Записать уравнение кривой проходящей через точку если известно что угловой коэффициент касательной

кривой в любой её точке равен 3x^2 -2x

Ответ:

Угловой коэффициент касательной равен производной функции в точке касания, зачит

Объяснение:Чтобы найти саму функцию, то есть первообразную, надо проинтегрировать производную.

Найдём С. Подставим координаты точки в первообразную

Видео:Математика без Ху!ни. Уравнение касательной.Скачать

Уравнение касательной к графику функции

п.1. Уравнение касательной

Рассмотрим кривую (y=f(x)).
Выберем на ней точку A с координатами ((x_0,y_0)), проведем касательную AB в этой точке.

Как было показано в §42 данного справочника, угловой коэффициент касательной равен производной от функции f в точке (x_0): $$ k=f'(x_0) $$ Уравнение прямой AB, проведенной через две точки: ((y_B-y_A)=k(x_B-x_A)).
Для (A(x_0,y_0), B(x,y)) получаем: begin (y-y_0)=k(x-x_0)\ y=k(x-x_0)+y_0\ y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0) end

Чтобы записать уравнение касательной с угловым коэффициентом в виде (y=kx+b), нужно раскрыть скобки и привести подобные: $$ y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)=underbrace_x+underbrace_ $$

п.2. Алгоритм построения касательной

На входе: уравнение кривой (y=f(x)), абсцисса точки касания (x_0).
Шаг 1. Найти значение функции в точке касания (f(x_0))
Шаг 2. Найти общее уравнение производной (f’ (x))
Шаг 3. Найти значение производной в точке касания (f'(x_0 ))
Шаг 4. Записать уравнение касательной (y=f’ (x_0)(x-x_0)+f(x_0)), привести его к виду (y=kx+b)
На выходе: уравнение касательной в виде (y=kx+b)

Пусть (f(x)=x^2+3). Найдем касательную к этой параболе в точке (x_0=1).

(f(x_0)=1^2+3=4 )
(f'(x)=2x )
(f'(x_0)=2cdot 1=2)
Уравнение касательной: $$ y=2(x-1)+4=2x-2+4=2x+2 $$ Ответ: (y=2x+2)

п.3. Вертикальная касательная

Не путайте вертикальные касательные с вертикальными асимптотами.
Вертикальная асимптота проходит через точку разрыва 2-го рода (x_0notin D), в которой функция не определена и производная не существует. График функции приближается к асимптоте на бесконечности, но у них никогда не бывает общих точек.
А вертикальная касательная проходит через точку (x_0in D), входящую в область определения. График функции и касательная имеют одну общую точку ((x_0,y_0)).

Вертикальные касательные характерны для радикалов вида (y=sqrt[n]).

Пусть (f(x)=sqrt[5]+1). Найдем касательную к этой кривой в точке (x_0=1).

(f(x_0)=sqrt[5]+1=1)
(f'(x)=frac15(x-1)^+0=frac15(x-1)^=frac<5(x-1)^> )
(f'(x_0)=frac<5(1-1)^>=frac10=+infty)
В точке (x_0) проходит вертикальная касательная.
Её уравнение: (x=1)
Ответ: (y=2x+2)

п.4. Примеры

Пример 1. Для функции (f(x)=2x^2+4x)
a) напишите уравнения касательных, проведенных к графику функции в точках его пересечения с осью OX.

Находим точки пересечения, решаем уравнение: $$ 2x^2+4x=0Rightarrow 2x(x+2)=0Rightarrow left[ begin x=0\ x=-2 end right. $$ Две точки на оси: (0;0) и (-2;0). Касательная в точке (x_0=0): begin f(x_0)=0, f'(x)=4x+4\ f'(x_0)=4cdot 0+4=4\ y=4(x-0)+0=4x end Касательная в точке (x_0=-2): begin f(x_0)=0, f'(x)=4x+4\ f'(x_0)=4cdot (-2)+4=-4\ y=-4(x+2)+0=-4x-8 end

б) Найдите, в какой точке касательная образует с положительным направлением оси OX угол 45°. Напишите уравнение этой касательной.

Общее уравнение касательной: (f'(x)=4x+4) По условию (f'(x_0)=tgalpha=tg45^circ=1) Решаем уравнение: $$ 4x_0+4=1Rightarrow 4x_0=-3Rightarrow x_0=-frac34 $$ Точка касания (x_0=-frac34) begin f(x_0)=2cdotleft(-frac34right)^2+4cdotleft(-frac34right)=frac98-3=-frac end Уравнение касательной: begin y=1cdotleft(x+frac34right)-frac=x-frac98 end

в) найдите, в какой точке касательная будет параллельна прямой (2x+y-6=0). Напишите уравнение этой касательной.

Найдем угловой коэффициент заданной прямой: (y=-2x+6Rightarrow k=-2). Касательная должна быть параллельной, значит, её угловой коэффициент тоже (k=-2). Получаем уравнение: begin f'(x_0)=-2\ 4x_0+4=-2Rightarrow 4x_0=-6Rightarrow x_0=-frac32 end Точка касания (x_0=-frac32) begin f(x_0)=2cdotleft(-frac32right)^2+4cdotleft(-frac32right)=\ =frac92-6=-frac32 end Уравнение касательной: begin y=-2cdotleft(x+frac32right)-frac32=-2x-frac92 end Или, в каноническом виде: begin 2x+y+frac92=0 end

г) в какой точке функции можно провести горизонтальную касательную? Напишите уравнение этой касательной.

У горизонтальной прямой (k=0). Получаем уравнение: (f'(x_0)=0). begin 4x_0+4=0Rightarrow 4x_0=-4Rightarrow x_0=-1 end Точка касания (x_0=-1) begin f(x_0)=2cdot(-1)^2+4cdot(-1)=-2 end Уравнение касательной: begin y=0cdot(x+1)-2=-2 end

Ответ: а) (y=4x) и (y=-4x-8); б) (y=x-frac98); в) (2x+y+frac92=0); г) (y=-2)

Пример 3*. Найдите точку, в которой касательная к графику функции (f(x)=frac-x) перпендикулярна прямой (y=11x+3). Напишите уравнение этой касательной.

Угловой коэффициент данной прямой (k_1=11).
Угловой коэффициент перпендикулярной прямой (k_2=-frac=-frac) begin f'(x)=left(fracright)’-x’=frac-1=frac=\ =frac=- frac end В точке касания: begin f'(x_0)=k_2Rightarrow=-frac=-fracRightarrow (x+3)^2=121Rightarrow (x+3)^2-11^2=0Rightarrow\ Rightarrow (x+14)(x+8)=0Rightarrow left[ begin x=-14\ x=8 end right. end
Уравнение касательной при (x_0=-14) begin f(x_0)=frac+14=frac+14=-18+14=-4\ y=-frac(x+14)-4=-frac end Уравнение касательной при (x_0=8) begin f(x_0)=frac-8=frac-8=-2\ y=-frac(x-8)-2=-frac end
Ответ: точка касания (-14;-4), уравнение (y=-frac)
и точка касания (8;-2), уравнение (-frac)

Пример 4*. Найдите уравнения общих касательных к параболам (y=x^2-5x+6) и (y=x^2+x+1). Укажите точки касания.

Найдем производные функций: begin f_1′(x)=2x-5, f_2′(x)=2x+1 end Пусть a – абсцисса точки касания для первой параболы, b — для второй.
Запишем уравнения касательных (g_1(x)) и (g_2(x)) через эти переменные. begin g_1(x)=f_1′(a)(x-a)+f_1(a)=(2a-5)(x-a)+a^2-5a+6=\ =(2a-5)x-2a^2+5a+a^2-5a+6=(2a-5)x+(6-a^2)\ \ g_2(x)=f_2′(b)(x-b)+f_2(b)=(2b+1)(x-b)+b^2+b+1=\ =(2b+1)x-2b^2-b+b^2+b+1=(2b+1)x+(1-b^2) end Для общей касательной должны быть равны угловые коэффициенты и свободные члены. Получаем систему уравнений: begin begin 2a-5=2b+1\ 6-a^2=1-b^2 end Rightarrow begin 2(a-b)=6\ a^2-b^2=5 end Rightarrow begin a-b=3\ (a-b)(a+b)=5 end Rightarrow begin a-b=3\ a+b=frac53 end Rightarrow \ Rightarrow begin 2a=3+frac53\ 2b=frac53-3 end Rightarrow begin a=frac73\ b=-frac23 end end Находим угловой коэффициент и свободный член из любого из двух уравнений касательных: $$ k=2a-5=2cdotfrac73-5=-frac13, b=6-a^2=6-frac=frac59 $$ Уравнение общей касательной: $$ y=-frac x3+frac59 $$
Точки касания: begin a=frac73, f_1(a)=left(frac73right)^2-5cdotfrac73+6=frac-frac+6=frac=-frac29\ b=-frac23, f_2(b)=left(-frac23right)^2-frac23+1=frac49-frac23+1frac=frac79 end
Ответ: касательная (y=-frac x3+frac59); точки касания (left(frac73;-frac29right)) и (left(-frac23;frac79right))

Пример 5*. Докажите, что кривая (y=x^4+3x^2+2x) не пересекается с прямой (y=2x-1), и найдите расстояние между их ближайшими точками.

Решим уравнение: (x^4+3x^2+2x=2x-1) begin x^4+3x^2+1=0Rightarrow D=3^2-4=5Rightarrow x^2=frac<-3pmsqrt> end Оба корня отрицательные, а квадрат не может быть отрицательным числом.
Значит, (xinvarnothing) — решений нет, кривая и прямая не пересекаются.
Что и требовалось доказать.

Чтобы найти расстояние, необходимо построить касательную к кривой с тем же угловым коэффициентом (k=2), то и y данной прямой. Тогда искомым расстоянием будет расстояние от точки касания до прямой (y=2x-1).
Строим уравнение касательной. По условию: (f'(x)=4x^3+6x+2=2) begin 4x^3+6x=0Rightarrow 2x(2x^2+3)=0Rightarrow left[ begin x=0\ 2x^2+3=0 end right. Rightarrow left[ begin x=0\ x^2=-frac32 end right. Rightarrow left[ begin x=0\ xinvarnothing end right. Rightarrow x=0 end Точка касания (x_0=0, y_0=0^4+3cdot 0^2+2cdot 0=0).
Уравнение касательной: (y=2(x-0)+0=2x)

Ищем расстояние между двумя параллельными прямыми: (y=2x) и (y=2x-1). Перпендикуляр из точки (0;0) на прямую (y=2x-1) имеет угловой коэффициент (k=-frac12), его уравнение: (y=-frac12 x+b). Т.к. точка (0;0) принадлежит этому перпендикуляру, он проходит через начало координат и (b=0).

Уравнение перпендикуляра: (y=-frac x2).
Находим точку пересечения прямой (y=2x-1) и перпендикуляра (y=-frac x2): begin 2x-1=-frac x2Rightarrow 2,5x=1Rightarrow x=0,4; y=-frac=-0,2 end Точка пересечения A(0,4;-0,2).
Находим расстояние (OA=sqrt=0,2sqrt=frac<sqrt>)
Ответ: (frac<sqrt>)

Видео:10 класс, 43 урок, Уравнение касательной к графику функцииСкачать

Кривая проходит через точку (2 ; — 1) и обладает тем свойством, что угловой коэффициент касательной в любой ее точке пропорционален квадрату ординаты точки касания с коэффициентом пропорциональности k?

Математика | 5 — 9 классы

Кривая проходит через точку (2 ; — 1) и обладает тем свойством, что угловой коэффициент касательной в любой ее точке пропорционален квадрату ординаты точки касания с коэффициентом пропорциональности k = 3.

Найти уравнение кривой.

Пусть уравнение кривой выглядит так :

Тогда угловой коэффициент касательной в любой точке равен :

С другой стороны :

Получили квадратное уравнение.

Оно простое, с разделяющимися переменными.

dy / y ^ 2 = 3dx — 1 / y = 3x + C

Для этого вспомним, что кривая проходит через точку А (2, — 1).

Подставляя координаты точки А получаем : — 1 = — 1 / (6 + C) — 6 — C = — 1

Итого искомое уравнение :

Видео:Угловой коэффициент прямойСкачать

К кривой y = x ^ 2 — 2x + 4 в точке абцисой х = 0 проведена касательная ОПРЕДЕЛИТЬ : 1)угловой коэффициент касательной в этой точке 2)Ординату точки касания 3)уровнение касательной?

К кривой y = x ^ 2 — 2x + 4 в точке абцисой х = 0 проведена касательная ОПРЕДЕЛИТЬ : 1)угловой коэффициент касательной в этой точке 2)Ординату точки касания 3)уровнение касательной.

Видео:Математика без Ху!ни. Уравнения прямой. Часть 1. Уравнение с угловым коэффициентом.Скачать

Найти угловой коэффициент касательной, проведенной к параболе y = x ^ 2 в точке (3 ; 9)?

Найти угловой коэффициент касательной, проведенной к параболе y = x ^ 2 в точке (3 ; 9).

Видео:Уравнение касательной в точке. Практическая часть. 1ч. 10 класс.Скачать

Запишите уравнения прямой, если известно, что : а) угловой коэффициент прямой равен — 2 и она проходит через точку (2 ; — 2) б) угловой коэффициент прямой равен 0, 5 и она проходит через точку ( — 6 ?

Запишите уравнения прямой, если известно, что : а) угловой коэффициент прямой равен — 2 и она проходит через точку (2 ; — 2) б) угловой коэффициент прямой равен 0, 5 и она проходит через точку ( — 6 ; — 2).

Видео:Уравнения касательной и нормали к кривой, заданной в неявном видеСкачать

Найти угловой коэффициент касательной к графику функции y = cos3x в точке с абсциссой X0 = pi / 6?

Найти угловой коэффициент касательной к графику функции y = cos3x в точке с абсциссой X0 = pi / 6.

Видео:Видеоурок "Уравнение прямой с угловым коэффициентом"Скачать

Чему равен угловой коэффициент касательной к кривой y = 5 — 6x + x ^ 2 в точке x0 = 2?

Чему равен угловой коэффициент касательной к кривой y = 5 — 6x + x ^ 2 в точке x0 = 2?

Видео:Как написать уравнения касательной и нормали | МатематикаСкачать

Найти уравнение кривой, проходящей через точку А( — 2 ; 3), если касательная кривой в каждой ее точке равна 3х?

Найти уравнение кривой, проходящей через точку А( — 2 ; 3), если касательная кривой в каждой ее точке равна 3х.

Видео:Записать уравнение прямой параллельной или перпендикулярной данной.Скачать

Угловой коэффициент касательной к кривой y = 5 — 6x + x ^ 2 в точке x ноль = 2 равена)5б) — 2в)6?

Угловой коэффициент касательной к кривой y = 5 — 6x + x ^ 2 в точке x ноль = 2 равен

Видео:Касательная к графику функции в точке. 10 класс.Скачать

Найдите угловой коэффициент касательной, проведенной к кривой При x = 2?

Найдите угловой коэффициент касательной, проведенной к кривой При x = 2.

Видео:Тема 3 Пример на нахождение углового коэффициента касательной - 1 частьСкачать

Найти угловой коэффициент касательной к графику функции y = 3×2 — 1 в точке х = — 1?

Найти угловой коэффициент касательной к графику функции y = 3×2 — 1 в точке х = — 1.

Видео:Уравнение параллельной прямойСкачать

К графику функции f(x) = 2x ^ 2 + 5x — 1 проведена касательная с угловым коэффициентом 9?

К графику функции f(x) = 2x ^ 2 + 5x — 1 проведена касательная с угловым коэффициентом 9.

Найти координаты точки касания.

Вы открыли страницу вопроса Кривая проходит через точку (2 ; — 1) и обладает тем свойством, что угловой коэффициент касательной в любой ее точке пропорционален квадрату ординаты точки касания с коэффициентом пропорциональности k?. Он относится к категории Математика. Уровень сложности вопроса – для учащихся 5 — 9 классов. Удобный и простой интерфейс сайта поможет найти максимально исчерпывающие ответы по интересующей теме. Чтобы получить наиболее развернутый ответ, можно просмотреть другие, похожие вопросы в категории Математика, воспользовавшись поисковой системой, или ознакомиться с ответами других пользователей. Для расширения границ поиска создайте новый вопрос, используя ключевые слова. Введите его в строку, нажав кнопку вверху.

Сначала решаешь скобку, потом по порядку слева направо.

1) 40 + 15 = 55 2) 55 + 20 = 75 3)75 — 21 = 54.

900 — (600 — 130 * 4) : 10 = 900 — (600 — 520) : 10 = 900 — 80 : 10 = 900 — 8 = 882 800 — 250 + 140 : 5 * 2 = 800 — 250 + 140 : 10 = 800 — 250 + 14 = 550 + 14 = 564.

Самое большое число, кратное 6 и при этом не больше 50 — это 48 Ответ : 48.

— 2, 5(3 — а) + 5(а — 7) = — 7, 5 + 2, 5а + 5а — 35 = (2, 5а + 5а) — (7, 5 + 35) = = 7, 5а — 42, 5.

8 + 4 = 12 (всего коробок) 480 : 12 = 40 шаров в одной коробке 8 * 40 = 320 красных шаров всего.

Например тетрадь 5 рублей А альбом на 3 рублей дороже чем тетрадь Ручка на 1 рубль дешевле чем альбом 1 )5 + 3 = 8 стоит альбом 2) 8 — 1 = 7 стоит ручка Вопрос сколько стоит альбом и ручка Ответ 8 рублей стоит альбом, а 7 рублей стоит ручка.

Тетрадь в клетку стоит 30 руб. Альбом на 40руб дороже чем тетрадь. А ручка на 50 руб дешевле чем альбом . Вопрос : Сколько стоит ручка? _____________________________ 1)30 + 40 = 70(руб) — Стоит альбом 2)70 — 50 = 20(руб) — Стоит ручка Ответ : 20р..

. Пусть коробок с бокаламипо 3штуких. Тогда остальных коробок (с бокаламипо 2штуки)12 — х. Составим уравнение для общего количества бокалов. Х·3 + (12 — х)·2 = 28 3х + 24 — 2х = 28 3х — 2х = 28 — 24 х = 4 Ответ : 4 коробки. Проверка. 4 коробки с..

Жила — была тройка. Как — то раз пошла она в соседнее королевство. Встретила она пятерку. Они обнялись и получилась восьмерка! Конец, а кто слушал молодец.

📺 Видео

№970. Напишите уравнение окружности, проходящей через точку А (1; 3), если известноСкачать

Угловой коэффициент касательной при пересечении графиков двух функций. Производная на ЕГЭ. Часть 7Скачать

Как записать уравнение нормали к кривой в точке экстремумаСкачать

Линейная функция. Составить уравнение прямой проходящей через точку и перпендикулярно прямой.Скачать

3. Геометрический смысл производной. Уравнение касательной и нормали.Скачать

Математика без Ху!ни. Уравнения прямой. Часть 2. Каноническое, общее и в отрезках.Скачать

№968. Напишите уравнение окружности с центром в точке А(0; 6), проходящей через точку В (-3; 2).Скачать

Уравнение окружности (1)Скачать