Задачи на применение уравнения бернулли без учета потерь напора

Практическое занятие № 2 — Решение задач с применением уравнения Д.Бернулли

— уметь применять уравнение Д.Бернулли для решения практических задач;

— по найденным параметрам построить диаграмму уравнения Д.Бернулли.

1 Пример решения задачи

Из отверстия в боковой стенке открытого сосуда по горизонтальной трубе переменного сечения ( см.рис.) вытекает вода. Определить, пренебрегая потерями напора, расход воды Q , а также средние скорости и гидродинамические давления в сечениях трубопроводов 1-1, 2-2, если уровень воды в сосуде постоянный (Н=1м) и di =0, lM ;

Решение. Выбирают плоскость сравнения по оси трубы 0-0 и составляют уравнение Д.Бернулли для сечений а-а и з-з:

(10)

Учитывая, что при постоянном уровне жидкости в сосуде Чя=О, находят среднюю скорость потока в сечении 3-3 и 2-2:

, (11)

= 4

Используя уравнение неразрывности, находят средние скорости в сечении 1-1

, (12)

= 10 м/м

, (13)

= 1,6 м/с

Составляют уравнение Д.Бернулли для сечений 1-1 и 3-3:

0,- 6 +9190/(2-9,&)(4A3 2 — 2 )-59000ITa = 59Kna

Составляют уравнение Д.Бернулли для сечений 2-2 и 3-3 откуда:

(16)

, (17)

Р₂ = 0,1 × 10 6 + 9790/(2 × 9,87) (4,43 2 – 1,6 2 ) = 108700Па = 108,7 кПа

Определяют объемный расход:

, (18)

= 10 × 3,14 × 0,1 2 /4 = 0,0786 м 3 /с.

2 Применяя уравнение Д.Бернулли

Найти параметры характеризующие движение- жидкости.

Из отверстия в боковой стенке сосуда по горизонтальной трубе переменного сечения (см.рис.выше) вытекает вода. Определить расход воды Q , а также средние j скорости и давления в сечениях трубопровода 1-1, 2-2, 3-3, предполагая уровень . воды в сосуде постоянным и пренебрегая гидравлическими сопротивлениями, при _# ; следующих данных: Н=2м, di =7,5 cM , ё₂=25см, ё₃=10см.

3 Контрольные вопросы

— Написать уравнение Д.Бернулли для струйки идеальной жидкости и реального потока.

— Знать физический и энергетический смысл каждого члена уравнения; Д.Бернулли.

— Знать, как строится диаграмма уравнения Д.Бернулли.

Видео:Урок 134. Применения уравнения Бернулли (ч.1)Скачать

Указания к решению задач. Задачи этой темы рассчитаны на применение уравнения Бернулли для реального потока

Задачи этой темы рассчитаны на применение уравнения Бернулли для реального потока жидкости, то есть с учетом гидравлических потерь и коэффициента Кориолиса α.

Коэффициент Кориолиса при ламинарном режиме течения α = 2. Для турбулентных потоков можно принимать α = 1.

Общая схема использования уравнения Бернулли сводится к следующему:

· важно правильно выбрать те два сечения, для которых оно записывается. В качестве сечений рекомендуется брать:

— свободную поверхность жидкости в резервуаре, где υ 0;

— сечение, где присоединен прибор (манометр, пьезометр, вакуумметр);

· намечают горизонтальную плоскость сравнения таким образом, чтобы z₁ или z₂ входящие в уравнение Бернулли, обратилось в нуль;

· сначала уравнение Бернулли записывают в общем виде (3.6) и устанавливают значения отдельных слагаемых с учетом исходных данных, а также исключают из него члены, равные нулю;

· подставляют найденные выражения для отдельных слагаемых в уравнение Бернулли (3.6), производят соответствующие преобразования и решают его относительно искомой величины;

· величина в общем случае складывается из местных потерь, выраженных формулой Вейсбаха (3.12), и потерь напора на трение по длине, определяемых формулой Дарси-Вейсбаха (3.13).

Если в условии задачи не задана величина коэффициента гидравлического трения , то порядок ее определения следующий:

— находят действительное число Рейнольдса по формуле (3.8) и устанавливают режим течения путем сравнения его с критическим, то есть проверяют выполнимость неравенств (3.10) и (3.11);

— устанавливают область гидравлического трения путем проверки выполнимости неравенств (3.16), (3.18) или (3.20), предварительно рассчитав границы областей

(3.25)

и (3.26)

где d – внутренний диаметр потока, м;

– абсолютная (эквивалентная) шероховатость стенок трубы, м. См. Приложение 5;

— вычисляют величину по одной из формул:

при ламинарном режиме – по формуле (3.14),

при турбулентном режиме:

по ф. (3.17) в области гладких труб,

по ф. (3.19) в области смешанного трения,

по ф. (3.21) в квадратичной области сопротивления, по алгоритму, приведенному на рис. 3.2.

Рисунок 3.2 – Алгоритм определения гидравлического

Графически уравнение Бернулли для потока реальной жидкости представляют в виде диаграммы (рис. 3.3). Судя по графику, уравнение Бернулли представляют тремя линиями:

· напорной линией для идеальной жидкости (теоретической напорной линией), параллельной оси оX;

· действительной напорной линией N — N, имеющей падающий характер, ввиду учета всех видов потерь напора вдоль потока;

· пьезометрической линией (р — р), которая в любом сечении ниже действительной напорной линии на величину скоростной высоты ).

Таким образом, перед построением диаграммы производят вычисления всех слагаемых уравнения Бернулли и затем в масштабе делают ее построение.

1-1 и 2-2 – сечения потока, связанные уравнением Бернулли;

0-0 – плоскость сравнения;

а — а, б- б, в-в – характерные сечения, обусловленные местными сопротивлениями,

соответственно: вход в трубу, внезапное расширение и внезапное сужение потока;

N-N – действительная напорная линия; р-р – пьезометрическая линия

Рисунок 3.3 – Диаграмма уравнения Бернулли для потока реальной жидкости

Пример 10

По горизонтальной трубе постоянного сечения длиной 50 м и диаметром 100 мм из открытого резервуара вода вытекает в атмосферу при постоянном напоре Н = 5 м (рис. 3.4).

