной во вторую степень.

На основании этого они классифицируются следующим образом:

В первом случае все его коэффициенты не равны нулю, т. е. Q != 0, R != 0 и S != 0. Если какой-либо из них эквивалентен 0 (кроме Q), то квадратичная функция считается неполной. Всего существует три вида таких выражений:

Только квадратичный элемент: Qt^2=0.
Без константы свободного члена: Qt^2+Rt=0.
Отсутствие низшей степени: Qt^2+S=0.

Следует отметить, что для каждого из видов квадратичной функции применима одна формула, которая строится на значении дискриминанта. Кроме того, при решении и применении соотношения необходимо сопоставлять тождество с определением квадратного уравнения, т. е. наличие второй степени обязательно.

Видео:5 способов решения квадратного уравнения ➜ Как решать квадратные уравнения?Скачать

Формула корней

Соотношение для определения решений уравнения квадратической формы сводится к нахождению некоторого параметра, который математики называют дискриминантом. Обозначается он литерой «D». Для его вычисления нужно записать тождество в общем виде, т. е. Qt^2+Rt+S=0.

Формула определения D выглядит следующим образом: D=(-R)^2 — 4SQ. В некоторых источниках можно встретить и такую запись: D=В^2-4AC. Однако на расчете дискриминанта останавливаться не стоит. Он является промежуточной (вспомогательной) величиной, позволяющей осуществить следующие действия:

Выяснить количество решений уравнения или доказать их отсутствие.
Оптимизировать расчеты корней квадратичного выражения.

Далее необходимо разобрать каждый из случаев отдельно. Количество решений позволяют вычислить следующие правила:

Решения отсутствуют при D 0.

Чтобы вычислить конкретные величины корней во втором и третьем случаях, необходимо воспользоваться специальными соотношениями. Они выглядят таким образом:

Следует отметить, что первое выражение получается из второго. Этот способ называется методом математических преобразований. Доказать соотношение для одного решения очень просто. Для этого нужно руководствоваться таким алгоритмом:

Записывается одна формула для двух решений (любая): t2=[(-R)+(D)^(1/2)]/(2Q).
Выполняется сокращение величины «D», поскольку при одном корне она эквивалентна нулю: t2=[(-R)+0]/(2Q).
Искомый результат: t2=(-R)/(2Q). Соотношение доказано.

Следует отметить, что дискриминант рекомендует применять только для полных квадратичных уравнений с коэффициентом при старшей степени больше единицы. Однако это не единственные формулы, позволяющие находить корни. В некоторых случаях они не являются оптимальными, а только увеличивают расчетное время.

Видео:Формула корней квадратного уравнения. Алгебра 8клСкачать

Другие методы

Не всегда целесообразно использовать дискриминант для расчета корней. Для этой цели существуют следующие методы:

Разложение на множители.
Теорема Виета.

В первом случае решаются уравнения полного и неполного видов. Многочлен раскладывают на множители или выделяют полный квадрат.

Затем по одной из формул сокращенного умножения понижают степень и решают обыкновенное линейное уравнение.

Теорему Виета можно применять только в том случае, когда величина коэффициента при старшей степени эквивалентна единице. Если Q не равен последнему значению, то тождество квадратичного типа нужно сократить на Q.

Каждый из способов решения необходимо разобрать отдельно, поскольку они имеют совершенно разные методики нахождения решений квадратных уравнений.

Разложение на множители

Методика сокращения второй степени является одним из альтернативных методов решения квадратичных выражений. Суть ее заключается в применении формул сокращенного умножения и разложения на множители. Однако для ее реализации нужно разобрать основные соотношения:

Куб разности и суммы двух величин: q^3-w^3=(q-w)(q^2+qw+w^2) и q^3+w^3=(q+w)(q^2-qw+w^2).
Сумма или разность кубов значений: (q+w)^3=q^3+3wq^2+3qw^2+w^3 или (q-w)^3=q^3-3wq^2+3qw^2-w^3.
Квадрат разности двух элементов: q^2-w^2=(q-w)(q+w).
Сумма или разность квадратов: (q+w)^2=q^2+2qw+w^2 или (q-w)^2=q^2-2qw+w^2.

