Задача неймана для уравнения теплопроводности

Видео:Лекция №1.1 Явная и неявная схемы для уравнения теплопроводностиСкачать

Лекция №1.1 Явная и неявная схемы для уравнения теплопроводности

Основные типы уравнений математической физики

Задача неймана для уравнения теплопроводности

Основные типы уравнений

К основным уравнениям математической физики относятся следующие дифференциальные уравнения в частных производных второго порядка.

1. Волновое уравнение:

Задача неймана для уравнения теплопроводности.

Это уравнение является простейшим уравнением гиперболического типа. К его исследованию приводит изучение процессов поперечных колебаний струны, продольных колебаний стержня, электрических колебаний в проводах и т. д.

2. Уравнение теплопроводности, или уравнение Фурье:

Задача неймана для уравнения теплопроводности.

Это уравнение является простейшим уравнением параболического типа. К его исследованию приводит рассмотрение процессов распространения тепла, фильтрации жидкости и газа в пористой среде, изучение некоторых вопросов теории вероятностей и т. д.

3. Уравнение Лапласа:

Задача неймана для уравнения теплопроводности.

Это уравнение относится к простейшим уравнениям эллиптического типа. К его исследованию приводит изучение задач об электрических и магнитных полях, о стационарном тепловом состоянии, задач гидродинамики и т. д.

В выписанных уравнениях искомая функция u зависит от двух переменных t, x или x, y. Рассматриваются также уравнения и для функций с большим числом переменных. Например, волновое уравнение с тремя независимыми переменными имеет вид

Задача неймана для уравнения теплопроводности,

Задача неймана для уравнения теплопроводности

и уравнение Лапласа

Задача неймана для уравнения теплопроводности.

Уравнение колебаний струны.

Видео:Решение задачи Коши для уравнения теплопроводности (Часть 1)Скачать

Решение задачи Коши для уравнения теплопроводности (Часть 1)

Формулировка краевой задачи

В математической физике струной называют гибкую упругую нить. Пусть струна в начальный момент времени расположена на отрезке 0≤xl оси Задача неймана для уравнения теплопроводностиOx. Предположим, что ее концы закреплены в точках x=0 и x=l. Если струну отклонить от первоначального положения, а потом предоставить самой себе или придать ее точкам некоторую скорость, то точки струны будут совершать движение. Задача заключается в определении формы струны в любой момент времени и в определении закона движения каждой точки струны в зависимости от времени.

Если предположить, что движение точек струны происходит перпендикулярно оси Ox и в одной плоскости, то процесс колебания струны описывается одной функцией u(x,t), которая определяет величину перемещения точки струны с абсциссой x в момент t.

Доказано, что при отсутствии внешней силы функция u(x,t) должна удовлетворять дифференциальному уравнению в частных производных второго порядка

Задача неймана для уравнения теплопроводности.

Для полного определения движения струны одного уравнения недостаточно. Искомая функция u(x,t) должна удовлетворять граничным условиям, указывающим, что делается на концах струны (при x=0 и x=l), и начальным условиям, описывающим состояние струны в начальный момент (t=0). Совокупность граничных и начальных условий называется краевыми условиями.

Пусть, например, концы струны при x=0 и x=l неподвижны. Тогда при любом t должны выполняться равенства

Это – граничные условия для рассматриваемой задачи. В начальный момент t=0 струна имеет определенную форму, которую мы ей придали. Пусть эта форма определяется функцией f(x), т. е.

Далее в начальный момент должна быть задана скорость в каждой точке струны, которая определяется функцией φ(x), т. е.

Задача неймана для уравнения теплопроводности.

Эти два условия называются начальными условиями.

Колебания бесконечной струны.

Формула Даламбера решения задачи Коши

для волнового уравнения

Прежде чем решать задачу о колебаниях закрепленной струны, рассмотрим более простую задачу – о колебаниях бесконечной струны. Если представить очень длинную струну, то ясно, что на колебания, возникающие в ее средней части, концы струны не будут оказывать заметного влияния.

Рассматривая свободные колебания, мы должны решить однородное уравнение

Задача неймана для уравнения теплопроводности

при начальных условиях

Задача неймана для уравнения теплопроводности, Задача неймана для уравнения теплопроводности,

где функции f(x) и g(x) заданы на всей числовой оси. Такая задача называется задачей с начальными условиями или задачей Коши.

Преобразуем волновое уравнение к каноническому виду, содержащему смешанную производную. Уравнение характеристик

Задача неймана для уравнения теплопроводности

распадается на два уравнения:

интегралами которых служат прямые

Введем новые переменные ξ=xat, η=x + at и запишем волновое уравнение для переменных ξ и η.

Задача неймана для уравнения теплопроводности, Задача неймана для уравнения теплопроводности,

Задача неймана для уравнения теплопроводности,

Задача неймана для уравнения теплопроводности,

и подставляя их в исходное уравнение, видим, что уравнение колебания струны в новых координатах будет

Задача неймана для уравнения теплопроводности.

Интегрируя полученное равенство по η при фиксированном ξ, придем к равенству Задача неймана для уравнения теплопроводности. Интегрируя это равенство по ξ при фиксированном η, получим

Задача неймана для уравнения теплопроводности,

где φ и ψ являются функциями только переменных ξ и η соответственно. Следовательно, общим решением исходного уравнения является функция

Задача неймана для уравнения теплопроводности. (8)

Найдем функции φ и ψ так, чтобы удовлетворялись начальные условия:

Задача неймана для уравнения теплопроводности.

Задача неймана для уравнения теплопроводности,

Задача неймана для уравнения теплопроводности.

Интегрируя последнее равенство, получим:

Задача неймана для уравнения теплопроводности,

где х0 и С – постоянные. Из системы уравнений

Задача неймана для уравнения теплопроводности

Задача неймана для уравнения теплопроводности

Таким образом, мы определили функции φ и ψ через заданные функции f и g, причем полученные равенства должны иметь место для любого значения аргумента. Подставляя в (8) найденные значения φ и ψ, будем иметь

Задача неймана для уравнения теплопроводности

Задача неймана для уравнения теплопроводности.

Найденное решение называется формулой Даламбера решения задачи Коши для волнового уравнения

Пример. Решить уравнение Задача неймана для уравнения теплопроводностипри начальных условиях Задача неймана для уравнения теплопроводности, Задача неймана для уравнения теплопроводности.

Видео:Метод Фурье для неоднородного уравнения теплопроводностиСкачать

Метод Фурье для неоднородного уравнения теплопроводности

Используя формулу Даламбера, сразу получаем

Задача неймана для уравнения теплопроводности

Задача неймана для уравнения теплопроводности.

Решение волнового уравнения

методом разделения переменных

Метод разделения переменных применяется для решения многих задач математической физики. Пусть требуется найти решение волнового уравнения

Задача неймана для уравнения теплопроводности, (9)

удовлетворяющее краевым условиям

u(x,0)=f(x), Задача неймана для уравнения теплопроводности. (12),(13)

Частное решение уравнения (9), удовлетворяющее граничным условиям (10) и (11), ищут в виде произведения двух функций:

Подставляя функцию u(x,t) в уравнение (9) и преобразовывая его, получим

Задача неймана для уравнения теплопроводности.

В левой части этого уравнения стоит функция, которая не зависит от x, а в правой – функция, не зависящая от t. Равенство возможно только в том случае, когда левая и правая части не зависят ни от x, ни от t, т. е. равны постоянному числу. Обозначим

Задача неймана для уравнения теплопроводности, где λ>0. (14)

Из этих уравнений получаем два однородных дифференциальных уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Задача неймана для уравнения теплопроводностии Задача неймана для уравнения теплопроводности. (15)

Общее решение этих уравнений

Задача неймана для уравнения теплопроводности,

Задача неймана для уравнения теплопроводности,

где A, B, C, D – произвольные постоянные.

Постоянные A и B подбирают так, чтобы выполнялись условия (10) и (11), из которых следует, что X(0)=X(l)=0, так как T(t)≠0 (в противном случае u(x,t)=0). Учитывая полученные равенства, находим

А=0 и Задача неймана для уравнения теплопроводности.

Так как B≠0 (иначе, было бы X=0 и u=0, что противоречит условию), то должно выполняться равенство

Задача неймана для уравнения теплопроводности,

Задача неймана для уравнения теплопроводности.

Найденные значения λ называют собственными значениями для данной краевой задачи. Соответствующие им функции X(x) называются собственными функциями.

Заметим, что, если в равенстве (14) вместо – λ взять число λ (λ>0), то первое из уравнений (15) будет иметь решение в виде

Задача неймана для уравнения теплопроводности.

Отличное от нуля решение в такой форме не может удовлетворять граничным условиям (10) и (11).

Зная Задача неймана для уравнения теплопроводности, можем записать

Задача неймана для уравнения теплопроводности.

Для каждого n получаем решение уравнения (9)

Задача неймана для уравнения теплопроводности.

Так как исходное уравнение (9) линейное и однородное, то сумма решений также является решением, и потому функция

Задача неймана для уравнения теплопроводности(16)

будет решением дифференциального уравнения (9), удовлетворяющим граничным условиям (10) и (11).

Найденное частное решение должно еще удовлетворять начальным условиям (12) и (13). Из условия (12) получим

Задача неймана для уравнения теплопроводности.

Далее, дифференцируя члены ряда (16) по переменной t, из условия (13) будем иметь

Задача неймана для уравнения теплопроводности.

Правые части двух последних равенств есть ряды Фурье для функций f(x) и φ(x), разложенных по синусам на интервале (0, l). Поэтому

Задача неймана для уравнения теплопроводности. (17)

Итак, ряд (16), для которого коэффициенты Cn и Dn определяются по выписанным формулам, если он допускает двукратное почленное дифференцирование, представляет решение уравнения (9), удовлетворяющее граничным и начальным условиям.

Пример. Найти решение краевой задачи для волнового уравнения

Задача неймана для уравнения теплопроводности, 0


источники:

🔍 Видео

Решение первой краевой задачи для неоднородного уравнения теплопроводности.Скачать

Решение первой краевой задачи для неоднородного уравнения теплопроводности.

6-1. Уравнение теплопроводностиСкачать

6-1. Уравнение теплопроводности

Решение задачи Коши для уравнения теплопроводности (Часть 2)Скачать

Решение задачи Коши для уравнения теплопроводности (Часть 2)

8.1 Решение уравнения теплопроводности на отрезкеСкачать

8.1 Решение уравнения теплопроводности на отрезке

15. Решение уравнения теплопроводности в кругеСкачать

15. Решение уравнения теплопроводности в круге

Уравнения математической физики 11 Формула Пуассона для уравнения теплопроводностиСкачать

Уравнения математической физики 11 Формула Пуассона для уравнения теплопроводности

Уравнение теплопроводности на полупрямой (решение задачи)Скачать

Уравнение теплопроводности на полупрямой (решение задачи)

Решение неоднородного уравнения теплопроводностиСкачать

Решение неоднородного уравнения теплопроводности

Задача Дирихле и НейманаСкачать

Задача Дирихле и Неймана

Принцип максимума для уравнения теплопроводности на отрезкеСкачать

Принцип максимума для уравнения теплопроводности на отрезке

Уравнение в частных производных Уравнение теплопроводностиСкачать

Уравнение в частных производных  Уравнение теплопроводности

Решение первой начально-краевой задачи для одномерного уравнения теплопроводности.Скачать

Решение первой начально-краевой задачи для одномерного уравнения теплопроводности.

Задача Неймана для уравнения Лапласа. Третья краевая задача для уравнения ЛапласаСкачать

Задача Неймана для уравнения Лапласа. Третья краевая задача для уравнения Лапласа

12. Как остывает шар (решение уравнения теплопроводности)Скачать

12. Как остывает шар (решение уравнения теплопроводности)

Решение уравнения теплопроводности в одномерной постановке в Excel с применением неявной схемыСкачать

Решение уравнения теплопроводности в одномерной постановке в Excel с применением неявной схемы

Интуитивное понимание формулы теплопроводности (часть 11) | Термодинамика | ФизикаСкачать

Интуитивное понимание формулы теплопроводности (часть 11) | Термодинамика | Физика

Стационарное решение одномерного уравнения теплопроводности.Скачать

Стационарное решение одномерного уравнения теплопроводности.
Поделиться или сохранить к себе: