Задача коши для дифференциального уравнения второго порядка геометрическая интерпретация

Определение: Дифференциальным уравнением второго порядка называется уравнение, которое связывает между собой независимую переменную х, искомую функцию у(х) и её первую и вторую производные у/ и у// .

В общем виде дифференциальное уравнение 2-го порядка можно представить в виде: F(x,y,y/,y//)=0 (1).

Если разрешить его относительно второй производной (2), то получим приведенный вид дифференциального уравнения 2-го порядка.

Решение данного уравнения находится двухкратным интегрированием с появлением двух произвольных констант С1 и С2.

Определение: Общим решением дифференциального уравнения 2-го порядка называется искомая функция у=у(х,С1,С2), которая при любых значениях произвольных констант С1, С2 обращает это уравнение в тождество.

В общем виде дифференциальное уравнение имеет бесконечное множество решений.

Определение Частным решением называется такое решение у=у(х,С10,С20), которое получается из общего решения при конкретных значениях произвольных констант С1=С10 и С2=С20.

Видео:Задача Коши для ЛНДУ II п. (e^x)Скачать

Геометрический смысл, задача и Теорема коши решения дифференциальных уравнений второго порядка

Геометрически общее решение дифференциального уравнения второго порядка представляет собой двухпараметрическое семейство интегральных кривых у=у(х,С1,С2). Причем через каждую заданную точку М0(х0;у0) проходит целый пучёк интегральных кривых.

Частное решение дифференциального уравнения представляет собой единственную интегральную кривую у=у(х0,С10,С20) с заданными значениями произвольных констант С1=С10 и С2=С20.

Для того, чтобы найти частное решение в виде единственной интегральной кривой, проходящую через заданную точку М0 с координатами х=х0 и у=у0, необходимо задать значение производной, которая определяет угловой коэффициент касательной в заданной точке у/=y/0=kk=tgб0. Координаты х=х0; у=у0 и значение производной у/=y/0 в заданной точке М0 называются начальными условиями.

Нахождение частного решения, удовлетворяющего начальным условиям, сводится к нахождению конкретных значений произвольных констант С1=С10 и С2=С20 из системы уравнений

получаемой подстановкой начальных условий в общее решение.

Таким образом, частное решением получается из общего решения при конкретных значениях произвольных констант С1=С10 и С2=С20, для нахождения которых используют два начальных условия:

Первое начальное условие определяет точку М0(х0,у0), через которую пройдет интегральная кривая, а второе условие определяет угол наклона касательной y/0=kk=tgб0 к искомой интегральной кривой.

Задача отыскания частного решения, удовлетворяющего начальным условиям, называется задачей Коши.

При решении задачи Коши используют теорему Коши о существовании и единственности решения.

Теорема Коши: Если в правой части дифференциального уравнения функция и ее частные производные определены и непрерывны в некоторой области Д, то в любой ее точке существует и причем единственное частное решение у = у(х,С10,С20), удовлетворяющее начальным условиям:

Точки, в которых условие теоремы Коши нарушается, называются особыми точками.

Видео:Задача Коши для дифференциальных уравненийСкачать

Задача коши для дифференциального уравнения второго порядка геометрическая интерпретация

Презентация была опубликована 8 лет назад пользователемСтепан Федюнин

Похожие презентации

Видео:Задача Коши ➜ Частное решение линейного однородного дифференциального уравненияСкачать

Презентация на тему: » < задача Коши — геометрическая интерпретация дифференциального уравнения второго порядка — приемы интегрирования дифференциальных уравнений 2-го порядка." — Транскрипт:

2 Теорема Дифференциальное уравнение второго порядка может иметь вид F(x,y,y,y) = 0 или y = f(x,y,y). Общим решением уравнения является функция y = (x, C 1, C 2 ), существенно зависящая от двух произвольных постоянных и обращающая данное уравнение в тождество при любых значениях этих постоянных. Частное решение получается при закреплении постоянных С 1, С 2. Задача отыскания решения дифференциального уравнения удовлетворяющего заданным начальным условиям y(x 0 ) = y 0, y(x 0 ) = y 0 называется задачей Коши. Если функция f — правая часть дифференциального уравнения d 2 y/dx 2 = f(x,y,dy/dx) непрерывна в некоторой замкнутой трехмерной области D: oxyy и имеет в этой области ограниченные частные производную д f/ д y, д f/ д y, то каждой внутренней точке области D соответствует, и притом единственное, решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям.

3 Геометрически это означает, что через каждую точку M 0 (x 0,y 0, y 0 )области D проходит одна и только одна интегральная кривая рассматриваемого уравнения. Данная теорема называется теоремой существования и единственности решения дифференциального уравнения P 0 (x 0,y 0 ) D x y o Y M 0 (x 0,y 0, y 0 )

4 @ Решить дифференциальное уравнение второго порядка, при заданных начальных условиях Решение M( 1,1 ) x y o f y = 0 f y = 1/x C 2 = tg = 1

5 Пусть дано дифференциальное уравнение второго порядка F(x,y,y,y)=0.. Этим уравнением для каждой точки M(x,y) определяется связь между координатами точки, через которую проходит интегральная кривая, производной функции dy/dx — угловым коэффициент касательной к интегральной кривой, и, через вторую производную, кривизной кривой k. y = (x) y = d /dx

6 Метод понижения порядка Тип I Тип II

7 Метод понижения порядка Тип III Тип IV

8 @ Решить дифференциальное уравнение Решение

9 Если точка A движется вдоль заданной кривой, а точка P преследует её, причем вектор направления движения точки P всегда направлен на точку A, и скорости движения точек постоянны, то траектория точки P называется кривой погони. Такая задача впервые была решена французским математиком Pierre Bouguer в 1732 году, впоследствии задачи такого класса исследовались английским математиком Boole. Определить траекторию преследования цели ракетой, если цель движется вдоль прямой, а скорости цели и ракеты равны между собой. P A

10 Уравнение кривой погони выводится при условии, что вектор касательной к траектории в точке P всегда параллелен линии, соединяющей A и P Пусть точка A движется вдоль оси y, тогда уравнение её движения: Уравнение движения точки P в параметрической форме : P A

11 Последнее уравнение может быть переписано в следующем виде

12 Последнее уравнение допускает понижение порядка

13 Начальные условия: в момент времени t = 0 точка P находится в точке плоскости M 0 и имеет скорость V = 1 После подстановки этих величин в общее решение получаем частное решение P A

Видео:Линейное дифференциальное уравнение Коши-ЭйлераСкачать

Задача коши для дифференциального уравнения второго порядка геометрическая интерпретация

Данко П. Е., Попов А. Г., Кожевникова Т. Я. Высшая математика в упражнениях и задачах…
Часть II. Глава IV. Обыкновенные дифференциальные уравнения

Видео:Нефёдов Н. Н. - Дифференциальные уравнения - Задача КошиСкачать

§ 1. Дифференциальные уравнения первого порядка

1. Основные понятия. Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимые переменные, их функцию и производные (или дифференциалы) этой функции. Если независимая переменная одна, то уравнение называется обыкновенным; если же независимых переменных две или больше, то уравнение называется дифференциальным уравнением в частных производных.

Наивысший порядок производной, входящей в уравнение, называется порядком дифференциального уравнения. Например:

1) х²у’ + 5xy = у² – обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка;

2) – обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка;

3) y’³ + y»y»’ = х – обыкновенное дифференциальное уравнение третьего порядка;

4) F (х, у, у’, у») = 0 – общий вид обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка;

5) – уравнение в частных производных первого порядка.

В этом параграфе рассматриваются обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка, т. е. уравнения вида F (х, у, у’) = 0 или (в разрешенном относительно у’ виде) y’ = f(х, у).

Решением дифференциального уравнения называется такая дифференцируемая функция у = φ (x), которая при подстановке в уравнение вместо неизвестной функции обращает его в тождество. Процесс нахождения решения дифференциального уравнения называется интегрированием дифференциального уравнения.

Общим решением дифференциального уравнения первого порядка у’ = f(x, у) в области D называется функция у = φ(x, C), обладающая следующими свойствами: 1) она является решением данного уравнения при любых значениях произвольной постоянной С, принадлежащих некоторому множеству; 2) для любого начального условия у(х0) = у0 такого, что (x0; y0) ∈ 0, существует единственное значение С = С0, при котором решение у = φ(x, C0) удовлетворяет заданному начальному условию.

Всякое решение у = φ(x, C0), получающееся из общего решения у = φ (x, C) при конкретном значении С = С0, называется частным решением.

Задача, в которой требуется найти частное решение уравнения y’ = f(х, у) удовлетворяющее начальному условию у(х0) = y0, называется задачей Коши.

Построенный на плоскости хОу график всякого решения у = φ(х) дифференциального уравнения называется интегральной кривой этого уравнения. Таким образом, общему решению у = φ(х, С) на плоскости хОу соответствует семейство интегральных кривых, зависящее от одного параметра – произвольной постоянной С, а частному решению, удовлетворяющему начальному условию y(x0) = y0, – кривая этого семейства, проходящая через заданную точку М0(x0; у0).

Если функция f(х, у) непрерывна и имеет непрерывную производную в области D, то решение дифференциального уравнения у’= f (х, у) при начальном условии у(х0) = у0 существует и единственно, т. е. через точку (x0; y0) проходит единственная интегральная кривая данного уравнения (теорема Коши).

Особым решением называется такое решение, во всех точках которого условие единственности не выполняется, т. е. в любой окрестности каждой точки (х; у) особого решения существуют по крайней мере две интегральные кривые, проходящие через эту точку.

Особые решения не получаются из общего решения дифференциального управления ни при каких значениях произвольной постоянной С (в том числе и при С = ± ∞).

Особым решением является огибающая семейства интегральных кривых (если она существует), т. е. линия, которая в каждой своей точке касается по меньшей мере одной интегральной кривой.

Например, общее решение уравнения записывается в виде у = sin (х + С). Это семейство интегральных кривых имеет две огибающие: у = 1 и у = -1, которые и будут особыми решениями.

2. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Дифференциальное уравнение вида

относится к типу уравнений с разделяющимися переменными. Если ни одна из функций f1(x), f2(y), φ1(x), φ2(y) не равна тождественно нулю, то в результате деления исходного уравнения на f2 (x) φ1 (y) оно приводится к виду

Почленное интегрирование последнего уравнения приводит к соотношению

которое и определяет (в неявной форме) решение исходного уравнения. (Решение дифференциального уравнения, выраженное в неявной форме, называют интегралом этого уравнения.)

507. Решить уравнение х(у²-4)dx + y dy = 0.

△ Разделив обе части уравнения на у² – 4 ≠ 0, имеем

x² + ln|у² – 4| = ln|C|, или у² – 4 = Сe -λ²

Это общее решение данного дифференциального уравнения.

Пусть теперь у² – 4 = 0, т. е. у = ± 2. Непосредственной подстановкой убеждаемся, что у = ±2 – решение исходного уравнения. Но оно не будет особым решением, так как его можно получить из общего решения при С = 0. ▲

508. Найти частный интеграл уравнения у’ cos х = у / ln у, удовлетворяющий начальному условию y(0) = l.

△ Полагая , перепишем данное уравнение в виде

Проинтегрируем обе части уравнения:

, или

Используя начальное условие у = 1 при х = 0, находим С = 0. Окончательно получаем

▲

509. Найти общий интеграл уравнения у’ = tg x tg y.

△ Полагая и разделяя переменные, приходим к уравнению ctg у dy = tg х dx. Интегрируя, имеем

, или ln|sin у| = -ln|cos x| + ln С.

Отсюда находим sin y = C/cos x, или sin y / cos x = С (общий интеграл). ▲

510. Найти частное решение дифференциального уравнения (l + x²)dy + y dx = 0 при начальном условии у(1) = 1.

△ Преобразуем данное уравнение к виду . Интегрируя, получим

, или ln |y| = – arctg x + С

Это и есть общий интеграл данного уравнения.

Теперь, используя начальное условие, найдем произвольную постоянную С; имеем ln 1 = — arctg 1 + С, т. е. С = π/4. Следовательно,

ln у = – arctg х + π/4,

откуда получаем искомое частное решение y = e π/4 – arctg x . ▲

Данко П. Е., Попов А. Г., Кожевникова Т. Я. Высшая математика в упражнениях и задачах… Ч. II. Стр. 117-119.

📺 Видео

Линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентамиСкачать

Пример 65. Решить задачу Коши (диффуры)Скачать

Лукьяненко Д. В. - Дифференциальные уравнения - Лекция 2Скачать

Видеоурок "Дифференциальные уравнения. Задача Коши"Скачать

15. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентамиСкачать

Дифференциальные уравнения. Задача Коши. Метод Эйлера.Скачать

Задача Коши ДУ I п. 1. Caushy`s ProblemСкачать

Задача Коши для ЛНДУ II п. (cos x)Скачать

Решаем задачу Коши | УрЧП первого порядка | Дифференциальные уравнения | КАК РЕШАТЬ?Скачать

2.1. Метод характеристик. Задача Коши для гиперболического уравнения на плоскости.Скачать

Линейное дифференциальное уравнение первого порядка (1-x^2)*y'-xy=1Скачать

ЛОДУ 2 порядка c постоянными коэффициентамиСкачать

Лукьяненко Д. В. - Дифференциальные уравнения - Лекция 1Скачать