Z1 p1 pg v2 2g z2 p2 pg v2 2g это уравнение

Видео:Урок 134. Применения уравнения Бернулли (ч.1)Скачать

Уравнение Бернулли — фундамент гидродинамики

Бернулли — вне всякого сомнения — имя, знакомое и специалистам, и обывателям, которые хоть немного интересуются науками. Этот человек оставил ослепительный след в истории познавания человечеством окружающего мира, как физик, механик, гидравлик и просто общепризнанный гений, Даниил Бернулли навсегда останется в памяти благодарных потомков за свои идеи и выводы, которые долгое время существования человечества были покрыты мраком неизведанного.
Открытия и законы, которыми Бернулли осветил путь к познанию истины, являются фундаментальными, и придали ощутимый импульс развитию многих естественных наук. К таковым относится и уравнение Бернулли в Гидравлике, которое он вывел почти три века назад. Данное уравнение является основополагающим законом этой сложной науки, объясняющим многие явления, описанные даже древними учеными, например, великим Архимедом.

Попробуем уяснить несложную суть закона Бернулли (чаще его называют уравнением Бернулли), описывающего поведение жидкости в той или иной ситуации.

Выделим в стационарно текущей идеальной жидкости трубку тока, которая ограничена сечениями S₁ и S₂ , (рис. 1) .
(Понятие идеальной жидкости абстрактно, как и понятие всего идеального. Идеальной считается жидкость, в которой нет сил внутреннего трения, т. е. трения между отдельными слоями и частицами подвижной жидкости).
Пусть в месте сечения S₁ скорость течения ν₁ , давление p₁ и высота, на которой это сечение расположено, h₁ . Аналогично, в месте сечения S₂ скорость течения ν₂ , давление p₂ и высота сечения h₂ .

За бесконечно малый отрезок времени Δt жидкость переместится от сечения S₁ к сечению S₁‘ , от S₂ к S₂‘ .

По закону сохранения энергии, изменение полной энергии E₂ — E₁ идеальной несжимаемой жидкости равно работе А внешних сил по перемещению массы m жидкости:

где E₁ и E₂ — полные энергии жидкости массой m в местах сечений S₁ и S₂ соответственно.

С другой стороны, А — это работа, которая совершается при перемещении всей жидкости, расположенной между сечениями S₁ и S₂ , за рассматриваемый малый отрезок времени Δt .
Чтобы перенести массу m от S₁ до S₁‘ жидкость должна переместиться на расстояние L₁ = ν₁Δt и от S₂ до S₂‘ — на расстояние L₂ = ν₂Δt . Отметим, что L₁ и L₂ настолько малы, что всем точкам объемов, закрашенных на рис. 1 , приписывают постоянные значения скорости ν , давления р и высоты h .
Следовательно,

где F₁ = p₁S₁ и F₂ = — p₂S₂ (сила отрицательна, так как направлена в сторону, противоположную течению жидкости; см. рис. 1).

Полные энергии E₁ и E₂ будут складываться из кинетической и потенциальной энергий массы m жидкости:

Подставляя (3) и (4) в (1) и приравнивая (1) и (2) , получим

Согласно уравнению неразрывности для несжимаемой жидкости, объем, занимаемый жидкостью, всегда остается постоянным, т. е.

Разделив выражение (5) на ΔV , получим

где ρ — плотность жидкости.

После некоторых преобразований эту формулу можно представить в другом виде:

Поскольку сечения выбирались произвольно, то в общем случае можно записать:

ρv 2 /2 +ρgh +p = const (6) .

Выражение (6) получено швейцарским физиком Д. Бернулли (опубликовано в 1738 г.) и называется уравнением Бернулли.

Даниил Бернулли (Daniel Bernoulli, 1700 — 1782), швейцарский физик, механик и математик, один из создателей кинетической теории газов, гидродинамики и математической физики. Академик и иностранный почётный член (1733) Петербургской академии наук, член Академий: Болонской (1724), Берлинской (1747), Парижской (1748), Лондонского королевского общества (1750).

Уравнение Бернулли по своей сути является интерпретацией закона сохранения энергии применительно к установившемуся течению идеальной жидкости. Уравнение хорошо выполняется и для реальных жидкостей, для которых внутреннее трение не очень велико.

