Заданы уравнения движения точки x 3t y t2

Заданы уравнения движения точки x 3t y t2

Заданы уравнения движения точки x 3t y t2

Глава 7. Кинематика точки.

7.1. Траектория и положение точки в прямоугольной системе координат.

7.1.1. Заданы уравнения движения точки х = 1 + 2sin0,1t, у = 3t. Опре­делить координату х точки в момент времени, когда ее координата у = 12 м. (Ответ 1,78)

7.1.2. Задано уравнение движения точки r = 3ti + 4 tj. Определить коор­динату у точки в момент времени, когда r = 5 м. (Ответ 4)

7.1.3. Заданы уравнения движения точки х = 3t, у = t 2 . Определить расстояние точки от начала координат в момент времени t = 2 с. (Ответ 7,21)

7.1.4. Заданы уравнения движения точки х = cos t, у = 2 sin t. Опреде­лить расстояние от точки до начала координат в момент времени t = 2,5 с. (Ответ 1,44)

7.1.5. Положение кривошипа определяется уг­лом (рад) φ = 0,2 t. Найти координату хв пол­зуна в момент времени t = 3 с, если длины звеньев ОА = АВ = 0,5м. (Ответ 0,825)

7.1.6. Заданы уравнения движения точки х = 2t, у = t. Определить время t когда расстояние от точки до начала координат достигнет 10 м. (Ответ 4,47)

7.1.7. Заданы уравнения движения точки х = 2 t, у = 1 — 2sin0,1t. Определить ближайший момент времени, когда точка пересечет ось Ох. (Ответ 5,24)

7.1.8. Заданы уравнения движения точки х = sin t, у = cos t. Определить ближайший момент времени, когда радиус-вектор точки, проведенный из начала координат, образует угол 45 o с осью Ох. (Ответ 0,785)

7.1.9. Для точки А заданы уравнения движения х = 2 cos t, у = 3 sin t. Определить угол между осью Ох и радиусом-вектором ОА точки в момент времени t = 1,5 с. (Ответ 1,52)

Видео:Кинематика точки Задание К1Скачать

Кинематика точки  Задание К1

iSopromat.ru

Заданы уравнения движения точки x 3t y t2

Пример решения задачи по определению траектории равноускоренного движения точки, заданного уравнениями, скорости и ускорения в некоторые моменты времени, координаты начального положения точки, а также путь, пройденный точкой за время t.

Видео:Траектория и уравнения движения точки. Задача 1Скачать

Траектория и уравнения движения точки. Задача 1

Задача

Заданы уравнения движения точки x 3t y t2

где x и y – в см, а t – в с. Определить траекторию движения точки, скорость и ускорение в моменты времени t0=0 с, t1=1 с и t2=5 с, а также путь, пройденный точкой за 5 с.

Видео:Уравнение движения тела дано в виде x=2−3t. ВычислиСкачать

Уравнение движения тела дано в виде x=2−3t. Вычисли

Решение

Расчет траектории

Определяем траекторию точки. Умножаем первое заданное уравнение на 3, второе – на (-4), а затем складываем их левые и правые части:

Получилось уравнение первой степени – уравнение прямой линии, значит движение точки – прямолинейное (рисунок 1.5).

Для того, чтобы определить координаты начального положения точки A0, подставим в заданные уравнения значения t0=0; из первого уравнения получим x0=2 см, из второго y0=1 см. При любом другом значении t координаты x и y движущейся точки только возрастают, поэтому траекторией точки служит полупрямая 3x-4y=2 с началом в точке A0 (2; 1).

Заданы уравнения движения точки x 3t y t2

Расчет скорости

Заданы уравнения движения точки x 3t y t2

Заданы уравнения движения точки x 3t y t2

Расчет ускорения

Определяем ускорение точки. Его проекции на оси координат:

Заданы уравнения движения точки x 3t y t2

Проекции ускорения не зависят от времени движения,

Заданы уравнения движения точки x 3t y t2

т.е. движение точки равноускоренное, векторы скорости и ускорения совпадают с траекторией точки и направлены вдоль нее.

С другой стороны, поскольку движение точки прямолинейное, то модуль ускорения можно определить путем непосредственного дифференцирования уравнения скорости:

Заданы уравнения движения точки x 3t y t2

Определение пути

Определяем путь, пройденный точкой за первые 5с движения. Выразим путь как функцию времени:

Заданы уравнения движения точки x 3t y t2

Проинтегрируем последнее выражение:

Заданы уравнения движения точки x 3t y t2

Если t=t0=0, то C=s0; в данном случае s0=0, поэтому s=2,5t 2 . Находим, что за 5с точка проходит расстояние

Уважаемые студенты!
На нашем сайте можно получить помощь по техническим и другим предметам:
✔ Решение задач и контрольных
✔ Выполнение учебных работ
✔ Помощь на экзаменах

Видео:Уравнение движенияСкачать

Уравнение движения

Примеры решения задач. Движение точки задано уравнениями (х, у — в метрах, t — в секундах).

Задача 2.1.

Движение точки задано уравнениями (х, у — в метрах, t — в секундах).

Заданы уравнения движения точки x 3t y t2.

Определить траекторию, скорость и ускорение точки.

Решение.

Заданы уравнения движения точки x 3t y t2
Рис. 2.9. К задаче 2.1

Для определения траектории исключаем из уравнений движения время t. Умножая обе части первого уравнения на 3, а обе части второго — на 4 и почленно вычитая из первого равенства второе, получим: Заданы уравнения движения точки x 3t y t2или Заданы уравнения движения точки x 3t y t2.

Следовательно, траектория — прямая линия, наклоненная к оси Ох под углом α, где Заданы уравнения движения точки x 3t y t2(рис. 2.9).

Определяем скорость точки. По формулам (2.1) получаем:

Заданы уравнения движения точки x 3t y t2;

Заданы уравнения движения точки x 3t y t2.

Теперь находим ускорение точки. Формулы (2.1) дают:

Заданы уравнения движения точки x 3t y t2

Направлены векторы Заданы уравнения движения точки x 3t y t2и Заданы уравнения движения точки x 3t y t2вдоль траектории, т. е. вдоль прямой АВ. Проекции ускорения на координатные оси все время отрицательны, следовательно, ускорение имеет постоянное направление от В к А. Проекции скорости при 0 1 с) обе проекции скорости отрицательны и, следовательно, скорость направлена от В к А, т. е. так же, как и ускорение.

Заметим, наконец, что при Заданы уравнения движения точки x 3t y t2 Заданы уравнения движения точки x 3t y t2и Заданы уравнения движения точки x 3t y t2; при Заданы уравнения движения точки x 3t y t2 Заданы уравнения движения точки x 3t y t2(точка В); при Заданы уравнения движения точки x 3t y t2 Заданы уравнения движения точки x 3t y t2; при Заданы уравнения движения точки x 3t y t2значения Заданы уравнения движения точки x 3t y t2и Заданы уравнения движения точки x 3t y t2растут по модулю, оставаясь отрицательными.

Итак, заданные в условиях задачи уравнения движения рассказывают нам всю историю движения точки. Движение начинается из точки О с начальной скоростью Заданы уравнения движения точки x 3t y t2и происходит вдоль прямой АВ, наклоненной к оси Ох под углом α, для которого Заданы уравнения движения точки x 3t y t2. На участке OB точка движется замедленно (модуль ее скорости убывает) и через одну секунду приходит в положение В (4, 3), где скорость ее обращается в нуль. Отсюда начинается ускоренное движение в обратную сторону. В момент Заданы уравнения движения точки x 3t y t2точка вновь оказывается в начале координат и дальше продолжает свое движение вдоль ОА, Ускорение точки все время равно 10 м/с 2 .

Задача 2.2.

Движение точки задано уравнениями:

Заданы уравнения движения точки x 3t y t2

где Заданы уравнения движения точки x 3t y t2, ω и u — постоянные величины. Определить траекторию, скорость и ускорение точки.

Решение.

Заданы уравнения движения точки x 3t y t2
Рис. 2.10. К задаче 2.2

Возводя первые два уравнения почленно в квадрат и складывая, получаем

Заданы уравнения движения точки x 3t y t2.

Следовательно, траектория лежит на круглом цилиндре радиуса R, ось которого направлена вдоль оси Oz (рис. 2.10). Определяя из последнего уравнения t и подставляя в первое, находим

Заданы уравнения движения точки x 3t y t2.

Таким образом, траекторией точки будет линия пересечения синусоидальной поверхности, образующие которой параллельны оси Оу (синусоидальный гофр) с цилиндрической поверхностью радиуса R. Эта кривая называется винтовой линией. Из уравнений движения видно, что один виток винтовой линий точка проходит за время Заданы уравнения движения точки x 3t y t2, определяемое из равенства Заданы уравнения движения точки x 3t y t2. При этом вдоль оси z точка за это время перемещается на величину Заданы уравнения движения точки x 3t y t2, называемую шагом винтовой линии.

Найдем скорость и ускорение точки. Дифференцируя уравнения движения по времени, получаем:

Заданы уравнения движения точки x 3t y t2

Заданы уравнения движения точки x 3t y t2.

