Записать на языке логики предикатов не найдутся числа удовлетворяющие уравнению (3 видео)

Записать на языке логики предикатов не найдутся числа удовлетворяющие уравнению

&nbsp1. Запись математических предложений и определений в виде формул логики предикатов.
&nbspЯзык логики предикатов удобен для записи математических предложений. Он дает возможность выражать логические связи между понятиями, записывать определения, теоремы, доказательства. Приведем несколько примеров таких записей.
&nbspПример 1. Определение предела числовой последовательности.

Содержание

Записать на языке логики предикатов не найдутся числа удовлетворяющие уравнению
Краткие теоретические сведения и решение типовых задач по теме «Логика предикатов»
Язык логики предикатов
Применение логики предикатов к логико-математической практике
Записи на языке логики предикатов
💥 Видео

Видео:ПредикатыСкачать

Записать на языке логики предикатов не найдутся числа удовлетворяющие уравнению

Видео:Введение в логику, урок 4: Предикаты и кванторыСкачать

Краткие теоретические сведения и решение типовых задач по теме «Логика предикатов»

х больше y: Больше (х, y),

Джон любит Мери: Любит (Джон, Мери).

х больше 3: больше(х, 3), где х – переменная, 3 – константа, больше – предикатный символ.

x+y: плюс (х, y), где «плюс» — функциональный символ.

Предикат обобщает высказывание и, при этом имеет структуру и может содержать переменные и даже функции, определенные над некоторой областью.

Больше (плюс(х, 1), 3) – истина если x > 2, ложь в остальных случаях.

Для построения языка воспользуемся следующими четырьмя типами символов:

константы – это обычно имена объектов такие, как Мери, 3 и так далее, то есть константы из некоторых областей.
предметные переменные – малые латинские буквы: x, y, x₁, … — принимают значения из области.
функциональные символы – будем использовать малые латинские буквы: s, g, h…, а так же такие слова, как плюс, минус и другие.
предикатные символы – большие латинские буквы или слова типа «любит», «больше».
(,).

Всякая функция будет использовать помимо функциональных символов определенное число аргументов:

f(x,y), плюс(x,y), f – двухместный функциональный символ.

Всякий предикат будет использовать помимо предикатных символов- аргументы:

P (x, плюс (x, y)) –двухместный предикат.

Допускаются двухместные предикаты Q, R – аналог пропозиционнальных переменных, то есть принимающих значения истина или ложь.

Функциям и предикатам будут сопоставляться отображения.

Определим конструкции языка формул. Введем понятие терма

Плюс (х, 1) – двухместный;

Предикат – это отображение списка констант в И и Л.

Определим атом логики предикатов.

Теперь можно воспользоваться пятью логическими связками для построения формул: , , , , , а так же двумя новыми для переменных:

 — квантор общности (все);

 — квантор существования (существует для некоторых).

(х) – для всех х, для каждого х, для всякого х.

(х) – существует х, для некоторых х, по крайней мере для одного х.

Примеры формул.

Каждое рациональное число есть вещественное:

(х)(Q(x)R(x))

Существует число, являющееся простым:

(х)P(x).

Для каждого числа х существует такое число y, что x
Состояние творческой импотенции, увы, не мешает творить. Лешек Кумор
ещё >>
Видео:Яворская Т.Л. - Математическая логика. Часть 1 - 4. Логика предикатовСкачать
Язык логики предикатов
Язык логики предикатов — это искусственный язык, предназначенный для анализа логической структуры простых высказываний.
Язык логики предикатов характеризует алфавит (список знаковых средств) и определение правильно построенного выражения. В логике предикатов такими выражениями являются термы и формулы.
Прежде чем задать язык логики предикатов, определим, какие нелогичные термины входят в состав простого высказывания. При анализе контекстов естественного языка можно выделить но крайней мере два вида нелогичных терминов. Это имена, которые обозначают предметы или классы предметов, и предикаторы, которые обозначают свойства или отношения.
Предикаторы, обозначающие свойства предметов, в логике называют одноместными («быть виновным», «быть способным»), а предикаторы, обозначающие отношения между предметами, — многоместными («быть сыном» — двухместный предикатор; «находиться между Киевом и Москвой» — трехместный предикатор).
Кроме нелогических терминов, в состав простого высказывания могут также входить логические термины. В логике предикатов к ним относят логические союзы и два вида кванторов: квантор общности и квантор существования.
Квантор общности в естественном языке выражают при помощи слов: «все», «любой», «каждый». Квантор существования — при помощи слов: «некоторый», «существует». Зададим теперь алфавит языка логики предикатов. Алфавит
Эти знаки обозначают единичные имена предметов, как правило, собственные имена.
2. Предметные (индивидные) переменные: х, у, Z, Хр ур z, .
Каждая предметная переменная может принимать различные значения из предметной области анализируемого контекста. Предметные переменные обозначают общие имена естественного языка.
3. Предикатные символы:
Р, Q, R, S, Рр Qp Rp S_r..
Эти знаки обозначают предикаторы естественного языка.
- 4. Знаки логических союзов:
  - — — знак отрицания (читают: «не»; «неверно, что. »); л — знак конъюнкции (читают: «. и. »);
v — знак дизъюнкции (читают: «. или. »);
—>— знак импликации (читают: «если. то. »);
Простые высказывания, в которых утверждают (отрицают) наличие отношения между всеми (некоторыми) предметами определенного класса и конкретным предметом
- 6.1. Некоторые люди знают логику.
- 6.2. Все юристы изучают логику.
- 6.3. Некоторые люди не знают логику.
- 6.4. Ни один человек не является бессмертным
Простые высказывания, в которых утверждают (отрицают) наличие отношения между всеми (некоторыми) предметами одного класса и всеми (некоторыми) предметами другого класса
- 7.1. Любой юноша любит какую-то девушку.
- 7.2. Некоторые юноши любят всех девушек.
- 7.3. Некоторые юноши не знают некоторых девушек.
- 7.4. Некоторые юноши не любят ни одну девушку
- 7.1. V.r (0(х) —> Зу(В(у)лА(х,у))
- 7.2.
А(х, у))

4. S — знак предикатора «изучать»;
5. F— знак предикатора «знать»;
6. Л — знак предикатора «любить»;
7. Н — знак предикатора «быть мошенником»;
8. М — знак предикатора «быть человеком»;
9. W— знак предикатора «быть бессмертным»;
10. О — знак предикатора «быть юношей»;
11. В — знак предикатора «быть девушкой»;
12. а— предметная константа, которая обозначает имя «Андрей»;
13. Ъ — предметная константа, которая обозначает имя «отец Андрея»;
14. с — предметная константа, которая обозначает имя «логика»;
15. d — предметная константа, которая обозначает имя «Олег».

Конечно, привести все возможные формализации простых высказываний естественного языка невозможно. Но рассмотренные выше случаи помогут вам выявить логическую форму у тех высказываний, которые вы захотите самостоятельно проанализировать.

Видео:Интерпретация формул логики предикатовСкачать

Применение логики предикатов к логико-математической практике

Видео:Логика предикатовСкачать

Записи на языке логики предикатов

Задачи такого типа имеют важное методологическое значение. Они, по существу, являются своеобразной моделью одной из сторон научно-исследовательского процесса, когда от своего рода «технической» постановки задачи требуется перейти к ее математической постановке с тем, чтобы в процессе ее решения можно было бы использовать математические методы.

10.1. Запишите следующие высказывания на языке логики предикатов.
а) Существует не более одного х такого, что Р(х).
б) Существует точно один х такой, что Р(х).
в) Существует по меньшей мере два различных х таких, что Р(х).
г) Существует не более двух х таких, что / > (х).
д) Существует точно два различных х таких, что / > (х).

а) Прежде переформулируем данное утверждение так, чтобы, во-первых, не исказить его смысл, а во-вторых, сделать его полностью готовым к переводу на логико-математический язык, на язык логики предикатов. Вот эта переформулировка: не верно, что существуют два различных предмета х и у, такие, что Р(х) и Р(у), или какие бы два предмета ни удовлетворяли условию Р, они не могут не совпадать, т.е. обязаны совпадать. Теперь мы готовы записать последнюю фразу символически: (Vx)(Vy)((P(x) л Р(у)) —> х = у).

10.2. Введя подходящие одноместные предикаты на соответствующих областях, переведите следующие высказывания на язык логики предикатов.
а) Все рациональные числа действительные.
б) Ни одно рациональное число не является действительным.
в) Некоторые рациональные числа действительные.
г) Некоторые рациональные числа не являются действительными.

Определите, какие из данных высказываний истинные.

Решение. Введем следующие одноместные предикаты: Q(x. «х — рациональное число»; R(x): «х — действительное число». Тогда перевод данных высказываний на язык логики предикатов будет таким:

а) (Vx)(0(x) -э /?(х)); в) (Зх)((?(х) л ВД);
б) (Vx)(0(x) -э ^Я(х)); г) (Зх)((2(х) л -,7?(х)).
10.3. Введите одноместные предикаты на соответствующих областях и запишите при их помощи следующие высказывания в виде формул логики предикатов.
а) Всякое натуральное число, делящееся на 12, делится на 2, 4 и 6.
б) Жители Швейцарии обязательно владеют или французским, или итальянским, или немецким языком.
в) Функция, непрерывная на отрезке 10, 1], сохраняет знак или принимает нулевое значение.
г) Некоторые змеи ядовиты.
д) Все собаки обладают хорошим обонянием.
е) Все ромбы являются параллелограммами.
ж) Некоторые параллелограммы являются ромбами.
з) Ни один параллелограмм не является ромбом.
и) Некоторые ромбы не являются параллелограммами.
к) Ни один ромб не является параллелограммом.
л) Все параллелограммы являются ромбами.
10.4. В следующих примерах проделайте то же самое, что и в предыдущей задаче, необязательно ограничиваясь одноместными предикатами.
а) Если а есть корень многочлена от одной переменной с вещественными коэффициентами, то сопряженное число а — также корень этого многочлена.
б) Между любыми двумя различными точками на прямой лежит по меньшей мере одна, с ними не совпадающая.
в) Через две различные точки проходит единственная прямая.
г) Каждый студент выполнил по меньшей мере одну лабораторную работу.

д) Если произведение натуральных чисел делится на простое число, то на него делится по меньшей мере один из сомножителей.
е) Через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит единственная плоскость.
ж) Наибольший общий делитель чисел а и b делится на всякий их общий делитель.
з) Для каждого действительного числа х существует такой у, что для каждого z, если сумма z и 1 меньше у, то сумма х и 2 меньше 4.
и) х — простое число.
к) Каждое четное число, большее четырех, является суммой двух простых чисел (гипотеза Гольдбаха).
л) Существуют три точки, не принадлежащие одной прямой.

л) Первая форма записи данного утверждения:
- (ЗЛ)(3?)(ЗС)-.(3/)(Л е I л В е / л С е /).

(ЗД)(35)(ЗС)(У/)(Д ё I v В е I v С е /).
10.5. Запишите на языке логики предикатов отрицание каждого из предложений предыдущей задачи, предварительно сформулировав его.

л) Отрицание формулируется следующим образом: любые три точки принадлежат некоторой прямой. В случае второй формы записи отрицание выглядит так: (ХЛ4)(У?)(УС)(3/)(Л е I л В е I л С е /).
10.6. Пусть Р(х) означает «х — простое число», ?(х) означает «х — четное число», О(х) означает «х — нечетное число», D(x, у) — «х делит у» или «у делится нах». Переведите на русский язык следующие символические записи на языке логики предикатов, учитывая, что переменные хиу пробегают множество натуральных чисел:
- а) Р(7);
- б) ?(2) л Р(2);
- в) (Ух)(?(2, х) —> ?(х));
- г) (3х)(3(х) а ?(х, 6));
- д) (Vx)(-₁?(x) -> ^?(2, х));
- е) (Ух)((?(х, 32) а х * 1) -> ?(х));
- ж) (Ух)(3(х) -> (Зу)(х = 2у));

з) (Vx)(P(x) (3у)(3(у) л D(x, У)))-
и) (Vx)(O(x) -э (/y)(P(y) -* —>D(x, y)));
к) (3x)(3(x) a P(x)) a -.(3x)(0(x) a P(x)) a

a (3y)(x * у л E(y) A P(y))-,

л) Это высказывание можно прочитать так: «Для любого натурального числа х, если оно четное, то для любого натурального числа у, если х делит у, то и у будет четным числом». Мы прочитали это высказывание что называется «с листа», произнесли словами нового языка то, что было написано на старом языке, не вникая в математическую суть утверждения. Вдумаемся теперь в суть этого утверждения и придадим ему более подобающую русскому языку и более понятную форму: «Всякое натуральное число, делящееся на четное число, само будет четным».
10.7. Запишите на языке логики предикатов определения:
- а) монотонной последовательности;
- б) ограниченной последовательности;
- в) предела последовательности (сходящейся последовательности);
- г) фундаментальной последовательности (или последовательности Коши);
- д) возрастающей функции, монотонной функции;
- е) четной функции;
- ж) периодической функции;
- з) функции, стремящейся к бесконечности в точке;
- и) предела функции в точке;
- к) непрерывности функции в точке;
- л) равномерной непрерывности функции на множестве.

л) Функция f(x) называется равномерно непрерывной на множестве М, если абсолютная величина разности между значениями функции в точках Х, х₂ е М может быть сделана меньше любого наперед заданного как угодно малого положительного числа, если только достаточно приблизить друг к другу точки Х, х₂ е М. Символически, на языке логики предикатов (или, как говорят в анализе, на Е-5-языке):
- (Ve > 0)(36 > 0)(Vx_bх₂ е М)(х_< — х₂| 1/^) — /(х₂)| е ЛЛ как бы близко мы ни сближали эти точки. На языке логики предикатов:
  - (Зе > 0)(VS > 0)(3x_b х₂ е M)(|xj — х₂| е).