Записать на языке логики предикатов не найдутся числа удовлетворяющие уравнению

Видео:Яворская Т.Л. - Математическая логика. Часть 1 - 4. Логика предикатовСкачать

Записать на языке логики предикатов не найдутся числа удовлетворяющие уравнению

&nbsp1. Запись математических предложений и определений в виде формул логики предикатов.
&nbspЯзык логики предикатов удобен для записи математических предложений. Он дает возможность выражать логические связи между понятиями, записывать определения, теоремы, доказательства. Приведем несколько примеров таких записей.
&nbspПример 1. Определение предела числовой последовательности.

Видео:Введение в логику, урок 4: Предикаты и кванторыСкачать

Записать на языке логики предикатов не найдутся числа удовлетворяющие уравнению

Видео:ПредикатыСкачать

Краткие теоретические сведения и решение типовых задач по теме «Логика предикатов»

х больше y: Больше (х, y),

Джон любит Мери: Любит (Джон, Мери).

х больше 3: больше(х, 3), где х – переменная, 3 – константа, больше – предикатный символ.

x+y: плюс (х, y), где «плюс» — функциональный символ.

Предикат обобщает высказывание и, при этом имеет структуру и может содержать переменные и даже функции, определенные над некоторой областью.

Больше (плюс(х, 1), 3) – истина если x > 2, ложь в остальных случаях.

Для построения языка воспользуемся следующими четырьмя типами символов:

1. константы – это обычно имена объектов такие, как Мери, 3 и так далее, то есть константы из некоторых областей.
2. предметные переменные – малые латинские буквы: x, y, x₁, … — принимают значения из области.
3. функциональные символы – будем использовать малые латинские буквы: s, g, h…, а так же такие слова, как плюс, минус и другие.
4. предикатные символы – большие латинские буквы или слова типа «любит», «больше».
5. (,).

Всякая функция будет использовать помимо функциональных символов определенное число аргументов:

f(x,y), плюс(x,y), f – двухместный функциональный символ.

Всякий предикат будет использовать помимо предикатных символов- аргументы:

P (x, плюс (x, y)) –двухместный предикат.

Допускаются двухместные предикаты Q, R – аналог пропозиционнальных переменных, то есть принимающих значения истина или ложь.

Функциям и предикатам будут сопоставляться отображения.

Определим конструкции языка формул. Введем понятие терма

Плюс (х, 1) – двухместный;

Предикат – это отображение списка констант в И и Л.

Определим атом логики предикатов.

Теперь можно воспользоваться пятью логическими связками для построения формул: , , , , , а так же двумя новыми для переменных:

 — квантор общности (все);

 — квантор существования (существует для некоторых).

(х) – для всех х, для каждого х, для всякого х.

(х) – существует х, для некоторых х, по крайней мере для одного х.

Примеры формул.

• Каждое рациональное число есть вещественное:

(х)(Q(x)R(x))

• Существует число, являющееся простым:

(х)P(x).

• Для каждого числа х существует такое число y, что x
  

  Состояние творческой импотенции, увы, не мешает творить. Лешек Кумор
  ещё >>

  Видео:Матлогика 1. Высказывания. Логические связки. Предикаты и кванторыСкачать

  

  Язык логики предикатов

  Язык логики предикатов — это искусственный язык, предназначенный для анализа логической структуры простых высказываний.

  Язык логики предикатов характеризует алфавит (список знаковых средств) и определение правильно построенного выражения. В логике предикатов такими выражениями являются термы и формулы.

  Прежде чем задать язык логики предикатов, определим, какие нелогичные термины входят в состав простого высказывания. При анализе контекстов естественного языка можно выделить но крайней мере два вида нелогичных терминов. Это имена, которые обозначают предметы или классы предметов, и предикаторы, которые обозначают свойства или отношения.

  Предикаторы, обозначающие свойства предметов, в логике называют одноместными («быть виновным», «быть способным»), а предикаторы, обозначающие отношения между предметами, — многоместными («быть сыном» — двухместный предикатор; «находиться между Киевом и Москвой» — трехместный предикатор).

  Кроме нелогических терминов, в состав простого высказывания могут также входить логические термины. В логике предикатов к ним относят логические союзы и два вида кванторов: квантор общности и квантор существования.

  Квантор общности в естественном языке выражают при помощи слов: «все», «любой», «каждый». Квантор существования — при помощи слов: «некоторый», «существует». Зададим теперь алфавит языка логики предикатов. Алфавит

  Эти знаки обозначают единичные имена предметов, как правило, собственные имена.

  2. Предметные (индивидные) переменные: х, у, Z, Хр ур z, .

  Каждая предметная переменная может принимать различные значения из предметной области анализируемого контекста. Предметные переменные обозначают общие имена естественного языка.

  3. Предикатные символы:

  Р, Q, R, S, Рр Qp Rp S_r..

  Эти знаки обозначают предикаторы естественного языка.

  • 4. Знаки логических союзов:
    • — — знак отрицания (читают: «не»; «неверно, что. »); л — знак конъюнкции (читают: «. и. »);

  v — знак дизъюнкции (читают: «. или. »);

  —>— знак импликации (читают: «если. то. »);

  Простые высказывания, в которых утверждают (отрицают) наличие отношения между всеми (некоторыми) предметами определенного класса и конкретным предметом

  • 6.1. Некоторые люди знают логику.
  • 6.2. Все юристы изучают логику.
  • 6.3. Некоторые люди не знают логику.
  • 6.4. Ни один человек не является бессмертным

  Простые высказывания, в которых утверждают (отрицают) наличие отношения между всеми (некоторыми) предметами одного класса и всеми (некоторыми) предметами другого класса

  • 7.1. Любой юноша любит какую-то девушку.
  • 7.2. Некоторые юноши любят всех девушек.
  • 7.3. Некоторые юноши не знают некоторых девушек.
  • 7.4. Некоторые юноши не любят ни одну девушку
  • 7.1. V.r (0(х) —> Зу(В(у)лА(х,у))
  • 7.2.

  А(х, у))

• 4. S — знак предикатора «изучать»;
• 5. F— знак предикатора «знать»;
• 6. Л — знак предикатора «любить»;
• 7. Н — знак предикатора «быть мошенником»;
• 8. М — знак предикатора «быть человеком»;
• 9. W— знак предикатора «быть бессмертным»;
• 10. О — знак предикатора «быть юношей»;
• 11. В — знак предикатора «быть девушкой»;
• 12. а— предметная константа, которая обозначает имя «Андрей»;
• 13. Ъ — предметная константа, которая обозначает имя «отец Андрея»;
• 14. с — предметная константа, которая обозначает имя «логика»;
• 15. d — предметная константа, которая обозначает имя «Олег».

Конечно, привести все возможные формализации простых высказываний естественного языка невозможно. Но рассмотренные выше случаи помогут вам выявить логическую форму у тех высказываний, которые вы захотите самостоятельно проанализировать.

Видео:Логические операции над предикатамиСкачать

Применение логики предикатов к логико-математической практике

Видео:Интерпретация формул логики предикатовСкачать

Записи на языке логики предикатов

Задачи такого типа имеют важное методологическое значение. Они, по существу, являются своеобразной моделью одной из сторон научно-исследовательского процесса, когда от своего рода «технической» постановки задачи требуется перейти к ее математической постановке с тем, чтобы в процессе ее решения можно было бы использовать математические методы.

• 10.1. Запишите следующие высказывания на языке логики предикатов.
• а) Существует не более одного х такого, что Р(х).
• б) Существует точно один х такой, что Р(х).
• в) Существует по меньшей мере два различных х таких, что Р(х).
• г) Существует не более двух х таких, что / > (х).
• д) Существует точно два различных х таких, что / > (х).

а) Прежде переформулируем данное утверждение так, чтобы, во-первых, не исказить его смысл, а во-вторых, сделать его полностью готовым к переводу на логико-математический язык, на язык логики предикатов. Вот эта переформулировка: не верно, что существуют два различных предмета х и у, такие, что Р(х) и Р(у), или какие бы два предмета ни удовлетворяли условию Р, они не могут не совпадать, т.е. обязаны совпадать. Теперь мы готовы записать последнюю фразу символически: (Vx)(Vy)((P(x) л Р(у)) —> х = у).

• 10.2. Введя подходящие одноместные предикаты на соответствующих областях, переведите следующие высказывания на язык логики предикатов.
• а) Все рациональные числа действительные.
• б) Ни одно рациональное число не является действительным.
• в) Некоторые рациональные числа действительные.
• г) Некоторые рациональные числа не являются действительными.

Определите, какие из данных высказываний истинные.

Решение. Введем следующие одноместные предикаты: Q(x. «х — рациональное число»; R(x): «х — действительное число». Тогда перевод данных высказываний на язык логики предикатов будет таким:

• а) (Vx)(0(x) -э /?(х)); в) (Зх)((?(х) л ВД);
• б) (Vx)(0(x) -э ^Я(х)); г) (Зх)((2(х) л -,7?(х)).
• 10.3. Введите одноместные предикаты на соответствующих областях и запишите при их помощи следующие высказывания в виде формул логики предикатов.
• а) Всякое натуральное число, делящееся на 12, делится на 2, 4 и 6.
• б) Жители Швейцарии обязательно владеют или французским, или итальянским, или немецким языком.
• в) Функция, непрерывная на отрезке 10, 1], сохраняет знак или принимает нулевое значение.
• г) Некоторые змеи ядовиты.
• д) Все собаки обладают хорошим обонянием.
• е) Все ромбы являются параллелограммами.
• ж) Некоторые параллелограммы являются ромбами.
• з) Ни один параллелограмм не является ромбом.
• и) Некоторые ромбы не являются параллелограммами.
• к) Ни один ромб не является параллелограммом.
• л) Все параллелограммы являются ромбами.
• 10.4. В следующих примерах проделайте то же самое, что и в предыдущей задаче, необязательно ограничиваясь одноместными предикатами.
• а) Если а есть корень многочлена от одной переменной с вещественными коэффициентами, то сопряженное число а — также корень этого многочлена.
• б) Между любыми двумя различными точками на прямой лежит по меньшей мере одна, с ними не совпадающая.
• в) Через две различные точки проходит единственная прямая.
• г) Каждый студент выполнил по меньшей мере одну лабораторную работу.

• д) Если произведение натуральных чисел делится на простое число, то на него делится по меньшей мере один из сомножителей.
• е) Через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит единственная плоскость.
• ж) Наибольший общий делитель чисел а и b делится на всякий их общий делитель.
• з) Для каждого действительного числа х существует такой у, что для каждого z, если сумма z и 1 меньше у, то сумма х и 2 меньше 4.
• и) х — простое число.
• к) Каждое четное число, большее четырех, является суммой двух простых чисел (гипотеза Гольдбаха).
• л) Существуют три точки, не принадлежащие одной прямой.

• л) Первая форма записи данного утверждения:
  • (ЗЛ)(3?)(ЗС)-.(3/)(Л е I л В е / л С е /).

• (ЗД)(35)(ЗС)(У/)(Д ё I v В е I v С е /).
• 10.5. Запишите на языке логики предикатов отрицание каждого из предложений предыдущей задачи, предварительно сформулировав его.

• л) Отрицание формулируется следующим образом: любые три точки принадлежат некоторой прямой. В случае второй формы записи отрицание выглядит так: (ХЛ4)(У?)(УС)(3/)(Л е I л В е I л С е /).
• 10.6. Пусть Р(х) означает «х — простое число», ?(х) означает «х — четное число», О(х) означает «х — нечетное число», D(x, у) — «х делит у» или «у делится нах». Переведите на русский язык следующие символические записи на языке логики предикатов, учитывая, что переменные хиу пробегают множество натуральных чисел:
  • а) Р(7);
  • б) ?(2) л Р(2);
  • в) (Ух)(?(2, х) —> ?(х));
  • г) (3х)(3(х) а ?(х, 6));
  • д) (Vx)(-₁?(x) -> ^?(2, х));
  • е) (Ух)((?(х, 32) а х * 1) -> ?(х));
  • ж) (Ух)(3(х) -> (Зу)(х = 2у));

• з) (Vx)(P(x) (3у)(3(у) л D(x, У)))-
• и) (Vx)(O(x) -э (/y)(P(y) -* —>D(x, y)));
• к) (3x)(3(x) a P(x)) a -.(3x)(0(x) a P(x)) a

a (3y)(x * у л E(y) A P(y))-,

• л) Это высказывание можно прочитать так: «Для любого натурального числа х, если оно четное, то для любого натурального числа у, если х делит у, то и у будет четным числом». Мы прочитали это высказывание что называется «с листа», произнесли словами нового языка то, что было написано на старом языке, не вникая в математическую суть утверждения. Вдумаемся теперь в суть этого утверждения и придадим ему более подобающую русскому языку и более понятную форму: «Всякое натуральное число, делящееся на четное число, само будет четным».
• 10.7. Запишите на языке логики предикатов определения:
  • а) монотонной последовательности;
  • б) ограниченной последовательности;
  • в) предела последовательности (сходящейся последовательности);
  • г) фундаментальной последовательности (или последовательности Коши);
  • д) возрастающей функции, монотонной функции;
  • е) четной функции;
  • ж) периодической функции;
  • з) функции, стремящейся к бесконечности в точке;
  • и) предела функции в точке;
  • к) непрерывности функции в точке;
  • л) равномерной непрерывности функции на множестве.

• л) Функция f(x) называется равномерно непрерывной на множестве М, если абсолютная величина разности между значениями функции в точках Х, х₂ е М может быть сделана меньше любого наперед заданного как угодно малого положительного числа, если только достаточно приблизить друг к другу точки Х, х₂ е М. Символически, на языке логики предикатов (или, как говорят в анализе, на Е-5-языке):
  • (Ve > 0)(36 > 0)(Vx_bх₂ е М)(х_< — х₂| 1/^) — /(х₂)| е ЛЛ как бы близко мы ни сближали эти точки. На языке логики предикатов:
    • (Зе > 0)(VS > 0)(3x_b х₂ е M)(|xj — х₂| е).

🔥 Видео

Предикаты и кванторы. Отрицание предложений с кванторами.Скачать

Логика предикатовСкачать

AIML-2-2-1 Логика предикатовСкачать

Формулы логики предикатовСкачать

Примеры известных равносильных и неравносильных формул логики предикатовСкачать

Кванторы Определение и видыСкачать

Высказывания и предикатыСкачать

Логический кружок 4. Логика предикатовСкачать

Как распознать талантливого математикаСкачать

Информатика. Алгебра логики: Предикаты. Центр онлайн-обучения «Фоксфорд»Скачать

Математическая логика и теория алгоритмов 11. Общезначимые формулы и выразимые предикатыСкачать

Определение эквивалентности (равносильности) формул логики предикатовСкачать

Преобразование логических выражений / Упрощение выражений (практика) [Алгебра логики] #6Скачать

Конъюнкция, дизъюнкция, импликация, эквиваленция, отрицание. На примерах из жизни. Логика.Скачать