Задачи приводящие к уравнениям параболического типа

А.Н. Тихонов, А.А. Самарский
Уравнения математической физики
Содержание
  1. Глава I. Классификация дифференциальных уравнений с частными производными
  2. Глава II. Уравнения гиперболического типа
  3. Приложения к главе II
  4. Глава III. Уравнения параболического типа
  5. Приложения к главе III
  6. Глава IV. Уравнения эллиптического типа
  7. Приложения к главе IV
  8. Глава V. Распространение волн в пространстве
  9. Приложения к главе V
  10. Глава VI. Распространение тепла в пространстве
  11. Приложения к главе VI
  12. Глава VII. Уравнения эллиптического типа (продолжение)
  13. Приложения к главе VII
  14. Дополнение I. Метод конечных разностей
  15. Дополнение II. Специальные функции
  16. Часть I. Цилиндрические функции
  17. Часть II. Сферические функции
  18. Часть III. Полиномы Чебышева — Эрмита и Чебышева — Лагерра
  19. Курсовая работа: Решение параболических уравнений
  20. Реферат
  21. В курсовой работе рассматривается метод сеток решения параболических уравнений. Теоретическая часть включает описание общих принципов метода, его применение к решению параболических уравнений, исследование разрешимости получаемой системы разностных уравнений. В практической части разрабатывается программа для численного решения поставленной задачи. В приложении представлен текст программы и результаты выполнения тестовых расчетов.
  22. Постановка задачи для уравнения параболического типа
  23. 🌟 Видео

Глава I. Классификация дифференциальных уравнений с частными производными

1. Дифференциальные уравнения с двумя независимыми переменными. 2. Классификация уравнений 2-го порядка со многими независимыми переменными. 3. Канонические формы линейных уравнений с постоянными коэффициентами. Задачи к главе I

Глава II. Уравнения гиперболического типа

1. Уравнение малых поперечных колебаний струны. Уравнение продольных колебаний стержней и струн. 3. Энергия колебания струны. 4. Вывод уравнения электрических колебаний в проводах. 5. Поперечные колебания мембраны. 6. Уравнения гидродинамики и акустики. 7. Граничные и начальные условия. 8. Редукция общей задачи. 9. Постановка краевых задач для случая многих переменных. 10. Теорема единственности. Задачи.

1. Формула Даламбера. 2. Физическая интерпретация. 3. Примеры. 4. Неоднородное уравнение. Устойчивость решении. 6. Полуограниченная прямая и метод продолжений. 7. Задачи для ограниченного отрезка. 8. Дисперсия волн. 9. Интегральное уравнение колебаний. 10. Распространение разрывов вдоль характеристик. Задачи.

1. Уравнение свободных колебаний струны. 2. Интерпретация решения. 3. Представление произвольных колебаний в виде суперпозиции стоячих воли. 4. Неоднородные уравнения. 5. Общая первая краевая задача. 6. Краевые задачи со стационарными неоднородностями. 7. Задачи без начальных условий. 8. Сосредоточенная Сила. 9. Общая схема метода разделения переменных. Задачи.

1. Постановка задачи. 2. Метод последовательных приближений дли задачи Гурса. Задачи.

1. Сопряженные дифференциальные операторы. 2. Интегральная форма решения. 3. Физическая интерпретации функции Римана. 4. Уравнения с постоянными коэффициентами. Задачи к главе II

Приложения к главе II

1. Постановка задачи. 2. Собственные колебания нагруженной струны. 3. Струна с грузом на конце. 4. Поправки для собственных значений.

1. Уравнения газодинамики. Закон сохранения энергии. 2. Ударные волны. Условия динамической совместности. 3. Слабые разрывы.

1. Уравнения, описывающие процесс сорбции газа. 2. Асимптотическое решение.

Глава III. Уравнения параболического типа

1. Линейная задача о распространении тепла. 2. Уравнение диффузии. 3. Распространение тепла в пространстве. 4. Постановка краевых задач. 5. Принцип максимального значения. 6. Теорема единственности. 7. Теорема единственности для бесконечной прямой.

1. Однородная краевая задача. 2. Функция источника. 3. Краевые задачи с разрывными начальными условиями. 4. Неоднородное уравнение теплопроводности. 5. Общая первая краевая задача. Задачи.

1. Распространение тепла на бесконечной прямой. Функция источника для неограниченной области. 2. Краевые задачи для полуограниченной прямой.

Задачи к главе III

Приложения к главе III

1. Функция источника для бесконечной прямой. 2. Краевые задачи для квазилинейного уравнения теплопроводности.

1. Определение d -функции. 2. Разложение d -фикции в ряд Фурье. 3. Применение d -функции к построению функции источника.

Глава IV. Уравнения эллиптического типа

1. Стационарное тепловое поле. Постановка краевых задач. 2. Потенциальное течение жидкости. Потенциал стационарного тока и электростатического поля. 3. Уравнение Лапласа в криволинейной системе координат. 4. Некоторые частные решения уравнения Лапласа. 5. Гармонические функции и аналитические функции комплексного переменного. 6. Преобразование обратных радиусов-векторов.

1. Формулы Грина. Интегральное представление решения. 2. Некоторые основные свойства гармонических функций. 3. Единственность и устойчивость первой краевой задачи. 4. Задачи с разрывными граничными условиями. 5. Изолированные особые точки. 6. Регулярность гармонической функции трех переменных в бесконечности. 7. Внешние краевые задачи. Единственность решения для двух- и трехмерных задач. 8. Вторая краевая задача. Теорема единственности.

1. Первая краевая задача для круга. 2. Интеграл Пуассона. 3. Случай разрывных граничных значений.

1. Функция источника для уравнения D u=0 и ее основные свойства. 2. Метод электростатических изображений и функция источника для сферы. 3. Функция источника для круга. 4. Функция источника для полупространства.

1. Объемный потенциал. 2. Плоская задача. Логарифмический потенциал. Несобственные интегралы. 4. Первые производные объемного потенциала. 5. Вторые производные объемного потенциала. 6. Поверхностные потенциалы. 7. Поверхности и кривые Ляпунова. 8. Разрыв потенциала двойного слоя. 9. Свойства потенциала простого слоя. 10. Применение поверхностных потенциалов к решению краевых задач. 11. Интегральные уравнения, соответствующие краевым задачам. Задачи к главе IV

Приложения к главе IV

1. Единственность решения. 2. Представление бигармонических функций через гармонические функции. 3. Решение бигармонического уравнения для круга.

Глава V. Распространение волн в пространстве

1. Уравнение колебаний в пространстве. 2. Метод усреднения. 3. Формула Пуассона. 4. Метод спуска. 5. Физическая интерпретация. 6. Метод отражения.

1. Вывод интегральной формулы. 2. Следствия из интегральной формулы.

1. Общая схема метода разделения переменных. Стоячие волны. 2. Колебания прямоугольной мембраны. 3. Колебания круглой мембраны. Задачи к главе V

Приложения к главе V

1. Уравнения электромагнитного поля и граничные условия. 2. Потенциалы электромагнитного поля. 3. Электромагнитное поле осциллятора.

Глава VI. Распространение тепла в пространстве

1. Функция температурного влияния. 2. Распространение тепла в неограниченном пространстве.

1. Схема метода разделения переменных. 2. Остывание круглого цилиндра. 3. Определение критических размеров.

1. Формула Грина дли уравнения теплопроводности и функция источника. 2. Решение краевой задачи. 3. Функция источника для отрезка.

1. Свойства тепловых потенциалов простого и двойного слоя. 2. Решение краевых задач. Задачи к главе VI

Приложения к главе VI

Глава VII. Уравнения эллиптического типа (продолжение)

1. Установившиеся колебания. 2. Диффузия газа при наличии распада и при цепных реакциях. 3. Диффузия в движущейся среде. 4. Постановка внутренних краевых задач для уравнения D v + cv=0.

1. Функции влияния точечных источников. 2. Интегральное представление решения. 3. Потенциалы.

1. Уравнение D v + cv =-f в неограниченном пространстве. 2. Принцип предельного поглощения. 3. Принцип предельной амплитуды. 4. Условия излучения.

1. Постановка задачи. 2. Единственность решения задачи дифракции. 3. Дифракция на сфере. Задачи к главе VII

Приложения к главе VII

1. Собственные колебания цилиндрического эндовибратора. 2. Электромагнитная энергия собственных колебаний. 3. Возбуждение колебаний в эндовибраторе.

Дополнение I. Метод конечных разностей

1. Сетки и сеточные функции. 2. Аппроксимация простейших дифференциальных операторов. 3. Разностная задача. 4. Устойчивость.

1. Схемы для уравнения с постоянными коэффициентами. 2. Погрешность аппроксимации. 3. Энергетическое тождество. 4. Устойчивость. 5. Сходимость и точность. 6. Разностные схемы для уравнений с переменными коэффициентами. 7. Метод баланса. Консервативные схемы. 8. Двухслойные схемы для уравнения теплопроводности с переменными коэффициентами. 9. Трехслойные схемы. 10. Решение систем разностных уравнений. Метод прогонки. 11. Разностные методы решения квазилинейных уравнений.

1. Разностная аппроксимация оператора Лапласа. 2. Принцип максимума. 3. Оценка решения неоднородного уравнения. 4. Сходимость решения разностной задачи Дирихле. 5. Решение разностных уравнений методом простой итерации.

1. Многомерные схемы. 2. Экономичные схемы. 3. Итерационные методы переменных направлений для решения разностной задачи Дирихле.

Дополнение II. Специальные функции

1. Введение. 2. Общее уравнение теории специальных функций. 3. Поведение решений в окрестности х=а, если k(а)=0. 4. Постановка краевых задач.

Часть I. Цилиндрические функции

1. Степенные ряды. 2. Рекуррентные формулы. 3. Функции полуцелого порядка. 4. Асимптотический порядок цилиндрических функций.

1. Функции Ханкеля. 2. Функции Ханкеля и Неймана. 3. Функции мнимого аргумента. 4. Функция K 0 (х).

1. Контурные интегралы. 2. функции Ханкеля. 3. Некоторые свойства гамма-функции. 4. Интегральное представление функции Бесселя. 5. Интегральное представление K n (х). 6, Асимптотические формулы для цилиндрических функций.

1. Многомерные схемы. 2. Экономичные схемы. 3. Итерационные методы переменных направлений для решения разностной задачи Дирихле.

Часть II. Сферические функции

1. Производящая функция и полиномы Лежандра. 2. Рекуррентные формулы. 3. Уравнение Лежандра. 4. Ортогональность полиномов Лежандра. 5. Норма полиномов Лежандра. 6. Нули полиномов Лежандра. 7. Ограниченность полиномов Лежандра.

1. Присоединенные функции. 2. Норма присоединенных функций. 3. Замкнутость системы присоединенных функций.

1. Гармонические полиномы. 2. Сферические функции. 3. Ортогональность системы сферических функции. 4. Полнота системы сферических функций. 5. Разложение по сферическим функциям.

1. Задача Дирихле для сферы. 2. Проводящая сфера в поле точечного заряда. 3. Поляризация шара в однородном поле. 4. Собственные колебания сферы. 5. Внешняя краевая задача для сферы.

Часть III. Полиномы Чебышева — Эрмита и Чебышева — Лагерра

1. Дифференциальная формула. 2. Рекуррентные формулы. 3. Уравнение Чебышева — Эрмита. 4. Норма полиномов Нn(x). 5. Функции Чебышева — Эрмита.

1. Дифференциальная формула. 2. Рекуррентные формулы. 3. Уравнение Чебышева —Лагерра. 4. Ортогональность и норма полиномов Чебышева—Лагерра. 5. Обобщенные полиномы Чебышева —Лагерра.

1. Уравнение Шредингера. 2. Гармонический осциллятор. 3. Ротатор. 4. Движение электрона в кулоновом поле.

Видео:Классические точные аналитические методы решения уравнений гиперболического и параболического типаСкачать

Классические точные аналитические методы решения уравнений гиперболического и параболического типа

Курсовая работа: Решение параболических уравнений

Видео:6.1 Смешанные краевые задачи для уравнений гиперболического и параболического типов. Метод Фурье.Скачать

6.1 Смешанные краевые задачи для уравнений гиперболического и параболического типов. Метод Фурье.

Реферат

Видео:3.2 Решение уравнений гиперболического типа методом характеристикСкачать

3.2 Решение уравнений гиперболического типа методом характеристик

В курсовой работе рассматривается метод сеток решения параболических уравнений. Теоретическая часть включает описание общих принципов метода, его применение к решению параболических уравнений, исследование разрешимости получаемой системы разностных уравнений. В практической части разрабатывается программа для численного решения поставленной задачи. В приложении представлен текст программы и результаты выполнения тестовых расчетов.

Объем курсовой работы: 33 с.

Ключевые слова: параболическое уравнение, уравнение теплопроводности, метод сеток, краевая задача, конечные разности.

1. Теоретическая часть

1.1 Метод сеток решения уравнений параболического типа

1.2 Метод прогонки решения разностной задачи для уравненийпараболического типа

1.3 Оценка погрешности и сходимость метода сеток

1.4 Доказательство устойчивости разностной схемы

2. Реализация метода

2.1 Разработка программного модуля

2.2 Описание логики программного модуля

2.3 Пример работы программы

К дифференциальным уравнениям с частными производными приходим при решении самых разнообразных задач. Например, при помощи дифференциальных уравнений с частными производными можно решать задачи теплопроводности, диффузии, многих физических и химических процессов.

Как правило, найти точное решение этих уравнений не удается, поэтому наиболее широкое применение получили приближенные методы их решения. В данной работе ограничимся рассмотрением дифференциальных уравнений с частными производными второго порядка, а точнее дифференциальными уравнениями с частными производными второго порядка параболического типа, когда эти уравнения являются линейными, а искомая функция зависит от двух переменных. В общем случае такое уравнение записывается следующим образом:

Задачи приводящие к уравнениям параболического типа.

Заметим, что численными методами приходится решать и нелинейные уравнения, но находить их решение много труднее, чем решение линейных уравнений.

введем в рассмотрение величину Задачи приводящие к уравнениям параболического типа. В том случае, когда Задачи приводящие к уравнениям параболического типауравнение называется параболическим. В случае, когда величина Задачи приводящие к уравнениям параболического типане сохраняет знак, имеем смешанный тип дифференциального уравнения. Следует отметить, что в дифференциальном уравнении все функции Задачи приводящие к уравнениям параболического типаявляются известными, и они определены в области Задачи приводящие к уравнениям параболического типа, в которой мы ищем решение.

1. Теоретическая часть

1.1 Метод сеток решения уравнений параболического типа

Для решения дифференциальных уравнений параболического типа существует несколько методов их численного решения на ЭВМ, однако особое положение занимает метод сеток, так как он обеспечивает наилучшие соотношения скорости, точности полученного решения и простоты реализации вычислительного алгоритма. Метод сеток еще называют методом конечных разностей.Пусть дано дифференциальное уравнение

Задачи приводящие к уравнениям параболического типа. (1.1)

Требуется найти функцию Задачи приводящие к уравнениям параболического типав области Задачи приводящие к уравнениям параболического типас границей Задачи приводящие к уравнениям параболического типапри заданных краевых условиях. Согласно методу сеток в плоской области Задачи приводящие к уравнениям параболического типастроится сеточная область Задачи приводящие к уравнениям параболического типа, состоящая из одинаковых ячеек. При этом область Задачи приводящие к уравнениям параболического типадолжна как можно лучше приближать область Задачи приводящие к уравнениям параболического типа. Сеточная область (то есть сетка) Задачи приводящие к уравнениям параболического типасостоит из изолированных точек, которые называются узлами сетки. Число узлов будет характеризоваться основными размерами сетки Задачи приводящие к уравнениям параболического типа: чем меньше Задачи приводящие к уравнениям параболического типа, тем больше узлов содержит сетка. Узел сетки называется внутренним, если он принадлежит области Задачи приводящие к уравнениям параболического типа, а все соседние узлы принадлежат сетке Задачи приводящие к уравнениям параболического типа. В противном случае он называется граничным. Совокупность граничных узлов образует границу сеточной области Задачи приводящие к уравнениям параболического типа.

Сетка может состоять из клеток разной конфигурации: квадратных, прямоугольных, треугольных и других. После построения сетки исходное дифференциальное уравнение заменяется разностным уравнением во всех внутренних узлах сетки. Затем на основании граничных условий устанавливаются значения искомого решения в граничных узлах. Присоединяя граничные условия сеточной задачи к разностным уравнениям, записанных для внутренних узлов, получаем систему уравнений, из которой определяем значения искомого решения во всех узлах сетки.

Замена дифференциального уравнения разностным может быть осуществлена разными способами. Один из способов аппроксимации состоит в том, что производные, входящие в дифференциальное уравнение, заменяются линейными комбинациями значений функции Задачи приводящие к уравнениям параболического типав узлах сетки по тем или иным формулам численного дифференцирования. Различные формулы численного дифференцирования имеют разную точность, поэтому от выбора формул аппроксимации зависит качество аппроксимации дифференциального уравнения разностным уравнением.

Рассмотрим неоднородное уравнение теплопроводности, являющееся частным случаем уравнений параболического типа:

Задачи приводящие к уравнениям параболического типа, (1.2)

Задачи приводящие к уравнениям параболического типа– известная функция.

Будем искать решение этого уравнения в области

Задачи приводящие к уравнениям параболического типа

Заметим, что эту полуполосу всегда можно привести к полуполосе, когда Задачи приводящие к уравнениям параболического типа. Уравнение (1.2) будем решать с начальными условиями:

Задачи приводящие к уравнениям параболического типа, (1.3)

Задачи приводящие к уравнениям параболического типа– известная функция, и краевыми условиями:

Задачи приводящие к уравнениям параболического типа(1.4)

где Задачи приводящие к уравнениям параболического типа– известные функции переменной Задачи приводящие к уравнениям параболического типа.

Для решения задачи область Задачи приводящие к уравнениям параболического типапокроем сеткой Задачи приводящие к уравнениям параболического типа.

Задачи приводящие к уравнениям параболического типа

Узлы сетки, лежащие на прямых Задачи приводящие к уравнениям параболического типа, Задачи приводящие к уравнениям параболического типаи Задачи приводящие к уравнениям параболического типабудут граничными. Все остальные узлы будут внутренними. Для каждого внутреннего узла дифференциальное уравнения (1.2) заменим разностным. При этом для производной Задачи приводящие к уравнениям параболического типавоспользуемся следующей формулой:

Задачи приводящие к уравнениям параболического типа.

Для производной Задачи приводящие к уравнениям параболического типазапишем следующие формулы:

Задачи приводящие к уравнениям параболического типа,

Задачи приводящие к уравнениям параболического типа,

Задачи приводящие к уравнениям параболического типа.

Можем получить три вида разностных уравнений:

Задачи приводящие к уравнениям параболического типа, (1.5)

Задачи приводящие к уравнениям параболического типа, (1.6)

Задачи приводящие к уравнениям параболического типа, (1.7)

Задачи приводящие к уравнениям параболического типа.

Разностные уравнения (1.5) аппроксимируют уравнение (1.2) с погрешностью Задачи приводящие к уравнениям параболического типа, уравнение (1.6) – с такой же погрешностью, а уравнение (1.7) уже аппроксимирует уравнение (1.2) с погрешностью Задачи приводящие к уравнениям параболического типа.

В разностной схеме (1.5) задействованы 4 узла. Конфигурация схемы (1.5) имеет вид:

Задачи приводящие к уравнениям параболического типа

В схеме (1.6) также участвуют 4 узла, и эта схема имеет вид:

Задачи приводящие к уравнениям параболического типа

В схеме (1.7) участвуют 5 узлов, и эта схема имеет вид:

Задачи приводящие к уравнениям параболического типа

Первая и третья схемы – явные, вторая схема неявная. В случае явных схем значения функции в узле очередного слоя можно найти, зная значения в узлах предыдущих слоев. В случае неявных схем для нахождения значений решения в узлах очередного слоя приходится решать систему уравнений.

Для узлов начального (нулевого) слоя Задачи приводящие к уравнениям параболического типазначения решения выписываются с помощью начального условия (1.3):

Задачи приводящие к уравнениям параболического типа(1.8)

Для граничных узлов, лежащих на прямых Задачи приводящие к уравнениям параболического типаи Задачи приводящие к уравнениям параболического типа, заменив производные Задачи приводящие к уравнениям параболического типапо формулам численного дифференцирования, получаем из граничных условий (1.4) следующие уравнения:

Задачи приводящие к уравнениям параболического типа(1.9)

Уравнения (1.9) аппроксимируют граничные условия (1.4) с погрешностью Задачи приводящие к уравнениям параболического типа, так как используем односторонние формулы численного дифференцирования. Погрешность аппроксимации можно понизить, если использовать более точные односторонние (с тремя узлами) формулы численного дифференцирования.

Присоединяя к системе разностных уравнений, записанных для внутренних узлов, начальные и граничные условия (1.8) и (1.9) для разностной задачи получим полные разностные схемы трех видов. Для проведения вычислений самой простой схемой оказывается первая: достаточно на основании начального условия найти значения функции в узлах слоя Задачи приводящие к уравнениям параболического типа, чтобы в дальнейшем последовательно определять значения решения в узлах слоев Задачи приводящие к уравнениям параболического типаи т.д.

Третья схема также весьма проста для проведения вычислений, но при ее использовании необходимо кроме значений решения в узлах слоя Задачи приводящие к уравнениям параболического типанайти каким-то образом значения функции и в слое Задачи приводящие к уравнениям параболического типа. Далее вычислительный процесс легко организовывается. В случае второй схемы, которая является неявной, обязательно приходится решать систему уравнений для нахождения решения сеточной задачи.

С точки зрения точечной аппроксимации третья схема самая точная.

Введем в рассмотрение параметр Задачи приводящие к уравнениям параболического типа. Тогда наши разностные схемы можно переписать, вводя указанный параметр. При этом самый простой их вид будет при Задачи приводящие к уравнениям параболического типа.

В любом случае согласно методу сеток будем иметь столько уравнений, сколько имеется неизвестных (значения искомой функции в узлах). Число неизвестных равно числу всех узлов сетки. Решая систему уравнений, получаем решение поставленной задачи.

Разрешимость этой системы для явных схем вопросов не вызывает, так как все действия выполняются в явно определенной последовательности. В случае неявных схем разрешимость системы следует исследовать в каждом конкретном случае. Важным вопросом является вопрос о том, на сколько найденные решения хорошо (адекватно) отражают точные решения, и можно ли неограниченно сгущая сетку (уменьшая шаг по осям) получить приближенные решения, сколь угодно близкие к точным решениям? Это вопрос о сходимости метода сеток.

На практике следует применять сходящиеся разностные схемы, причем только те из них, которые являются устойчивыми, то есть при использовании которых небольшие ошибки в начальных или промежуточных результатах не приводят к большим отклонениям от точного решения. Всегда следует использовать устойчивые разностные схемы, проводя соответствующие исследования на устойчивость.

Первая из построенных выше разностных схем в случае первой краевой задачи будет устойчивой при Задачи приводящие к уравнениям параболического типа. Вторая схема устойчива при всех значениях величины Задачи приводящие к уравнениям параболического типа. Третья схема неустойчива для любых Задачи приводящие к уравнениям параболического типа, что сводит на нет все ее преимущества и делает невозможной к применению на ЭВМ.

Явные схемы просты для организации вычислительного процесса, но имеют один весьма весомый недостаток: для их устойчивости приходится накладывать сильные ограничения на сетку. Неявные схемы свободны от этого недостатка, но есть другая трудность – надо решать системы уравнений большой размерности, что на практике при нахождении решения сложных уравнений в протяженной области с высокой степенью точности может потребовать больших объемов памяти ЭВМ и времени на ожидание конечного результата. К счастью, прогресс не стоит на месте и уже сейчас мощности современных ЭВМ вполне достаточно для решения поставленных перед ними задач.

1.2 Метод прогонки решения разностной задачи для уравнений параболического типа

Рассмотрим частный случай задачи, поставленной в предыдущем разделе. В области

Задачи приводящие к уравнениям параболического типа

найти решение уравнения

Задачи приводящие к уравнениям параболического типа(1.10)

с граничными условиями

Задачи приводящие к уравнениям параболического типа(1.11)

и начальным условием

Задачи приводящие к уравнениям параболического типа. (1.12)

Рассмотрим устойчивую вычислительную схему, для которой величина Задачи приводящие к уравнениям параболического типане является ограниченной сверху, а, значит, шаг по оси Задачи приводящие к уравнениям параболического типаи Задачи приводящие к уравнениям параболического типаможет быть выбран достаточно крупным. Покроем область Задачи приводящие к уравнениям параболического типасеткой

Задачи приводящие к уравнениям параболического типа

Запишем разностное уравнение, аппроксимирующее дифференциальное уравнение (1.10) во всех внутренних узлах слоя Задачи приводящие к уравнениям параболического типа. При этом будем использовать следующие формулы:

Задачи приводящие к уравнениям параболического типа,

Задачи приводящие к уравнениям параболического типа.

Эти формулы имеет погрешность Задачи приводящие к уравнениям параболического типа. В результате уравнение (1.10) заменяется разностным:

Задачи приводящие к уравнениям параболического типа(1.13)

Перепишем (1.13) в виде:

Задачи приводящие к уравнениям параболического типа. (1.14)

Данная вычислительная схема имеет следующую конфигурацию:

Задачи приводящие к уравнениям параболического типа

Задачи приводящие к уравнениям параболического типа(1.15)

Задачи приводящие к уравнениям параболического типа(1.16)

Система (1.14) – (1.16) представляет собой разностную задачу, соответствующую краевой задаче (1.10) – (1.12).

За величину Задачи приводящие к уравнениям параболического типамы положили Задачи приводящие к уравнениям параболического типа.

(1.14) – (1.16) есть система линейных алгебраических уравнений с 3-диагональной матрицей, поэтому ее резонно решать методом прогонки, так как он в несколько раз превосходит по скорости метод Гаусса.

Задачи приводящие к уравнениям параболического типа. (1.17)

Здесь Задачи приводящие к уравнениям параболического типа, Задачи приводящие к уравнениям параболического типа– некоторые коэффициенты, подлежащие определению. Заменив в (1.17) Задачи приводящие к уравнениям параболического типана Задачи приводящие к уравнениям параболического типабудем иметь:

Задачи приводящие к уравнениям параболического типа. (1.18)

Подставив уравнение (1.18) в (1.14) получим:

Задачи приводящие к уравнениям параболического типа. (1.19)

Сравнив (1.17) и (1.19) найдем, что:

Задачи приводящие к уравнениям параболического типа(1.20)

Положим в (1.14) Задачи приводящие к уравнениям параболического типаи найдем из него Задачи приводящие к уравнениям параболического типа:

Задачи приводящие к уравнениям параболического типа,

Задачи приводящие к уравнениям параболического типа.

Задачи приводящие к уравнениям параболического типа(1.21)

Заметим, что во второй формуле (1.21) величина Задачи приводящие к уравнениям параболического типаподлежит замене на Задачи приводящие к уравнениям параболического типасогласно первому условию (1.15).

С помощью формул (1.21) и (1.20) проводим прогонку в прямом направлении. В результате находим величины

Задачи приводящие к уравнениям параболического типа

Затем осуществляем обратный ход. При этом воспользуемся второй из формул (1.15) и формулой (1.17). Получим следующую цепочку формул:

Задачи приводящие к уравнениям параболического типа(1.22)

Таким образом, отправляясь от начального слоя Задачи приводящие к уравнениям параболического типа, на котором известно решение, мы последовательно можем найти значения искомого решения во всех узлах стеки.

Итак, мы построили неявную схему решения дифференциальных уравнений параболического типа методом сеток.

1.3 Оценка погрешности и сходимость метода сеток

При решении задачи методом сеток мы допускаем погрешность, состоящую из погрешности метода и вычислительной погрешности.

Погрешность метода – это та погрешность, которая возникает в результате замены дифференциального уравнения разностным, а также погрешность, возникающая за счет сноса граничных условий с Задачи приводящие к уравнениям параболического типана Задачи приводящие к уравнениям параболического типа.

Вычислительная погрешность – это погрешность, возникающая при решении системы разностных уравнений, за счет практически неизбежных машинных округлений.

Существуют специальные оценки погрешности для решения задач методом сеток. Однако эти оценки содержат максимумы модулей производных искомого решения, поэтому пользоваться ими крайне неудобно, однако эти теоретические оценки хороши тем, что из них видно: если неограниченно измельчать сетку, то последовательность решений будет сходиться равномерно к точному решению. Здесь мы столкнулись с проблемой сходимости метода сеток. При использовании метода сеток мы должны быть уверены, что, неограниченно сгущая сетку, можем получить решение, сколь угодно близкое к точному.

Итак, на примере решения краевой задачи для дифференциального уравнения параболического типа рассмотрим основные принципы метода сеток. Отметим, что если при решении разностной задачи небольшие ошибки в начальных и краевых условиях (или в промежуточных результатах) не могут привести к большим отклонениям искомого решения, то говорят, что задача поставлена корректно в смысле устойчивости по входным данным. Разностную схему называют устойчивой, если вычислительная погрешность неограниченно не возрастает. В противном случае схема называется неустойчивой.

1.4 Доказательство устойчивости разностной схемы

Пусть Задачи приводящие к уравнениям параболического типаесть решение уравнения (1.14), удовлетворяющее возмущенным начальным условиям

Задачи приводящие к уравнениям параболического типа

и граничным условиям

Задачи приводящие к уравнениям параболического типа

Задачи приводящие к уравнениям параболического типа.

Здесь Задачи приводящие к уравнениям параболического типа– некоторые начальные ошибки.

Задачи приводящие к уравнениям параболического типа.

Погрешность Задачи приводящие к уравнениям параболического типабудет удовлетворять уравнению

Задачи приводящие к уравнениям параболического типа(1.23)

(в силу линейности уравнения (1.14)), а также следующими граничными и начальными условиями:

Задачи приводящие к уравнениям параболического типа, (1.24)

Задачи приводящие к уравнениям параболического типа. (1.25)

Частное решение уравнения (1.23) будем искать в виде

Задачи приводящие к уравнениям параболического типа. (1.26)

Здесь числа Задачи приводящие к уравнениям параболического типаи Задачи приводящие к уравнениям параболического типаследует подобрать так, чтобы выражение (1.26) удовлетворяло уравнению (1.23) и граничным условиям (1.24).

При целом Задачи приводящие к уравнениям параболического типа Задачи приводящие к уравнениям параболического типаудовлетворяет уравнению (1.23) и условиям (1.24).

Подставим уравнение (1.26) в уравнение (1.24). При этом получим:

Задачи приводящие к уравнениям параболического типа

Задачи приводящие к уравнениям параболического типа.

Выражение в квадратных скобках равно

Задачи приводящие к уравнениям параболического типа.

Подставляя это выражение в предыдущее уравнение вместо выражения в квадратных скобках и проводя сокращения на Задачи приводящие к уравнениям параболического типаполучим:

Задачи приводящие к уравнениям параболического типа,

откуда находим Задачи приводящие к уравнениям параболического типа:

Задачи приводящие к уравнениям параболического типа.

Таким образом, согласно уравнению (1.26), получаем линейно-независимые решения уравнения (1.23) в виде

Задачи приводящие к уравнениям параболического типа

Заметим, что это частное решение удовлетворяет однородным краевым условиям (1.24). Линейная комбинация этих частных решений также является решением уравнения (1.23):

Задачи приводящие к уравнениям параболического типа, (1.27)

причем Задачи приводящие к уравнениям параболического типа, определенное в выражении (1.27), удовлетворяет для любых Задачи приводящие к уравнениям параболического типаоднородным граничным условиям (1.24). Коэффициенты Задачи приводящие к уравнениям параболического типаподбираются исходя из того, что Задачи приводящие к уравнениям параболического типадолжны удовлетворять начальным условиям (1.25):

Задачи приводящие к уравнениям параболического типа.

В результате получаем систему уравнений

Задачи приводящие к уравнениям параболического типа,

содержащую Задачи приводящие к уравнениям параболического типауравнений с Задачи приводящие к уравнениям параболического типанеизвестными Задачи приводящие к уравнениям параболического типа. Решая построенную систему определяем неизвестные коэффициенты Задачи приводящие к уравнениям параболического типа.

Для устойчивости исследуемой разностной схемы необходимо, чтобы при любых значениях коэффициентов Задачи приводящие к уравнениям параболического типаЗадачи приводящие к уравнениям параболического типа, определяемое формулой (1.27), оставалось ограниченной величиной при Задачи приводящие к уравнениям параболического типа. Для этого достаточно, чтобы для всех Задачи приводящие к уравнениям параболического типавыполнялось неравенство

Задачи приводящие к уравнениям параболического типа. (1.28)

Анализируя (1.28) видим, что это неравенство выполняется для любых значений параметра Задачи приводящие к уравнениям параболического типа. При этом при Задачи приводящие к уравнениям параболического типа Задачи приводящие к уравнениям параболического типаили в крайнем случае, когда

Задачи приводящие к уравнениям параболического типа,

Задачи приводящие к уравнениям параболического типаостается ограниченным и при фиксированном Задачи приводящие к уравнениям параболического типане возрастает по модулю. Следовательно мы доказали, что рассматриваемая разностная схема устойчива для любых значений параметра Задачи приводящие к уравнениям параболического типа.

2. Реализация метода

2.1 Разработка программного модуля

Поставлена цель: разработать программный продукт для нахождения приближенного решения параболического уравнения:

Задачи приводящие к уравнениям параболического типа(1.29)

Задачи приводящие к уравнениям параболического типа,

Задачи приводящие к уравнениям параболического типа(1.30)

Разобьем область Задачи приводящие к уравнениям параболического типапрямыми

Задачи приводящие к уравнениям параболического типа

Задачи приводящие к уравнениям параболического типа– шаг по оси Задачи приводящие к уравнениям параболического типа,

Задачи приводящие к уравнениям параболического типа– шаг по оси Задачи приводящие к уравнениям параболического типа.

Заменив в каждом узле производные конечно-разностными отношениями по неявной схеме, получим систему вида:

Задачи приводящие к уравнениям параболического типа. (1.31)

Преобразовав ее, получим:

Задачи приводящие к уравнениям параболического типа, (1.32)

Задачи приводящие к уравнениям параболического типа

В граничных узлах

Задачи приводящие к уравнениям параболического типа(1.33)

В начальный момент

Задачи приводящие к уравнениям параболического типа. (1.34)

Эта разностная схема устойчива при любом Задачи приводящие к уравнениям параболического типа. Будем решать систему уравнений (1.32), (1.33) и (1.34) методом прогонки. Для этого ищем значения функции в узле Задачи приводящие к уравнениям параболического типав виде

Задачи приводящие к уравнениям параболического типа, (1.35)

где Задачи приводящие к уравнениям параболического типа– пока неизвестные коэффициенты.

Задачи приводящие к уравнениям параболического типа. (1.36)

Подставив значение (1.35) в (1.32) получим:

Задачи приводящие к уравнениям параболического типа.

Задачи приводящие к уравнениям параболического типа. (1.37)

Из сравнения (1.35) и (1.37) видно, что

Задачи приводящие к уравнениям параболического типа. (1.38)

Задачи приводящие к уравнениям параболического типа. (1.39)

Для Задачи приводящие к уравнениям параболического типаиз (1.32) имеем:

Задачи приводящие к уравнениям параболического типа.

Задачи приводящие к уравнениям параболического типа

Задачи приводящие к уравнениям параболического типа.

Откуда, используя (1.35), получим:

Задачи приводящие к уравнениям параболического типа, (1.40)

Задачи приводящие к уравнениям параболического типа. (1.41)

Используя данный метод, мы все вычисления проведем в следующем порядке для всех Задачи приводящие к уравнениям параболического типа.

1) Зная значения функции Задачи приводящие к уравнениям параболического типана границе (1.33), найдем значения коэффициентов Задачи приводящие к уравнениям параболического типапо (1.40) и Задачи приводящие к уравнениям параболического типапо (1.38) для всех Задачи приводящие к уравнениям параболического типа.

2) Найдем Задачи приводящие к уравнениям параболического типапо (1.41), используя для Задачи приводящие к уравнениям параболического типаначальное условие (1.34).

3) Найдем Задачи приводящие к уравнениям параболического типапо формулам (1.39) для Задачи приводящие к уравнениям параболического типа.

4) Найдем значения искомой функции на Задачи приводящие к уравнениям параболического типаслое, начиная с Задачи приводящие к уравнениям параболического типа:

Задачи приводящие к уравнениям параболического типа

2.2 Описание логики программного модуля

Листинг программы приведен в приложении 1. Ниже будут описаны функции программного модуля и их назначение.

Функция main() является базовой. Она реализует алгоритм метода сеток, описанного в предыдущих разделах работы.

Функция f (x, y) представляет собой свободную функцию двух переменных дифференциального уравнения (1.29). В качестве аргумента в нее передаются два вещественных числа с плавающей точкой типа float. На выходе функция возвращает значение функции Задачи приводящие к уравнениям параболического типа, вычисленное в точке Задачи приводящие к уравнениям параболического типа.

Функции mu_1 (t) и mu_2 (t) представляют собой краевые условия. В них передается по одному аргументу (t) вещественного типа (float).

Функция phi() является ответственной за начальный условия.

В функции main() определены следующие константы:

Задачи приводящие к уравнениям параболического типа– правая граница по Задачи приводящие к уравнениям параболического типадля области Задачи приводящие к уравнениям параболического типа;

Задачи приводящие к уравнениям параболического типа– правая граница по Задачи приводящие к уравнениям параболического типадля области Задачи приводящие к уравнениям параболического типа;

Задачи приводящие к уравнениям параболического типа– шаг сетки по оси Задачи приводящие к уравнениям параболического типа;

Задачи приводящие к уравнениям параболического типа– шаг сетки по оси Задачи приводящие к уравнениям параболического типа;

Варьируя Задачи приводящие к уравнениям параболического типаи Задачи приводящие к уравнениям параболического типаможно изменять точность полученного решения Задачи приводящие к уравнениям параболического типаот менее точного к более точному. Выше было доказано, что используемая вычислительная схема устойчива для любых комбинаций параметров Задачи приводящие к уравнениям параболического типаи Задачи приводящие к уравнениям параболического типа, поэтому при устремлении их к нуля можем получить сколь угодно близкое к точному решение.

Программа снабжена тремя механизмами вывода результатов работы: на экран в виде таблицы, в текстовый файл, а также в файл списка математического пакета WaterlooMaple. Это позволяет наглядно представить полученное решение.

Программа написана на языке программирования высокого уровня Borland C++ 3.1 в виде приложения MS-DOS. Обеспечивается полная совместимость программы со всеми широко известными операционными системами корпорации Майкрософт: MS-DOS 5.x, 6.xx, 7.xx, 8.xx, Windows 9x/Me/2000/NT/XP.

2.3 Пример работы программы

В качестве примера рассмотрим численное решение следующего дифференциального уравнения параболического типа:

Задачи приводящие к уравнениям параболического типа

Задачи приводящие к уравнениям параболического типа,

Задачи приводящие к уравнениям параболического типа

Задав прямоугольную сетку с шагом оси Задачи приводящие к уравнениям параболического типа0.1 и по оси Задачи приводящие к уравнениям параболического типа0.01, получим следующее решение:

2.10 1.91 1.76 1.63 1.53 1.44 1.37 1.31 1.26 1.22 1.18

2.11 1.75 1.23 1.20 1.15 1.10 1.07 1.04 1.04 1.07 1.21

2.12 1.61 0.95 0.96 0.93 0.91 0.90 0.90 0.94 1.03 1.24

2.13 1.51 0.79 0.81 0.81 0.80 0.81 0.83 0.89 1.03 1.27

2.14 1.45 0.69 0.73 0.74 0.74 0.76 0.80 0.88 1.04 1.31

2.15 1.41 0.64 0.69 0.70 0.71 0.74 0.79 0.89 1.05 1.34

В таблице ось x расположена горизонтально, а ось t расположена вертикально и направлена вниз.

На выполнение программы на среднестатистическом персональном компьютере тратится время, равное нескольким миллисекундам, что говорит о высокой скорости алгоритма.

Подробно выходной файл output.txt, содержащий таблицу значений функции Задачи приводящие к уравнениям параболического типапредставлен в приложении 3.

В работе был рассмотрен метод сеток решения параболических уравнений в частных производных. Раскрыты основные понятия метода, аппроксимация уравнения и граничных условий, исследована разрешимость и сходимость получаемой системы разностных уравнений.

На основании изученного теоретического материала была разработана программная реализация метода сеток, проанализирована ее сходимость и быстродействие, проведен тестовый расчет, построен графики полученного численного решения.

1. Березин И.С., Жидков Н.П.Методы вычислений. Т.2. – М.: Физматгиз, 1962.

2. Тихонов А.Н., Самарский А.А.Уравнения математической физики. – М.: Наука, 1972.

3. Пирумов У.Г.Численные методы. – М.: Издательство МАИ, 1998.

4. Калиткин Н.Н.Численные методы. – М.: Наука, 1976.

Видео:3.1 Формула Даламбера, решение волнового уравнения на бесконечной прямойСкачать

3.1 Формула Даламбера, решение волнового уравнения на бесконечной прямой

Постановка задачи для уравнения параболического типа

Классическим примером уравнения параболического типа является уравнение теплопроводности (диффузии). Как отмечалось выше, в одномерном по пространству случае однородное (без источников энергии) уравнение теплопроводности имеет вид:

Задачи приводящие к уравнениям параболического типа, 0 0 (15)

Уравнение (15), например, может описывать распространение тепла в тонком стержне длиной l, теплоизолированном по боковой поверхности. При этом функция u(x, t) задаёт значение температуры в любой точке стержня в произвольный момент времени t, при условии, что известно распределение температуры в стержне в начальный момент времени t = 0 и известна температура на концах стержня x = 0 и x = l в любой момент времени t. Таким образом, постановка задач для уравнения теплопроводности имеет следующий вид.

Первая начально-краевая задача. Если на границах стержня x = 0 и x = l заданы краевые условия первого рода, т.е. для любых моментов времени на концах стержня x = 0 и x = l заданы значения искомой функции u(x,t) (т.е. температуры):

и, кроме того, для функции u(x, t) заданы начальные условия, т.е. задано распределение температуры в любой точке стержня в момент времени t = 0:

то задачу (15) – (17) называют первой начально-краевой задачей для уравнения теплопроводности.

В терминах теории теплообмена функция u(x,t) описывает распределение температуры в пространственно-временной области W´T = <0 £ x £ l, 0 £ t £ T>, параметр а 2 – является коэффициентом температуропроводности, а краевые условия (16), (17) с помощью функций j 1(t) и j 2(t) задают температуру на границах
x = 0, x = l для различных моментов времени.

Вторая начально-краевая задача. Если на границах x = 0 и x = l заданы краевые условия второго рода, т.е. для x = 0 и x = l заданы значения производных искомой функции по пространственной переменной:

Задачи приводящие к уравнениям параболического типа= j 1(t), x = 0, t >0, (19)

Задачи приводящие к уравнениям параболического типа= j 2(t), x = l, t >0, (20)

и, кроме того, для функции u(x, t) заданы начальные условия (21), то задачу (15), (19) – (21) называют второй начально-краевой задачей для уравнения теплопроводности. В терминах теории теплообмена граничные условия (19), (20) задают тепловые потоки на концах стрежня для различных моментов времени.

Третья начально-краевая задача. Если на границах x = 0 и x = l заданы краевые условия третьего рода, т.е. для x = 0 и x = l заданы линейные комбинации искомой функции и её частной производной по пространственной переменной:

Задачи приводящие к уравнениям параболического типа+ a u(0, t) = j 1(t), x = 0, t >0, (22)

Задачи приводящие к уравнениям параболического типа+ b u(l, t) = j 2(t), x = l, t >0, (23)

и, для функции u(x, t) заданы начальные условия (21), то задачу (15), (22), (23) называют третьей начально-краевой задачей для уравнения теплопроводности.

В терминах теории теплообмена граничные условия (22), (23) задают теплообмен между газообразной и жидкой средой (которые располагаются с разных «торцов» стержня) и границами расчётной области (т.е. внутренней частью стержня). Из-за теплообмена, температуры u(0, t) и u(l, t) на торцах стержня не известны, а известно, что температуры газообразной и жидкой среды соответственно равны
j 1(t)/a и j 2(t)/b. Параметры a и b являются коэффициентами теплообмена между газообразной или жидкой средой и соответствующей границей стержня.

Дата добавления: 2015-09-14 ; просмотров: 1238 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ

🌟 Видео

Уравнения математической физики. Лекция 3: Уравнения параболического типа. Лектор Хохлов Н.А.Скачать

Уравнения математической физики. Лекция 3: Уравнения параболического типа. Лектор Хохлов Н.А.

Решение биквадратных уравнений. 8 класс.Скачать

Решение биквадратных уравнений. 8 класс.

Вычислительная математика 20 Уравнения параболического типаСкачать

Вычислительная математика 20 Уравнения параболического типа

УМФ. Метод Фурье для параболического уравненияСкачать

УМФ. Метод Фурье для параболического уравнения

2.1. Метод характеристик. Задача Коши для гиперболического уравнения на плоскости.Скачать

2.1. Метод характеристик. Задача Коши для гиперболического уравнения на плоскости.

Cистемы уравнений. Разбор задания 6 и 21 из ОГЭ. | МатематикаСкачать

Cистемы уравнений. Разбор задания 6 и 21 из ОГЭ.  | Математика

Метод Фурье для неоднородного уравнения теплопроводностиСкачать

Метод Фурье для неоднородного уравнения теплопроводности

Уравнение колебаний струны. Метод разделения переменных. Метод ФурьеСкачать

Уравнение колебаний струны. Метод разделения переменных. Метод Фурье

Решение первой краевой задачи для неоднородного уравнения теплопроводности.Скачать

Решение первой краевой задачи для неоднородного уравнения теплопроводности.

Уравнения математической физики. Лекция 7: Уравнения Эллиптического типа (1). Лектор Хохлов Н.А.Скачать

Уравнения математической физики. Лекция 7: Уравнения Эллиптического типа (1). Лектор Хохлов Н.А.

Уравнения математической физики. Лекция 2: Уравнения параболического типа. Хохлов Н.А.Скачать

Уравнения математической физики. Лекция 2: Уравнения параболического типа. Хохлов Н.А.

2. Приведение уравнений второго порядка к каноническому видуСкачать

2. Приведение уравнений второго порядка к каноническому виду
Поделиться или сохранить к себе:
Название: Решение параболических уравнений
Раздел: Рефераты по математике
Тип: курсовая работа Добавлен 21:20:53 10 октября 2009 Похожие работы
Просмотров: 900 Комментариев: 21 Оценило: 4 человек Средний балл: 4.3 Оценка: неизвестно Скачать