Задача коши для уравнения теплопроводности в бесконечном стержне постановка задачи формула решения (8 видео)

Задача Коши для уравнения теплопроводности

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по математике:

Рассмотрим однородное уравнение теплопроводности отвечающее случаю . отсутствию источников. Задача Коши ставится так: найти функцию t), удовлетворяющую уравнению и начальному условию Задача Коши для уравнения теплопроводности Физический смысл задачи состоит в определении температуры однородного бесконечного стержня в любой момент времени по известной его температуре в момент времени . Считается, что боковая поверхность стержня теплоизолирована, так что через нее тепло из стержня не уходит.

Предположи м, что достаточно гладкие функции, убываююте при х2 +t2 +00 настолько быстро, что сущ ествуют преобразования Фурье 2) законны операции дифференцирования Тогда, применяя преобразование Фурье к обеим частям уравнения (1) и условию (2), от задачи (1)-(2) перейдем к задаче Коши для обыкновенного дифференциального уравнения (величина £ играет роль параметра). Решение задачи (5)-(6) имеет вид Ранее мы установили, что где преобразование Фурье функции .

Отсюда, полагая t = получаем Таким образом, в правой части равенства (7) стоит произведение преобразований Фурье функций Пользуясь теоремой о свертке, в силу которой равенство (7) можно представить в виде Левая часть формулы (8) есть преобразование Фурье (по аргументу х) искомой функции и(х, t) , так что формулу (8) можно переписать так: откуда, пользуясь выражением для свертки функций 4>(х) ие Л, имеем Полученная формула дает решение исходной задачи (1)-(2) и называется интегралом Пуассона.

В самом деле, можно доказать, что для любой непрерывной и ограниченной функции ipt), определяемая формулой (9), имеет производные любого порядка по х и по t при t > 0 и удовлетворяет уравнению (1) при t > 0 и Vx. Покажем, что функция удовлетворяет начальному условию . Положим Тогда так что откуда при получим так как Сформулируем следующий важный результат. Теорема 1. В классе ограниченных функций решение задачи Кош и (1)-(2) единственно и непрерывно зависит от начальной функции. Пример.

Найти решение задачи Коши Задача Коши для уравнения теплопроводности А Пользуясь формулой Пуассона (9), получаем Прообразуем интеграл в правой чести.

Имеем Сделаем замену переменного Тогда интефал в правой части последнего равенства примет вид Из формулы (и) (Здесь мы воспольэов опись тем, что получаем, что / Таким образом, решение поставленной задачи о предел и тся формулой Лелю видеть, что построен ноя функция u(x,f) удовлетворяет начальному условию (2′). Непосредственной проверкой легко убедиться в том, что ата фуниция при удовлетворяет уравнение SautWtl. Из формулы Пуассона (9) следует, что тепло расоросграня ется вдоль стержня мгновенно.

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Действительно, пусть начальная температура ) положительна для и равна нулю вне этого отрезка. Тогда для последующего распределения температур получаем откуда видяо, что при сколь угодно малых t > 0 и сколь угодно больших |х| имеем tt(x,t) > 0. Это обьяс кяется неточностью теоретических предпосылок при выводе уравнения теплопроводности , не учитыва юших инерциальн ость движе ния молекул. Тем не менее, уравнение тепло про водности дает хорошее количественное согласование с опытом. Более точное описание процессов переноса тепла дается так называемыми уравнениями переноса. 2.1.

Фундаментальное решение уравнения теплопроводности Функция входящая в формулу Пуассона (9), называется фундаментальным решением уравнения теплопроводности. Рассматриваемая как функция аргументов х, t, она удовлетворяет уравнению щ = а2ихх, в чем можно убедиться непосредственной проверкой. Фундаментальное решение имеет важный физический смысл, связанный с понятием теплового импульса. Допустим, что начальное распределение ip(x) температур таково:

Тогда в силу (9) распределение температур и, в стержне будет иметь вид По теореме о среднем где имеем Переходя в последнем равенстве к пределу при е -* 0, получим Это означает, что функция G(x, t хо) представляет распределение температур в стержне в момент t > 0, если в начальный момент t = 0 в точке х = Хо имелся бесконечный пик температур (при е -* 0 функция 4>е<х) +оо), а в остальных точках стержня температура была равна нулю.

Такое начальное распределение температур

может быть приближенно реализовано следующим образом: в момент t = 0 к точке х = Хо стержня на очень короткий промежуток времени подносится узкое пламя очень высокой температуры (тепловой импульс плотности ср). Это начальное распределение температур описы вается так называемой 6 — функцией Дирака, обозначаемой символом 6(х — Хо).

Не являясь функцией в обычном смысле, б-функция определяется формально при помощи соотношений на любом интервале (а, Р), содержащем точку хо Основным свойством, определяющим б-функцию, является следующее: для всякой непрерывной функции f(x) Таким образом, фундаментальное решение G(x, txq) является решением уравнения теплопроводности в бесконечном стержне при начальном распределении температуры График функции G(x>t;xa) при в различных значениях t > Оимеетвид (рис. 1).

Кривые 1, 2, 3 соответствуют моментам времени • Рисунок показывает, каквыравнива-ется температура в стержне после теплового импульса. Решение Задача Коши для уравнения теплопроводности задачи теплопроводности в бесконечном стержне при начальном условии можно рассматривать как результат суперпозиции температур, возникающих в точке х в момент времени t вследствие непрерывно распределенных по стержню тепловых импульсов интенсивности у>(Л) в точке Л, приложенных в момент t = 0.

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.

Содержание

Основные типы уравнений математической физики
Формулировка краевой задачи
Используя формулу Даламбера, сразу получаем
🎥 Видео

Видео:Решение задачи Коши для уравнения теплопроводности (Часть 1)Скачать

Основные типы уравнений математической физики

Основные типы уравнений

К основным уравнениям математической физики относятся следующие дифференциальные уравнения в частных производных второго порядка.

1. Волновое уравнение:

Это уравнение является простейшим уравнением гиперболического типа. К его исследованию приводит изучение процессов поперечных колебаний струны, продольных колебаний стержня, электрических колебаний в проводах и т. д.

2. Уравнение теплопроводности, или уравнение Фурье:

Это уравнение является простейшим уравнением параболического типа. К его исследованию приводит рассмотрение процессов распространения тепла, фильтрации жидкости и газа в пористой среде, изучение некоторых вопросов теории вероятностей и т. д.

3. Уравнение Лапласа:

Это уравнение относится к простейшим уравнениям эллиптического типа. К его исследованию приводит изучение задач об электрических и магнитных полях, о стационарном тепловом состоянии, задач гидродинамики и т. д.

В выписанных уравнениях искомая функция u зависит от двух переменных t, x или x, y. Рассматриваются также уравнения и для функций с большим числом переменных. Например, волновое уравнение с тремя независимыми переменными имеет вид

и уравнение Лапласа

Уравнение колебаний струны.

Видео:18. Задача Коши для уравнения теплопроводности на прямойСкачать

Формулировка краевой задачи

В математической физике струной называют гибкую упругую нить. Пусть струна в начальный момент времени расположена на отрезке 0≤x≤l оси Ox. Предположим, что ее концы закреплены в точках x=0 и x=l. Если струну отклонить от первоначального положения, а потом предоставить самой себе или придать ее точкам некоторую скорость, то точки струны будут совершать движение. Задача заключается в определении формы струны в любой момент времени и в определении закона движения каждой точки струны в зависимости от времени.

Если предположить, что движение точек струны происходит перпендикулярно оси Ox и в одной плоскости, то процесс колебания струны описывается одной функцией u(x,t), которая определяет величину перемещения точки струны с абсциссой x в момент t.

Доказано, что при отсутствии внешней силы функция u(x,t) должна удовлетворять дифференциальному уравнению в частных производных второго порядка

Для полного определения движения струны одного уравнения недостаточно. Искомая функция u(x,t) должна удовлетворять граничным условиям, указывающим, что делается на концах струны (при x=0 и x=l), и начальным условиям, описывающим состояние струны в начальный момент (t=0). Совокупность граничных и начальных условий называется краевыми условиями.

Пусть, например, концы струны при x=0 и x=l неподвижны. Тогда при любом t должны выполняться равенства

Это – граничные условия для рассматриваемой задачи. В начальный момент t=0 струна имеет определенную форму, которую мы ей придали. Пусть эта форма определяется функцией f(x), т. е.

Далее в начальный момент должна быть задана скорость в каждой точке струны, которая определяется функцией φ(x), т. е.

Эти два условия называются начальными условиями.

Колебания бесконечной струны.

Формула Даламбера решения задачи Коши

для волнового уравнения

Прежде чем решать задачу о колебаниях закрепленной струны, рассмотрим более простую задачу – о колебаниях бесконечной струны. Если представить очень длинную струну, то ясно, что на колебания, возникающие в ее средней части, концы струны не будут оказывать заметного влияния.

Рассматривая свободные колебания, мы должны решить однородное уравнение

при начальных условиях

, ,

где функции f(x) и g(x) заданы на всей числовой оси. Такая задача называется задачей с начальными условиями или задачей Коши.

Преобразуем волновое уравнение к каноническому виду, содержащему смешанную производную. Уравнение характеристик

распадается на два уравнения:

интегралами которых служат прямые

Введем новые переменные ξ=x – at, η=x + at и запишем волновое уравнение для переменных ξ и η.

, ,

и подставляя их в исходное уравнение, видим, что уравнение колебания струны в новых координатах будет

Интегрируя полученное равенство по η при фиксированном ξ, придем к равенству . Интегрируя это равенство по ξ при фиксированном η, получим

где φ и ψ являются функциями только переменных ξ и η соответственно. Следовательно, общим решением исходного уравнения является функция

. (8)

Найдем функции φ и ψ так, чтобы удовлетворялись начальные условия:

Интегрируя последнее равенство, получим:

где х0 и С – постоянные. Из системы уравнений

Таким образом, мы определили функции φ и ψ через заданные функции f и g, причем полученные равенства должны иметь место для любого значения аргумента. Подставляя в (8) найденные значения φ и ψ, будем иметь

Найденное решение называется формулой Даламбера решения задачи Коши для волнового уравнения

Пример. Решить уравнение при начальных условиях , .

Видео:5.1 Задача Коши для уравнений теплопроводности IСкачать

Используя формулу Даламбера, сразу получаем

Решение волнового уравнения

методом разделения переменных

Метод разделения переменных применяется для решения многих задач математической физики. Пусть требуется найти решение волнового уравнения

, (9)

удовлетворяющее краевым условиям

u(x,0)=f(x), . (12),(13)

Частное решение уравнения (9), удовлетворяющее граничным условиям (10) и (11), ищут в виде произведения двух функций:

Подставляя функцию u(x,t) в уравнение (9) и преобразовывая его, получим

В левой части этого уравнения стоит функция, которая не зависит от x, а в правой – функция, не зависящая от t. Равенство возможно только в том случае, когда левая и правая части не зависят ни от x, ни от t, т. е. равны постоянному числу. Обозначим

, где λ>0. (14)

Из этих уравнений получаем два однородных дифференциальных уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

и . (15)

Общее решение этих уравнений

где A, B, C, D – произвольные постоянные.

Постоянные A и B подбирают так, чтобы выполнялись условия (10) и (11), из которых следует, что X(0)=X(l)=0, так как T(t)≠0 (в противном случае u(x,t)=0). Учитывая полученные равенства, находим

А=0 и .

Так как B≠0 (иначе, было бы X=0 и u=0, что противоречит условию), то должно выполняться равенство

Найденные значения λ называют собственными значениями для данной краевой задачи. Соответствующие им функции X(x) называются собственными функциями.

Заметим, что, если в равенстве (14) вместо – λ взять число λ (λ>0), то первое из уравнений (15) будет иметь решение в виде

Отличное от нуля решение в такой форме не может удовлетворять граничным условиям (10) и (11).

Зная , можем записать

Для каждого n получаем решение уравнения (9)

Так как исходное уравнение (9) линейное и однородное, то сумма решений также является решением, и потому функция

(16)

будет решением дифференциального уравнения (9), удовлетворяющим граничным условиям (10) и (11).

Найденное частное решение должно еще удовлетворять начальным условиям (12) и (13). Из условия (12) получим

Далее, дифференцируя члены ряда (16) по переменной t, из условия (13) будем иметь

Правые части двух последних равенств есть ряды Фурье для функций f(x) и φ(x), разложенных по синусам на интервале (0, l). Поэтому

. (17)

Итак, ряд (16), для которого коэффициенты Cn и Dn определяются по выписанным формулам, если он допускает двукратное почленное дифференцирование, представляет решение уравнения (9), удовлетворяющее граничным и начальным условиям.

Пример. Найти решение краевой задачи для волнового уравнения

, 0