Стоящие под знаком радикала величины постоянны. Следовательно, движение происходит с постоянной по модулю скоростью, направленной по касательной к траектории. Теперь по формулам (2.1) вычисляем проекции ускорения;

Заданы уравнения движения точки x 3t y t2

Заданы уравнения движения точки x 3t y t2

Заданы уравнения движения точки x 3t y t2

Заданы уравнения движения точки x 3t y t2.

Итак, движение происходит с постоянным по модулю ускорением, Для определения направления ускорения имеем формулы:

Заданы уравнения движения точки x 3t y t2,

Заданы уравнения движения точки x 3t y t2

Заданы уравнения движения точки x 3t y t2.

Заданы уравнения движения точки x 3t y t2,

где α и β —углы, образуемые с осями Ох и Оу радиусом R, проведенным от оси цилиндра к движущейся точке. Так как косинусы углов α1 и β1 отличаются от косинусов α и β только знаками, то отсюда заключаем, что ускорение точки все время направлено по радиусу цилиндра к его оси.

Заметим, что хотя в данном случае движение и происходит со скоростью, постоянной по модулю, ускорение точки не равно нулю, так как направление скорости изменяется.

Задача 2.3.

На шестерню 1 радиуса r1 действует пара сил с моментом m1 (рис. 46, а). Определить момент m2 пары, которую надо приложить к шестерне 2 радиуса r2, чтобы сохранить равновесие.

Решение.

Заданы уравнения движения точки x 3t y t2
Рис. 2.11. К задаче 2.3

Рассмотрим сначала условия равновесия шестерни 1. На нее действует пара с моментом m1, которая может быть уравновешена только действием другой пары, в данном случае пары Заданы уравнения движения точки x 3t y t2. Здесь Заданы уравнения движения точки x 3t y t2— перпендикулярная радиусу составляющая силы давления на зуб со стороны шестерни 2, a Заданы уравнения движения точки x 3t y t2— тоже перпендикулярная радиусу составляющая реакции оси А (сила давления на зуб и реакция оси А имеют еще составляющие вдоль радиуса, которые взаимно уравновешиваются и в условие равновесия не войдут). При этом, согласно условию равновесия (17), Заданы уравнения движения точки x 3t y t2и Заданы уравнения движения точки x 3t y t2.

Теперь рассмотрим условия равновесия шестерни 2 (рис. 46, б). По закону равенства действия и противодействия на нее со стороны шестерни 1 будет действовать сила Заданы уравнения движения точки x 3t y t2, которая с перпендикулярной радиусу составляющей реакции оси В образует пару Заданы уравнения движения точки x 3t y t2, Заданы уравнения движения точки x 3t y t2с моментом, равным -Q2r2. Эта пара и должна уравновеситься приложенной к шестерне 2 парой с моментом m2; следовательно, по условию равновесия, Заданы уравнения движения точки x 3t y t2. Отсюда, так как Q2=Q1 находим m2=m1/r2r1.

Естественно, что пары с моментами m1 и m2 не удовлетворяют условию равновесия , так как они приложены к разным телам.

Полученная в процессе решения задачи величина Q1 (или Q2) называется окружным усилием, действующим на шестерню. Как видим, окружное усилие равно моменту вращающей пары, деленному на радиус шестерни: Q1=m1/r1 =m2/r2.

Задача 2.4.

Человек ростом h удаляется от фонаря, висящего на высоте H, двигаясь прямолинейно со скоростью Заданы уравнения движения точки x 3t y t2. С какой скоростью движется конец тени человека?

Решение.

Заданы уравнения движения точки x 3t y t2
Рис. 2.12. К задаче 2.4

Для решения задачи найдем сначала закон, по которому движется конец тени. Выбираем начало отсчета в точке О, находящейся на одной вертикали с фонарем, и направляем вдоль прямой, по которой движется конец тени, координатную ось Ох (рис. 2.12). Изображаем человека в произвольном положении на расстоянии x1 от точки О. Тогда конец его тени будет находиться от начала О на расстоянии х2.

Из подобия треугольников ОАМ и DAB находим:

Заданы уравнения движения точки x 3t y t2.

Это уравнение выражает закон движения конца тени М, если закон движения человека, т.е. Заданы уравнения движения точки x 3t y t2, известен.

Взяв производную по времени от обеих частей равенства и замечая, что по формуле (2.1) Заданы уравнения движения точки x 3t y t2, где Заданы уравнения движения точки x 3t y t2— искомая скорость, получим

Заданы уравнения движения точки x 3t y t2.

Если человек движется с постоянной скоростью ( Заданы уравнения движения точки x 3t y t2), то скорость конца тени М будет тоже постоянна, но в Заданы уравнения движения точки x 3t y t2раз больше, чем скорость человека.

Обращаем внимание на то, что при составлении уравнений движения надо изображать движущееся тело или механизм в произвольном положении. Только тогда мы поучим уравнения, определяющие положение движущейся точки (или тела) в любой момент времени.

Задача 2.5.

Определить траекторию, скорость и ускорение середины М шатуна кривошипно-ползунного механизма (рис. 2.13), если OA=AB=2b, а угол Заданы уравнения движения точки x 3t y t2при вращении кривошипа растет пропорционально времени: Заданы уравнения движения точки x 3t y t2.

Заданы уравнения движения точки x 3t y t2
Рис. 2.13. К задаче 2.5.

Начинаем с определения уравнений движения точки М. Проводя оси и обозначая координаты точки М в произвольном положении через х и у находим

Заданы уравнения движения точки x 3t y t2.

Заменяя Заданы уравнения движения точки x 3t y t2его значением, получаем уравнения движения точки М:

Заданы уравнения движения точки x 3t y t2.

Для определения траектории точки М представим уравнения движения в виде

Заданы уравнения движения точки x 3t y t2.

Возводя эти равенства почленно в квадрат и складывая, получим

Заданы уравнения движения точки x 3t y t2.

Итак, траектория точки М — эллипс с полуосями 3b и b.

Теперь по формуле (2.1) находим скорость точки М:

Заданы уравнения движения точки x 3t y t2

Заданы уравнения движения точки x 3t y t2.

Скорость оказывается величиной переменной, меняющейся с течением времени в пределах от Заданы уравнения движения точки x 3t y t2до Заданы уравнения движения точки x 3t y t2.

Далее по формулам (2.1) определяем проекции ускорения точки М;

Заданы уравнения движения точки x 3t y t2;

Заданы уравнения движения точки x 3t y t2,

где Заданы уравнения движения точки x 3t y t2— длина радиуса-вектора, проведанного из центра О до точки М. Следовательно, модуль ускорения точки меняется пропорционально ее расстояние от центра эллипса.

Определелим направление ускорения Заданы уравнения движения точки x 3t y t2

Заданы уравнения движения точки x 3t y t2

Отсюда находим, что ускорение точки М все время направлено вдоль МО к центру эллипса.

Задача 2.6.

Вал, делающий n=90 об/мин, после выключения двигателя начинает вращаться равнозамедленно и останавливается через t1=40 с. Определить, сколько оборотов сделал вал за это время.

Решение.

Так как вал вращается равнозамедленно, то для него, считая Заданы уравнения движения точки x 3t y t2, будет

Заданы уравнения движения точки x 3t y t2. (2.2)

Начальной угловой скоростью при замедленном вращении является та, которую вал имел до выключения двигателя. Следовательно,

Заданы уравнения движения точки x 3t y t2.

В момент остановки при t=t1 угловая скорость вала ω1=0. Подставляя эти значения во второе из уравнений (2.2), получаем:

Заданы уравнения движения точки x 3t y t2и Заданы уравнения движения точки x 3t y t2.

Если обозначить число сделанных валом за время t1 оборотов через N (не смешивать с n; n — угловая скорость), то угол поворота за то же время будет равен Заданы уравнения движения точки x 3t y t2. Подставляя найденные значения ε и Заданы уравнения движения точки x 3t y t2в первое из уравнений (а), получим

Заданы уравнения движения точки x 3t y t2,

Заданы уравнения движения точки x 3t y t2.

Задача 2.7.

Маховик радиусом R=0,6 м вращается равномерно, делая n=90 об/мин. Определить скорость и ускорение точки, лежащей на ободе маховика.

Решение.

Скорость точки обода Заданы уравнения движения точки x 3t y t2, где угловая скорость Заданы уравнения движения точки x 3t y t2должна быть выражена в радианах в секунду. Тогда Заданы уравнения движения точки x 3t y t2и Заданы уравнения движения точки x 3t y t2.

Далее, так как Заданы уравнения движения точки x 3t y t2, то ε=0, и, следовательно,

Заданы уравнения движения точки x 3t y t2.

Ускорение точки направлено в данном случае к оси вращения.

Задача 2.8.

Найти скорость точки М обода колеса, катящегося по прямолинейному рельсу без скольжения (рис. 2.14), если скорость центра С колеса равна Заданы уравнения движения точки x 3t y t2, а угол DKM=α.

