Записать уравнение кривой проходящей через точку если известно что длина отрезка отсекаемого

Видео:Записать уравнение прямой параллельной или перпендикулярной данной.Скачать

Записать уравнение прямой параллельной или перпендикулярной данной.

Геометрические и физические задачи

Записать уравнение кривой проходящей через точку если известно что длина отрезка отсекаемого

56. Записать уравнение кривой проходящей через точку если известно что длина отрезка отсекаемого. 57. Записать уравнение кривой проходящей через точку если известно что длина отрезка отсекаемого.

58. Записать уравнение кривой проходящей через точку если известно что длина отрезка отсекаемого.

Проинтегрировать следующие уравнения, для которых интегрирующий множитель Записать уравнение кривой проходящей через точку если известно что длина отрезка отсекаемогоили Записать уравнение кривой проходящей через точку если известно что длина отрезка отсекаемого:

59. Записать уравнение кривой проходящей через точку если известно что длина отрезка отсекаемого. 60. Записать уравнение кривой проходящей через точку если известно что длина отрезка отсекаемого.

61. Записать уравнение кривой проходящей через точку если известно что длина отрезка отсекаемого. 62. Записать уравнение кривой проходящей через точку если известно что длина отрезка отсекаемого.

63. Записать уравнение кривой проходящей через точку если известно что длина отрезка отсекаемого.

64. Записать уравнение кривой проходящей через точку если известно что длина отрезка отсекаемого.

65. Записать уравнение кривой проходящей через точку если известно что длина отрезка отсекаемого.

10.4. Геометрические и физические задачи,

Видео:Как составить уравнение прямой, проходящей через две точки на плоскости | МатематикаСкачать

Как составить уравнение прямой, проходящей через две точки на плоскости | Математика

уравнений первого порядка

1°. Геометрические задачи. В задачах геометрии, в которых требуется найти уравнение кривой по заданному свойству ее касательной, нормали или площади криволинейной трапеции, используются геометрическое истолкование производной – угловой коэффициент касательной – и интеграла с переменным верхним пределом – площадь криволинейной трапеции с подвижной ограничивающей ординатой, а также общие формулы для определения длин отрезков касательной t, нормали n, подкасательной Записать уравнение кривой проходящей через точку если известно что длина отрезка отсекаемогои поднормали Записать уравнение кривой проходящей через точку если известно что длина отрезка отсекаемого:

Записать уравнение кривой проходящей через точку если известно что длина отрезка отсекаемого. (10.39)

Пример 1. Найти уравнение кривой, проходящей через начало координат, если в каждой ее точке Записать уравнение кривой проходящей через точку если известно что длина отрезка отсекаемогоподкасательная Записать уравнение кривой проходящей через точку если известно что длина отрезка отсекаемогов k раз меньше поднормали Записать уравнение кривой проходящей через точку если известно что длина отрезка отсекаемого.

Ñ Пусть Записать уравнение кривой проходящей через точку если известно что длина отрезка отсекаемого– уравнение искомой кривой. Используя
выражения подкасательной и поднормали из (10.39), получаем дифференциальное уравнение Записать уравнение кривой проходящей через точку если известно что длина отрезка отсекаемогоили Записать уравнение кривой проходящей через точку если известно что длина отрезка отсекаемого. Интегрируя это уравнение и учитывая начальное условие Записать уравнение кривой проходящей через точку если известно что длина отрезка отсекаемого, получаем искомые уравнения: Записать уравнение кривой проходящей через точку если известно что длина отрезка отсекаемого(две прямые). #

Пример 2. Найти уравнение кривой, проходящей через точку (1; 1), если для любого отрезка Записать уравнение кривой проходящей через точку если известно что длина отрезка отсекаемогоплощадь криволинейной трапеции, ограниченной соответствующей дугой этой кривой, в два раза больше произведения координат точки Записать уравнение кривой проходящей через точку если известно что длина отрезка отсекаемогокривой Записать уравнение кривой проходящей через точку если известно что длина отрезка отсекаемого.

Ñ По условию задачи, Записать уравнение кривой проходящей через точку если известно что длина отрезка отсекаемого. Дифференцируя это ра-венство по x, получаем дифференциальное уравнение Записать уравнение кривой проходящей через точку если известно что длина отрезка отсекаемого, или Записать уравнение кривой проходящей через точку если известно что длина отрезка отсекаемого. Интегрируя его, с учетом начального условия Записать уравнение кривой проходящей через точку если известно что длина отрезка отсекаемого, получаем уравнение искомой кривой: Записать уравнение кривой проходящей через точку если известно что длина отрезка отсекаемого. #

2°. Задачи с физическим содержанием. При составлении дифференциальных уравнений первого порядка в физических задачах используют метод дифференциалов, по которому приближенные соотношения между малыми приращениями величин заменяются соотношениями между их дифференциалами. В конкретных задачах используется тот или иной физический закон (некоторые из них приведены ниже при формулировании условия задачи), а также физическое истолкование производной как скорости протекания физического процесса.

Пример 3. В резервуаре первоначально содержится A кг вещества, растворенного в В литрах воды и вытекает N литров раствора (M > N), причем однородность раствора достигается путем перемешивания. Найти массу вещества в резервуаре через T минут после начала процесса.

Ñ Обозначим через Записать уравнение кривой проходящей через точку если известно что длина отрезка отсекаемогомассу вещества в резервуаре через t минут после начала процесса и через Записать уравнение кривой проходящей через точку если известно что длина отрезка отсекаемого– в момент Записать уравнение кривой проходящей через точку если известно что длина отрезка отсекаемого. Заметим, что Записать уравнение кривой проходящей через точку если известно что длина отрезка отсекаемогопри Записать уравнение кривой проходящей через точку если известно что длина отрезка отсекаемого, т. е. раствор обедняется.

ПустьЗаписать уравнение кривой проходящей через точку если известно что длина отрезка отсекаемого– объем смеси в момент Записать уравнение кривой проходящей через точку если известно что длина отрезка отсекаемого. Концентрация вещества в момент t равняется, очевидно, Записать уравнение кривой проходящей через точку если известно что длина отрезка отсекаемого. За бесконечно малый промежуток времени Записать уравнение кривой проходящей через точку если известно что длина отрезка отсекаемогомасса вещества изменяется на бесконечно малую величину Записать уравнение кривой проходящей через точку если известно что длина отрезка отсекаемого(так как процесс непрерывен), для которой справедливо приближенное равенство

Записать уравнение кривой проходящей через точку если известно что длина отрезка отсекаемого(10.40)

Заменяя в (10.40) приращения Записать уравнение кривой проходящей через точку если известно что длина отрезка отсекаемогои Записать уравнение кривой проходящей через точку если известно что длина отрезка отсекаемогодифференциалами dx и dt, получаем дифференциальное уравнение Записать уравнение кривой проходящей через точку если известно что длина отрезка отсекаемого– уравнение с разделяющимися переменными. Интегрируя и считая
M > N, запишем общее решение: Записать уравнение кривой проходящей через точку если известно что длина отрезка отсекаемого. Используя начальное условие: Записать уравнение кривой проходящей через точку если известно что длина отрезка отсекаемого, находим частное решение: Записать уравнение кривой проходящей через точку если известно что длина отрезка отсекаемого. Решение задачи получается из него при t = T. #

З а м е ч а н и е. Случай Записать уравнение кривой проходящей через точку если известно что длина отрезка отсекаемоготребует отдельного рассмотрения.

Видео:№970. Напишите уравнение окружности, проходящей через точку А (1; 3), если известноСкачать

№970. Напишите уравнение окружности, проходящей через точку А (1; 3), если известно

Задачи для самостоятельного решения

66. Найти уравнение кривой, проходящей через точку Записать уравнение кривой проходящей через точку если известно что длина отрезка отсекаемого, если сумма длин ее касательной и подкасательной равна произведению координат точки касания.

67. Найти уравнение кривой, проходящей через точку Записать уравнение кривой проходящей через точку если известно что длина отрезка отсекаемого, если ее подкасательная вдвое больше абсциссы точки касания.

68. Найти уравнение кривой, проходящей через точку Записать уравнение кривой проходящей через точку если известно что длина отрезка отсекаемого, если длина отрезка полуоси абсцисс, отсекаемого ее касательной, равна квадрату абсциссы точки касания.

69. Найти уравнение кривых, у которых длина отрезка нормали постоянна и равна a.

70. Найти уравнения кривых, у которых поднормаль имеет постоянную длину а.

71. Найти уравнение кривой, проходящей через точку (0; 2), если площадь криволинейной трапеции, ограниченной дугой этой кривой, в два раза больше длины соответствующей дуги.

72. Найти уравнение кривой, проходящей через точку (1; 1/2), если для любого отрезка [1; x] площадь криволинейной трапеции, ограниченной соответствующей дугой этой кривой, равна отношению абсциссы x концевой точки к ординате.

73. Найти уравнение кривой, проходящей через точку (0; 3), если подкасательная в любой точке равна сумме абсциссы точки касания и расстояния от начала координат до точки касания (ограничиться рассмотрением случая Записать уравнение кривой проходящей через точку если известно что длина отрезка отсекаемого).

74. Найти уравнение кривой, проходящей через точку (1; 0), если длина отрезка оси абсцисс, отсекаемого ее нормалью, на 2 ед. больше абсциссы точки касания.

75. Найти уравнение кривой, проходящей через начало координат, если для любого отрезка Записать уравнение кривой проходящей через точку если известно что длина отрезка отсекаемогоплощадь криволинейной трапеции, ограниченной соответствующей дугой этой кривой, равна кубу ординаты концевой точки дуги.

76. Найти уравнение кривой, проходящей через точку с полярными координатами Записать уравнение кривой проходящей через точку если известно что длина отрезка отсекаемого, если угол Записать уравнение кривой проходящей через точку если известно что длина отрезка отсекаемогомежду ее касательной и радиус-вектором точки касания есть постоянная величина: Записать уравнение кривой проходящей через точку если известно что длина отрезка отсекаемого.

77. Найти уравнение кривой, проходящей через точку (1; 1), если длина отрезка оси абсцисс, отсекаемого любой ее касательной, равна длине этой касательной.

78. Найти уравнение кривой, проходящей через точку (3; 1), если длина отрезка, отсекаемого любой ее касательной на оси ординат, равна поднормали.

79. Найти уравнение кривой, проходящей через начало координат, если середина отрезка ее нормали от любой точки кривой до оси Ox лежит на параболе Записать уравнение кривой проходящей через точку если известно что длина отрезка отсекаемого.

80. Найти уравнение кривой, проходящей через точку (1; 0), если площадь трапеции, образованной касательной, осью координат и ординатой точки касания, постоянна и равна 3/2.

81. Найти уравнение кривой, проходящей через точку (0; 1), если площадь треугольника, образуемого осью абсцисс, касательной и радиус-вектором точки касания, постоянна и равна 1.

82. Найти уравнение кривой, проходящей через точку (1; 2), если произведение абсциссы точки касания на абсциссу точки пересечения нормали с осью Ox равно удвоенному квадрату расстояния от начала координат до точки касания.

83. Найти уравнение кривой, проходящей через точку с полярными координатами Записать уравнение кривой проходящей через точку если известно что длина отрезка отсекаемого, если площадь сектора, ограниченного этой кривой, полярной осью и переменным полярным радиусом, в шесть раз меньше куба полярного радиуса.

84. Скорость охлаждения тела пропорциональна разности температур тела и окружающей его среды (закон Ньютона). Найти зависимость температуры T от времени t, если тело, нагретое до Записать уравнение кривой проходящей через точку если известно что длина отрезка отсекаемого, градусов, внесено в помещение, температура которого постоянна и равна а градусам.

85. Через сколько времени температура тела, нагретого до
100 °С, понизится до 25 °С, если температура помещения равна 20°С и за первые 10 мин тело охладилось до 60 °С?

86. Замедляющее действие трения на диск, вращающийся в жидкости, пропорционально угловой скорости вращения. Найти зависимость этой угловой скорости от времени, если известно, что диск, начавший вращаться со скоростью 5 об/с, по истечении двух минут вращается со скоростью 3 об/с. Через сколько времени он будет иметь угловую скорость 1 об/мин?

87. Скорость распада радия пропорциональна наличному его количеству. В течение года из каждого грамма радия распадается 0,44 мг. Через сколько лет распадется половина имеющегося количества радия?

88. Скорость истечения воды из сосуда через малое отверстие оп- ределяется формулой Записать уравнение кривой проходящей через точку если известно что длина отрезка отсекаемого, где h – высота уровня воды над отверстием, g – ускорение свободного падения (принять g = 10 м/с2). За какое время вытечет вся вода из цилиндрического бака с диаметром Записать уравнение кривой проходящей через точку если известно что длина отрезка отсекаемогои высотой H = 1,5 м через отверстие в дне диаметром Записать уравнение кривой проходящей через точку если известно что длина отрезка отсекаемогом?

89. Количество света, поглощаемого при прохождении через тонкий слой воды, пропорционально количеству падающего света и толщине слоя. Зная, что при прохождении слоя воды толщиной 2 м поглощается 1/3 первоначального светового потока, найти, какая часть его дойдет до глубины 12 м.

90. Лодка замедляет свое движение под действием сопротивления воды, которое пропорционально скорости лодки. Начальная скорость лодки 1,5 м/с, скорость ее через 4 секунды 1 м/с. Когда скорость уменьшится до 1 см/с? Какой путь пройдет лодка до остановки?

91. Пуля, двигаясь со скоростью Записать уравнение кривой проходящей через точку если известно что длина отрезка отсекаемогокм/с, пробивает стену толщиной h = 20 см и вылетает, имея скорость 100 м/с. Полагая силу сопротивления стены пропорциональной квадрату скорости движения пули, найти время прохождения пули через стену.

92. В баке находится 100 л раствора, содержащего 10 кг соли. В бак вливается вода со скоростью 5 л/мин и смесь вытекает из него с той же скоростью. Однородность раствора достигается путем перемешивания. Сколько соли останется в баке через час?

93. Некоторое вещество преобразуется в другое вещество со скоростью, пропорциональной массе непреобразованного вещества. Если масса первого есть 31,4 г по истечении одного часа и 9,7 г по истечении трех часов, то определить: а) массу вещества в начале процесса; б) через сколько времени после начала процесса останется лишь 1 % первоначальной массы исходного вещества?

94. В помещении цеха вместимостью 10800 м3 воздух содержит 0,12 % углекислоты. Вентиляторы доставляют свежий воздух, содержащий 0,04 % углекислоты, со скоростью 1500 м/мин. Предполагая, что углекислота распределяется по помещению равномерно в каждый момент времени, найти объемную долю углекислоты через 10 мин после начала работы вентиляторов.

95. Сила тока i в цепи с сопротивлением R, самоиндукцией L и напряжением u удовлетворяет уравнению Записать уравнение кривой проходящей через точку если известно что длина отрезка отсекаемого. Найти силу тока i в момент времени t, если Записать уравнение кривой проходящей через точку если известно что длина отрезка отсекаемогои i = 0 при t = 0 (L, R, E, w – постоянные).

10.5. Дифференциальные уравнения высших порядков

10.5.1. Основные понятия и определения. Задача Коши

Задачей Коши для дифференциального уравнения (10.2) называется задача определения решения Записать уравнение кривой проходящей через точку если известно что длина отрезка отсекаемого, удовлетворяющего заданным начальным условиям:

Записать уравнение кривой проходящей через точку если известно что длина отрезка отсекаемого. (10.41)

Определение 1. Общим решением уравнения (10.1) или (10.2) называется такая функция Записать уравнение кривой проходящей через точку если известно что длина отрезка отсекаемого, которая при любых допустимых значениях параметров Записать уравнение кривой проходящей через точку если известно что длина отрезка отсекаемогоявляется решением этого уравнения и для любой задачи Коши с условиями (5.1) Записать уравнение кривой проходящей через точку если известно что длина отрезка отсекаемого, определяемые из системы уравнений:

Записать уравнение кривой проходящей через точку если известно что длина отрезка отсекаемого(10.42)

Определение 2. Уравнение

Записать уравнение кривой проходящей через точку если известно что длина отрезка отсекаемого, (10.43)

определяющее общее решение как неявную функцию, называется общим интегралом дифференциального уравнения.

Теорема существования и единственности решения задачи Коши [(10.2); (10.41)]. Если дифференциальное уравнение (10.2) таково, что функция Записать уравнение кривой проходящей через точку если известно что длина отрезка отсекаемогов некоторой области D изменения своих аргументов непрерывна и имеет непрерывные частные производные Записать уравнение кривой проходящей через точку если известно что длина отрезка отсекаемого, то для любой точки Записать уравнение кривой проходящей через точку если известно что длина отрезка отсекаемогосуществует такой интервал Записать уравнение кривой проходящей через точку если известно что длина отрезка отсекаемого, на котором существует и притом единственное решение этого уравнения, удовлетворяющее начальным условиям (10.41).

Определение 3. Решение уравнения (10.2) называется частным решением, если в каждой точке его сохраняется единственность решения задачи Коши.

З а м е ч а н и е. Если Записать уравнение кривой проходящей через точку если известно что длина отрезка отсекаемогоесть общее решение уравнения (10.2) в области D, то всякое решение, содержащееся в этой формуле при конкретных допустимых числовых значениях произвольных постоянных Записать уравнение кривой проходящей через точку если известно что длина отрезка отсекаемого, является частным решением.

Определение 4. Решение уравнения называется особым, если в каждой точке его нарушается единственность решения задачи Коши.

В случае уравнения второго порядка

Записать уравнение кривой проходящей через точку если известно что длина отрезка отсекаемого(10.44)

задача Коши состоит в нахождении решения Записать уравнение кривой проходящей через точку если известно что длина отрезка отсекаемогоуравнения (10.44), удовлетворяющего начальным условиям

Записать уравнение кривой проходящей через точку если известно что длина отрезка отсекаемогопри Записать уравнение кривой проходящей через точку если известно что длина отрезка отсекаемого. (10.45)

Геометрически это означает, что ищется интегральная кривая, которая проходит через заданную точку Записать уравнение кривой проходящей через точку если известно что длина отрезка отсекаемогои имеет в этой точке заданную касательную, образующую с положительным направлением оси Ox такой угол Записать уравнение кривой проходящей через точку если известно что длина отрезка отсекаемого, что Записать уравнение кривой проходящей через точку если известно что длина отрезка отсекаемого.

Механический смысл задачи Коши заключается в следующем. Запишем уравнение движения материальной точки в проекции на ось Ox:

Записать уравнение кривой проходящей через точку если известно что длина отрезка отсекаемого(10.46)

Здесь t – время, Записать уравнение кривой проходящей через точку если известно что длина отрезка отсекаемого– соответственно координата, проекции скорости и ускорения на ось Ox в момент t; Записать уравнение кривой проходящей через точку если известно что длина отрезка отсекаемого– проекция силы на ось Ox, действующей на точку. Решение Записать уравнение кривой проходящей через точку если известно что длина отрезка отсекаемого(координата x) уравнения (10.46) называется движением точки, определяемое этим уравнением. Задача Коши заключается в определении движения, удовлетворяющего начальным условиям: Записать уравнение кривой проходящей через точку если известно что длина отрезка отсекаемогопри Записать уравнение кривой проходящей через точку если известно что длина отрезка отсекаемого, где числа Записать уравнение кривой проходящей через точку если известно что длина отрезка отсекаемогои Записать уравнение кривой проходящей через точку если известно что длина отрезка отсекаемого(начальные данные) есть соответственно начальный момент времени, начальная координата и проекция скорости в (начальный) момент времени Записать уравнение кривой проходящей через точку если известно что длина отрезка отсекаемого.

Пример 1. Показать, что Записать уравнение кривой проходящей через точку если известно что длина отрезка отсекаемогоесть общее решение дифференциального уравнения Записать уравнение кривой проходящей через точку если известно что длина отрезка отсекаемого.

Ñ 1. Покажем, что Записать уравнение кривой проходящей через точку если известно что длина отрезка отсекаемогоудовлетворяет данному уравнению при любых Записать уравнение кривой проходящей через точку если известно что длина отрезка отсекаемого. Имеем Записать уравнение кривой проходящей через точку если известно что длина отрезка отсекаемого2. Пусть заданы произвольные начальные условия Записать уравнение кривой проходящей через точку если известно что длина отрезка отсекаемого. Покажем, что постоянные Записать уравнение кривой проходящей через точку если известно что длина отрезка отсекаемогоможно подобрать так, что эти начальные условия будут удовлетворены. Составим систему: Записать уравнение кривой проходящей через точку если известно что длина отрезка отсекаемого, из которой однозначно определяются Записать уравнение кривой проходящей через точку если известно что длина отрезка отсекаемого. Таким образом, решение Записать уравнение кривой проходящей через точку если известно что длина отрезка отсекаемогоудовлетворяет поставленным начальным условиям. Заметим, что запись Записать уравнение кривой проходящей через точку если известно что длина отрезка отсекаемогоозначает, что решение задачи записано в форме Коши. #


источники:

💥 Видео

Точка, прямая и отрезок. 1 часть. 7 класс.Скачать

Точка, прямая и отрезок. 1 часть. 7 класс.

№577. Напишите уравнение сферы с центром А, проходящей через точку N, если: а) А ( — 2; 2; 0)Скачать

№577. Напишите уравнение сферы с центром А, проходящей через точку N, если: а) А ( — 2; 2; 0)

7 класс, 7 урок, Длина отрезкаСкачать

7 класс, 7 урок, Длина отрезка

Длина отрезкаСкачать

Длина отрезка

Математика без Ху!ни. Уравнения прямой. Часть 2. Каноническое, общее и в отрезках.Скачать

Математика без Ху!ни. Уравнения прямой. Часть 2. Каноническое, общее и в отрезках.

Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачиСкачать

Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачи

Уравнение параллельной прямойСкачать

Уравнение параллельной прямой

Уравнение окружности (1)Скачать

Уравнение окружности (1)

Составляем уравнение прямой по точкамСкачать

Составляем уравнение прямой по точкам

4. Уравнение плоскости проходящей через три точки / в отрезках / доказательство и примерыСкачать

4. Уравнение плоскости проходящей через три точки / в отрезках / доказательство и примеры

Видеоурок "Уравнение плоскости в отрезках"Скачать

Видеоурок "Уравнение плоскости в отрезках"

9 класс, 7 урок, Уравнение прямойСкачать

9 класс, 7 урок, Уравнение прямой

Координаты середины отрезка. Уравнение средней линии или диагонали. Урок 4. Геометрия 8 класс.Скачать

Координаты середины отрезка. Уравнение средней линии или диагонали. Урок 4. Геометрия 8 класс.

Длина отрезка в пространстве | МатематикаСкачать

Длина отрезка в пространстве | Математика

№968. Напишите уравнение окружности с центром в точке А(0; 6), проходящей через точку В (-3; 2).Скачать

№968. Напишите уравнение окружности с центром в точке А(0; 6), проходящей через точку В (-3; 2).

1. Уравнение плоскости проходящей через точку перпендикулярно вектору / общее уравнение / примерыСкачать

1. Уравнение плоскости проходящей через точку перпендикулярно вектору / общее уравнение / примеры

Математика без Ху!ни. Уравнения прямой. Часть 1. Уравнение с угловым коэффициентом.Скачать

Математика без Ху!ни. Уравнения прямой. Часть 1. Уравнение с угловым коэффициентом.
Поделиться или сохранить к себе: