Задачи на производительность 8 класс алгебра с рациональные уравнения (4 видео)

Решение задач с помощью дробных рациональных уравнений

Содержание

Примеры
Презентация к онлайн-уроку «Решение задач на работу при помощи рациональных уравнений (8класс)»
Описание презентации по отдельным слайдам:
Решение задач с помощью рациональных уравнений (8-й класс)
📽️ Видео

Примеры

Пример 1. От посёлка до речки 60 км. Утром турист на скутере отправился на речку. Вечером он возвратился в посёлок, но при этом ехал со скоростью на 10 км/ч меньшей и потратил на дорогу на 18 мин больше. Сколько времени ехал турист от речки к посёлку?

Пусть t — время вечером, на дорогу от речки к посёлку.

Тогда время утром, на дорогу от посёлка к речке t- $frac$ = t-0,3 (ч)

По условию разность скоростей равна 10:

$$1,8=t(t-0,3), t neq 0, t neq 0,3$$

$$ D = 0,3^2-4 cdot (-1,8) = 0,09+7,2=7,29 = 2,7^2 $$

$$ t = frac = left[ begin t_1 = -1,1 \ t_2 = 1,5 end right. $$

Выбираем положительный корень, t = 1,5 ч

Пример 2. Катер прошёл по течению 120 км. На этот же путь против течения от тратит времени в 1,5 раза больше. Найдите скорость течения, если скорость катера в стоячей воде 20 км/ч.

Пусть u — скорость течения

По условию время против течения в 1,5 раз больше:

$$ 1,5(20-u) = 20+u, u neq pm 20 $$

Пример 3. В раствор, содержащий 50 г соли, добавили 150 г воды. В результате концентрация соли уменьшилась на 7,5%. Найдите первоначальную массу раствора.

Пусть x — масса воды в первоначальном растворе, в граммах.

По условию разность концентраций:

$$ 50 cdot 150 = frac (x+50)(x+200), x neq -50, x neq -200 $$

$$ D = 250^2-4 cdot (-90000) = 62500+360000 = 100(625+3600) = $$

$$ = 100 cdot 4225 = 650^2 $$

$$ x = frac = left[ begin x_1 = -450 \ x_2 = 200 end right. $$

Выбираем положительный корень x=200 г – начальное количество воды в растворе. Начальная масса всего раствора: 50+200 = 250 г.

Пример 4. Мастер и его ученик, работая вместе, выполняют норму на 8 ч. Если каждый работает самостоятельно, то мастер тратит на выполнение нормы на 12 ч меньше, чем ученик. Сколько часов тратит каждый из них на выполнении нормы?

Пусть N изделий – это норма, t — время, потраченное мастером.

Из последней строки таблицы получаем:

$$ 8(2t+12) = t(t+12), t neq 0, t neq -12$$

$$ t^2-4t-96 = 0 Rightarrow (t-12)(t+8) = 0 Rightarrow left[ begin t_1 = -8 \ t_2 = 12 end right. $$

Выбираем положительный корень, t=12 ч — время, которое мастер потратит самостоятельно. Ученик потратит 12+12=24 ч.

Ответ: 12 ч и 24 ч

Пример 5*. Один фрилансер может выполнить проект на 12 дней быстрее, чем второй. Над новым проектом первый фрилансер сначала проработал самостоятельно 6 дней, а затем к нему присоединился второй. Через 3 дня совместной работы frac проекта было готово.

За сколько дней каждый из фрилансеров может выполнить проект самостоятельно? За сколько дней проект был фактически выполнен?

Пусть d — количество дней первого фрилансера при самостоятельной работе.

Видео:8 класс, 28 урок, Рациональные уравнения как математические модели реальных ситуацийСкачать

Презентация к онлайн-уроку «Решение задач на работу при помощи рациональных уравнений (8класс)»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Рабочие листы и материалы для учителей и воспитателей

Более 300 дидактических материалов для школьного и домашнего обучения

Описание презентации по отдельным слайдам:

Задачи на работу (рациональные уравнения)
29.01.2022

№330(а)
На обработку одной детали первый рабочий затрачивает на 1 мин меньше, чем второй. Сколько деталей обработает каждый из них за 4 часа, если первый рабочий обрабатывает за это время на 8 деталей больше, чем второй?
Ключ: работа = производительность на время.
Производительность – это скорость работы. Она индивидуальна, как и скорость движения. Найти ее можно разделив единицу работы на время, затраченное на эту работу.
A=𝑃∙𝑡, отсюда
𝑃= 𝐴 𝑡 , производительность= вся работа все время = единица работы время на единицу работы
время на единицу работы= единица работы производительность , 𝑡 ед. = 1 𝑃 (это взаимообратные величины)

№330(а)
На обработку одной детали первый рабочий затрачивает на 1 мин меньше, чем второй. Сколько деталей обработает каждый из них за 4 часа, если первый рабочий обрабатывает за это время на 8 деталей больше, чем второй?
Ключ: работа = производительность на время.
Производительность – это скорость работы. Она индивидуальна, как и скорость движения. Найти ее можно разделив единицу работы на время, затраченное на эту работу.
Решение
A=𝑃∙𝑡, отсюда
𝑃= 𝐴 𝑡 , производительность= вся работа все время = единица работы время на единицу работы
время на единицу работы= единица работы производительность , 𝑡 ед. = 1 𝑃 (это взаимообратные величины)
240 𝑥+8 +1= 240 𝑥

№330(а)
Ключ: работа = производительность на время.
Производительность – это скорость работы. Она индивидуальна, как и скорость движения. Найти ее можно разделив единицу работы на время, затраченное на эту работу.
Решение
240 𝑥+8 +1= 240 𝑥
240 𝑥+8 +1− 240 𝑥 =0
240∙𝑥+1∙𝑥 𝑥+8 −240∙(𝑥+8) 𝑥∙(𝑥+8) =0
240∙𝑥+1∙𝑥 𝑥+8 −240∙ 𝑥+8 =0
240𝑥+ 𝑥 2 +8𝑥−240𝑥+240∙8=0
𝑥 2 +8𝑥+1920=0
𝐷= 𝑏 2 −4𝑎𝑐= 8 2 −4∙1920=64+7680=7744= 88 2
𝑥 1,2 = −𝑏± 𝐷 2𝑎 = −8±88 2 = −8+88 2 =40 −8−88 2 =−48
ОДЗ:
𝑥∙ 𝑥+8 ≠0
𝑥≠0 или 𝑥≠−8
(посторонний корень)
Если второй рабочий сделает 40 дет., то первый 40+8=48 дет.

Домашнее задание:
П.5.6, 330(б)

Видео:Алгебра 8. Урок 12 - Задачи на составление дробно-рациональных уравнений (Часть 1)Скачать

Решение задач с помощью рациональных уравнений (8-й класс)

Разделы: Математика

Класс: 8

а) обучить умению решать задачи на совместную работу: анализировать исходные данные, намечать пути решения, оценивать результат, создавать математическую модель реальных ситуаций;

б) развивать математические способности, организовывать ситуации для практического применения приемов учебной деятельности: анализ, синтез, аналогия, обобщение, выработка алгоритма – последовательность действий, выполняемых в определенном порядке для достижения искомого результата.

в) воспитывать культуру мышления, логику поведения в процессе решения задач.

1) Введение, постановка цели и задач урока — 2 мин.

2) Математическое обоснование решения задач на работу — 4 мин. (ответы учащихся: заполнение таблицы).

3) Подготовка к усвоению (изучению) нового учебного материала через повторение и актуализацию опорных задач – 7 мин. (фронтальная работа, ответы на вопросы, проблемные ситуации, решение задач).

4) Первичное осмысление – 12 мин. (коллективное решение задачи: на доске и в тетрадях).

5) Закрепление новых знаний – 11 мин. (самостоятельная работа).

6) Информация о домашнем задании, инструкция о выполнении – 1 мин.

7) Подведение итогов урока, составление алгоритма, рефлексия – 3 мин.

1) Вопросы учащимся: Как вы понимаете слово работа?

Процесс превращения одного вида энергии в другой: работа машины, сердца, мысли…
Труд, занятие, деятельность.
Физическая, умственная.
Служба, источник дохода.
Деятельность по созданию чего-либо; обработке чего-либо, сельскохозяйственная работа.

Работать – находиться в действии.

Какие величины характеризуют работу?

Производительность труда (объём, часть работы за единицу времени);

время работы;

объем работы.

2) Заполнить таблицу. Объяснить свой ответ (сформулировать задачу, вопрос задачи, выбор действия)

Процессы

Производительность труда

Время работы

Объём работы

чтение

80 страниц

2 дня

обработка деталей

8 часов

40 деталей

наполнение бассейна

200 литров

600 литров

поедание сена коровой

? (месяц)

3) Устно решить задачи: (указание: если объем работы не указан, то его принимают за 1).

1. Комбайн может обработать поле за 3 часа (за 5 часов, за x часов). Какую часть поля он обработает за 1 час? (рисунок).

2. За 1 час машинистка может напечатать 1/2 (1/3, 1/6) часть рукописи. За сколько часов она напечатает всю рукопись? (рисунок).

3. Одна бригада может выполнить 1/10 часть заказа за 1 час, вторая 1/15 часть заказа за 1 час. Какую часть заказа выполнят обе бригады за 1 час. За сколько часов они вместе могут выполнить весь заказ?

4. Вини-Пух съедает банку меда за 3 часа, а его друг Пятачок за 6 часов. За какое время они съедят такую банку меда, если начнут со своей обычной скоростью есть её вместе?

5. Два тракториста за 1 день совместной работы вспахали 2/3 поля. Первый – 1/2 поля. Какую часть вспахал второй тракторист?

Ответить на вопросы: в чем сходство этих задач? В чем их различие?

1. В рукописи 42 страницы. Одна машинистка перепечатает рукопись за 3ч, а вторая – за 6 ч. За сколько часов машинистки перепечатают рукопись при совместной работе?

2. Через первую трубу бассейн можно наполнить за 3 ч, через вторую – за 6 часов. За сколько часов наполнится бассейн через обе трубы?

(Одинаковая фабула – сюжетная основа, одинаковая постановка вопросов, одинаковый выбор действий, одинаковый план решения; различие – в первой задаче указан объем работы, во второй объем бассейна не указан). То есть в первой задаче есть лишние данные.

Вывод: если объем работы не указан и его не ищут, то объем работы принимают за 1.

Попробуем решить эти задачи, обозначив объем работы буквой Б.

Тогда получим х – время совместной работы, (Фрагмент из работы автора)

х = 2.

4) Решить задачу (коллективно).

№ 614. Один штукатур может выполнить задание на 5 ч быстрее другого. Оба вместе они выполнят это задание за 6 ч. За сколько часов каждый из них выполнит это задание?

Задание: прочитать задачу, ответить на вопросы и заполнить таблицу:

1) О каких процессах идет речь в задаче?

2) Сколько процессов описано в условии задачи?

3) Какими величинами характеризуется каждый процесс, описанный в условии?

4) Заполнить таблицу. (Фрагмент из работы автора)

Процессы

Производительность труда (за 1 час)

Время работы (час)

Объём работы

1 штукатур

2 штукатур

1 и 2 штукатуры вместе

Пусть первый штукатур выполнит задание за х часов, тогда второй – за (х+5) часов. Известно, что работая вместе, они выполнят задание за 6 часов, тогда за 1 час вместе выполнят 1/6 часть задания.

По смыслу задачи , этому условию удовлетворяет значение

То есть первый штукатур выполнит задание за 10 часов, тогда второй за 10 + 5 = 15 (часов).

Ответ: 10 часов, 15 часов.

5) Решить задачу самостоятельно № 631.

Бригада намечала засеять 120 га за определенный срок. Однако, перевыполняя запланированную ежедневную норму на 10 га в день, она сумела закончить сев на 2 дня раньше. Сколько гектаров засевала бригада ежедневно?

Задание: прочитать задачу, ответить на вопросы и заполнить таблицу:

1) О каких процессах идет речь в задаче?

2) Сколько процессов описано в условии задачи?

3) Какими величинами характеризуется каждый процесс, описанный в условии?

4) заполнить таблицу, составить уравнение и решить его.

Процессы

Производительность труда (за 1 день)

Время работы (дни)

Объём работы (га)

По плану

Фактически

Проверить решение по готовому образцу