Заданы уравнения движения точки x 3t y t2
Рис. 2.14. К задаче 2.8.

Решение

Приняв точку С, скорость которой известна, за полюс, найдем, что Заданы уравнения движения точки x 3t y t2, где Заданы уравнения движения точки x 3t y t2по модулю Заданы уравнения движения точки x 3t y t2( Заданы уравнения движения точки x 3t y t2— радиус колеса). Значение угловой скорости со найдем из условия того, что точка Заданы уравнения движения точки x 3t y t2колеса не скользит по рельсу и, следовательно, в данный момент времени Заданы уравнения движения точки x 3t y t2. С другой стороны, так же как и для точки М, Заданы уравнения движения точки x 3t y t2где Заданы уравнения движения точки x 3t y t2. Так как для точки К скорости Заданы уравнения движения точки x 3t y t2и Заданы уравнения движения точки x 3t y t2направлены вдоль одной прямой, то при Заданы уравнения движения точки x 3t y t2 Заданы уравнения движения точки x 3t y t2, откуда Заданы уравнения движения точки x 3t y t2. В результате находим, что Заданы уравнения движения точки x 3t y t2.

Параллелограмм, построенный на векторах Заданы уравнения движения точки x 3t y t2и Заданы уравнения движения точки x 3t y t2, будет при этом ромбом. Угол между Заданы уравнения движения точки x 3t y t2и Заданы уравнения движения точки x 3t y t2равен β, так как стороны, образующие этот угол и угол β, взаимно перпендикулярны. В свою очередь угол β=2α, как центральный угол, опирающийся на ту же дугу, что и вписанный угол α. Тогда по свойствам ромба углы между Заданы уравнения движения точки x 3t y t2и Заданы уравнения движения точки x 3t y t2и между Заданы уравнения движения точки x 3t y t2и Заданы уравнения движения точки x 3t y t2тоже равны α. Окончательно, так как диагонали ромба взаимно перпендикулярны, получим

Заданы уравнения движения точки x 3t y t2и Заданы уравнения движения точки x 3t y t2.

Задача 2.9.

Определить скорость точки М обода катящегося колеса, рассмотренного в предыдущей задаче, с помощью мгновенного центра скоростей.

Решение.

Заданы уравнения движения точки x 3t y t2
Рис. 2.15. К задаче 2.9.

Точка касания колеса Р (рис. 2.15) является мгновенным центром скоростей, поскольку Заданы уравнения движения точки x 3t y t2. Следовательно, Заданы уравнения движения точки x 3t y t2. Так как прямой угол PMD опирается на диаметр, то направление вектора скорости Заданы уравнения движения точки x 3t y t2любой точки обода проходит через точку D. Составляя пропорцию Заданы уравнения движения точки x 3t y t2и замечая,

что Заданы уравнения движения точки x 3t y t2, a Заданы уравнения движения точки x 3t y t2, находим Заданы уравнения движения точки x 3t y t2.

Чем точка М дальше от Р, тем ее скорость больше; наибольшую скорость Заданы уравнения движения точки x 3t y t2имеет верхний конец D вертикального диаметра. Угловая скорость колеса имеет значение

Заданы уравнения движения точки x 3t y t2

Аналогичная картина распределения скоростей имеет место при качении колеса или шестерни по любой цилиндрической поверхности.

Задача 2.10.

Центр О колеса, катящегося по прямолинейному рельсу (рис. 2.16), имеет в данный момент времени скорость Заданы уравнения движения точки x 3t y t2и ускорение Заданы уравнения движения точки x 3t y t2. Радиус колеса R=0,2 м. Определить ускорение точки В — конца перпендикулярного ОР диаметра АВ и ускорение точки Р, совпадающей с мгновенным центром скоростей.

Решение.

Заданы уравнения движения точки x 3t y t2
Рис. 2.16. К задаче 2.10.

1) Так как Заданы уравнения движения точки x 3t y t2и Заданы уравнения движения точки x 3t y t2известны, принимаем точку О за полюс.

2) Определение ω. Точка касания Р является мгновенным центром скоростей; следовательно, угловая скорость колеса

Заданы уравнения движения точки x 3t y t2.

3) Определение ε. Так как величина PO=R остается постоянной при любом положении колеса, то Заданы уравнения движения точки x 3t y t2

Знаки ω и ε совпадают, следовательно, вращение колеса ускоренное.

а) не следует думать, что если по условиям задачи Заданы уравнения движения точки x 3t y t2, то Заданы уравнения движения точки x 3t y t2. Значение Заданы уравнения движения точки x 3t y t2в задаче указано для данного момента времени; с течением же времени Заданы уравнения движения точки x 3t y t2изменяется, так как Заданы уравнения движения точки x 3t y t2;

б) в данном случае Заданы уравнения движения точки x 3t y t2, так как движение точки O является прямолинейным. В общем случае Заданы уравнения движения точки x 3t y t2.

4) Определение Заданы уравнения движения точки x 3t y t2и Заданы уравнения движения точки x 3t y t2. Так как за полюс взята точка O, то ускорение точки B определяется по фомуле:

Заданы уравнения движения точки x 3t y t2

Учитывая, что в нашем случае BO=R, находим:

Заданы уравнения движения точки x 3t y t2.

Показав на чертеже точку B отдельно, изображаем (без соблюдения масштаба) векторы, из которых слагается ускорение Заданы уравнения движения точки x 3t y t2, а именно: вектор Заданы уравнения движения точки x 3t y t2(переносим из точки O), вектор Заданы уравнения движения точки x 3t y t2(в сторону вращения, так как оно ускоренное) и вектор Заданы уравнения движения точки x 3t y t2(всегда от B к полюсу O).

5) Вычисление Заданы уравнения движения точки x 3t y t2. Проведя оси X и Y, находим, что

Заданы уравнения движения точки x 3t y t2,

Заданы уравнения движения точки x 3t y t2.

Аналогичным путем легко найти и ускорение точки P: Заданы уравнения движения точки x 3t y t2и направлено вдоль PO. Таким образом, ускорение точки P, скорость которой в данный момент времени равна нулю, нулю не равно.

Задача 2.11.

Колесо катится по прямолинейному рельсу так, что скорость Заданы уравнения движения точки x 3t y t2его центра С постоянна. Определить ускорение точки М обода колеса (рис. 2.17).

Решение.

Заданы уравнения движения точки x 3t y t2
Рис. 2.17. К задаче 2.11.

Так как по условиям задачи Заданы уравнения движения точки x 3t y t2, то Заданы уравнения движения точки x 3t y t2и точка С является мгновенным центром ускорений. Мгновенный центр скоростей находится в точке Р. Следовательно, для колеса

Заданы уравнения движения точки x 3t y t2

В результате ускорение точки М

Заданы уравнения движения точки x 3t y t2.

Таким образом, ускорение любой точки М обода (в том числе и точки Р) равно Заданы уравнения движения точки x 3t y t2и направлено к центру С колеса, так как угол Заданы уравнения движения точки x 3t y t2. Заметим, что это ускорение для точки М не будет нормальным ускорением. В самом деле, скорость точки М направлена перпендикулярно РМ . Следовательно, касательная Заданы уравнения движения точки x 3t y t2к траектории точки М направлена вдоль линии MD, а главная нормаль Заданы уравнения движения точки x 3t y t2— вдоль МР. Поэтому

Заданы уравнения движения точки x 3t y t2.

Зажача 2.12.

Плоский механизм состоит из стержней 1, 2, 3, 4 и ползуна С, соединенных друг с другом и с неподвижными опорами О1 и О2 шарнирами (рис.2.17 а). Точка D находится в середине стержня АВ. Длины стержней равны соответственно L1=0,4 м, L2 =1,2 м, L3=1,4 м, L4=0,6 м.

Дано: Заданы уравнения движения точки x 3t y t2= 6 с -1 , Заданы уравнения движения точки x 3t y t2величина постоянная. Заданную угловую скорость считать направленной против часовой стрелки.

Найти: скорости точек В и C; угловую скорость Заданы уравнения движения точки x 3t y t2; ускорение точки В; угловое ускорение Заданы уравнения движения точки x 3t y t2

а) Заданы уравнения движения точки x 3t y t2
б) Заданы уравнения движения точки x 3t y t2
Рис.2.17. К задаче 2.12.

Решение (рис.2.12б)

1. Определим скорость точки А. Стержень OAвращается вокруг точко O1, поэтому скорость точки А определяется по формуле Заданы уравнения движения точки x 3t y t2= 1,6 м/с и направлена перпендикулярно отрезку O1А. Заданы уравнения движения точки x 3t y t2= 1,6 м/с

2. Определим угловую скорость стержня АВ. Точка В вращается вокруг центра О2, поэтому ее скорость перпендикулярна отрезку O2B. Для нахождения мгновенного центра скоростей отрезка АВ в точках А и В восстановим перпендикуляры к векторам Заданы уравнения движения точки x 3t y t2и Заданы уравнения движения точки x 3t y t2. Точка пересечения этих перпендикуляров Р2 является мгновенным центром скоростей второго стержня. Угловая скорость вычисляется по формуле Заданы уравнения движения точки x 3t y t2. Расстояние Заданы уравнения движения точки x 3t y t2определяется из равнобедренного треугольника Заданы уравнения движения точки x 3t y t2, то есть Заданы уравнения движения точки x 3t y t2м. Поэтому Заданы уравнения движения точки x 3t y t22,3 с -1 .

3. Определим скорость точки В по формуле Заданы уравнения движения точки x 3t y t2= 1,6 м/с

по формуле Заданы уравнения движения точки x 3t y t2= 0,8 м/с

4. Определим скорость точки С. Так как точка С движется прямолинейно, то ее скорость направлена вдоль движения ползуна. Для нахождения мгновенного центра скоростей отрезка CD в точках C и D восстановим перпендикуляры к векторам Заданы уравнения движения точки x 3t y t2и Заданы уравнения движения точки x 3t y t2. Точка пересечения этих перпендикуляров Р3 является мгновенным центром скоростей третьего стержня. Угловая скорость вычисляется по формуле Заданы уравнения движения точки x 3t y t2, а скорость точки С Заданы уравнения движения точки x 3t y t2. Так как треугольник Заданы уравнения движения точки x 3t y t2равносторонний, то Заданы уравнения движения точки x 3t y t2= 0,8 м/с

5. Определим угловую скорость отрезка О2В. Известно, что центром скоростей этого стержня является точка О2В , а также скорость точки B. Поэтому угловая скорость четвертого стержня вычисляется по формуле Заданы уравнения движения точки x 3t y t2и Заданы уравнения движения точки x 3t y t22,7 с -1 .

6. Определим ускорение точки А. Так как первый стержень вращается равномерно, то точка А имеет относительно О1 только нормальное ускорение, которое вычисляется по формуле Заданы уравнения движения точки x 3t y t2= 6,4 м/с 2 .

7. Определим ускорение точки В, которая принадлежит двум стержням — АВ и О2В. Поэтому ускорение точки В определяется с помощью двух формул

Заданы уравнения движения точки x 3t y t2и Заданы уравнения движения точки x 3t y t2, где

Заданы уравнения движения точки x 3t y t2— ускорение точки А;

Заданы уравнения движения точки x 3t y t2— нормальное ускорение точки В относительно А;

Заданы уравнения движения точки x 3t y t2— тангенциальное ускорение точки В относительно А;

Заданы уравнения движения точки x 3t y t2— нормальное ускорение точки В относительно О2;

Заданы уравнения движения точки x 3t y t2— тангенциальное ускорение точки В относительно О2.

Заданы уравнения движения точки x 3t y t2= 6,4 м/с 2 ; Заданы уравнения движения точки x 3t y t2= 4,3 м/с 2 .

Можно составить уравнение

Заданы уравнения движения точки x 3t y t2, которое в проекциях на оси координат имеет вид

Заданы уравнения движения точки x 3t y t2

Решив полученную систему двух уравнений с двумя неизвестными, получим:

Заданы уравнения движения точки x 3t y t2= 13,2 м/с 2 , аВХ = 4,1 м/с 2 , аВY =9,1 м/с 2 , аВ =10 м/с 2 .

8. Определим угловое ускорение стержня АВ, используя формулу Заданы уравнения движения точки x 3t y t2= 13,2 с -2 .

Задача 2.13.

Круглая пластина радиуса R=60 см вращается вокруг неподвижной оси по закону Заданы уравнения движения точки x 3t y t2(рис.2.18 а). Положительное направление угла Заданы уравнения движения точки x 3t y t2показано на рисунке дуговой стрелкой. Ось вращения ОО1 лежит в плоскости пластины (пластина вращается в пространстве). По окружности радиуса R движется точка М. Закон ее движения по дуге окружности s= Заданы уравнения движения точки x 3t y t2АМ= Заданы уравнения движения точки x 3t y t2. На рисунке точка М показана в положении, когда s положительно, при s отрицательном точка М находится по другую сторону от точки А; L=R.

Найти абсолютную скорость и абсолютное ускорение точки М в момент времени t=1 с.

а) Заданы уравнения движения точки x 3t y t2
б) Заданы уравнения движения точки x 3t y t2
Рис.2.18. К задаче 2.13.

Решение (рис.2.13 б)

В качестве подвижной системы координат xyz примем точку С. Эта система совершает вращательное движение с угловой скоростью Заданы уравнения движения точки x 3t y t2= 5 с -1 . Угловое ускорение Заданы уравнения движения точки x 3t y t2= -10 с -2 . Направления векторов Заданы уравнения движения точки x 3t y t2и Заданы уравнения движения точки x 3t y t2опледеляются по правилу буравчика и изображены на рис. Причем, вектор Заданы уравнения движения точки x 3t y t2направлен в противоположную сторону, так как его значение его проекции на ось OХ неподвижной системы координат XYZ отрицательно. Вычислим скорость и ускорение центра подвижной системы координат С, которая движется по окружности. Скорость вычисляется по формуле Заданы уравнения движения точки x 3t y t2, равна 600 см/с и первендикулярна плоскости рисунка. Ускорение точки С состоит из двух компонент — нормальное Заданы уравнения движения точки x 3t y t2= 3000 см/с 2 и тангенциальное Заданы уравнения движения точки x 3t y t2= 1200 см/с 2 ускорения.

Вычислим путь, относительную скорость и ускорение точки M. Ее положение определяется величиной дуги S, в данный момент времени S = Заданы уравнения движения точки x 3t y t2, поэтому она располагается слева от точки А. Относительная скорость Заданы уравнения движения точки x 3t y t2. В данный момент времени она равна 63 см/с и направлена по касательной к окружности. Относительное ускорение является суммой двух составляющих — тангенциальное Заданы уравнения движения точки x 3t y t2= 377 см/с -2 и нормальное Заданы уравнения движения точки x 3t y t2= 66 см/с -2 .

Абсолютная скорость точки M определяется по формуле

Заданы уравнения движения точки x 3t y t2

Где — Заданы уравнения движения точки x 3t y t2переносная скорость вращательного движения, модуль которой Заданы уравнения движения точки x 3t y t2= 150 см / с, ее направление определяется по правилу Жуковского. В разложении на оси координат

Заданы уравнения движения точки x 3t y t2Заданы уравнения движения точки x 3t y t2

По теореме Пифагора Заданы уравнения движения точки x 3t y t2= 750 м /с.

Абсолютное ускорение точки M определяется по формуле

Заданы уравнения движения точки x 3t y t2

Где Заданы уравнения движения точки x 3t y t2и Заданы уравнения движения точки x 3t y t2— соответственно нормальное и тангенциальное переносные ускорения вращательного движения, Заданы уравнения движения точки x 3t y t2— кориолисово ускорение.

Заданы уравнения движения точки x 3t y t2= 750 м / с -2 ; Заданы уравнения движения точки x 3t y t2=300 м / с -2 ; Заданы уравнения движения точки x 3t y t2= 546 м / с -2

Заданы уравнения движения точки x 3t y t2;

Заданы уравнения движения точки x 3t y t2;

🔍 Видео

Дифференциальное уравнение движения материальной точки.Скачать

Дифференциальное уравнение движения материальной точки.

Математика без Ху!ни. Уравнение плоскости.Скачать

Математика без Ху!ни. Уравнение плоскости.

Физика - уравнения равноускоренного движенияСкачать

Физика - уравнения равноускоренного движения

Решение графических задач на равномерное движениеСкачать

Решение графических задач на равномерное движение

Дифференциальные уравнения движения точкиСкачать

Дифференциальные уравнения движения точки

кинематика точкиСкачать

кинематика точки

К1 Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям ее движенияСкачать

К1 Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям ее движения

ЕГЭ по математике. Профильный уровень. Задание 7. Закон движения. ПроизводнаяСкачать

ЕГЭ по математике. Профильный уровень. Задание 7. Закон движения. Производная

Аналитическая геометрия, 6 урок, Уравнение прямойСкачать

Аналитическая геометрия, 6 урок, Уравнение прямой

Видеоурок "Уравнение плоскости по трем точкам"Скачать

Видеоурок "Уравнение плоскости по трем точкам"

12. Уравнения прямой в пространстве Решение задачСкачать

12. Уравнения прямой в пространстве Решение задач

Решение тригонометрических уравнений. Подготовка к ЕГЭ | Математика TutorOnlineСкачать

Решение тригонометрических уравнений. Подготовка к ЕГЭ | Математика TutorOnline

Видеоурок "Общие уравнения прямой"Скачать

Видеоурок "Общие уравнения прямой"

Математика без Ху!ни. Уравнения прямой. Часть 2. Каноническое, общее и в отрезках.Скачать

Математика без Ху!ни. Уравнения прямой. Часть 2. Каноническое, общее и в отрезках.

3. Частные случаи общего уравнения плоскости Неполные уравнения плоскостиСкачать

3. Частные случаи общего уравнения плоскости Неполные уравнения плоскости

Уравнение плоскости через 3 точкиСкачать

Уравнение плоскости через 3 точки
Поделиться или сохранить к себе: