Замена бернулли для решения линейного дифференциального уравнения первого порядка имеет вид

Видео:Математика без Ху!ни. Линейное неоднородное уравнение 1 порядка. Метод вариации постоянной.Скачать

Математика без Ху!ни. Линейное неоднородное уравнение 1 порядка. Метод вариации постоянной.

Дифференциальное уравнение Бернулли и методы его решения

Замена бернулли для решения линейного дифференциального уравнения первого порядка имеет вид

Видео:7. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Метод Бернулли.Скачать

7. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Метод Бернулли.

Решение дифференциального уравнения Бернулли приведением к линейному уравнению

Рассмотрим дифференциальное уравнение Бернулли:
(1) ,
где n ≠ 0 , n ≠ 1 , p и q – функции от x .
Разделим его на y n . При y ≠ 0 или n 0 имеем:
(2) .
Это уравнение сводится к линейному с помощью замены переменной:
.
Покажем это. По правилу дифференцирования сложной функции:
;
.
Подставим в (2) и преобразуем:
;
.
Это – линейное, относительно z , дифференциальное уравнение. После его решения, при n > 0 , следует рассмотреть случай y = 0 . При n > 0 , y = 0 также является решением уравнения (1) и должно входить в ответ.

Видео:10. Уравнения БернуллиСкачать

10. Уравнения Бернулли

Решение методом Бернулли

Рассматриваемое уравнение (1) также можно решить методом Бернулли. Для этого ищем решение исходного уравнения в виде произведения двух функций:
y = u·v ,
где u и v – функции от x . Дифференцируем по x :
y′ = u′ v + u v′ .
Подставляем в исходное уравнение (1):
;
(3) .
В качестве v возьмем любое, отличное от нуля, решение уравнения:
(4) .
Уравнение (4) – это уравнение с разделяющимися переменными. Решаем его и находим частное решение v = v ( x ) . Подставляем частное решение в (3). Поскольку оно удовлетворяет уравнению (4), то выражение в круглых скобках обращается в нуль. Получаем:
;
.
Здесь v – уже известная функция от x . Это уравнение с разделяющимися переменными. Находим его общее решение, а вместе с ним и решение исходного уравнения y = uv .

Видео:Дифференциальные уравнения, 4 урок, Линейные дифференциальные уравнения первого порядкаСкачать

Дифференциальные уравнения, 4 урок, Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

Примеры решений дифференциального уравнения Бернулли

Пример 1

Решить уравнение
(П1.1)

Это дифференциальное уравнение Бернулли. Решаем его методом Бернулли. Ищем решение в виде произведения двух функций: . Тогда
. Подставляем в (П1.1):
;
(П1.2) .
Одну из этих функций мы можем выбрать произвольным образом. Выберем v так, чтобы выражение в круглых скобках равнялось нулю:
(П1.3) .
Тогда подставляя (П1.3) в (П1.2), мы получим дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными:
(П1.4) .

Сначала мы определим функцию v . Нам нужно найти любое, отличное от нуля, решение уравнения (П1.3). Решаем его. Для этого разделяем переменные и интегрируем.
;
;
;
;
.
Отсюда , или . Возьмем решение с и знаком ′плюс′. Тогда , или .

Итак, мы нашли функции u и v . Находим искомую функцию y :
.
Заменим постоянную интегрирования: . Тогда общее решение исходного уравнения (П1.1) примет вид:
.

Когда мы делили на u , то предполагали, что . Теперь рассмотрим случай . Тогда . Нетрудно видеть, что постоянная функция также является решением исходного уравнения (П1.1) ⇑.

Общее решение уравнения: .
Уравнение также имеет решение .

Пример 2

На первый взгляд, кажется, что это дифференциальное уравнение не похоже на уравнение Бернулли. Если считать x независимой переменной, а y – зависимой (то есть если y – это функция от x ), то это так. Но если считать y независимой переменной, а x – зависимой, то легко увидеть, что это – уравнение Бернулли.

Итак, считаем что x является функцией от y . Подставим в исходное уравнение и умножим на :
;
;
(П2.1) .
Это – уравнение Бернулли с n = 2 . Оно отличается от рассмотренного выше, уравнения (1), только обозначением переменных ( x вместо y ). Решаем методом Бернулли. Делаем подстановку:
x = u v ,
где u и v – функции от y . Дифференцируем по y :
.
Подставим в (П2.1):
;
(П2.2) .
Ищем любую, отличную от нуля функцию v ( y ) , удовлетворяющую уравнению:
(П2.3) .
Разделяем переменные и интегрируем:
;
;
.
Поскольку нам нужно любое решение уравнения (П2.3), то положим C = 0 :
; ; .
Возьмем решение со знаком ′плюс′:
.
Подставим в (П2.2) учитывая, что выражение в скобках равно нулю (ввиду (П2.3)):
;
;
.
Разделяем переменные и интегрируем. При u ≠ 0 имеем:
;
(П2.4) ;
.
Во втором интеграле делаем подстановку :
;
.
Интегрируем по частям:
;
.
Подставляем в (П2.4):
.
Возвращаемся к переменной x :
;
;
.

Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 07-08-2012 Изменено: 29-10-2020

Видео:Линейные дифференциальные уравнения 1 порядка. Уравнения БернуллиСкачать

Линейные дифференциальные уравнения 1 порядка. Уравнения Бернулли

Дифференциальное уравнение Бернулли

Статья раскрывает методы решения дифференциального уравнения Бернулли. В заключении будут рассмотрены решения примеров с подробным объяснением.

Видео:Дифференциальные уравнения, 5 урок, Уравнение БернуллиСкачать

Дифференциальные уравнения, 5 урок, Уравнение Бернулли

Приведение к линейному уравнению 1 порядка

Дифференциальное уравнение Бернулли записывается как y ‘ + P ( x ) · y = Q ( x ) · y n . Если n = 1 , тогда его называют с разделяющими переменными. Тогда уравнение запишется как y ‘ + P ( x ) · y = Q ( x ) · y ⇔ y ‘ = Q ( x ) — P ( x ) · y .

Для того, чтобы решить такое уравнение, необходимо первоначально привести к линейному неоднородному дифференциальному уравнению 1 порядка с новой переменной вида z = y 1 — n . Проделав замену, получаем, что y = z 1 1 — n ⇒ y ‘ = 1 1 — n · z n 1 — n · z ‘ .

Отсюда вид уравнения Бернулли меняется:

y ‘ + P ( x ) · y = Q ( x ) · y n 1 1 — n · z 1 1 — n · z ‘ + P ( x ) · z 1 1 — n = Q ( x ) · z 1 1 — n z ‘ + ( 1 — n ) · P ( x ) · z = ( 1 — n ) · Q ( x )

Этот процесс вычисления и подстановки способствует приведению к линейному неоднородному дифференциальному уравнению первого порядка. В итоге проводим замену и получаем его решение.

Найти общее решение для уравнения вида y ‘ + x y = ( 1 + x ) · e — x · y 2 .

Решение

По условию имеем, что n = 2 , P ( x ) = x , Q ( x ) = ( 1 + x ) · e — x . Необходимо ввести новую переменную z = y 1 — n = y 1 — 2 = 1 y , отсюда получим, что y = 1 z ⇒ y ‘ = — z ‘ z 2 . Провести замену переменных и получить ЛНДУ первого порядка. Запишем, как

y ‘ + x y = ( 1 + x ) · e — x · y 2 — z ‘ z 2 + x z = ( 1 + x ) · e — x · 1 z 2 z ‘ — x z = — ( 1 + x ) · e — x

Следует проводить решение при помощи метода вариации произвольной постоянной.

Проводим нахождение общего решения дифференциального уравнения вида:

d z d x — x z = 0 ⇔ d z z = x d x , z ≠ 0 ∫ d z z = ∫ x d x ln z + C 1 = x 2 2 + C 2 e ln z + C 1 = e x 2 2 + C 2 z = C · e x 2 2 , C = e C 2 — C 1

Где z = 0 , тогда решение дифференциального уравнения считается z ‘ — x z = 0 , потому как тождество становится равным нулю при нулевой функции z . Данный случай записывается как z = C ( x ) · e x 2 2 , где С = 0 . Отсюда имеем, что общим решением дифференциального уравнения z ‘ — x z = 0 считается выражение z = C · e x 2 2 при С являющейся произвольной постоянной.

Необходимо варьировать переменную для того, чтобы можно было принять
z = C ( x ) · e x 2 2 как общее решение дифференциального уравнения вида z ‘ — x z = — ( 1 + x ) · e — x .

Отсюда следует, что производится подстановка вида

C ( x ) · e x 2 2 ‘ — x · C ( x ) · e x 2 2 = — ( 1 + x ) · e — x C ‘ ( x ) · e x 2 2 + C ( x ) · e x 2 2 ‘ — x · C ( x ) · e x 2 2 = — 1 + x · e — x C ‘ ( x ) · e x 2 2 + C ( x ) · x · e x 2 2 — x · C ( x ) · e x 2 2 = — ( 1 + x ) · e — x C ‘ ( x ) · e x 2 2 = — ( 1 + x ) · e — x 2 2 — x C ( x ) = ∫ — ( 1 + x ) · e — x 2 2 — x d x = ∫ e — x 2 2 — x d — x 2 2 — x = e — x 2 x — x + C 3

С 3 принимает значение произвольной постоянной. Следовательно:

z = C x · e x 2 2 = e — x 2 2 — x + C 3 · e x 2 2 = e — x + C 3 · e x 2 2

Дальше производится обратная замена. Следует, что z = 1 y считается за y = 1 z = 1 e — x + C 3 · e x 2 2 .

Ответ: это решение считается решением исходного дифференциального уравнения Бернулли.

Видео:Уравнение Бернулли Метод БернуллиСкачать

Уравнение Бернулли  Метод Бернулли

Представление произведением функций u ( x ) и v ( x )

Имеется другой метод решения дифференциального уравнения Бернулли, который основывается на том, что функцию представляют при помощи произведения функций u ( x ) и v ( x ) .

Тогда получаем, что y ‘ = ( u · v ) ‘ = u ‘ · v + u · v ‘ . Производим подстановку в уравнение Бернулли y ‘ + P ( x ) · y = Q ( x ) · y n и упростим выражение:

u ‘ · v + u · v ‘ + P ( x ) · u · v = Q ( x ) · u · v n u ‘ · v + u · ( v ‘ + P ( x ) · v ) = Q ( x ) · u · v n

Когда в качестве функции берут ненулевое частное решение дифференциального уравнения v ‘ + P ( x ) · v = 0 , тогда придем к равенству такого вида

u ‘ · v + u · ( v ‘ + P ( x ) · v ) = Q ( x ) · ( u · v ) n ⇔ u ‘ · v = Q ( x ) · ( u · v ) n .

Отсюда следует определить функцию u .

Решить задачу Коши 1 + x 2 · y ‘ + y = y 2 · a r c t g x , y ( 0 ) = 1 .

Решение

Переходим к нахождению дифференциального уравнения вида 1 + x 2 · y ‘ = y · a r c t g x , которое удовлетворяет условию y ( 0 ) = 1 .

Обе части неравенства необходимо поделить на x 2 + 1 , после чего получим дифференциальное уравнение Бернулли y ‘ + y x 2 + 1 = y 2 · a r c t g x x 2 + 1 .

Перейдем к поиску общего решения.

Принимаем y = u · v , отсюда получаем, что y ‘ = u · v ‘ = u ‘ · v + u · v ‘ и уравнение запишем в виде

y ‘ + y x 2 + 1 = y 2 · a r c t g x x 2 + 1 u ‘ · v + u · v ‘ + u · v x 2 + 1 = u · v 2 · a r c t g x x 2 + 1 u ‘ · v + u · v ‘ + v x 2 + 1 = u 2 · v 2 · a r c t g x x 2 + 1

Проведем поиск частного решения с наличием разделяющих переменных v ‘ + v x 2 + 1 = 0 , отличных от нуля. Получим, что

d v v = — d x x 2 + 1 , v ≠ 0 ∫ d v v = — ∫ d x x 2 + 1 ln v + C 1 = — a r c t g x + C 2 v = C · e — a r c t g x , C = e C 2 — C 1

В качестве частного решения необходимо брать выражение вида v = e — a r c r g x . Преобразуем и получим, что

u ‘ · v + u · v ‘ + v x 2 + 1 = u 2 · v 2 · a r c r g x x 2 + 1 u ‘ · v + u · 0 = u 2 · v 2 · a r c t g x x 2 + 1 u ‘ = u 2 · v · a r c t g x x 2 + 1 u ‘ = u 2 · e — a r c t g x · a r c t g x x 2 + 1 ⇔ d u u 2 = e — a r c t g x · a r c t g x x 2 + 1 d x , u ≠ 0 ∫ d u u 2 = ∫ e — a r c t g x · a r c t g x x 2 + 1 d x ∫ d u u 2 = ∫ e — a r c t g x · a r c t g x d ( a r c t g x )

Имеем, что u = 0 рассматривается как решение дифференциального уравнения. Далее необходимо решить каждый из полученных интегралов по отдельности.

Интеграл с левой стороны, имеющего вид ∫ d u u 2 , необходимо найти по таблице первообразных. Получаем, что

∫ d u u 2 = — 1 u + C 3 .

Чтобы найти интеграл вида ∫ e — a r c t g x · a r c t g x d ( a r c t g x ) , принимаем значение a r c t g x = z и применяем метод интегрирования по частям. Тогда имеем, что

∫ e — a r c t g x · a r c t g x d ( a r c t g x ) = a r c t g x = z = = ∫ e — z · z d z = u 1 = z , d v 1 = e — z d z d u 1 = d z , v 1 = — e — z = = — z · e — z + ∫ e — z d z = — z · e — z — e — z + C 4 = = — e — z · ( z + 1 ) + C 4 = — e — a r c t g x · ( a r c t g x + 1 ) + C 4

— 1 u + C 3 = — e — a r c t g x · a r c t g x + 1 + C 4 1 u = e — a r c r g x · a r c t g x + 1 + C 3 — C 4 u = 1 e — a r c r g x · ( a r c t g x + 1 ) + C

Отсюда находим, что

y = u · v = e — a r c t g x e — a r c r g x · ( a r c t g x + 1 ) + C и y = 0 · v = 0 · e — a r c r g x = 0 являются решениями дифференциального уравнения Бернулли вида y ‘ + y x 2 + 1 = y 2 · a r c t g x x 2 + 1 .

На данном этапе следует переходить к поиску частного решения, которое удовлетворяет начальному условию. Получим, что

y = e — a r c t g x e — a r c t g x · a r c t g x + 1 + C , тогда запись примет вид y 0 = e — a r c t g 0 e — a r c t g 0 · a r c t g 0 + 1 + C = 1 1 + C .

Очевидно, что 1 1 + C = 1 ⇔ C = 0 . Тогда искомой задачей Коши будет являться полученное уравнение вида y = e — a r c t g x e — a r c t g x · a r c t g x + 1 + 0 = 1 a r c t g x + 1 .

Видео:Метод Лагранжа & Метод Бернулли ★ Решение линейных неоднородных дифференциальных уравненийСкачать

Метод Лагранжа & Метод Бернулли ★ Решение линейных неоднородных дифференциальных уравнений

Дифференциальные уравнения Бернулли в примерах решений

Дифференциальным уравнением Бернулли называется уравнение вида

Замена бернулли для решения линейного дифференциального уравнения первого порядка имеет вид,

Таким образом, дифференциальное уравнение Бернулли обязательно содержит функцию y в степени, отличной от нуля и единицы.

В случае, если m = 0 , уравнение является линейным, а в случае, если m = 1 , уравнение является уравнением с разделяющимися переменными.

Дифференциальное уравнение Бернулли можно решить двумя методами.

  1. Переходом с помощью подстановки к линейному уравнению.
  2. Методом Бернулли.

Переход от уравнения Бернулли к линейному уравнению.

Уравнение делим на Замена бернулли для решения линейного дифференциального уравнения первого порядка имеет вид:

Замена бернулли для решения линейного дифференциального уравнения первого порядка имеет вид,

Замена бернулли для решения линейного дифференциального уравнения первого порядка имеет вид.

Обозначим Замена бернулли для решения линейного дифференциального уравнения первого порядка имеет вид. Тогда Замена бернулли для решения линейного дифференциального уравнения первого порядка имеет вид, откуда Замена бернулли для решения линейного дифференциального уравнения первого порядка имеет вид. Переходя к новой переменной, получим уравнение

Замена бернулли для решения линейного дифференциального уравнения первого порядка имеет вид,

которое является линейным дифференциальным уравнение первого порядка. Его можно решить методом вариации константы Лагранжа или методом Бернулли.

Решение методом Бернулли.

Решение следует искать в виде произведения двух функций y = uv . Подставив его в дифференциальное уравнение, получим уравнение

Замена бернулли для решения линейного дифференциального уравнения первого порядка имеет вид.

Из слагаемых, содержащих функцию u в первой степени, вынесем её за скобки:

Замена бернулли для решения линейного дифференциального уравнения первого порядка имеет вид.

Приравняв выражение в скобках нулю, то есть

Замена бернулли для решения линейного дифференциального уравнения первого порядка имеет вид,

получим дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными для определения функции v .

Функцию u следует находить из дифференциального уравнения

Замена бернулли для решения линейного дифференциального уравнения первого порядка имеет вид,

которое также является уравнение с разделяющимися переменными.

Пример 1. Решить дифференциальное уравнение Бернулли

Замена бернулли для решения линейного дифференциального уравнения первого порядка имеет вид.

Решение. Решим дифференциальное уравнение двумя методами.

1. Переход от уравнения Бернулли к линейному уравнению. Данное уравнение умножим на y³ :

Замена бернулли для решения линейного дифференциального уравнения первого порядка имеет вид.

Введём обозначение Замена бернулли для решения линейного дифференциального уравнения первого порядка имеет вид, тогда Замена бернулли для решения линейного дифференциального уравнения первого порядка имеет вид, Замена бернулли для решения линейного дифференциального уравнения первого порядка имеет види приходим к уравнению

Замена бернулли для решения линейного дифференциального уравнения первого порядка имеет вид

Замена бернулли для решения линейного дифференциального уравнения первого порядка имеет вид.

Решим его методом Бернулли. В последнее уравнение подставим z = uv , z‘ = uv + uv‘ :

Замена бернулли для решения линейного дифференциального уравнения первого порядка имеет вид,

Замена бернулли для решения линейного дифференциального уравнения первого порядка имеет вид.

Выражение в скобках приравняем нулю и решим полученное дифференциальное уравнение:

Замена бернулли для решения линейного дифференциального уравнения первого порядка имеет вид

Полученную функцию v подставим в уравнение:

Замена бернулли для решения линейного дифференциального уравнения первого порядка имеет вид

Замена бернулли для решения линейного дифференциального уравнения первого порядка имеет вид

2. Методом Бернулли. Ищем решение в виде произведения двух функций y = uv . Подставив его и y‘ = uv + uv‘ в данное дифференциальное уравнение, получим

Замена бернулли для решения линейного дифференциального уравнения первого порядка имеет вид

Выражение в скобках приравняем нулю и определим функцию v :

Замена бернулли для решения линейного дифференциального уравнения первого порядка имеет вид

Полученную функцию v подставим в уравнение и определим функцию u :

Замена бернулли для решения линейного дифференциального уравнения первого порядка имеет вид

И, наконец, найдём решение данного дифференциального уравнения:

Замена бернулли для решения линейного дифференциального уравнения первого порядка имеет вид

Пример 2. Решить дифференциальное уравнение Бернулли

Замена бернулли для решения линейного дифференциального уравнения первого порядка имеет вид.

Решение. Это уравнение, в котором m = −1 . Применив подстановку y = uv , получим

Замена бернулли для решения линейного дифференциального уравнения первого порядка имеет вид

Выражение в скобках приравняем нулю и определим функцию v :

Замена бернулли для решения линейного дифференциального уравнения первого порядка имеет вид

Полученную функцию v подставим в уравнение и определим функцию u :

Замена бернулли для решения линейного дифференциального уравнения первого порядка имеет вид

Таким образом, получаем решение данного дифференциального уравнения:

Замена бернулли для решения линейного дифференциального уравнения первого порядка имеет вид.

Пример 3. Решить дифференциальное уравнение Бернулли

Замена бернулли для решения линейного дифференциального уравнения первого порядка имеет вид.

Решение. Это уравнение можно решить, используя подстановку y = uv . Получаем

Замена бернулли для решения линейного дифференциального уравнения первого порядка имеет вид

Приравняем нулю выражение в скобках и решим полученное уравнение с разделяющимися переменными:

Замена бернулли для решения линейного дифференциального уравнения первого порядка имеет вид

Подставляем v в данное уравнение и решаем полученное уравнение:

Замена бернулли для решения линейного дифференциального уравнения первого порядка имеет вид

Замена бернулли для решения линейного дифференциального уравнения первого порядка имеет вид

Замена бернулли для решения линейного дифференциального уравнения первого порядка имеет вид

и проинтегрируем обе части уравнения:

Замена бернулли для решения линейного дифференциального уравнения первого порядка имеет вид

Далее используем подстановку

Замена бернулли для решения линейного дифференциального уравнения первого порядка имеет вид:

Замена бернулли для решения линейного дифференциального уравнения первого порядка имеет вид.

Замена бернулли для решения линейного дифференциального уравнения первого порядка имеет вид

Замена бернулли для решения линейного дифференциального уравнения первого порядка имеет вид

Таким образом, получаем функцию u :

Замена бернулли для решения линейного дифференциального уравнения первого порядка имеет вид.

и решение данного дифференциального уравнения:

Замена бернулли для решения линейного дифференциального уравнения первого порядка имеет вид

Пример 4. Решить задачу Коши для дифференциального уравнения

Замена бернулли для решения линейного дифференциального уравнения первого порядка имеет вид

при условии Замена бернулли для решения линейного дифференциального уравнения первого порядка имеет вид.

Решение. Перепишем уравнение, перенося в левую сторону линейные слагаемые, а в правую — нелинейные:

Замена бернулли для решения линейного дифференциального уравнения первого порядка имеет вид.

Это уравнение Бернулли, которое можно решить, используя подстановку y = uv , y‘ = uv + uv‘ :

Замена бернулли для решения линейного дифференциального уравнения первого порядка имеет вид

Выражение в скобках приравняем нулю и решим дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными:

Замена бернулли для решения линейного дифференциального уравнения первого порядка имеет вид

Подставим функцию v в данное уравнение и решим полученное дифференциальное уравнение:

Замена бернулли для решения линейного дифференциального уравнения первого порядка имеет вид

Вычислим каждый интеграл отдельно. Первый:

Замена бернулли для решения линейного дифференциального уравнения первого порядка имеет вид.

Второй интеграл интегрируем по частям. Введём обозначения:

Замена бернулли для решения линейного дифференциального уравнения первого порядка имеет вид

Замена бернулли для решения линейного дифференциального уравнения первого порядка имеет вид

Приравниваем друг другу найденные значения интегралов и находим функцию u :

Замена бернулли для решения линейного дифференциального уравнения первого порядка имеет вид

Таким образом, общее решение данного дифференциального уравнения:

Замена бернулли для решения линейного дифференциального уравнения первого порядка имеет вид.