Величина р в формуле (6) называется статическим давлением (давление жидкости на поверхность обтекаемого ею тела) , величина ρν 2 /2 — динамическим давлением, величина ρgh — гидростатическим давлением.

Статическое давление обусловлено взаимодействием поверхности жидкости с внешней средой и является составляющей внутренней энергии рассматриваемого элементарного объема жидкости (т. е. характеризуется взаимодействием внутренних частиц жидкости, вызванных внешним возмущением — давлением) , а гидростатическое – положением этого объема жидкости в пространстве (зависит от высоты над поверхностью Земли) .
Динамическое давление характеризует кинематическую составляющую энергии этого объема, поскольку зависит от скорости потока, в котором движется рассматриваемый элементарный объем жидкости.

Для горизонтальной трубки тока изменение потенциальной составляющей ρgh будет равно нулю (поскольку h2 – h1 = 0) , и выражение (6) примет упрощенный вид:

ρv 2 /2 + p = const (7) .

Выражение p + ρν 2 /2 называется полным давлением.

Таким образом, содержание уравнения Бернулли для элементарной струйки при установившемся движении можно сформулировать так: удельная механическая энергия при установившемся движении элементарной струйки идеальной жидкости, представляющая собой сумму удельной потенциальной энергии положения и давления и удельной кинетической энергии, есть величина постоянная.

Все члены уравнения Бернулли измеряются в линейных единицах.

В гидравлике широко применяют термин напор, под которым подразумевают механическую энергию жидкости, отнесенную к единице ее веса (удельную энергию потока или неподвижной жидкости) .
Величину v 2 /2g называют скоростным (кинетическим) напором, показывающим, на какую высоту может подняться движущаяся жидкость за счет ее кинетической энергии.
Величину h_п = p/ρg называют пьезометрическим напором, показывающим на какую высоту поднимается жидкость в пьезометре под действием оказываемого на нее давления.
Величину z называют геометрическим напором, характеризующим положение центра тяжести соответствующего сечения движущейся струйки над условно выбранной плоскостью сравнения.

Сумму геометрического и пьезометрического напоров называют потенциальным напором, а сумму потенциального и скоростного напора — полным напором.

На основании анализа уравнения Бернулли можно сделать вывод, что при прочих неизменных параметрах потока (жидкости или газа) величина давления в его сечениях обратно пропорциональна скорости, т. е. чем выше давление, тем меньше скорость, и наоборот.
Это явление используется во многих технических конструкциях и устройствах, например, в карбюраторе автомобильного двигателя (диффузор), в форме крыла самолета. Увеличение скорости воздушного потока в диффузоре карбюратора приводит к созданию разрежения, всасывающего бензин из поплавковой камеры, а специальная форма сечения самолетного крыла позволяет создавать на его нижней стороне зону повышенного давления, способствующего появлению подъемной силы.

Геометрическая интерпретация уравнения Бернулли

Поскольку напор измеряется в линейных величинах, можно дать графическую (геометрическую) интерпретацию уравнению Бернулли и его составляющим.

На графике (рис. 2) представлена горизонтальная плоскость сравнения 0-0 , относительно которой геометрический напор будет в каждом сечении равен вертикальной координате z центра тяжести сечения (линия геометрического напора проходит по оси струйки) .
Линия К-К , характеризующая потенциальный напор струйки, получена сложением геометрического и пьезометрического напора в соответствующих сечениях (т. е. разница координат точек линии К-К и соответствующих точек оси струйки характеризует пьезометрический напор в данном сечении) .
Полный напор характеризуется линией MN , которая параллельна плоскости сравнения О-О , свидетельствуя о постоянстве полного напора H’_e (удельной механической энергии) идеальной струйки в любом ее сечении.

При движении реальной жидкости, обладающей вязкостью, возникают силы трения между ограничивающими поток поверхностями и между слоями внутри самой жидкости. Для преодоления этих сил трения расходуется энергия, которая превращается в теплоту и рассеивается в дальнейшем движущейся жидкостью. По этой причине графическое изображение уравнения Бернулли для идеальной жидкости будет отличаться от аналогичного графика для реальной жидкости.
Если обозначить h_f потери напора (удельной энергии) струйки на участке длиной L , то уравнение Бернулли для реальной жидкости примет вид:

Для реальной жидкости полный напор вдоль струйки не постоянен, а убывает по направлению течения жидкости, т. е. его графическая интерпретация имеет вид не прямой линии, а некоторой кривой МЕ (рис. 3) . Заштрихованная область характеризует потери напора.

Падение напора на единице длины элементарной струйки, измеренной вдоль оси струйки, называют гидравлическим уклоном:

Гидравлический уклон положителен, если напорная линия снижается по течению жидкости, что всегда бывает при установившемся движении.

Для практического применения уравнения Бернулли необходимо распространить его на поток реальной жидкости:

где α₁ , α₂ — коэффициенты Кориолиса, учитывающие различие скоростей в разных точках сечения потока реальной жидкости.
На практике обычно принимают α₁ = α₂ = α : для ламинарного режима течения жидкости в круглых трубах α = 2, для турбулентного режима α = 1,04. 1,1.

Из уравнения Бернулли для горизонтальной трубки тока и уравнения неразрывности ( S₁v₁Δt = S₂v₂Δt ) видно, что при течении жидкости по горизонтальной трубе, которая имеет различные сечения, скорость жидкости больше в более узких местах (где площадь сечения S меньше) , а статическое давление больше в более широких местах, т. е. там, где скорость меньше. Это можно увидеть, установив вдоль трубы ряд манометров.

Данный опыт показывает, что в манометрической трубке В , которая прикреплена к узкой части трубы, уровень жидкости ниже, чем в манометрических трубках А и С , которые прикреплены к широкой части трубы, что соответствует уравнению Бернулли.

Так как динамическое давление зависит от скорости движения жидкости (газа) , то уравнение Бернулли можно использовать для измерения скорости потока жидкости. Принципиально это свойство жидкости для определения скорости потока реализовано в так называемой трубке Пито – Прандтля (обычно ее называют трубкой Пито ) .

Трубка Пито – Прандтля ( см. рис. 2 ) состоит из двух тонких стеклянных трубок, одна из которых изогнута под прямым углом (Г-образно) , а вторая — прямая.
Одним из свободных концов каждая трубка присоединена к манометру.
Изогнутая трубка имеет открытый свободный конец, направленный против тока и принимающий напор потока жидкости, а вторая погружена в поток перпендикулярно току, и скорость потока на давление внутри трубки не влияет, т. е. внутри этой трубки действует лишь статическая составляющая давления жидкости.
Разница между давлением в первой трубке (полное давление) и второй трубке (статическое давление) , которую показывает манометр, является динамическим давлением, определяемым по формуле:

Определив с помощью трубки Пито — Прандтля динамическое давление в потоке жидкости, можно легко вычислить скорость этого потока:

Уравнение Бернулли также используют для нахождения скорости истечения жидкости через отверстие в стенке или дне сосуда. Рассмотрим цилиндрический сосуд с жидкостью, с маленьким отверстием в боковой стенке на некоторой глубине ниже уровня жидкости.

Рассмотрим два сечения (на уровне h₁ свободной поверхности жидкости в сосуде и на уровне h₁ выхода ее из отверстия) и применим уравнение Бернулли:

Так как давления р₁ и р₂ в жидкости на уровнях первого и второго сечений равны атмосферному, т. е. р₁ = р₂ , то уравнение будет иметь вид

Из уравнения неразрывности мы знаем, что ν₁/ν₂ = S₂/S₁ , где S₁ и S₂ — площади поперечных сечений сосуда и отверстия.
Если S₁ значительно превышает S₂ , то слагаемым ν₁ 2 /2 можно пренебречь и тогда:

Это выражение получило название формулы Торричелли.
Формулу Торричелли можно использовать для подсчета объемного (или массового) расхода жидкости, истекающего из отверстия в сосуде с поддерживаемым постоянно уровнем под действием атмосферного давления.
При этом используется формула Q = vS (для определения массового расхода – m = ρvS ) , по которой определяется расход жидкости за единицу времени.

Если требуется узнать расход жидкости за определенный промежуток времени t , то его определяют, умножив расход за единицу времени на время t .

Следует отметить, что такая методика расчета расхода реальной жидкости через отверстие в стенке сосуда дает некоторые погрешности, обусловленные физическими свойствами реальных жидкостей, поэтому требует применения поправочных коэффициентов (коэффициентов расхода) .

Пример решения задачи на определение расхода жидкости

Определить примерный объемный расход воды, истекающей из отверстия диаметром 10 мм, проделанном в вертикальной стенке широкого сосуда на высоте h = 1 м от верхнего, постоянно поддерживаемого, уровня воды за 10 секунд.
Ускорение свободного падения принять равным g = 10 м/с 2 .
Коэффициент расхода воды через отверстие — µ_s = 0,62.

По формуле Торричелли определим скорость истечения воды из отверстия:

v = √2gh = √2×10×1 ≈ 4,5 м/с.

Определим расход воды Q за время t = 10 секунд:

Q = µ_svSt = 0,62×4,5×3,14×0,012/4 × 10 ≈ 0,0022 м 3 ≈ 2,2 литра.

На практике расход жидкости в трубопроводах измеряют расходомерами, например, расходомером Вентури. Расходомер Вентури (см рис. 2) представляет собой конструкцию из двух конических патрубков, соединенных цилиндрическим патрубком. В сечениях основной трубы и цилиндрического патрубка устанавливают трубки-пьезометры, которые фиксируют уровень жидкости, обусловленный полным давлением в потоке.

При прохождении жидкости через сужающийся конический патрубок часть потенциальной энергии потока преобразуется в кинетическую, и, наоборот, – при прохождении потока по расширяющемуся коническому патрубку, кинетическая энергия уменьшается, а потенциальная растет. Это сказывается на скорости движения жидкости по рассматриваемым участкам. Перепад высоты уровня жидкости в пьезометрах позволяет рассчитать среднюю скорость потока жидкости на рассматриваемых участках и вычислить объемный расход по внутреннему сечению трубы.
В расходомерах учитываются потери напора в самом приборе при помощи коэффициента расхода прибора φ .

Видео:Урок 133. Закон Бернулли. Уравнение БернуллиСкачать

Формулы гидравлики

(кг/м 3 ) – плотность

(н/м 3 ) – удельный вес

р — давление или сжимающие напряжение (н/м 2 = Па)

Давление всегда направлено к поверхности по внутренней нормали.

Действует одинаково по всем направлениям (не зависит от угла наклона площадки)

Основное уравнение гидростатики:

р_о – давление действующее на поверхность жидкости;

р_в – весовое давление, т.е. давление столба жидкости.

h – глубина расположения точки;

γ – удельный вес жидкости.

При атмосферном давлении на поверхности:

Закон Паскаля. Давление действующее на поверхность жидкости передается во все ее точки без изменения.

Любая горизонтальная плоскость проведенная в жидкости, является плоскостью равного давления.

Можем измерять величину давления эквивалентной ему высотой столба жидкости.

Например давление величиной в 1 атм. р = 1 кгс/см 2 соответствует

h = 10 м вод. столба

Сила давления жидкости на плоскую поверхность

р_с = h_сγ – давление в центре тяжести при атмосферном давлении на поверхности

h_с – глубина расположения центра тяжести поверхности (м);

S – площадь поверхности (м 2 ).

Потенциальная энергия покоящейся жидкости величина постоянная, т.е. одинаковая для всех точек жидкости

Удельная энергия (напор) Э = Е/G = Е/mg (м)

Z – геометрический напор;

Н_ГС –гидростатический напор или полная удельная потенциальная энергия жидкости.

Q – расход жидкости (м 3 /с);

V – средняя скорость потока (м/с);

Ω – площадь живого сечения потока (м 2 ).

Уравнение Бернулли для идеальной жидкости (при действии сил давления и сил тяжести)

где z — геометрический напор, м;

P/γ — приведенная пьезометрическая высота (если Р — абсолютное давление) или пьезометрическая высота (если Р — избыточное давление), м;

— гидростатический напор,

удельная потенциальная энергия жидкости

Н_ГС = Э – гидродинамический напор или полная удельная энергия

Уравнение Бернулли для реальной жидкости (с учетом сил трения (вязкости)).

α= Е_КД /Е_КУ – коэффициент кинетический энергии (коэффициент Кориолиса);

(м)

h_м – потери на местных сопротивлениях.

(м)

Число (критерий) Рейнольдса

Для кругло-цилиндрических труб

(м)

ω – площадь живого сечения потока (м 2 );

Х – смоченный периметр.

Профиль скорости при турбулентном движении

Толщина ламинарной пленки δ уменьшается с увеличением скорости V (числа Рейнольдса)

В турбулентном режиме имеется три вида трения:

Гидравлически гладкие русла

Шероховатое трение, квадратичная область турбулентного режима

СКОРОСТЬ ДВИЖЕНИЯ (ИСТЕЧЕНИЯ ЧЕРЕЗ ОТВЕРСТИЯ И НАСАДКИ

(м/с)

— коэффициент скорости

Н_о – действующий (расчетный напор (м)

(м 3 /с)

μ = φε – коэффициент расхода;

ω – площадь проходного (живого) сечения потока (м 2 );

Видео:Уравнение Бернулли гидравликаСкачать

Молекулярная физика, термодинамика. Основы макроскопических тел. Уравнение состояния идеального газа. Относительная влажность воздуха

Страницы работы

Содержание работы

Мякишев (10кл) стр. 139-223 (Физика, М. «Просвещение» 2004.)

Ставится основная задача: изучить свойства макроскопических тел и тепловые процессы с учетом того, что тела состоят из отдельных беспорядочно движущихся частиц на основе законов , описывающих особый вид материи – тепловое движение. В какой-то степени тепловые явления – это механика микромира.

При этом целесообразно использовать положения, установленные в механике, и поэтому нужно начать рассмотрение теплового движения не с описательного, а с обобщенно—энергетического уровня.

1 Вещества состоят из атомов и молекул, находящихся в беспорядочном движении и взаимодействующих между собой; молекулы слишком малы (их масса 1,7·10 -27 ÷ 4,4·10 -25 кг), чтобы применить положения механики , разработанные для макротел вводят следующие основные понятия Œ Относительная молекулярная масса

μ_г = m_o / ( 1 /₁₂ ×m_oc ) где m_oc — масса атома углерода ;  Число АвогадроN_A = 6·10 23 – это число молекул содержащееся в 0,012кг углерода (или в одном грамме водорода) ; Ž Количество вещества — υ = N/N_A [ моль], где N — количество молекул данного вещества ;  Молярная масса μ =m_oN_A [кг/моль]— вес одного моля данного вещества, тогда υ = m / μ , где m — масса данного вещества [кг].  Идеальный газ – это газ, взаимодействие между молекулами которого пренебрежительно мало. Молекул много и скорости их различны, поэтому используют среднестатистическую картину.

Далее, используя положения механики, определим количественные характеристики идеального газа. В любом объеме идеального газа ( V ) с концентрацией n = N / V

U_x скорость молекул U 2 = U_x 2 + U_y 2 +U_z 2 . За 1с о стенку y

m площадью S ударяется (½ nU_xS) молекул, тогда суммар- U_x 2 = 1 /₃ U 2

импульс механики импульс в единицу времени равен по z

2m₀ U_x величине силе, то находим давление

U_x 2 = 1/3U 2 P = 1/3rU 2

на стенку Р = F/S P=1/3 m_onU 2 P = 2/3 nE .

Полученное основное уравнение МКТ раскрывает суть связи, Но! на практике использовать ее сложно из-за трудностей в измерениях величин E и U. Учитывая, что E и t o Cвзаимосвязаны однозначно, а t o С – легко измеряется, попробуем заменить Е на

q_льда = РV/N = 3,76 10 -21 Дж. q_{кипятка} = 5,14 -21 Дж

Ранее используемое понятие температура tº C не соответствует полученному понятию, а значит, физической сущности, т.к. q_льда = 0. Чтобы перейти к физически обоснованному понятию, оставив термин “температура” и единицу измерения “градус” надо за “0”принять t при Е=0. Обозначим ее Тº К (температура в градусах Кельвина). Тогда q = kТ , k – постоянная Больцмана позволяет осуществить переход от q [Дж] к Тº К,

Тогда : Т_льда = q_льда /k = 273ºК Þ ТºК = (tºС + 273)ºК;

q = kТ = 2/3Е Þ Р = nkТ = (N/V)×kТ = (m/m_oV)×kТ ;

Энергия молекулы газа : m_o U 2 / 2 = Е = 3/2 kТ ÞU = Ö 3kТ/m_o так как mV 2 /2=3/2kT, T – мера количественная среднестатистической энергии поступательного движения молекул. Р = nkТ

Уравнение Р = nkТ применить пока сложно, так как остается проблема измерения на практике величины n поэтому было установлено

R – универсальная газовая постоянная.

Рассмотрим частные случаи / изопроцессы/

V₁/T₁=V₂/T₂ V P₁/T₁=P₂/T₂ P P₁V₁=P₂V₂ P

V = (mR/Pm)T P = (mR/Vm)T P =(mRT/m) 1/V

Видео:Уравнение БернуллиСкачать

P=const -изобара T V=const -изохора T T=const -изотерма V

Теперь вместо уравнения Р = (2/3 )nE получено уравнение Р = (mRT) / (mV) , в котором физические величины определяются с помощью термометра, манометра, линейки и весов, а значит, его можно эффективно использовать на практике для количественного анализа реальных процессов в газах. Но ! в природе газы почти всегда находятся в смеси и самая распространенная смесь – это воздух. Рассмотрим один из важнейших компонентов воздуха – пары воды (влажность воздуха).

4 Пар, находящийся в динамическом равновесии со своею жидкостью, называют насыщенным паром. Его давление Р_о = n_нkT. Давление, которое производил бы газ при отсутствии всех остальных газов, называют парциональным. (Если газов несколько, то суммарное давление – есть сумма парциональных давлений (определена законом Дальтона) Р = Р₀₁ + Р₀₂ + …+ Р_0n ). Нормальные условия t= 0 ˚C; P=101325 Па.

Относительная влажность воздуха j = (P / P_н) 100%, где Р — парциальное давление ненасыщенного пара при данной температуре. Для измерения j используют психрометр – два термометра (сухой и влажный), по разности показаний (_∆Т) определяется j. Если нагревать воду в закрытом сосуде, то получим зависимость Р от Т. (плотность от температуры) tk– критическая температура, при которой исчезают различия между жидкостью и паром.

5 Возникла раньше МКТ и ставила задачу получения оптимальных условий использования теплоты для совершения работы, изучает те же явления, что и МКТ, Но ! имеет более описательный характер и опирается на два закона термодинамики

Œ Первый закон (закон Сохранения) _∆U = A + Q, где _∆U — изменение внутренней энергии системы ; Q— теплота переданная системе ; A– работа внешних сил. Из этого следует, что в замкнутой системе внутренняя энергия = const. При определении Q используют понятия: теплоемкость «С» [ Дж/кг град] , удельная теплота плавления l — [Дж/кг], удельная теплота парообразования r – [Дж/кг], H-[Дж/кг] – теплота сгорания.

 Второй закон термодинамики : Невозможно перевести теплоту от более холодного к более горячему телу без совершения работы извне.

📸 Видео

Уравнение Бернулли для потока жидкостиСкачать

Гидродинамика. Уравнение Бернулли. Физика 10 классСкачать

Якута А. А. - Механика - Гидростатика. Уравнение Бернулли. Формула ПуайзеляСкачать

14. Движение идеальной жидкостиСкачать

Заместители I и II рода для ЕГЭшников! Разбор задания в орг. цепочке ЕГЭСкачать

Вывод уравнения неразрывности - Лекция 1Скачать

лекция 10 мжгСкачать

Иродов 1.91Скачать

Гидродинамика. Вывод уравнения БернуллиСкачать

Примеры решения задач на водородный показатель pH растворов. 11 класс.Скачать

2,9Скачать

Урок 159. Задачи на газовые законы - 2Скачать

Брахистохрона Иоганна БернуллиСкачать

1кг глицерина и 2кг воды наливают в сосуд и аккуратно перемешивают. Считая, что объём смеси - №26093Скачать

Урок 381. Принцип Гюйгенса. Вывод законов отражения и преломления волнСкачать