Определить скорость и расход вытекающей воды, если заданы коэффициенты местных сопротивлений: входа в трубу = 0,5 и крана = 5, а также коэффициент гидравлического трения .

Намечаем на расчетной схеме (рис. 3.4) сечения потока 1-1 и 2-2. Плоскость сравнения 0-0, совмещаем с осью симметрии потока.

Первое сечение совмещено со свободной поверхностью в напорном резервуаре, а второе – с истечением воды в атмосферу.

Записываем уравнение Бернулли для выбранных сечений потока жидкости:

и устанавливаем значения слагаемых, входящих в его левую и правую часть:

так как скорость на свободной поверхности резервуара при Н = const очень мала;

Коэффициент Кориолиса при турбулентном течении маловязкой жидкости (воды) принимаем α = 1,0.

Подставляем найденные выражения для отдельных слагаемых в уравнение Бернулли:

После математических преобразований получили выражение следующего вида:

где неизвестным параметром является скорость истечения воды из трубы .

Решаем полученное выражение относительно искомой величины:

Определяем расход вытекающей из трубопровода воды :

Пример 11

По данным примера 10 построить диаграмму уравнения Бернулли. Кран установлен посредине трубопровода (рис. 3.4).

Находим числовые значения слагаемых уравнения Бернулли с учетом исходных и расчетных данных примера 10:

	– геометрическая высота в сечении 1-1;
	– пьезометрическая высота в сечении 1-1, поскольку избыточное давление на свободной поверхности резервуара равно нулю;
	– скоростная высота в первом сечении равна нулю, что обусловлено малой скоростью движения воды в пределах свободной поверхности;
	– геометрическая высота в сечении 2-2 равна нулю, так как совпали центр тяжести этого сечения с плоскостью сравнения 0-0;
	– пьезометрическая высота во втором сечении равна нулю, поскольку жидкость вытекает в атмосферу;
	– скоростная высота в сечении 2-2:
	– потери напора на трение по всей длине трубопровода. Согласно формулы Дарси-Вейсбаха (3.13) равны: Поскольку кран установлен посредине трубопровода, то потери напора на трение до него и после будут одинаковыми и составлять 0,5 , то есть 1,515 м;
	– потери напора на вход в трубу. Согласно формулы Вейсбаха (3.12) равны:
	– потери напора на кран, определяемые также из формулы Вейсбаха:

Сумма вычисленных потерь напора с учетом скоростной высоты во втором сечении составляет:

то есть равна располагаемому напору

По данным выполненных расчетов строим диаграмму уравнения Бернулли (рис. 3.5).

Пример 12

По чугунному трубопроводу длиной l = 20 м и диаметром d на высоту h = 4,25 м насосом подается вода при = 0,015 м 3 /с (рис. 3.6) и р_вак = 45 кПа.

а – расчетная схема; б – графическое определение скорости

во всасыващей трубе насосной установки

Рисунок 3.6 – К примеру 12

Определить диаметр всасывающей трубы с учетом допускаемой скорости движения воды υ = 0,7…1,2 м/с.

Потерями напора на местные сопротивления пренебречь.

Намечаем на расчетной схеме (рис. 3.6, а) сечения потока 1-1 и 2-2 с одновременным указанием плоскости сравнения 0-0. В данном случае она совмещена с сечением 1-1, то есть свободной поверхностью, где р = р_ат.

Записываем уравнение Бернулли для выбранных сечений потока:

и устанавливаем значение слагаемых с учетом места положений сечений и плоскости сравнения.

Здесь принимаем коэффициент Кориолиса α₂ 1,0.

Подставляем полученные выражения слагаемых в уравнение Бернулли:

где ρ – плотность воды при температуре 10ºС, ρ = 1005 кг/м 3 ;
·	располагаемый напор
·	расчетный напор

Тогда с учетом введенных обозначений уравнение Бернулли принимает следующий вид:

то есть получено выражение, в котором неизвестны три параметра, в том числе:

· коэффициент гидравлического трения λ;

· диаметр всасывающей трубы d;

· средняя скорость течения воды υ.

Поэтому для решения задачи рекомендуется метод последовательного приближения, суть которого сводится к следующему:

· произвольно задаются рядом значений одного из вышеперечисленных неизвестных параметров. В данном случае, например скоростью υ в диапазоне допустимых скоростей 0,7…1,2 м/с;

· затем с учетом принятых значений υ вычисляют значения других неизвестных параметров, то есть диаметра всасывающей трубы d и коэффициента гидравлического трения λ;

· полученные расчетные данные позволяют определить ряд значений расчетного напора и построить график зависимости Н₁ = f(υ), (см. рис. 3.6, б);

· на этот же график наносят значение располагаемого напора Н_р = const в виде прямой линии, параллельной оси O_X;

· значение скорости, соответствующее точке пересечения графиков Н_р = const и Н₁ = f(υ), является решением задачи.

Результаты вычислений сводят в таблицу.

Расчетные параметры	Результаты расчетов
Задается υ, м/с	0,7	0,8	0,9	1,0	1,1	1,2
Диаметр d = м	0,19	0,17	0,16	0,156	0,15	0,14
Число Рейнольдса Re = υ · d/ v
Коэффициент гидравлического трения	0,031	0,0311	0,0315	0,0318	0,032	0,0325
Расчетный напор , м	0,11	0,15	0,2	0,26	0,325	0,415

В данном примере пересечение графиков имеет место при υ = 1,08 м/с. Полученное значение υ дает возможность ответить на главный вопрос задачи, то есть найти значение внутреннего диаметра всасывающей трубы d:

В соответствии с ГОСТ 3262-75 (Приложение 8)принимаем стандартное значение диаметра трубы d = 150 мм.

Задача 51 (рис.3.7). Всасывающий трубопровод насоса имеет длину ℓ и диаметр d. Высота всасывания насоса h при расходе . Определить абсолютное давление р перед входом в насос. Коэффициенты местных сопротивлений: приёмный клапан с сеткой ζ₁, плавный поворот ζ₂ и вентиль ζ ₃ см. в Приложении 6 – труба стальная бесшовная новая. Исходные данные к задаче приведены в табл. 51.

Исходные данные	Единицы измерения	Значение для вариантов
	л/мин
ℓ	м
d	мм
ρ	кг/м 3
υ	см 2 /с	0,1	0,3	0,5	0,1	0,3
h	м	0,8	0,7	0,6	0,75	0,65

Задача 52 (рис.3.7). По условиям предыдущей задачи определить предельную максимальную высоту установки насоса над водоисточником, если задан максимально допустимый вакуум перед входом в насос р_вак. Трубу считать гидравлически гладкой. Коэффициенты местных сопротивлений: приёмный клапан с сеткой ζ₁, плавный поворот ζ₂ и вентиль ζ ₃ см. в Приложении 6. Исходные данные к задаче приведены в табл. 52.

Исходные данные	Единицы измерения	Значение для вариантов
	л/с
ℓ	м
d	мм
υ	см 2 /с	0,01	0,0083	0,0094	0,0086	0,0106
рвак	кПа

Задача 53 (рис.3.7). Определить минимально возможный диаметр всасывающего трубопровода, если заданы: подача насоса ; высота над водоисточником h;длина трубопровода ℓ;шероховатость трубы Δ и максимально допустимый вакуум перед входом в насос р_вак. Задачу решить методом последовательного приближения, задавшись скоростью потока u= 0,9…1,8 м/с. Коэффициенты местных сопротивлений: приёмный клапан с сеткой ζ₁,плавный поворот ζ₂и вентиль ζ ₃см. в Приложении 6. Исходные данные к задаче приведены в табл. 53.

Исходные данные	Единицы измерения	Значение для вариантов
·10 3	м 3 /с	3,5	4,75	6,3	4,8	2,8
h	м	3,2	3,6	4,1	5,4	4,8
ℓ	м	7,5	12,5
Δ	мм	0,015	0,03	0,05	0,1	0,05
рвак	кПА
υ	см 2 /с	0,0131	0,0124	0,0117	0,0112	0,01

Задача 54 (рис.3.8). Вода из верхнего резервуара подается в нижний резервуар по стальному новому трубопроводу диаметром d и длиной ℓ, имеющему два резких поворота на углы β₁ и β₂. Разность уровней в резервуарах H, температура воды t. Определить расход воды в трубопроводе.

Задачу решить методом последовательного приближения, задаваясь скоростью жидкости 2…4 м/с.

Коэффициенты местных сопротивлений: приёмный клапан с сеткой ζ₁, резкие повороты ζ₂ и ζ ₃ см. в Приложении 6. Исходные данные к задаче приведены в табл. 54.

Задача 55 (рис.3.8). Определить внутренний диаметр d сифона, предназначенного для переброски воды из верхнего резервуара в нижний при постоянной разности уровней H и расходе . Температура воды t. Значения коэффициентов местных сопротивлений: приёмный клапан с сеткой ζ₁, резкие повороты ζ₂ и ζ ₃ см. в Приложении 6.

Задачу решить методом последовательного приближения, задаваясь диаметром сифона d=50…60 мм. Исходные данные к задаче приведены в табл. 55.

Исходные данные	Единицы измерения	Значение для вариантов
H	м	2,5	4,9
	л/с
ℓ	м
t	°С
β1	…°
β2	…°
Δ	мм	0,4	0,05	0,2	0,05	0,1

Задача 56(рис.3.9). Насос подает воду на высоту h по трубопроводу диаметром d и длиной ℓ, на котором имеются вентиль с прямым затвором, два резких поворота на углы β₁ и β₂ при расходе . Давление в конце трубопровода р₂, температура воды t. Определить давление р₁ на выходе из насоса. Трубопровод считать гидравлически гладким. Коэффициенты местных сопротивлений: кран проходной ζ _кр, и два поворота без скругления ζ _пов1, ζ _пов2 см. в Приложении 6. Исходные данные к задаче приведены в табл. 56.

Исходные данные	Единицы измерения	Значение для вариантов
	л/с	2,5	5,0	9,0	8,0
h	м
d	мм
ℓ	м
р2	кПа
t	°С
β1	…°
β2	…°

Задача 57 (рис.3.10). Из резервуара А жидкость выливается в резервуар В по трубе диаметром d, в конце которой имеется пробковый кран с сопротивлением ζ ₂ = 0,5. Определить, за какое время заполнится резервуар В объемом V.

Задачу решить методом последовательного приближения, задаваясь λ= 0,04…0,15. Коэффициент поворота без скругления ζ₁ принять равным 1,19. Исходные данные к задаче приведены в табл. 57.

Задача 58 (рис.3.11). Определить расход воды в трубопроводе постоянного сечения диаметром d и длиной ℓ, если выходное отверстие трубопровода расположено ниже входного отверстия на величину Ζ. Напор над центром тяжести поддерживается постоянным и равным H. Коэффициенты местных сопротивлений и гидравлического трения приведены в табл. 58. Построить пьезометрическую и напорную линии.

Задача 59 (рис.3.11). Определить постоянный напор H над центром тяжести трубопровода длиной ℓ и диаметром d, присоединенного к открытому резервуару. Вода вытекает в атмосферу при расходе . Построить пьезометрическую и напорную линии. Исходные данные к задаче приведены в табл. 59.

Исходные данные	Единицы измерения	Значение для вариантов
ℓ	м
d	мм
z	м	1,5	3,0	3,5	4,0	4,5
ζвх	0,6	0,5	0,4	0,45	0,55	0,6
ζкр	4,5	5,5
λ,10 -3
	л/с

Задача 60 (рис.3.11). Определить диаметр гидравлически короткого трубопровода, по которому вода вытекает из открытого напорного резервуара в атмосферу. Напор над центром тяжести трубопровода поддерживается постоянным. Задачу решить методом последовательного приближения, задавшись диаметром трубы 50…75 мм. Построить пьезометрическую и напорную линии. Исходные данные к задаче приведены в табл. 60.

Исходные данные	Единицы измерения	Значение для вариантов
	л/с	5,5	6,5
ℓ	м
z	м	1,5	2,5	3,5
λ	0,025	0,027	0,029	0,031	0,033	0,035
ζкр	0,4	0,5	0,4	0,5	0,4	0,5
ζвх
H	м	0,7	2,35	3,5	7,0	6,9

Задача 61 (рис.3.12). Из закрытого резервуара А, на свободной поверхности которого действует избыточное давление р_м, вода нагнетается по вертикальному трубопроводу постоянного сечения диаметром d и длиной ℓ в резервуар В.

1. Скорость, с которой вода движется по нагнетательному трубопроводу, если заданы коэффициенты местных сопротивлений: входа в трубу ζ_вх, вентиля ζ_вент и колена с закруглением ζ_кол.

2. Расход воды в трубопроводе .

Задачу решить методом последовательного приближения, задавшись ориентировочно значением скорости движения υ = 5…8 м/с. Абсолютную шероховатость стенок трубопровода принять равной Δ = 0,6 мм. Исходные данные к задаче приведены в табл. 61.

Задача 62 (рис.3.13). Для автоматической перекачки воды из верхнего водоема в нижний установлена сифонная труба длиной ℓ и диаметром d. Определить расход и вакуум в сечении а-а, если разность уровней верхнего и нижнего водоема H. Длина сифона до сечения а-а равна ℓ₁. Горизонтальный участок сифона расположен над уровнем воды верхнего водоема на высоте h. Коэффициент трения определить по зависимости квадратичной области турбулентного режима, приняв абсолютную шероховатость стенок Δ. Коэффициенты местных сопротивлений и исходные данные к задаче приведены в табл. 62.

Задача 63 (рис.3.14). Вода из резервуара по короткому трубопроводу вытекает в атмосферу через сопло. Диаметр сопла d_c = 0,5d. Температура воды t°C. Истечение происходит при постоянном напоре над центром тяжести потока Н.

1. Скорость истечения из сопла υ, если заданы коэффициенты местных сопротивлений ζ_вх и ζ_кр;

2. Расход в трубопроводе .

Задачу решить методом последовательного приближения, для чего следует задаться ориентировочным значением скорости в трубопроводе υ = 1…2 м/с. Коэффициент сопротивления сопла принять соизмеримым с коэффициентом внезапного сужения потока.

Исходные данные к задаче приведены в табл. 63.

Задача 64 (рис.3.12). Из резервуара А, на свободной поверхности которого избыточное давление р_м, вытекает вода по короткому трубопроводу и заполняет резервуар В водой. Определить время заполнения водой резервуара В объемом V и расход , если заданы размеры трубопровода ℓ и d, а также коэффициенты местных сопротивлений ζ_вх и ζ_кол. Температура воды t o C. Задачу решить методом последовательного приближения, задавшись ориентировочно значением скорости движения воды в трубопроводе υ = 5…8 м/с при эквивалентной шероховатости его стенок Δ=0,1мм. Исходные данные к задаче приведены в табл. 64.

Задача 65 (рис.3.15). Насос нагнетает воду с расходом . Длина всасывающей трубы ℓ, диаметр трубы d. Определить предельную высоту всасывания h, если известны допустимая вакуумметрическая высота, а также коэффициенты местных сопротивлений (клапан с сеткой и плавный поворот). Труба стальная бесшовная после нескольких лет эксплуатации. Исходные данные к задаче приведены в табл. 65.

Исходные данные	Единицы измерения	Значение для вариантов
	л/с	1,5	4,2	19,4
ℓ	м	9,5
d	мм
ζсетка
ζпов	0,76	0,38	0,39	0,58	0,37	0,37
h доп вак	м	4,5	5,0	6,5	6,0	6,5	6,0
t	о С

Задача 66 (рис.3.16). Определить диаметр трубопровода, присоединенного к напорному резервуару. По трубе вода вытекает в атмосферу. Напор над центром тяжести потока поддерживается постоянным и равным Н. На трубопроводе имеются местные сопротивления ζ_вх и ζ_задв. Построить пьезометрическую и напорную линии. Задачу решить методом последовательного приближения, задавшись ориентировочно значением диаметра трубопровода в диапазоне 40…55 мм. Исходные данные к задаче приведены в табл. 66.

Исходные данные	Единицы измерения	Значение для вариантов
H	м	3,5
ℓ	м
	л/с	2,5	3,5	4,5
ζвх	0,55	0,5	0,4	0,35	0,55	0,5
ζзадв	2,5
λ	0,017	0,021	0,019	0,023	0,02	0,018

Задача 67 (рис.3.17). В баке А жидкость подогревается до определенной температуры t o C и самотеком по трубопроводу длиной ℓ попадает в кормоцех. Напор в баке равен Н. Каким должен быть диаметр трубопровода, чтобы обеспечивать расход при манометрическом давлении в конце трубопровода не ниже р_м? Построить пьезометрическую и напорную линии. Задачу решить методом последовательного приближения, задавшись ориентировочно значением диаметра трубопровода в диапазоне 35…55 мм. Коэффициент λ находить из формулы Пуазейля при Rе 2300. Исходные данные к задаче приведены в табл. 67.

Видео:Уравнение Бернулли гидравликаСкачать

Гидравлика задачи с решением

Видео:Урок 133. Закон Бернулли. Уравнение БернуллиСкачать

Гидравлика

Гидравлика — это наука, изучающая законы равновесия и движения жидкостей и газов, в том числе паров жидкости, то есть воды. Если строго следовать научно-техническим канонам, то гидравлика, в отличие от теоретической гидромеханики, управляет сложным и строгим математическим аппаратом («Механика жидкостей и газов»), прежде всего, является технической наукой, главной задачей которой является решение проблем на практике. По этой причине разработка практических методов расчета в гидравлике очень часто предполагает использование различных предположений и допущений, во многих случаях ограничиваясь одномерными потоками в стационарных режимах. Во многих случаях используются результаты экспериментальных данных, которые после соответствующей математической обработки используются в качестве математических уравнений для решения целого ряда аналогичных задач.

Основные физические свойства жидкостей и газов

Указания к решению задач:

Основными физическими характеристиками жидкости являются плотность, вязкость, сжимаемость, температурное расширение, испаряемость. Характеристики определяются с помощью следующих формул:

динамическая вязкость где — коэффициент динамической вязкости [Па с];

сжимаемость характеризуется модулем объемной упругости [МПа], входящим в обобщенный закон Гука. Знак минус обусловлен тем, что при увеличении давления объем жидкости уменьшается;

определяется соответствующим коэффициентом, равным относительному изменению объема, при изменении температуры на 1 °С;

испаряемость Жидкости испаряются при любой температуре при наличии свободного объема. Испарение происходит с поверхности, причем тех молекул, которые имеют повышенную в 5-10 раз энергию по сравнению со средней. С повышением внешнего давления температура кипения увеличивается, а с понижением (вакуум) — уменьшается. Зависимость давления насыщенного пара от температуры выражается уравнением Клаузиуса-Клапейрона

где — мольная энтальпия испарения (кДж/моль); — мольное изменение объема в процессе испарения, равное .

При испарении жидкости резко изменяется объем паровой фазы по сравнению с жидкой, поэтому объемом жидкости в уравнении можно пренебречь, тогда

С учетом уравнения Менделеева-Клапейрона

Интегрировав данное выражение получим формулу Клазиуса-Клапейрона

Возможно эта страница вам будет полезна:

Задача №1.2

Определить плотности воды и нефти при , если известно, что 10 л воды при 4 °С имеют массу кг, а масса того же объема нефти равна кг.

Решение:

плотность воды при заданных условиях:

а плотность нефти:

Видео:Закон БернуллиСкачать

Гидростатика

Гидростатика — это раздел физики непрерывных сред, изучающий равновесие жидкостей, особенно в области гравитации.

Гидростатика — это теория поведения неподвижных жидкостей. Прежде всего, полезно сравнить гидростатику с теорией упругости, в которой изучается равновесие твердых тел.

Указания к решению задач:

Гидростатика — это раздел гидравлики, изучающий покоящиеся жидкости. Она изучает законы равновесия жидкости и распределение в ней давления. Основные величины, используемые в гидростатике -это давление и напор .

Гидростатическим давлением , называется сила, действующая на единицу площадки по нормали к поверхности

Гидростатическое давление жидкости складывается из давления на ее свободную поверхность и давления столба жидкости, высота которого м, равна расстоянию от этой точки до свободной поверхности:

где — плотность жидкости, — ускорение свободного падения, .

Гидростатическое давление называют абсолютным , а величина — избыточным давлением (если на свободную поверхность жидкости действует атмосферное давление):

где — атмосферное давление; — пьезометрическая высота (или глубина погружения точки).

Вакуумметрическое давление, или вакуум, — недостаток давления до атмосферного, т.е. разность между атмосферным или барометрическим и абсолютным давлением:

Полная сила, действующая на плоскую стенку равна произведению смоченной площади стенки , на гидростатическое давление в ее центре тяжести:

где — глубина погружения центра тяжести, м.

Полная сила, действующая на цилиндрическую поверхность:

где — горизонтальная составляющая, равная силе давления жидкости на вертикальную проекцию цилиндрической поверхности, :

— вертикальная составляющая силы давления , равная силе тяжести, действующей в объеме тела :

Направление полной силы давления определяется:

На любое тело, погруженное в жидкость, действует выталкивающая сила, равная весу жидкости, вытесненной телом (закон Архимеда):

где — выталкивающая (архимедова) сила, — плотность жидкости, — ускорение свободного падения, — объем погруженной части тела, .

Возможно эта страница вам будет полезна:

Задача №2.1

Определить полное гидростатическое и манометрическое давление на дне сосуда, наполненного водой. Сосуд сверху открыт, давление на свободной поверхности атмосферное. Глубина воды в сосуде удельный вес воды составляет , а атмосферное давление .

Решение:

1) Определим полное гидростатическое давление в точке:

2) Манометрическое давление на дне сосуда определяется как разность между полным гидростатическим и атмосферным давлениями:

Применение уравнения Бернулли

Основным объектом изучения гидродинамики является поток жидкости. Различают объемный расход и массовый расход , кг/с, жидкости, которые связаны соотношением

где — плотность жидкости, .

Скорость потока определяется как объемный расход вещества через единицу площади сечения потока, :

Отсюда следует, что скорости обратно пропорциональны площадям поперечного сечения потоков:

При установившемся движении через любое поперечное сечение потока в единицу времени проходит одно и то же количество жидкости (уравнение неразрывности потока):

Основным уравнением гидравлики, определяющим связь между давлением и скоростью в движущемся потоке идеальной жидкости, является уравнение Берну или, все члены которого имеют размерность длины и измеряются высотой столба жидкости:

где — геометрический напор, высота положения частицы над плоскостью отсчета, м;

— пьезометрический напор, м;

— статический напор, представляющий собой полный запас потенциальной энергии 1 кг жидкости, м;

— скоростной напор, представляющий собой удельную кинетическую энергию 1 кг жидкости, м;

— полный напор, или полная удельная энергия жидкости в сечении.

Физически уравнение Бернулли есть математическая запись закона сохранения и превращения энергии применительно к движущейся жидкости. Из уравнения следует, что если на участке потока уменьшается скорость (кинетическая энергия), то на этом участке должно возрастать давление (потенциальная энергия).

Если энергию жидкости отнести к единице ее объема, то члены уравнения Бернулли будут иметь размерность давления, а само уравнение примет вид, которым также часто пользуются:

Если же энергию жидкости отнести к единице массы, можно получить 3-ю формулу записи уравнения:

Для потока реальной (вязкой) жидкости уравнение Бернулли запишем в следующем виде:

где — потеря напора (удельной энергии); а,, а2 — коэффициент Кориолиса. Он показывает разницу между величинами удельных кинетических энергий при турбулентном движении принимает значения от 1,05 до 1,10; при прямолинейном ламинарном движении в трубах .

Указания к решению задач:

Часть задач раздела рассчитана на применение уравнения Бернулли для идеальной жидкости, без учета гидравлических потерь. Другая часть задач решается с помощью уравнений Бернулли для потока реальной жидкости.

При применении уравнения Бернулли важно правильно выбрать два сечения, для которых оно записывается.

В качестве сечений рекомендуется выбирать:

• свободную поверхность жидкости в резервуаре );
• выход в атмосферу ;
• сечение, где установлен манометр, пьезометр или вакуумметр;
• неподвижный воздух на достаточном удалении от трубы всасывания из атмосферы.

Уравнение Бернулли рекомендуется вначале записывать в общем виде, а затем произвести замену его членов заданными параметрами. Члены уравнения Бернулли записываются по потоку жидкости, геометрическая высота отсчитывается от произвольной плоскости вверх. Суммарная потеря напора всегда записывается в правой части с положительным знаком.

В случае подвода жидкости к резервуару, считается, что теряется вся кинетическая энергия жидкости. Коэффициент Кориолиса « учитывается в случае ламинарного режима.

Возможно эта страница вам будет полезна:

Задача №3.1

Определить расход в водопроводной трубе, если средняя скорость м/с, а диаметр трубы мм.

Решение:

Гидравлические сопротивления

Указания к решению задач:

Общие потери напора условно считают равными сумме потерь напора, вызываемых каждым сопротивлением:

где — сумма потерь напора по длине; — сумма всех местных сопротивлений.

Местные потери определяются по формуле Вейсбаха:

где — безразмерный коэффициент местного сопротивления.

Числовое значение определяется формой местного сопротивления и его геометрическими параметрами.

Иногда на него влияет число Рейнольдса. Которое для труб диаметром выражается формулой:

— кинематическая вязкость.

При значениях > 2300 — течение жидкости турбулентное, при меньших значения — ламинарное.

При турбулентном режиме, в случае внезапного расширения потери напора определяются формулой Борда:

— скорости в сечениях до и после расширения трубы соответственно; — коэффициент сопротивления, равный для данного случая

— площади сечения труб до и после внезапного расширения. При внезапном сужении трубы без закругления коэффициент сопротивления определяют по формуле Идельчика:

— площади сечения труб до и после сужения.

Для других местных сопротивлений коэффициенты находят в справочниках.

Для определения потерь давления на местных сопротивлениях выражение (4.2) приобретает вид:

Потери напора на трение по длине определяются общей формулой Дарси-Вейсбаха:

где — безразмерный коэффициент сопротивления трения (коэффициент Дарси), определяется в зависимости от режима течения.

Потери давления на трение по длине находят по следующей формуле

При ламинарном течении

При турбулентном режиме, если

для переходных труб, по формуле Альштуля,

коэффициент при турбулентном режиме зависит от соотношения диаметра к шероховатости труб (табл. 4.1) при определенном режиме течения жидкости ().

Для гладких труб, по формуле Блазиуса, если

Для гладких труб, по формуле Никурадзе, если

Для области шероховатых труб, по формуле Шифринсона, если

Местные потери в трубах при малых числах Рейнольдса зависят не только от геометрических характеристик сопротивления [1], но и от числа Рейнольдса и могут быть при ориентировочных расчетах найдены по формуле Альтшуля:

— значение коэффициента местного сопротивления в квадратичной области;

— число Рейнольдса, отнесенное к нестесненному сечению трубопровода.

Возможно эта страница вам будет полезна:

Задача №4.1

Применяемые в водоснабжении и канализации трубы имеют минимальный диаметр = 0,012 м, максимальный диаметр составляет = 3,5 м. Расчетные скорости движения воды в них составляют = 0,5-4 м/с. Определить минимальное и максимальное значения числа Рейнольдса и режим течения воды в этих системах.

Решение:

Температура воды в системах водоснабжения и канализации изменяется в пределах от 0 °С до 30 °С, кинематические вязкости по таблицам [1] составляют

1) Определим минимальное число Рейнольдса:

2) Определим максимальное число Рейнольдса:

Задачи на гидравлический расчет трубопроводов

Трубопроводы — это система напорных труб, предназначенных для перемещения разнообразных жидкостей и газов [20].

В гидравлике при расчете трубопроводов их подразделяют на короткие и длинные. К первым относятся все трубопроводы, в которых местные потери напора превышают 5-10 % потерь напора по длине. При расчетах таких трубопроводов обязательно учитывают потери напора в местных сопротивлениях. Ко вторым относятся трубопроводы, в которых местные потери менее 5-10% потерь напора по длине. Их расчет ведется без учета местных потерь. Длинные трубопроводы можно разделить на простые и сложные.

Простыми трубопроводами называются последовательно соединенные трубопроводы одного или различных сечений, не имеющих никаких ответвлений.

К сложным трубопроводам относятся системы труб с одним или несколькими ответвлениями, параллельными ветвями, кольцевые и т.д.

Жидкость движется по трубопроводу благодаря тому, что ее энергия в начале трубопровода больше, чем в конце. Запас энергии должен быть создан работой насоса, давлением газа или за счет разности уровней жидкости.

Указания к решению задач:

Основными расчетными формулами для простого напорного трубопровода являются: уравнение Бернулли, уравнение постоянства расход, а также зависимости для определения потерь напора на трение по длине и в местных сопротивлениях [4, 21].

Если в трубопроводе необходимо обеспечить расход жидкости , то потребный для этого напор , т.е. пьезометрическая высота в начальном сечении , определяется по формуле:

где — статический напор, включающий геометрическую высоту , на которую надо поднять жидкость в процессе движения жидкости по трубопроводу;

— пьезометрическая высота в конечном сечении.

Потери напора выражают через расход , и тогда формула (5.1) принимает вид

где — величина, называемая сопротивлением трубопровода; -показатель степени в зависимости от режима течения, = 1 при ламинарном течении и = 2- при турбулентном режиме.

Для ламинарного течения при замене местных сопротивлений эквивалентными длинами сопротивление трубопровода равно

Для турбулентного режима течения жидкости в квадратичной области, используя формулу Вейсбаха-Дарси, и выражая в ней скорость через расход, получаем

Формулы (5.2), дополненная выражениями (5.3) и (5.4), является основной для расчета простых трубопроводов [4, 21].

Если трубопровод лежит в горизонтальной плоскости, а противодавление отсутствует, то Формула (5.2) принимает следующий вид:

Выражение (5.5) называется гидравлической характеристикой трубопровода, которая показывает зависимость суммарной потери напора (или давления) в трубопроводе от расхода.

При ламинарном режиме течения гидравлическая характеристика представляет собой прямую линию, а при турбулентном в квадратичной области — параболу второй степени [20].

Задачи по расчету простого трубопровода можно разбить на три типа:

Тип 1. Известны: расход жидкости в трубопроводе, его геометрические размеры ; эквивалентная шероховатость труб ; давление в конечном сечении (для всасывающих трубопроводов — в начальном) и свойства жидкости . Местные сопротивления либо заданы коэффициентами или эквивалентными длинами , либо оцениваются по справочным данным [4]. Требуется определить потребный напор .

По известным значениям и определяются и .

При ламинарном режиме искомый напор находится по формулам (5.2) и (5.3).

При турбулентном режиме задача решается с помощью формул (5.2) и (5.4). Определение зоны сопротивления производится с помощью формул Блазиуса или Альтшуля, в зависимости от шероховатости труб.

Тип 2. Известны: напор в начальном сечении (располагаемый напор ) и все параметры, перечисленные в первом типе задач, за исключением расхода. Требуется определить расход жидкости .

Расчет начинается с предположения о режиме течения жидкости. Так при течении маловязких жидкостей (воды, бензина, керосина и т.п.) целесообразно принимать режим течения турбулентным, при течении вязких жидкостей (масла, нефти и т.п.) — ламинарный.

При ламинарном режиме течения задача решается с помощью формул (5.2) и (5.3).

При турбулентном режиме в уравнениях (5.2) и (5.4) содержатся две неизвестные и , зависящие от числа Рейнольдса. Поэтому для решения задачи рекомендуется метод последовательных приближений. Для этого в первом приближении следует задаться коэффициентом , или если известна шероховатость , определить его по формуле Альтшуля при . Выбрав начальное значение необходимо решить задачу по принципу решения задач 1-го типа. По полученным данным следует заново найти и повторить все вычисления, приближаясь к истинному результату [4].

Вторым вариантом решения задачи является графоаналитический метод. Для этого необходимо построить гидравлическую характеристику трубопровода , после чего можно определить связь между располагаемым напором и расходом жидкости .

Гидравлическая характеристика трубопровода строится по данным расчета потерь напора при различных величинах расхода, т.е. решения задачи 1-го типа.

По известной величине напора графически определяется величина расхода жидкости .

Тип 3. Известны следующие данные: расход жидкости в трубопроводе, длина трубопровода , располагаемый напор эквивалентная шероховатость труб свойства жидкости . Требуется определить диаметр трубопровода .

Задачу рекомендуется решать графоаналитическим способом (рис. 5.2), путем построения кривой взаимосвязи между потребным напором и диаметром трубопровода . По отдельным значениям диаметра трубопровода определяется коэффициентом гидравлического трения и потребный напор . По этим данным и строится кривая . По известной величине напора и кривой определяется величина диаметра .

В конечном итоге принимается ближайший стандартный диаметр.

Расчет последовательно соединенного трубопровода

Последовательным называется такое соединение трубопроводов, при котором жидкость протекает по простым трубопроводам разного диаметра, последовательно соединенных в одну нитку (рис. 5.3). По всем участкам трубопровода протекает одинаковый расход жидкости .

Потери напора в таком трубопроводе равны сумме всех местных потерь и потерь по длине:

где — количество соединенных участков трубопровода.

Если известны характеристики каждого участка трубопровода, то по ним можно построить характеристику всего последовательного соединения . Для этого нужно сложить ординаты всех трех кривых.

Возможно эта страница вам будет полезна:

Задача на гидравлический расчет сложного напорного трубопровода

Сложный трубопровод обычно состоит из простых трубопроводов, которые соединены параллельно, либо имеет разветвления. Параллельным называется соединение трубопроводов, при котором жидкость, подходя к точке разветвления, течет по ответвлениям и далее снова сливается в один трубопровод, т.е. параллельно соединенные трубопроводы имеют общую точку разветвления и общий узел соединения (рис. 5.4).

Расход жидкости в основной магистрали равен сумме расходов в параллельных трубопроводах, а потери напора равны между собой:

где — расход в точке разветвления и в точке соединения.

Потери напора можно выразить через соответствующие расходы:

где и -зависят от режима течения жидкости (5.3) и (5.4).

Для построения характеристики параллельного соединения нескольких трубопроводов следует сложить расходы характеристик этих трубопроводов при одинаковых ординатах (рис. 5.4, б).

Разветвленным соединением называется совокупность нескольких простых трубопроводов, имеющих одно общее сечение — место разветвления (или смыкания) труб (рис. 5.5).

Алгоритм расчета разветвленного трубопровода включает следующие действия:

1) разбить сложный трубопровод на ряд простых;

2) рассчитать и построить кривые потребных напоров для каждого из простых трубопроводов;

3) провести графическое сложение параллельных участков;

4) провести графическое сложение последовательных участков.

ВНИМАНИЕ: при расчете разветвленного трубопровода необходимо идти от конечных точек к его начальной точке, т.е. против течения.

Приведем расчет разветвленного трубопровода (рис. 5.5). Трубопровод разветвляется в точке на два трубопровода и . При заданных геометрических размерах трубопроводов , геометрических отметках характерных точек и давлениях в начальной точке , и в конечных точках и , определим полный расход жидкости в трубопроводе и расходы в отдельных его ветвях и

Величины пьезометрических напоров в точках составят:

Для решения задачи составим систему уравнений, связывающих искомые расходы и потери напора на отдельных участках [21]:

Представим три верхних уравнения системы (5.9), в виде системы уравнений пьезометрических напоров для трубопроводов и :

По уравнениям (5.10) строятся графические зависимости пьезометрического напора в узле от расхода для всех трубопроводов (рис. 5.5, б).

Зависимость суммарного расхода (уравнение 4 в системе (5.9)) в трубопроводах и от напора (кривая 2+5) строится сложением абсцисс кривых 2 и 3.

Значение напора при котором суммарный расход в трубопроводах 2 и 3 равен расходу в трубопроводе 1, и является искомым. Поэтому координаты точки пересечения кривых (2+3) и 1 определяют решение задачи: ее абсцисса равна полному расходу , а ордината напору . Абсциссы точек и равны расходам и [21].

Теория из учебников и готовые задачи на продажу тут.

Задача на расчет трубопровода с насосной подачей жидкости

Основными понятиями для расчета таких трубопроводов являют-

• объемная подача насоса (подача ) — это объем жидкости, подаваемый насосом в единицу времени, т.е. объемный расход на выходе из насоса, ;
• напором насоса называется механическая энергия, сообщаемая насосом единице веса перемещаемой жидкости, или разность удельных энергий жидкости на выходе и входе насоса, м;
• мощность насоса (потребляемая) — это энергия, подводимая к насосу от двигателя за единицу времени, Вт;
• мощность насоса (полезная) — это энергия, сообщаемая насосом за единицу времени протекающей через него жидкости весом полезную мощность можно выразить:

— давление, развиваемое насосом.

Мощность насоса превышает полезную мощность на величину потерь насоса, которые оцениваются КПД насоса :

• характеристика насоса — графическое изображение зависимостей напора насоса (или давления ), мощности и КПД от подачи насоса при постоянной частоте вращения;
• разомкнутый трубопровод с насосной подачей — это трубопровод, по которому жидкость перекачивается из одного места в другое;
• замкнутый (кольцевой) трубопровод с насосной подачей — это трубопровод, в котором циркулирует одно и тоже количество жидкости.

Рассмотрим решение задачи по расчету потребного напора разомкнутого трубопровода и построению на одном графике рабочей характеристики насоса и характеристики насосной установки.

Точка пересечения этих характеристик называется рабочей точкой.

1) Запишем уравнение Бернулли для потока жидкости во всасывающем трубопроводе для сечений 1-1 и 2-2 относительно плоскости сравнения 0-0, совпадающей с горизонтальной осыо насоса (рис. 5.6):

где — потери во всасывающем трубопроводе; — скорости жидкости в сечениях 1-1 и 2-2.

Удельная энергия перед входом в насос составит:

2) Запишем уравнение Бернулли для потока жидкости в нагнетательном трубопроводе для сечений 3-3 и 4-4 относительно плоскости сравнения 0-0, совпадающей с горизонтальной осыо насоса:

где — потери в нагнетательном трубопроводе; — скорости жидкости в сечениях 3-3 и 4-4; левая часть уравнения является удельной энергией потока жидкости на выходе из насоса.

Так как скоростные напоры жидкости в баках и очень малы, следовательно ими можно пренебречь, в результате можно выразить напор насоса как разность удельных энергий потока рабочей жидкости на выходе и входе в насос:

где — суммарные потери в трубопроводе; — полная высота подъема жидкости, называется геометрическим напором.

Обозначив через статический напор слагаемые уравнения

получим следующее выражение:

Таким образом, при установившемся режиме работы насоса его напор равен потребному напору системы р:

На полученном равенстве основан метод расчета трубопроводов, питаемых насосом, который заключается в построении на одном графике рабочей характеристики насоса и характеристики насосной установки

Точка пересечения этих характеристик называется рабочей точкой, в которой справедливо равенство (5.19).

В случае замкнутого трубопровода (рис. 5.8) геометрическая высота подъема жидкости равна нулю (геометрический напор = 0).

Следовательно, при значениях получаем потребный напор:

то есть, между потребным напором и напором, развиваемым насосом выполняется равенство (5.19).

Эти страницы вам могут пригодиться:

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института

📹 Видео

Теория вероятностей #8: формула Бернулли и примеры ее использования при решении задачСкачать

Применение уравнения Бернулли | Без комментариевСкачать

10. Уравнения БернуллиСкачать

Математика без Ху!ни. Теория вероятностей. Схема БернуллиСкачать

Закон БернуллиСкачать

Уравнение Бернулли. Практическая часть. 10 класс.Скачать

Уравнение Бернулли. Диаграмма Бернулли.Скачать

Дифференциальные уравнения, 5 урок, Уравнение БернуллиСкачать

Уравнение Бернулли Метод БернуллиСкачать

Расчет водоснабжения и отопления с уравнением БернуллиСкачать

Уравнение Бернулли и его приложения | Гидродинамика, ГидравликаСкачать

ЛР3 Уравнение БернуллиСкачать

Уравнение БернуллиСкачать

Уравнение Бернулли для потока жидкостиСкачать

Определение расхода жидкости по перепаду напора на местном сопротивленииСкачать

7. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Метод Бернулли.Скачать