Записать передаточную функцию если объект регулирования описывается дифференциальным уравнением

Введем в уравнение оператор Лапласа – s и вынесем yиu за скобки.

Делим многочлен правой части дифференциального уравнения на многочлен левой части, получаем выражение передаточной функции

.

Задания для самостоятельного выполнения

Задание 1. Составить структурную схему по дифференциальному уравнению объекта и определить передаточную функцию (по примерам 5 и 6)

Задание 2

Преобразовать структурную схему и определить эквивалентную передаточную функцию. Варианты заданий приведены в таблице 1. (смотреть примеры 1-4)

Таблица 1.1. Варианты заданий по теме «Структурные схемы»

Продолжение таблицы 1.1. Варианты заданий

Продолжение таблицы 1.1. Варианты заданий

Продолжение таблицы 1.1. Варианты заданий

Задание 3. (без вариантов заданий, общее). Записать в общем виде главную передаточную функцию системы (рис. 1.47).

ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА – теоретическая часть

Общие сведения

В ТАУ основным инженерным методом решения дифференци­альных уравнений, т. е. исследования поведения систем во времени, является преобразование Лапласа. Его преимущество заключается в том, что операции дифференцирования и интегрирования оно заменя­ет более простыми алгебраическими операциями умножения и деле­ния.

Рассмотрим принцип решения дифференциальных уравнений с помощью преобразования Лапласа.

1. На первом этапе производят пря­мое преобразование X ( s ) = L – от функции времени переходят к функции комплексной переменной Лапласа s = σ + jω = α + jβ.

Здесь ω = 2π f – это известная из электротехники круговая частота, рад/с.

2. Далее решают алгебраическое уравнение реакции, для чего находят собственные значения системы, т. е. корни характеристического урав­нения D ( s ) = 0, и по теореме разложения определяют коэффициенты числителей простых дробей, на которые в соответствии с собствен­ными значениями разлагается реакция.

3. В конце вычислений выпол­няют обратное преобразование Лапласа x ( t ) = L -1 – от функции переменной s возвращаются к функции переменной t.

Общее обозначение описанных операций x ( t )÷ X ( s ), где слева строчными буквами изображена функция времени (оригинал), справа, прописной буквой – функция комплексного переменного (изображе­ние), а между ними стоит символ соответствия (ни в коем случае не равенства, что будет являться грубой ошибкой!).

Таблица 2. Таблица соответствия оригиналов и изображений

Оригинал x(t)

импульсная функция k ∙δ(t) – простой нулевой кореньскачок k∙1(t) или просто k – кратный нулевой кореньk ∙t n – степенной ряд от t – простой действительный корень – экспонента – кратный действительный корень , при n > 1 – сопряженные мнимые корниk∙sinωt – гармоническая функция – сопряженные мнимые корниk∙cosωt – гармоническая функция

сопряженные комплексные корни

, объединенные в одну дробь ,

а) предпочтительная форма б) через синус в) через косинус

сопряженные комплексные корни

перед d ставят плюс, если знаки мнимых частей изображения в числителе и знаменателе сов­падают (как показано), и минус в противном случае

Закон изменения выходного сигнала обычно является функцией, которую необходимо найти, а входной сигнал, как правило, известен.

Некоторые типовые входные и их изображения:

единичное ступенчатое воздействие имеет изображение X ( s ) = ,

дельта-функция X ( s ) = 1,

линейное воздействие X(s) = .

Пример. Решение ДУ с использованием преобразований Лапласа.

Допустим, входной сигнал имеет форму единичного ступенчатого воздействия, т.е. x(t) = 1. Тогда изображение входного сигнала, согласно таблице 2, имеет вид X(s) = .

Производим преобразование исходного ДУ по Лапласу и подставляем X(s):

s 2 ×Y(s) + 5×s×Y(s) + 6×Y(s) = 2×s×X(s) + 12×X(s),

s 2 ×Y(s) + 5×s×Y(s) + 6×Y(s) = 2×s + 12 ,

Y(s)×(s 3 + 5s 2 + 6s) = 2×s + 12.

Определяется выражение для Y:

.

Оригинал полученной функции отсутствует в таблице оригиналов и изображений. Для решения задачи его поиска дробь разбивается на сумму простых дробей с учетом того, что знаменатель может быть представлен в виде s ( s + 2)( s + 3):

= = — + .

Теперь, используя табличные функции (см. табл. 2), определяется оригинал выходной функции:

y(t) = 2 — 4 . e -2 t + 2 . e -3 t .

При решении ДУ с использованием преобразований Лапласа часто встает промежуточная задача разбиения дроби на сумму простых дробей. Существуют два пути решения этой задачи:

— путем решения системы уравнений относительно коэффициентов числителей,

— путем расчета коэффициентов числителей по известным формулам.

Общий алгоритм разбиения дроби на сумму простых дробей:

шаг 1 – определяются корни знаменателя s_i (знаменатель дроби приравнивается к нулю и решается полученное уравнение относительно s);

шаг 2 – каждому корню ставится в соответствие простая дробь вида , где М _i – неизвестный коэффициент; если имеет место кратный корень с кратностью n , то ему ставится в соответствие n дробей вида ;

шаг 3 – определяются коэффициенты k_i по одному из вариантов расчета.

Продолжение метода:

Содержание

1. Переход от передаточной функции к дифференциальному уравнению
2. Типовые звенья систем автоматического регулирования
3. Записать передаточную функцию если объект регулирования описывается дифференциальным уравнением
4. W n ( p )
5. W ос ( p )
6. 🎥 Видео

Видео:7) ТАУ для чайников.Части 3.4 и 3.5 : Передаточная функция. Преобразование Лапласа...Скачать

Переход от передаточной функции к дифференциальному уравнению

Очевидно, что в обратном порядке можно от передаточной функции перейти к дифференциальному уравнению. Для этого нужно приравнять передаточную функцию, согласно ее определению, отношению изображения выхода к изображению входа, перейти к записи уравнения для изображений в строчку (П6.3.1) и затем от него перейти к уравнению для оригиналов (П6.1.1) или (П6.1.3).

Например, найдем дифференциальное уравнение для передаточной функции колебательного звена с передаточной функцией:

Для этого приравняем передаточную функцию отношению изображений Y(p)/X(p) и перепишем уравнение в строчку:

Теперь перейдем к оригиналам при нулевых начальных условиях. Формально заменим изображения Y(p), Х(р) на оригиналы y(t), x(t)

и переменную Лапласа р = а + ja — на оператор дифференцирова- d

ния р =—: dt

или в классической форме:

Дифференциальному уравнению соответствует характеристический полином

совпадающий с знаменателем передаточной функции. Чтобы записать характеристический полином или характеристическое уравнение по дифференциальному уравнению, надо в его левой части заменить производные соответствующими степенями переменной, причем y(t) заменяется на р° = 1.

Видео:proТАУ: 1. Передаточная функцияСкачать

Типовые звенья систем автоматического регулирования

По виду передаточной функции или дифференциального уравнения различают следующие звенья [4, 79, 82]:

1. Усилительное (безынерционное):

Размерность коэффициента усиления к определяется размерностями входной и выходной величины. В любом случае (к > 1 или к 0, а инверсию сигнала будем учитывать инвертирующим звеном с передаточной функцией W(p) = —1.

2. Идеальное интегрирующее:

Размерность коэффициента усиления [_с— 1 ], а постоянной времени

3. Идеальное дифференцирующее:

4. Инерционное (апериоди ческое I порядка):

Размерности коэффициента усиления и постоянной времени ано- логичны размерностям в предыдущих звеньях.

Частота сопряжения со₀ = |^с -1 J определяет полосу пропускания

Здесь ?, — коэффициент затухания (демпфирования); со₀ — чд- стота сопряжения.

Корни характеристического уравнения р_х2 =-^со₀ ± у’со₀ yjl-Z, 2 являются комплексно-сопряженными, что определяет колебательный характер переходного процесса. Отсюда и название звена.

Звено является частным случаем колебательного при % = 0.

В дифференциальном уравнении отсутствует член с первой производной, сответствующий вязкому трению и, следовательно, рассеиванию энергии. Примером консервативного звена является математический маятник (без трения и сопротивления воздуха). Выведенный из состояния равновесия маятник совершает незатухающие колебания. При этом кинетическая энергия переходит в потенциальную и обратно, а сумма энергий остается постоянной величиной.

Видео:[ТАУ]Записать передаточную функцию устройства [Составить диф. ур-е для условия передачи напряжения]Скачать

Записать передаточную функцию если объект регулирования описывается дифференциальным уравнением

ИССЛЕДОВАНИЕ ВРЕМЕННЫХ ХАРАКТЕРИСТИК

ДИНАМИЧЕСКИХ ЗВЕНЬЕВ И ИХ СОЕДИНЕНИЙ

Цель работы: для звеньев, заданных передаточными функциями, выбираемыми из табл. 1 прил. 2, и их соединений выполнить следующее:

1) вывести аналитические выражения кривой разгона и импульсной переходной характеристик;

2) построить графические зависимости полученных характеристик при различных значениях постоянных времени и коэффициентов усиления.

Параметры звеньев выбираются из табл. 2 прил. 2 в зависимости от варианта, задаваемого преподавателем.

2.1 Теоретические сведения

Системы автоматического регулирования (САР) принято изображать в виде структурных схем. Структурная схема – это условное изображение, в котором отдельные элементы системы представляются прямоугольниками, а связи между элементами изображаются стрелками, показывающими направление передачи сигнала, н ад которыми ставится условное обозначение сигнала.

Для создания общей методики расчета различных САР было введено понятие динамического звена. Типовым звеном системы автоматического регулирования является составной элемент, имеющий один вход и один выход, и описываемый дифференциальным уравнением не выше второго порядка. На структурной схеме объектов управления звенья изображаются в виде прямоугольников, внутри которых записывается передаточная функция звена (рис. 1).

Рисунок 1. Пример изображения звена на структурных схемах

Одной из основных динамических характеристик объекта, широко используемых в теории автоматического регулирования, является передаточная функция.

Передаточной функцией объекта называется отношение преобразованного по Лапласу выхода объекта у ( р ) к преобразованному по Лапласу входу х ( р ) при нулевых начальных условиях. Передаточная функция является функцией комплексного переменного p , обозначается W ( p ): . Передаточная функция характеризует динамику объекта по определенному каналу, связывающему вход объекта с выходом. Если в объекте имеется несколько входов, то каждому каналу связи входа с выходом будет соответствовать своя передаточная функция.

Так же, как и дифференциальное уравнение, передаточная функция полностью характеризует динамику объекта. Если задано дифференциальное уравнение объекта, то для получения передаточной функции необходимо преобразовать дифференциальное уравнение по Лапласу и из полученного алгебраического уравнения найти соотношение .

Если известна передаточная функция объекта, то изображение выхода объекта у ( р ) равно произведению передаточной функции на изображение входа х ( р ): .

Любая самая сложная структурная схема может быть изображена с помощью трех основных типов соединения: — параллельного (рис. 2); — последовательного и соединения с обратной связью.

Рисунок 2. Структурная схема параллельного соединения звеньев

При параллельном соединении входные сигналы всех звеньев одинаковы и равны входу системы х ( р ), а выход системы у( р ) равен сумме выходов звеньев.

Запишем уравнения выходных координат каждого звена:

;

;

.

Выход всей системы будет равен

Передаточная функция системы: .

Передаточная функция системы параллельно соединенных звеньев равна сумме передаточных функций отдельных звеньев.

Последовательное соединение звеньев. Особенностью является то, что выход предыдущего звена является входом последующего (рис. 3).

Рисунок 3. Структурная схема последовательного соединения звеньев

Уравнения выходных сигналов каждого звеньев имеют вид:

;

;

.

Выходной сигнал последнего звена является выходом всей системы , передаточная функция системы:

.

Таким образом, передаточная функция системы последовательно соединенных звеньев равна произведению передаточных функций отдельных звеньев. Это соотношение справедливо лишь в том случае, если выход каждого звена зависит только от его входа и не зависит от выходной координаты последующего звена.

Рисунок 4. Структурная схема соединения звеньев с обратной связью

W _n ( p )

W _ос ( p )

Соединение звеньев с обратной связью. Обратной связью называют передачу сигнала с выхода звена на его вход (рис. 4), где сигнал обратной связи х _ос алгебраически суммируется с внешним сигналом х ( p ) . Причем, если суммарный сигнал x ₁ ( p ) определяется соотношением x ₁ ( p ) = x ( p ) + x _oc ( p ), то обратная связь называется положительной, если x ₁ ( p ) = = x ( p ) – x _oc ( p ), т.е. сигнал обратной связи вычитают из внешнего сигнала, то обратная связь называется отрицательной.

В линии обратной связи в общем случае может быть включено звено, в котором выходной сигнал y ( p ) преобразуется в соответствии с передаточной функцией W _oc ( p ) в сигнал x _oc ( p ). Иногда это звено может отсутствовать, т.е. W _oc ( p ) = l и х_ос ( p ) = у ( p ) .

Найдем соотношение между передаточной функцией замкнутой системы W _зс ( p ) и передаточными функциями отдельных звеньев W _n ( p ) и W _oc ( p ). Уравнения выходных сигналов каждого звена

;

;

.

Исключив из полученной системы уравнений x ₁ ( p ) и x _ос ( p ), получим , или

,

откуда передаточная функция замкнутой системы с положительной обратной связью : ,

передаточная функция замкнутой системы с отрицательной обратной связью: .

В реальных условиях на объект управления оказывают влияние внешние воздействия, которые называют возмущающими. Возмущающие воздействия (возмущения) вызывают отклонение регулируемого параметра от заданного значения.

Возмущения, действующие на САР, представляют собой непрерывные функции времени с различными законами изменения. В этом случае возникают трудности принципиального характера, так как заранее неизвестны законы измерения внешних воздействий, что затрудняет анализ динамики и статики САР. Для ликвидации возникших затруднений часто используют так называемые типовые, управляющие и возмущающие воздействия, которые представляют собой либо наиболее вероятные, либо наиболее неблагоприятные законы изменения управляющих и возмущающих воздействий. Например, довольно широко в качестве типовых используют воздействия полиномиального вида:

,

где n = 0, 1, 2, … – натуральные числа; – постоянные величины; 1 ( t ) – единичная ступенчатая функция,

При n = 0 имеем единичное ступенчатое воздействие: .

При n = 1 получим линейное воздействие: .

На рис. 5 представлены графики единичного ступенчатого и линейного входных воздействий.

Рисунок 5. Типовые полиномиальные воздействия

В некоторых случаях в качестве типового используется единичное импульсное воздействие следующего вида: , где d ( t ) – единичная дельта-функция

Единичная дельта-функция (единичный импульс) представляет собой математическую идеализацию импульса бесконечно малой длительности, бесконечно большой амплитуды, имеющего конечную площадь, равную единицы, т.е. .

Момент приложения внешних воздействий к САР обычно принимается за ноль отсчёта времени. При таком подходе внешние воздействия для отрицательного момента времени равны нулю. В аналитические выражения для внешних воздействий в качестве множителя вводят единичную ступенчатую функцию.

Важнейшей характеристикой САР и её составных элементов являются переходные и импульсные переходные (импульсные) функции. Графическое представление переходных и импульсных функций называют временными характеристиками. Переходной функцией h ( t ) называют функцию, описывающую сигнал на выходе при условии, что на вход подано единичное ступенчатое воздействие, при нулевых начальных условиях. График переходной функции, представляющий собой зависимость функции h ( t ) от времени t , называют переходной характеристикой. В том случае, если амплитуда единичного ступенчатого воздействия отлична от единицы получают разновидность переходной характеристики, которая называется кривой разгона.

Импульсной или весовой функцией w ( t ) называют функцию, описывающую реакцию на единичное импульсное воздействие при нулевых начальных условиях. График зависимости функции w ( t ) от времени называют импульсной переходной (импульсной) характеристикой.

Любое внешнее воздействие сложной формы может быть приближенно представлено в виде совокупности типовых воздействий, связанных между собой определенными математическими операциями.

Аналитическое определение переходных функций и характеристик основано на следующих положениях. Если задана передаточная функция системы или составной части W ( p ) и известен входной сигнал x ( t ), то выходной сигнал y ( t ) определяется следующим соотношением: .

Таким образом, изображение выходного сигнала представляет собой произведение передаточной функции на изображение входного сигнала . Сигнал y ( t ) в явном виде получим после перехода от изображения к оригиналу y ( t ).

Так как изображение единичного ступенчатого воздействия равно , то изображение переходной функции определяется соотношением: . Следовательно, для нахождения переходной функции необходимо передаточную функцию разделить на p и выполнить переход от изображения к оригиналу.

Изображение единичного импульса равно 1. Тогда изображение импульсной функции — . Таким образом, передаточная функция является изображением импульсной функции.

Так как , то между импульсной и переходной функциями существует следующая зависимость: .

Импульсная и переходная функции, как и передаточная функция, являются исчерпывающими характеристиками системы при нулевых начальных условиях. По ним можно определить выходной сигнал при произвольных входных воздействиях.

В работе рассматриваются следующие звенья:

1) идеальное интегрирующее : ;

2) реальное интегрирующее : ;

3) апериодическое 1-го порядка: ;

4) апериодическое 2-го порядка: ;

5) реальное дифференцирующее : ;

6) колебательное ( 0 x ): ;

7) консервативное : ;

8) звено запаздывания: ,

где k – коэффициент пропорциональности (коэффициент усиления); T – постоянная времени интегрирования, с; t – время запаздывания, с; 0 x – коэффициент затухания колебаний (коэффициент демпфирования).

2.2 Алгоритм выполнения работы

1. Записать передаточную функцию звена с нулевыми начальными условиями.

2. Определить вид переходных процессов с учетом единичного ступенчатого и импульсного воздействий.

3. Построить графики переходных процессов при различных значениях постоянных времени и коэффициента усиления. Рассмотреть следующие случаи: — при табличных значениях параметров ( k и T ); — изменив значения коэффициентов усиления с исходными значениями постоянных времени; — изменив значения постоянных времени и исходных значениях коэффициентов усиления.

2.3 Примеры расчета

Для звеньев и соединения звеньев, заданных передаточными функциями: , ,

построить переходные процессы при различных значениях постоянных времени и коэффициента усиления.

1. Передаточная функция реального дифференцирующего звена: , откуда , где – единичное ступенчатое воздействие, или – единичная импульсная функция, следовательно: , .

2. Выполним обратное преобразование Лапласа (табл. 3 прил. 1) и получим переходной процесс для единичного ступенчатого воздействия: . Между импульсной и переходной функциями существует следующая зависимость , то .

3. Строим временные характеристики звена, рис. 6.

Рисунок 6. Временные характеристики реального дифференцирующего звена

4. Передаточная функция апериодического звена второго порядка: , откуда .

Учитывая единичное ступенчатое воздействие или единичную импульсную функцию, получим соответственно:

и

5. Выполним обратное преобразование Лапласа (см. табл. 3 прил. 1) и получим переходной процесс для единичного ступенчатого воздействия .

Импульсная функция .

6. Строим временные характеристики звена (рис. 7).

Рисунок 7. Временные характеристики апериодического звена II -го порядка

7. Передаточная функция для последовательного соединения звеньев . Для последовательно соединенных реального дифференцирующего звена и апериодического звена второго порядка передаточная функция запишется следующим образом:

,

,

где k ₁ – коэффициент усиления; k ₂ – коэффициент усиления апериодического звена второго порядка; T ₁ – постоянная времени реального дифференцирующего звена; T ₂ , T ₃ – постоянные времени апериодического звена второго порядка.

Учитывая единичное ступенчатое воздействие или единичную импульсную функцию, получим соответственно:

,

.

8. Н айдем корни характеристического уравнения методом неопределенных коэффициентов. Получим уравнение вида:

Выполним обратное преобразование Лапласа и получим переходной процесс для единичного ступенчатого воздействия:

9. Строим временные характеристики системы (рис. 8).

Рисунок 8. Временные характеристики системы

2.4 Контрольные вопросы и задания

1. Что такое «типовое звено» САР? Назовите типовые звенья.

2. Что такое передаточная функция САР? Что она характеризует?

3. Основные типы соединения звеньев в структурных схемах.

4. Параллельное соединение звеньев. Структурная схема. Передаточная функция.

5. Последовательное соединение звеньев. Структурная схема. Передаточная функция.

6. Соединение звеньев с обратной связью. Структурная схема. Передаточная функция системы с положительной и отрицательной обратной связью.

7. Что такое «временные характеристики САР»?

8. Что представляет собой переходная функция?

9. Что представляет собой импульсная (весовая) функция?

1. Назовите основные типы возмущающих воздействий САР.

2. Что представляет собой единичная ступенчатая функция?

3. Что представляет собой единичная импульсная функция?

4. Связь между импульсной и переходной функциями.

🎥 Видео

Теория автоматического регулирования. Лекция 5. Модели параметров состоянийСкачать

Видеометодичка. Практикум по нахождению передаточных функций по дифференциальным уравнениямСкачать

8) ТАУ для чайников.Часть 3.6 : Передаточная функция и пространство состояний.Скачать

10) ТАУ для чайников Части 4.1. и 4.2. Типовые динамические звенья. Усилитель. Апериодическое звено.Скачать

ТАУ. Matlab/Simulink - моделирование передаточной функции, снятие характеристикСкачать

Метод пространства состояний САУ: описание конкретной системыСкачать

Теория автоматического управления. Лекция 6. Структурные схемы САУСкачать

Передаточные функцииСкачать

23) Построение Л.А.Ч.Х. и Л.Ф.Ч.Х. системы по её передаточной функцииСкачать

1) ТАУ (Теория автоматического управления) для чайников. Часть 1: основные понятия...Скачать

ТАУ│Передаточная функция устройстваСкачать

Типовые динамические звенья | Вечер с теорией управления, вебинар 3Скачать

Построить структурную схему САР (САУ) по передаточной функцииСкачать

Переходные процессы | Классический метод расчета переходных процессов. Теория и задачаСкачать

Теория автоматического управления. Лекция 8. Основы устойчивостиСкачать

Преобразование структурных схем систем управленияСкачать

1.3 Составление передаточной функцииСкачать