Однако эти формулы применяются только в отдельных случаях. Если квадратичная функция представлена в виде многочлена «Qt^2+Rt+S=0», то из него можно выделить квадрат. Для этого нужно воспользоваться следующей методикой:

Записать искомое выражение: Qt^2+Rt+S=0.
При необходимости вынести общий множитель, находящийся возле старшей степени: Q(t^2+(R/Q)t+S/Q=0.
Отнять и прибавить эквивалентное значение к выражению в скобках, чтобы его можно было свернуть в формулу квадрата суммы или разности: t^2+(R/Q)t+S/Q+(Q-S)Q-(Q+S)Q=0.
Выделить полный квадрат: (t+1)^2-(Q+S)/Q=0.
Записать разность квадратов: [t+1-((Q+S)/Q)^(1/2))][t+1+((Q+S)/Q)^(1/2))]=0.
Решить каждое из линейных уравнений по принципу приравнивания каждого множителя нулю.

Когда в квадратичном трехчлене с неизвестным отсутствует коэффициент при низшей степени переменной, задание решается немного другим методом. Он имеет следующий вид:

Написать выражение: Qt^2-S=0.
Сократить его на Q: t^2-S/Q=0.
Разложить по формуле разности квадратов: [t-(S/Q)^(1/2)][t+(S/Q)^(1/2)]=0.
Найти корни простых уравнений: [t-(S/Q)^(1/2)]=0 и [t+(S/Q)^(1/2)]=0.
Записать результат.

Если тождество имеет вид «Qt^2+Rt=0», то его следует разложить на множители. Алгоритм нахождения корней имеет следующий вид:

Записать тождество: Qt^2+Rt=0.
Вынести общий множитель «t»: t(Qt+R)=0.
Найти решения выражений: t1=0 и Qt+R=0.

Следует отметить, что в каждом случае решения могут существовать или полностью отсутствовать. Кроме того, формулу нахождения корней через дискриминант в неполных уравнениях квадратного типа рекомендуется не использовать, поскольку она существенно замедляет расчеты.

Теорема Виета

При решении приведенного квадратного уравнения (Q=1) можно воспользоваться ускоренной методикой нахождения корней, которая осуществляется при помощи теоремы Виета. Она формулируется таким образом: сумма корней соответствует коэффициенту при переменной без квадрата (R), взятой с противоположным знаком, а произведение — свободному члену (S).

Утверждение записывается в математической форме таким образом: t1+t2=-R и (t1)*(t2)=S. Если у квадратичной функции первый коэффициент (при второй степени) отличный от единицы, то выражение необходимо привести к соответствующему виду. Следует отметить, что результат должен быть целочисленным значением. В противном случае процедура вычисления займет много времени. Для закрепления теоретического материала специалисты рекомендуют решить уравнение.

Видео:8 класс, 25 урок, Формула корней квадратного уравненияСкачать

Пример задачи

Условие задачи формулируется следующим образом: нужно решить уравнение «4t^2-12t+8=0» несколькими способами. Первый из них — через дискриминант. Корни находятся по такому алгоритму:

Записать выражение: 4t^2-12t+8=0.
Найти величину дискриминанта: D=144-128=16=4^2.
Вычислить значения переменных по формулам: t1=12/8=1 и t2=[12+4]/8=2.

Уравнение является полным, и к нему применимы также два способа: теорема Виета и выделение полного квадрата. Для реализации первого метода нужно следовать такому алгоритму:

Сократить на 4: t^2-3+2=0.
Найти корни: t1=1 и t2=2.
Проверка: 1+2=3 (-3) и 1*2=2.

Третий метод — выделение квадрата. Операция нахождения корней осуществляется по такой методике:

Написать выражение: 4t^2-12t+8=0.
Выполнить «подгон» к формуле квадрата разности (прибавить и отнять 1): 4t^2-12t+8+1-1=0.
Выделить квадрат: (4t^2-12t+9)-1=(2t-3)^2-1=0.
Разложить на множители: (2t-3-1)(2t-3+1)=(2t-4)(2t-2)=0.
Найти корни: t1=1 и t2=2.

Следует отметить, что каждый сам выбирает метод решения. Однако необходимо учитывать, что оно должно быть оптимальным.

Таким образом, для решения квадратного уравнения применяются различные формулы, благодаря которым можно находить его корни оптимальным способом.

Видео:Как разобраться в корнях ? Квадратный корень 8 класс | Математика TutorOnlineСкачать

Как решать квадратные уравнения

О чем эта статья:

Видео:Формула корней квадратного уравнения – 8 класс алгебраСкачать

Понятие квадратного уравнения

Уравнение — это равенство, содержащее переменную, значение которой нужно найти.

Например, х + 8 = 12 — это уравнение, которое содержит переменную х.

Корень уравнения — это такое значение переменной, которое при подстановке в уравнение обращает его в верное числовое равенство.

Например, если х = 5, то при подстановке в уравнение мы получим 5 + 8 = 12. 13 = 12 — противоречие. Значит, х = 5 не является корнем уравнения.

А вот если х = 4, то при подстановке в уравнение мы получим 4 + 8 = 12. 12 = 12 — верное равенство. Значит, х = 4 является корнем уравнения.

Решить уравнение — значит найти все его корни или доказать, что их не существует.

Квадратное уравнение — это уравнение вида ax 2 + bx + c = 0, где a — первый или старший коэффициент, не равный нулю, b — второй коэффициент, c — свободный член.

Чтобы запомнить месторасположение коэффициентов, давайте потренируемся определять их.

Квадратные уравнения могут иметь два корня, один корень или не иметь корней.

Чтобы определить, сколько корней имеет уравнение, нужно обратить внимание на дискриминант. Чтобы его найти, берем формулу: D = b 2 − 4ac. А вот свойства дискриминанта:

если D 0, есть два различных корня.

С этим разобрались. А сейчас посмотрим подробнее на различные виды квадратных уравнений.

Разобраться в теме еще быстрее с помощью опытного преподавателя можно на курсах по математике в онлайн-школе Skysmart.

Видео:Алгебра 8 класс. Ещё одна формула корней квадратного уравненияСкачать

Приведенные и неприведенные квадратные уравнения

Квадратное уравнение может быть приведенным или неприведенным — все зависит от от значения первого коэффициента.

Приведенное квадратное уравнение — это уравнение, где старший коэффициент, тот который стоит при одночлене высшей степени, равен единице.

Неприведенным называют квадратное уравнение, где старший коэффициент отличается от единицы.

Давайте-ка на примерах — вот у нас есть два уравнения:

x 2 — 2x + 6 = 0
x 2 — x — 1/4 = 0

В каждом из них старший коэффициент равен единице (которую мы мысленно представляем при x 2 ), а значит уравнение называется приведенным.

2x 2 − 4x — 12 = 0 — первый коэффициент отличен от единицы (2), значит это неприведенное квадратное уравнение.

Каждое неприведенное квадратное уравнение можно преобразовать в приведенное, если произвести равносильное преобразование — разделить обе его части на первый коэффициент.

Пример 1. Превратим неприведенное уравнение: 8x 2 + 20x — 9 = 0 — в приведенное.

Для этого разделим обе части исходного уравнения на старший коэффициент 8:

Ответ: равносильное данному приведенное уравнение x 2 + 2,5x — 1,125 = 0.

Видео:ФОРМУЛА КОРНЕЙ КВАДРАТНОГО УРАВНЕНИЯ. §20 алгебра 8 классСкачать

Полные и неполные квадратные уравнения

В определении квадратного уравнения есть условие: a ≠ 0. Оно нужно, чтобы уравнение ax 2 + bx + c = 0 было именно квадратным. Если a = 0, то уравнение обретет вид линейного: bx + c = 0.

Что касается коэффициентов b и c, то они могут быть равны нулю, как по отдельности, так и вместе. В таком случае квадратное уравнение принято называть неполным.

Неполное квадратное уравнение —— это квадратное уравнение вида ax 2 + bx + c = 0, где оба или хотя бы один из коэффициентов b и c равен нулю.

Полное квадратное уравнение — это уравнение, у которого все коэффициенты отличны от нуля.

Для самых любопытных объясняем откуда появились такие названия:

Если b = 0, то квадратное уравнение принимает вид ax 2 + 0x+c=0 и оно равносильно ax 2 + c = 0.
Если c = 0, то квадратное уравнение выглядит так ax 2 + bx + 0 = 0, иначе его можно написать как ax 2 + bx = 0.
Если b = 0 и c = 0, то квадратное уравнение выглядит так ax 2 = 0.

Такие уравнения отличны от полного квадратного тем, что их левые части не содержат либо слагаемого с неизвестной переменной, либо свободного члена, либо и того и другого. Отсюда и их название — неполные квадратные уравнения.

Видео:Упрощенная формула корней квадратного уравнения. ЕГЭ и ОГЭ 2022 по математикеСкачать

Решение неполных квадратных уравнений

Как мы уже знаем, есть три вида неполных квадратных уравнений:

ax 2 = 0, ему отвечают коэффициенты b = 0 и c = 0;
ax 2 + c = 0, при b = 0;
ax 2 + bx = 0, при c = 0.

Давайте рассмотрим по шагам, как решать неполные квадратные уравнения по видам.

Как решить уравнение ax 2 = 0

Начнем с решения неполных квадратных уравнений, в которых b и c равны нулю, то есть, с уравнений вида ax 2 = 0.

Уравнение ax 2 = 0 равносильно x 2 = 0. Такое преобразование возможно, когда мы разделили обе части на некое число a, которое не равно нулю. Корнем уравнения x 2 = 0 является нуль, так как 0 2 = 0. Других корней у этого уравнения нет, что подтверждают свойства степеней.

Таким образом, неполное квадратное уравнение ax 2 = 0 имеет единственный корень x = 0.

Пример 1. Решить −6x 2 = 0.

Замечаем, что данному уравнению равносильно x 2 = 0, значит исходное уравнение имеет единственный корень — нуль.
По шагам решение выглядит так:

Как решить уравнение ax 2 + с = 0

Обратим внимание на неполные квадратные уравнения вида ax 2 + c = 0, в которых b = 0, c ≠ 0. Мы давно знаем, что слагаемые в уравнениях носят двусторонние куртки: когда мы переносим их из одной части уравнения в другую, они надевает куртку на другую сторону — меняют знак на противоположный.

Еще мы знаем, что если обе части уравнения поделить на одно и то же число (кроме нуля) — у нас получится равносильное уравнение. Ну есть одно и то же, только с другими цифрами.

Держим все это в голове и колдуем над неполным квадратным уравнением (производим «равносильные преобразования»): ax 2 + c = 0:

перенесем c в правую часть: ax 2 = — c,
разделим обе части на a: x 2 = — c/а.

Ну все, теперь мы готовы к выводам о корнях неполного квадратного уравнения. В зависимости от значений a и c, выражение — c/а может быть отрицательным или положительным. Разберем конкретные случаи.

Если — c/а 2 = — c/а не имеет корней. Все потому, что квадрат любого числа всегда равен неотрицательному числу. Из этого следует, что при — c/а 0, то корни уравнения x 2 = — c/а будут другими. Например, можно использовать правило квадратного корня и тогда корень уравнения равен числу √- c/а, так как (√- c/а) 2 = — c/а. Кроме того, корнем уравнения может стать -√- c/а, так как (-√- c/а) 2 = — c/а. Ура, больше у этого уравнения нет корней.

Неполное квадратное уравнение ax 2 + c = 0 равносильно уравнению х 2 = -c/a, которое:

не имеет корней при — c/а 0.

В двух словах

Пример 1. Найти решение уравнения 8x 2 + 5 = 0.

Разделим обе части на 8:

В правой части осталось число со знаком минус, значит у данного уравнения нет корней.

Ответ: уравнение 8x 2 + 5 = 0 не имеет корней.

Как решить уравнение ax 2 + bx = 0

Осталось разобрать третий вид неполных квадратных уравнений, когда c = 0.

Неполное квадратное уравнение ax 2 + bx = 0 можно решить методом разложения на множители. Как разложить квадратное уравнение:

Разложим на множители многочлен, который расположен в левой части уравнения — вынесем за скобки общий множитель x.

Теперь можем перейти от исходного уравнения к равносильному x * (ax + b) = 0. А это уравнение равносильно совокупности двух уравнений x = 0 и ax + b = 0, последнее — линейное, его корень x = −b/a.

Таким образом, неполное квадратное уравнение ax 2 + bx = 0 имеет два корня:

Пример 1. Решить уравнение 0,5x 2 + 0,125x = 0

Это уравнение равносильно х = 0 и 0,5x + 0,125 = 0.

Решить линейное уравнение:

0,5x = 0,125,
х = 0,125/0,5

Значит корни исходного уравнения — 0 и 0,25.

Ответ: х = 0 и х = 0,25.

Как разложить квадратное уравнение

С помощью теоремы Виета можно получить формулу разложения квадратного трехчлена на множители. Выглядит она так:

Формула разложения квадратного трехчлена

Если x₁ и x₂ — корни квадратного трехчлена ax 2 + bx + c, то справедливо равенство ax 2 + bx + c = a (x − x₁) (x − x₂).

Видео:Алгебра 8 класс. Формулы корней квадратного уравненияСкачать

Дискриминант: формула корней квадратного уравнения

Чтобы найти результат квадратного уравнения, придумали формулу корней. Выглядит она так:

где D = b 2 − 4ac — дискриминант квадратного уравнения.

Эта запись означает:

Чтобы легко применять эту формулу, нужно понять, как она получилась. Давайте разбираться.

Алгоритм решения квадратных уравнений по формулам корней

Теперь мы знаем, что при решении квадратных уравнения можно использовать универсальную формулу корней — это помогает находить комплексные корни.

В 8 классе на алгебре можно встретить задачу по поиску действительных корней квадратного уравнения. Для этого важно перед использованием формул найти дискриминант и убедиться, что он неотрицательный, и только после этого вычислять значения корней. Если дискриминант отрицательный, значит уравнение не имеет действительных корней.

Алгоритм решения квадратного уравнения ax 2 + bx + c = 0:

вычислить его значение дискриминанта по формуле D = b 2 −4ac;
если дискриминант отрицательный, зафиксировать, что действительных корней нет;
если дискриминант равен нулю, вычислить единственный корень уравнения по формуле х = −b/2a;
если дискриминант положительный, найти два действительных корня квадратного уравнения по формуле корней

Чтобы запомнить алгоритм решения квадратных уравнений и с легкостью его использовать, давайте тренироваться!

Примеры решения квадратных уравнений

Как решать квадратные уравнения мы уже знаем, осталось закрепить знания на практике.

Пример 1. Решить уравнение −4x 2 + 28x — 49 = 0.

Найдем дискриминант: D = 28 2 — 4(-4)(-49) = 784 — 784 = 0
Так как дискриминант равен нулю, значит это квадратное уравнение имеет единственный корень
Найдем корень

Ответ: единственный корень 3,5.

Пример 2. Решить уравнение 54 — 6x 2 = 0.

Оставим неизвестное в одной части, остальное перенесем с противоположным знаком в другую

Ответ: два корня 3 и — 3.

Пример 3. Решить уравнение x 2 — х = 0.

Ответ: два корня 0 и 1.

Пример 4. Решить уравнение x 2 — 10 = 39.

Ответ: два корня 7 и −7.

Пример 5. Решить уравнение 3x 2 — 4x+94 = 0.

D = (-4) 2 — 4 * 3 * 94 = 16 — 1128 = −1112

Дискриминант отрицательный, поэтому корней нет.

Ответ: корней нет.

В школьной программе за 8 класс нет обязательного требования искать комплексные корни, но такой подход может ускорить ход решения. Если дискриминант отрицательный — сразу пишем ответ, что действительных корней нет и не мучаемся.

Видео:Быстрый способ решения квадратного уравненияСкачать

Формула корней для четных вторых коэффициентов

Рассмотрим частный случай. Формула решения корней квадратного уравнения , где D = b 2 — 4ac, помогает получить еще одну формулу, более компактную, при помощи которой можно решать квадратные уравнения с четным коэффициентом при x. Рассмотрим, как появилась эта формула.

Например, нам нужно решить квадратное уравнение ax 2 + 2nx + c = 0. Сначала найдем его корни по известной нам формуле. Вычислим дискриминант D = (2n) 2 — 4ac = 4n 2 — 4ac = 4(n 2 — ac) и подставим в формулу корней:

2 + 2nx + c = 0″ height=»705″ src=»https://user84060.clients-cdnnow.ru/uploads/5fc11a460e2f8354381151.png» width=»588″>

Для удобства вычислений обозначим выражение n 2 -ac как D₁. Тогда формула корней квадратного уравнения со вторым коэффициентом 2·n примет вид:

где D₁ = n 2 — ac.

Самые внимательные уже заметили, что D = 4D₁, или D₁= D/4. Проще говоря, D₁ — это четверть дискриминанта. И получается, что знак D1 является индикатором наличия или отсутствия корней квадратного уравнения.

Сформулируем правило. Чтобы найти решение квадратного уравнения со вторым коэффициентом 2n, нужно:

вычислить D₁= n 2 — ac;
если D₁ 0, значит можно найти два действительных корня по формуле

Видео:МАТЕМАТИКА 8 класс - Квадратные Уравнения. Как решать Квадратные Уравнения? Формула КорнейСкачать

Формула Виета

Если в школьной геометрии чаще всего используется теорема Пифагора, то в школьной алгебре ведущую роль занимают формулы Виета. Теорема звучит так:

Сумма корней x 2 + bx + c = 0 равна второму коэффициенту с противоположным знаком, а произведение корней равняется свободному члену.

Если дано x 2 + bx + c = 0, где x₁ и x₂ являются корнями, то справедливы два равенства:

Знак системы, который принято обозначать фигурной скобкой, означает, что значения x₁ и x₂ удовлетворяют обоим равенствам.

Рассмотрим теорему Виета на примере: x 2 + 4x + 3 = 0.

Пока неизвестно, какие корни имеет данное уравнение. Но в соответствии с теоремой можно записать, что сумма этих корней равна второму коэффициенту с противоположным знаком. Он равен четырем, значит будем использовать минус четыре:

Произведение корней по теореме соответствует свободному члену. В данном случае свободным членом является число три. Значит:

Необходимо проверить равна ли сумма корней −4, а произведение 3. Для этого найдем корни уравнения x 2 + 4x + 3 = 0. Воспользуемся формулами для чётного второго коэффициента:
2 + 4x + 3 = 0″ height=»215″ src=»https://lh5.googleusercontent.com/E_X403ETh_88EANRWdQN03KRT8yxP2HO4HoCrxj__c8G0DqmNJ1KDRqtLH5Z1p7DtHm-rNMDB2tEs41D7RHpEV5mojDTMMRPuIkcW33jVNDoOe0ylzXdHATLSGzW4NakMkH2zkLE» width=»393″>

Получилось, что корнями уравнения являются числа −1 и −3. Их сумма равняется второму коэффициенту с противоположным знаком, а значит решение верное.
2 + 4x + 3 = 0″ height=»52″ src=»https://lh5.googleusercontent.com/VzGPXO9B0ZYrr9v0DpJfXwuzeZtjYnDxE_ma76PUC8o7jVWwa8kZjTJhq2Lof0TiJXAp_ny3yRwI_OyRzeucv9xUZ63yoozGPP4xd4OxvElVT7Pt-d6xL5w17e_mQNs5qZJQiwfG» width=»125″>

Произведение корней −1 и −3 по теореме Виета должно равняться свободному члену, то есть числу 3. Это условие также выполняется:
2 + 4x + 3 = 0″ height=»52″ src=»https://lh4.googleusercontent.com/Cq-LCFmY3YGNSan1VF3l3CqIeojoJYAvGAiTBWnzyoZu_xJFrF5NfQ3xCe59apJklw6uYbmQ4lAkBTeC-TJmEGicN3rgGtsezhuqdNiOWjZT39NziOB5uOmQr3cr9-5fNnepdZDo» width=»112″>

Результат проделанных вычислений в том, что мы убедились в справедливости выражения:

Когда дана сумма и произведение корней квадратного уравнения, принято начинать подбор подходящих корней. Теорема, обратная теореме Виета, при таких условиях может быть главным помощником. Вот она:

Обратная теорема Виета

Если числа x₁ и x₂ таковы, что их сумма равна второму коэффициенту уравнения x 2 + bx + c = 0, взятому с противоположным знаком, а их произведение равно свободному члену, то эти числа и есть корни x 2 + bx + c = 0.

Обычно вся суть обратных теорем в том самом выводе, которое дает первая теорема. Так, при доказательстве теоремы Виета стало понятно, что сумма x₁ и x₂ равна −b, а их произведение равно c. В обратной теореме это и есть утверждение.

Пример 1. Решить при помощи теоремы Виета: x 2 − 6x + 8 = 0.

2 − 6x + 8 = 0″ height=»59″ src=»https://user84060.clients-cdnnow.ru/uploads/5fc101ce2e346034751939.png» width=»117″>

Когда у нас есть эти два равенства, можно подобрать подходящие корни, которые будут удовлетворять обоим равенствам системы.

Чтобы проще подобрать корни, нужно их перемножить. Число 8 можно получить путем перемножения чисел 4 и 2 либо 1 и 8. Но значения x₁ и x₂ надо подбирать так, чтобы они удовлетворяли и второму равенству тоже.

Можно сделать вывод, что значения 1 и 8 не подходят, так как они не удовлетворяют равенству x₁ + x₂ = 6. А значения 4 и 2 подходят обоим равенствам:

Значит числа 4 и 2 — корни уравнения x 2 − 6x + 8 = 0. p>

Упрощаем вид квадратных уравнений

Если мы ходили в школу всегда одной тропинкой, а потом вдруг обнаружили путь короче — это значит теперь у нас есть выбор: упростить себе задачу и сократить время на дорогу или прогуляться по привычному маршруту.

Так же и при вычислении корней квадратного уравнения. Ведь проще посчитать уравнение 11x 2 — 4 x — 6 = 0, чем 1100x 2 — 400x — 600 = 0.

Часто упрощение вида квадратного уравнения можно получить через умножение или деление обеих частей на некоторое число. Например, в предыдущем абзаце мы упростили уравнение 1100x 2 — 400x — 600 = 0, просто разделив обе части на 100.

Такое преобразование возможно, когда коэффициенты не являются взаимно простыми числами. Тогда принято делить обе части уравнения на наибольший общий делитель абсолютных величин его коэффициентов.

Покажем, как это работает на примере 12x 2 — 42x + 48 = 0. Найдем наибольший общий делитель абсолютных величин его коэффициентов: НОД (12, 42, 48) = 6. Разделим обе части исходного квадратного уравнения на 6, и придем к равносильному уравнению 2x 2 — 7x + 8 = 0. Вот так просто.

А умножение обеих частей квадратного уравнения отлично помогает избавиться от дробных коэффициентов. Умножать в данном случае лучше на наименьшее общее кратное знаменателей его коэффициентов. Например, если обе части квадратного уравнения

умножить на НОК (6, 3, 1) = 6, то оно примет более простой вид x 2 + 4x — 18 = 0.

Также для удобства вычислений можно избавиться от минуса при старшем коэффициенте квадратного уравнения — для этого умножим или разделим обе части на −1. Например, удобно от квадратного уравнения −2x 2 — 3x + 7 = 0 перейти к решению 2x 2 + 3x — 7 = 0.

Связь между корнями и коэффициентами

Мы уже запомнили, что формула корней квадратного уравнения выражает корни уравнения через его коэффициенты:

Из этой формулы, можно получить другие зависимости между корнями и коэффициентами.

Например, можно применить формулы из теоремы Виета:

Для приведенного квадратного уравнения сумма корней равна второму коэффициенту с противоположным знаком, а произведение корней — свободному члену. Например, по виду уравнения 3x 2 — 7x + 22 = 0 можно сразу сказать, что сумма его корней равна 7/3, а произведение корней равно 22/3.

Можно активно использовать уже записанные формулы и с их помощью получить ряд других связей между корнями и коэффициентами квадратного уравнения. Таким образом можно выразить сумму квадратов корней квадратного уравнения через его коэффициенты:

Видео:Решение квадратного уравнения с выводом формулы корнейСкачать

Корни квадратного уравнения

Видео:Формула корней квадратного уравнения с четным вторым коэффициентомСкачать

Основные формулы

Рассмотрим квадратное уравнение:
(1) .
Корни квадратного уравнения (1) определяются по формулам:
; .
Эти формулы можно объединить так:
.
Когда корни квадратного уравнения известны, то многочлен второй степени можно представить в виде произведения сомножителей (разложить на множители):
.

Далее считаем, что – действительные числа.
Рассмотрим дискриминант квадратного уравнения:
.
Если дискриминант положителен, , то квадратное уравнение (1) имеет два различных действительных корня:
; .
Тогда разложение квадратного трехчлена на множители имеет вид:
.
Если дискриминант равен нулю, , то квадратное уравнение (1) имеет два кратных (равных) действительных корня:
.
Разложение на множители:
.
Если дискриминант отрицателен, , то квадратное уравнение (1) имеет два комплексно сопряженных корня:
;
.
Здесь – мнимая единица, ;
и – действительная и мнимая части корней:
; .
Тогда

Видео:Урок 95 Формулы корней квадратного уравнения (8 класс)Скачать

Графическая интерпретация

Если построить график функции
,
который является параболой, то точки пересечения графика с осью будут корнями уравнения
.
При , график пересекает ось абсцисс (ось ) в двух точках (см. рисунок ⇓).
При , график касается оси абсцисс в одной точке (см. рисунок ⇓).
При , график не пересекает ось абсцисс (см. рисунок ⇓).

Видео:Как применять формулу корней квадратного уравненияСкачать

Полезные формулы, связанные с квадратным уравнением

Видео:Квадратные уравнения от «А» до «Я». Классификация, решение и теорема Виета | МатематикаСкачать

Вывод формулы для корней квадратного уравнения

Выполняем преобразования и применяем формулы (f.1) и (f.3):

,
где
; .

Итак, мы получили формулу для многочлена второй степени в виде:
.
Отсюда видно, что уравнение

выполняется при
и .
То есть и являются корнями квадратного уравнения
.

Видео:Алгебра 8. Урок 9 - Квадратные уравнения. Полные и неполныеСкачать

Примеры определения корней квадратного уравнения

Пример 1

Найти корни квадратного уравнения:
(1.1) .

Запишем квадратное уравнение в общем виде:
.
Сравнивая с нашим уравнением (1.1), находим значения коэффициентов:
.
Находим дискриминант:
.
Поскольку дискриминант положителен, , то уравнение имеет два действительных корня:
;
;
.

Отсюда получаем разложение квадратного трехчлена на множители:

График функции y = 2 x 2 + 7 x + 3 пересекает ось абсцисс в двух точках.

Построим график функции
.
График этой функции является параболой. Она пересевает ось абсцисс (ось ) в двух точках:
и .
Эти точки являются корнями исходного уравнения (1.1).

Пример 2

Найти корни квадратного уравнения:
(2.1) .

Запишем квадратное уравнение в общем виде:
.
Сравнивая с исходным уравнением (2.1), находим значения коэффициентов:
.
Находим дискриминант:
.
Поскольку дискриминант равен нулю, , то уравнение имеет два кратных (равных) корня:
;
.

Тогда разложение трехчлена на множители имеет вид:
.

График функции y = x 2 – 4 x + 4 касается оси абсцисс в одной точке.

Построим график функции
.
График этой функции является параболой. Она касается оси абсцисс (ось ) в одной точке:
.
Эта точка является корнем исходного уравнения (2.1). Поскольку этот корень входит в разложение на множители два раза:
,
то такой корень принято называть кратным. То есть считают, что имеется два равных корня:
.

Пример 3

Найти корни квадратного уравнения:
(3.1) .

Запишем квадратное уравнение в общем виде:
(1) .
Перепишем исходное уравнение (3.1):
.
Сравнивая с (1), находим значения коэффициентов:
.
Находим дискриминант:
.
Дискриминант отрицателен, . Поэтому действительных корней нет.

Можно найти комплексные корни:
;
;
.

График функции не пересекает ось абсцисс. Действительных корней нет.

Построим график функции
.
График этой функции является параболой. Она не пересекает ось абсцисс (ось ). Поэтому действительных корней нет.

Действительных корней нет. Корни комплексные:
;
;
.

Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 19-04-2016

🌟 Видео

Формула корней квадратного уравненияСкачать