Используем начальное условие, чтобы определить значение константы:

Замена бернулли для решения линейного дифференциального уравнения первого порядка имеет вид

Ищем частное решение, удовлетворяющее начальному условию:

Замена бернулли для решения линейного дифференциального уравнения первого порядка имеет вид

В результате получаем следующее частное решение данного дифференциального уравнения:

Замена бернулли для решения линейного дифференциального уравнения первого порядка имеет вид.

И напоследок — пример с альтернативным обозначением производных — через дробь.

Пример 5. Решить дифференциальное уравнение Бернулли

Замена бернулли для решения линейного дифференциального уравнения первого порядка имеет вид.

Решение. Решим это уравнение первым из представленных в теоретической части методом — переходом к линейному уравнению. Разделив данное уравнение почленно на y³ , получим

Замена бернулли для решения линейного дифференциального уравнения первого порядка имеет вид.

Введём новую функцию Замена бернулли для решения линейного дифференциального уравнения первого порядка имеет вид. Тогда

Замена бернулли для решения линейного дифференциального уравнения первого порядка имеет вид.

Подставляя эти значения в уравнение, полученное на первом шаге, получим линейное уравнение:

Замена бернулли для решения линейного дифференциального уравнения первого порядка имеет вид.

Найдём его общий интеграл:

Замена бернулли для решения линейного дифференциального уравнения первого порядка имеет вид,

Замена бернулли для решения линейного дифференциального уравнения первого порядка имеет вид.

Подставляя эти значение в полученное линейное уравнение, получаем

Замена бернулли для решения линейного дифференциального уравнения первого порядка имеет вид

Замена бернулли для решения линейного дифференциального уравнения первого порядка имеет вид.

Приравниваем нулю выражение в скобках:

Замена бернулли для решения линейного дифференциального уравнения первого порядка имеет вид

Для определения функции u получаем уравнение

Замена бернулли для решения линейного дифференциального уравнения первого порядка имеет вид.

Замена бернулли для решения линейного дифференциального уравнения первого порядка имеет вид

Интегрируем по частям:

Замена бернулли для решения линейного дифференциального уравнения первого порядка имеет вид

Таким образом, общий интеграл данного уравнения

Замена бернулли для решения линейного дифференциального уравнения первого порядка имеет вид

Замена бернулли для решения линейного дифференциального уравнения первого порядка имеет вид.

🎬 Видео

9. Метод вариации произвольной постоянной ( метод Лагранжа ). Линейные дифференциальные уравнения.Скачать

9. Метод вариации произвольной постоянной ( метод Лагранжа ). Линейные дифференциальные уравнения.

#Дифуры I. Урок 5. Линейные дифференциальные уравнения. Метод БернуллиСкачать

#Дифуры I. Урок 5. Линейные дифференциальные уравнения. Метод Бернулли

13. Как решить дифференциальное уравнение первого порядка?Скачать

13. Как решить дифференциальное уравнение первого порядка?

Линейные дифференциальные уравнения (Метод Бернулли)Скачать

Линейные дифференциальные уравнения (Метод Бернулли)

Дифференциальные уравнения #14Скачать

Дифференциальные уравнения #14

#Дифуры I. Урок 8. Уравнение БернуллиСкачать

#Дифуры I. Урок 8. Уравнение Бернулли

Дифференциальные уравнения #13Скачать

Дифференциальные уравнения #13

Уравнения БернуллиСкачать

Уравнения Бернулли

Дифференциальные уравнения #12Скачать

Дифференциальные уравнения #12

18+ Математика без Ху!ни. Дифференциальные уравнения.Скачать

18+ Математика без Ху!ни. Дифференциальные уравнения.

Дифференциальные уравнения #18Скачать

Дифференциальные уравнения #18
Поделиться или сохранить к себе: