Явные схемы интегрирования уравнений гидродинамических моделей атмосферы (8 видео)

Явные схемы интегрирования уравнений гидродинамических моделей атмосферы

Основой численных методов прогноза погоды являются гидродинамические модели атмосферы.

В данной главе дается описание физических процессов, приводящих к изменениям погоды, и рассматриваются дифференциальные уравнения, описывающие эти процессы. Приводится преобразование уравнений к системам координат, связанных с картографическими проекциями земного шара.

При разработке прогностических моделей атмосферы для целей краткосрочного (1–3 сут) и среднесрочного (3–10 сут) прогноза погоды выделяют три основных типа атмосферных процессов: крупномасштабные, среднемасштабные и мелкомасштабные процессы.

Крупно-, или макромасштабные процессы характеризуются горизонтальными масштабами порядка тысяч (1–10 тыс.) километров. Они развиваются за период времени в несколько (1 – 10) суток. Такими процессами являются, наример, циклогенез, струйные течения и др.

Средне-, или мезомасштабные процессы развиваются на площади с линейными размерами в десятки и сотни километров, за период до суток. К ним отнесятся атмосферные фронты, развитие кучевой облачности, орографические возмущения и др.

Мелко-, или микромасштабные процессы имеют горизонтальные масштабы от сантиметров до метров, временные масштабы – секунды и минуты. Таким процессом является атмосферная турбулентность, явления в приземном слое.

Атмосферные движения имеют волновой характер, который необходимо учитывать при разработке и реализации прогностических моделей. Наиболее важными для прогностических моделей являются крупномасштабные, гравитационные и акустические волны.

Крупномасштабные волны (инерционные волны, или волны Росби) ‑ синоптически значимые волны. Длина их – тысячи километров, период ‑ несколько суток. Амплитуда колебаний в поле давления составляет десятки гектопаскалей, в поле ветра ‑ десятки м/с. Очевидно, что эти волны являются частью крупномасштабных процессов и обязательно должны учитываться при разработке прогностических моделей.

Гравитационные волны образуются при нарушении гидростатического равновесия и относятся, в основном, к мезомасштабным процессам. Однако, некоторые из них характерны и для мелкомасштабных процессов. Амплитуды таких волн в поле ветра составляют несколько м/с. Гравитационные волны играют важную роль в процессах возникновения агеострофических составляющих ветра и циклогенеза. Учет их в прогностических моделях также необходим.

Акустические волны относятся, в основном, к микромасштабному диапазону и на формирование погоды влияния не оказывают, но могут существенным образом сказаться на результатах численного интегрирования уравнений модели.

Более подробные сведения о волновых движениях в атмосфере приводятся в курсах динамической метеорологии и теории общей циркуляции атмосферы.

Формирование погоды происходит под влиянием всех типов атмосферных процессов, кроме акустических колебаний, но «вклад» каждого процесса в различных условиях будет неодинаков. Так, формирование «однородной» погоды на больших пространствах («фона» погоды) происходит, главным образом, под влиянием крупномасштабных процессов и крупномасштабных волн. Микропроцессы при этом вносят свой определенный, но менее значимый вклад.

Погода в конкретной местности и в определенное время суток будет определяться в большей мере процессами мезомасштаба, развивающимися на фоне крупномасштабного процесса. Характерным примером является образование кучево-дождевых облаков и ливней в тыловой части циклонов.

Таким образом, необходимо выявить определенные приоритеты для включения тех или иных процессов в прогностическую модель: крупномасштабных, мезомасштабных и микромасштабных процессов. Таким образом, на начальном этапе создания прогностических моделей должны быть сформулированы уравнения гидротермодинамики, дающие математическое описание крупномасштабных атмосферных процессов.

Видео:Дифференциальное уравнение Эйлера. Основное уравнение гидростатикиСкачать

Рабочая учебная программа дисциплины «Гидродинамические прогнозы»

Министерство образования и науки Российской Федерации

Филиал федерального государственного бюджетного образовательного учреждения

«Российский государственный гидрометеорологический университет»

Заместитель директора по учебной работе

(руководитель структурного подразделения)

(в состав которого входит кафедра-составитель)

РАБОЧАЯ УЧЕБНАЯ ПРОГРАММА

дисциплины «Гидродинамические прогнозы»

по направлению (специальности) 020602 «Метеорология»

Форма обучения очная Блок дисциплин СД. Ф.11

Всего учебных занятий,

(в академических часах)

аудиторных, из них:

Курсовой проект (работа)

Рабочая программа составлена на основании ГОС ВО и учебного плана Филиала РГГМУ в г. Туапсе специальности (направления) 020602 «Метеорология»

на кафедре «Метеорологии и природопользования».

Составители рабочей программы

доцент, к. т.н. _________________

(должность, ученое звание, степень) (подпись) (Ф. И. О.)

Рабочая программа утверждена на заседании кафедры «Метеорологии и природопользования»

Протокол заседания № ___от «__»___ 20__ г.

Согласовано с научно-методической комиссией

Председатель научно-методической комиссии

Выписка из ГОС ВО по направлению подготовки дипломированного специалиста 020602 «Метеорология»:

Наименование дисциплины и ее основные разделы

Предмет и задачи дисциплины. История развития гидродинамических методов прогноза погоды. Многомасштабность атмосферных процессов и их классификация. Погодообразующие процессы и метеорологические шумы. Замкнутая система уравнений гидротермодинамики атмосферы и ее особенности.

Формулировка задачи гидродинамического прогноза погоды. Гидростатическое, геострофическое и адиабатическое приближения. Начальные условия. Боковые граничные условия. Граничные условия по вертикали. Принципиальная схема гидродинамического прогноза. Классификация гидродинамических прогнозов по заблаговременности. Интегрирование диагностических уравнений по вертикали.

Системы координат по горизонтальным координатам – сферическая и декартова. Картографические проекции, используемые в атмосферных моделях. Масштабный множитель. Уравнения гидротермодинамики атмосферы в системе координат с произвольной вертикальной координатой. Системы координат по вертикали, используемые в гидродинамических моделях атмосферы (декартова, изобарическая, сигма, гибридная). Достоинства и недостатки различных систем координат (вертикальных и горизонтальных), их сравнительный анализ. Преодоление недостатков различных координатных систем.

Уравнение вихря скорости. Уравнение дивергенции. Уравнение вихря скорости в квазигеострофическом приближении. Баротропная квазигеострофическая модель атмосферы. Сеточный метод решения уравнения модели. Метод итераций. Начальные и граничные условия. Принципиальная схема прогноза поля геопотенциала на среднем уровне. Квазисоленоидальные модели.

Вывод уравнения модели «мелкой воды». Уравнения модели «мелкой воды» в σ-системе координат. Принципиальная схема прогноза по уравнениям модели «мелкой воды». Начальные и граничные условия.

Интегральные инварианты гидродинамических моделей атмосферы: основные положения, ограничения, применение. Вывод интегральных инвариантов нелинейного уравнения адвекции. Консервативные схемы интегрирования уравнений. Вывод интегральных инвариантов модели «мелкой воды». Интегральные инварианты бароклинных моделей атмосферы в различных системах координат. Построение моделей, обладающих инвариантами. Бокс метод: вывод уравнений, достоинства, недостатки, граничные условия.

Метод расщепления: основные положения, принципиальная схема прогноза, достоинства, недостатки, ограничения на использование. Реализация метода расщепления на примере уравнений модели «мелкой воды». Методы решения системы уравнений адвекции и адаптации. Начальные и граничные условия. Явные, неявные и полунеявные схемы интегрирования уравнений гидродинамических моделей атмосферы: принципиальная схема прогноза, достоинства, недостатки.

Расшатанные по пространству и времени сетки. Классификация сеток по Аракаве. Стандартные операторы дифференцирования и сглаживания. Конечно-разностная аппроксимация полных уравнений и уравнений модели «мелкой воды» на расшатанных сетках. Вычислительная дисперсия.

Анализ устойчивости и дисперсионных свойств конечно-разностных схем, аппроксимирующих уравнения модели «мелкой воды» на расшатанных сетках. Сравнительный анализ точности описания скоростей на различных сетках.

Нелинейная вычислительная неустойчивость и методы борьбы с ней.

Особенности гидродинамического прогноза на ограниченной территории. Постановка граничных условий. Телескопизация.

Основы метода сеток. Дискретизация пространства и времени. Равномерные и неравномерные сетки. Конечно-разностные аналоги производных. Ошибка аппроксимации производных, порядок, точность, вязкость, согласованность. Повышение порядка точности аппроксимации.

Конечно-разностные схемы высокого порядка точности. Повышение точности аппроксимации схем центральных разностей за счет привлечения дополнительных точек. Повышение точности аппроксимации схем направленных разностей против потока. Устойчивость конечно-разностных схем высоких порядков точности. Диссипативные свойства конечно-разностных схем высоких порядков точности.

Линейное уравнение адвекции. Точное решение уравнения адвекции. Принципиальная схема прогноза. Различные способы аппроксимации.

Анализ ошибок аппроксимации, порядка точности, вычислительной вязкости, согласованности конечно разностных схем на примере линейного уравнения адвекции.

Явные, неявные, полунеявные схемы интегрирования. Двухуровенные и трехуровенные схемы интегрирования по времени. Одношаговые и многошаговые схемы интегрирования. Схемы типа «предиктор-корректор». Принципиальная схема прогноза по явной и неявной схемам интегрирования. Метод итераций. Метод прогонки. Физические и вычислительные начальные условия.

Устойчивость конечно-разностных схем интегрирования. Методы анализа устойчивости. Прямой метод. Энергетический метод. Метод Неймана. Анализ устойчивости двухуровенных и трехуровенных схем. Анализ устойчивости явных и неявных схем. Сравнительный анализ устойчивости схем с использованием центральных и направленных разностей. Сравнительный анализ устойчивости явных и неявных схем интегрирования. Анализ устойчивости двухшаговых схем.

Фазовая и групповая скорости. Вычислительная дисперсия. Анализ искажения скоростей при аппроксимации уравнения адвекции конечно-разностными схемами.

Уравнение колебания. Уравнение трения. Точное решение. Аппроксимация различными конечно-разностными схемами. Анализ устойчивости методом Неймана. Анализ изменения фазы колебания.

Нелинейное уравнение адвекции. Особенности интегрирования. Нелинейное взаимодействие. Ошибки ложного представления. Нелинейная вычислительная неустойчивость. Методы подавления и предотвращения нелинейной вычислительной неустойчивости. Фильтрация. Сглаживание. Консервативные схемы.

1. Цели и задачи учебной дисциплины, ее место в учебном процессе

1.1. Цели и задачи изучения дисциплины

Целью преподавания гидродинамических прогнозов является подготовка инженеров-метеорологов, владеющих знаниями в объеме, необходимом для глубокого понимания принципов построения и функционирования гидродинамических моделей атмосферы, способных грамотно использовать результаты моделирования.

Задачей изучения дисциплины является изучение физических основ построения гидродинамических моделей атмосферы, изучение методов решения уравнений гидротермодинамики атмосферы, приобретение практических навыков по созданию и использованию адиабатических моделей атмосферы.

1.2. Краткая характеристика дисциплины, ее место в учебном процессе

Курс «Гидродинамические прогнозы» является одним из базовых курсов в системе образования специалистов в области метеорологии. Гидродинамическое моделирование – один из самых эффективных и быстроразвивающихся методов изучения и прогнозирования атмосферных процессов.

1.3. Связь с предшествующими дисциплинами

Изучение курса «Гидродинамические прогнозы» базируется на знаниях полученных студентами при прохождении курсов физики, математики, механики жидкости и газа, физики атмосферы, динамической метеорологии и др.

1.4. Связь с последующими дисциплинами

Знания, полученные при изучении курса «Гидродинамические прогнозы», применяются при изучении ряда дисциплин специализации.

2. Требования к уровню освоения дисциплины

В результате изучения дисциплины студент должен

о перспективных направлениях развития гидродинамических прогнозах погоды, методических разработках, повышающих качество моделирования атмосферных процессов;

— физическую и математическую постановку задачи гидродинамического прогноза погоды на основе уравнений гидротермодинамики атмосферы;

— методы аппроксимации уравнений с помощью конечных разностей;

— методы анализа конечно-разностных схем;

— способы борьбы с вычислительными ошибками, возникающими при интегрировании уравнений гидротермодинамики атмосферы численными методами;

— численные методы интегрирования уравнений прогностических моделей;

— особенности интегрирования уравнений гидротермодинамики атмосферы на ограниченной территории;

— разрабатывать алгоритмы гидродинамического прогноза погоды;

— аппроксимировать уравнения в частных производных конечными разностями;

— анализировать ошибки конечно-разностных схем;

— осмысленно использовать результаты гидродинамического прогноза в синоптической практике.

3. Распределение учебных занятий по семестрам и тематический план дисциплины

Распределение видов и часов занятий по семестрам

Видео:Решение задачи теплопроводности (Явная разностная схема)Скачать

Математическое моделирование геофизических процессов

Владислав Расловлев 4 лет назад Просмотров:

1 КАЗАНСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНСТИТУТ ФИЗИКИ Кафедра радиоэлектроники Г.Г. Куштанова Математическое моделирование геофизических процессов Учебно-методическое пособие Казань 5

2 УДК Принято на заседании кафедры радиоэлектроники Протокол 4 от января 5 года Утверждено на методической комиссии института физики протокол от марта 5 года Рецензент В.н.с. подземной гидродинамики ИММ КазНЦ РАН д. т.н. доцент Шамсиев М.Н. Куштанова Г.Г. Математическое моделирование геофизических процессов. Учебное пособие. Казань 5. с. Пособие соответствует государственному образовательному стандарту дисциплины «Механика жидкости и газа» направления бакалаврской и магистерской подготовки «Радиофизические методы по областям применения» Изложены основы метода конечных разностей применительно к уравнению теплопроводности. Сформулированы фундаментальные понятия теории разностных схем. Приведены способы построения и приемы исследования некоторых разностных схем. Рассматриваются методы аппроксимации конвективного члена. Предназначено для студентов и аспирантов изучающих методы численного решения задач механики жидкости и газа. Куштанова Г.Г.. 5 Казанский университет 5

3 Оглавление Методы дискретизации уравнений Дискретизация по пространству Дискретизация по времени Итегро-интерполяциолнный метод. 8 Интегро-интерполяционный метод для обыкновенного дифференциального уравнения. 8 Интегро-интерполяционный метод для уравнения типа теплопроводности. 8 Метод прогонки Погрешности дискретизации. Анализ устойчивости. Типы сеток. Аппроксимация граничных условий. Дискретизация граничных условий интегро-интерполяционным способом Уравнение типа теплопроводности с переменными коэффициентами. 5 Свойство консервативности. 6 Схема с разностями против потока Свойство транспортивности Пример. 9 Литература.

4 Введение Гидродинамические задачи возникающие при разработке месторождений углеводородов требующие учета неоднородности коллектора неньютоновских свойств нефти многофазности течения слишком сложны чтобы допускать аналитические решения. Моделирование реальных пластов многопластовых систем построение постоянного действующих гидродинамических моделей месторождений требуют применение численных методов позволяющих получать приближенные решения соответствующих задач. Одним из таких методов является метод конечных разностей. Методы дискретизации уравнений. В результате дискретизации дифференциальных уравнений с помощью метода крнечных разностей непрерывное распределение параметров заменяется дискретным. Отыскивается приближенные значения неизвестной функции для конечного множества точек области определения. Эти точки называются узлами сетки. Дифференциальное уравнение заменяется системой алгебраических уравнений. Эти уравнения называются конечно-разностными а процедура получения этих уравнений дискретизацией. Если можно показать что приближенное решение близко в определенном смысле в узлах сетки к истинному решению исходной задачи то говорят что оно аппроксимирует истинное решение. Основные методы дискретизации уравнений это разложение в ряд Тейлора интегральный и вариационный методы что соответствует дифференциальной интегральной и вариационной формам уравнения сохранения. Рассмотрим основные приемы дискретизации уравнений на примере уравнении однофазной фильтрации:. Дискретизация по пространству. Рассмотрим равномерную разностную сетку вдоль оси х. Обозначим через расстояние между узлами. — Рис.. Равномерная разностная сетка вдоль оси х. Выразим и используя разложение в ряд Тейлора.

5 С помощью этих разложений можно получить несколько аппроксимаций для первой производной в точке. Аппроксимация разностью «вперед» следует из выражения . f f f 4 Здесь f — локальная погрешность дискретизации или погрешность аппроксимации соответствующая аппроксимации разностью «вперед». Аналогично из получим выражение для аппроксимации разностью «назад». f и и 5 В соответствии с выражениями 4 и 5 аппроксимации первой производной разностью «вперед» и «назад» имеют первый порядок точности O т.к. погрешности дискретизации имеют порядок. Аппроксимацией первой производной более высокого порядка точности является аппроксимация «центральной» разностью. Вычтем из . 5!! с с 6 Аппроксимация второго порядка точности O. Для аппроксимации второй производной сложим выражения и . 6! 4! Подставляя найденные аппроксимации производных в дифференциальные уравнения получают конечно-разностные аппроксимации уравнений. Интегральный метод аппроксимации больше отражает физический смысл изучаемого процесса и соответствует интегральной форме уравнений. В отличие от разложения в ряд Тейлора в этом случае вводится дополнительное понятие «блока» или «ячейки». Вся рассматриваемая область разбивается на такие блоки в каждом из которых находится по одному узлу. Значения искомой функции определяются в узлах. Проведем интегрирование по объему блока площадь поперечного сечения S которого постоянна. Блок для узла определяется границами -.5 и.5. d S S Подставляя разложения вида 6 получим d S S Если уравнение 9 разделить на объем блока S то в левой части получится аппроксимация 7. В уравнение в интегральном виде 9 в отличие от дифференциального представления входят расходы флюида через границы блока

6 поэтому матрица коэффициентов системы линейных уравнений для вычисления Р будет симметричной даже в случае неравномерной разностной сетки. Такое представление во-первых облегчает решение задачи а во-вторых пригодно для расчета материального баланса. Дискретизация по времени. Введем временной шаг. Решение отыскивается только на дискретных временных слоях Обозначим приближенное значение искомой функции в точке в момент времени через. Производная по времени также может быть аппроксимирована разностью «вперед» либо «назад». f f. b b Аппроксимации — имеют первый порядок точности O т.к. погрешности дискретизации имеют порядок. Подстановка выражения в уравнение в котором аппроксимация левой части 7 вычисляется на -ом слое по времени дает уравнение явного метода или явное уравнение: Начальные условия определяют значение искомой функции в начальный момент времени т.е. при. Искомая величина в узле на новом временном слое может быть вычислена явно через значения на предыдущем слое: Погрешность аппроксимации явной схемы имеет порядок O O. Для того чтобы при дискретизации уравнения учесть каким образом изменяется искомая функция за шаг по времени можно при аппроксимации левой части использовать средние значения искомой величины за соответствующий интервал: d θ θ 4 Здесь θ и предполагается что временной шаг настолько мал что функция Р монотонная на этом интервале времени. В результате получается смешанная схема включающая значения как на старом временном слое так и на новом: θ θ 5 При θ уравнение 5 превращается в явную схему при θ полностью неявную схему при θ.5 схему Кранка-Николсона. Схема Кранка-Николсона представляет собой разновидность неявного метода т.к. для вычисления неизвестных значений

7 функции на новом временном слое необходимо решать систему уравнений. При θ.5 схема имеет второй порядок точности и по времени O O. Наиболее распространенные разностные схемы для уравнения теплопроводности : явная схема ее шаблон неявная схема Схема Кранка-Николсона Точки принадлежащие одной гиперплоскости называют временным слоем. Часто используемые обозначения:

8 Итегро-интерполяциолнный метод Интегро-интерполяционный метод для обыкновенного дифференциального уравнения k ‘ ‘ q ‘ f q. Уравнение аппроксимируется путем интегрирования от -/ до /. k ‘ / f d Поделим на. k ‘ k’ / q d / d k / /. / / d ϕ d q d f d. N ϕ Интегралы берутся приближенно например по методу прямоугольников в крайних или средних точках. Для получения граничного условия интегрируем уравнение от до /. k’ k’ q d f d / Выделяем поток в из граничного условия k ‘ µ k’ / µ d5 ϕ.5 Получается на границе

µ µ ϕ.5 d 5 На границе l N µ. Интегро-интерполяционный метод для уравнения типа теплопроводности / η d / d / d η / / / η d

9 η -неявная схема В общем виде d θ θ [ θ η θ θ явная θ неявная.5 θ Кранка-Николсона Метод прогонки. Разностная схема 5 представляет собой частный случай системы линейных алгебраических уравнений Af С трехдиагональной матрицей [ ] A т.е. с матрицей все элементы которой не лежащие на главной и двух побочных диагоналях равны нулю при > и 10 Соотношения 7 представляют собой рекуррентные формулы для определения прогоночных коэффициентов. Необходимо задать начальные значения. Они определяются из требования эквивалентности условия первому из граничных условий 6. Отсюда получаем κ. µ Вычисление коэффициентов по формулам 8 называется прямой прогонкой. После того как все прогоночные коэффициенты найдены решение системы 6 находится по рекуррентной формуле 7 начиная с N. Для начала счета по этой формуле необходимо знать N которое определяется из уравнение κ N µ N N N N N κ N µ и равно N. κ N Нахождение N N. 9 называется обратной прогонкой. Изложенный здесь алгоритм решения системы 6называется методом прогонки. Метод прогонки можно применять если знаменатель выражений 8 не обращается в нуль. Доказано [] что для возможности применения метода прогонки достаточно потребовать чтобы коэффициенты системы 6 удовлетворяли условиям b c b. N κ κ 11 Пусть приближенное решение k k вычисляется с ошибкой ε k т.е. определяется ε k k ε k. Тогда численная схема устойчива если и неустойчива в ε противном случае. Исследование схемы 5 показывает что при θ³.5 условие устойчивости выполняется при любых значениях и. Таким образом неявная схема θ и схема Кранка-Николса θ.5 являются безусловно устойчивыми. Для явной схемы θ условие устойчивости совпадает с условием сходимости и имеет вид.5 Таким образом понятие устойчивости и сходимости являются взаимосвязанными. Для согласованной аппроксимации линейных систем устойчивость является необходимым и достаточным условием сходимости теорема Лакса. Это свойство широко используется на практике поскольку доказать сходимость достаточно сложно тогда как устойчивость исследуется гораздо более простыми методами. k Анализ устойчивости. Наиболее распространенный метод анализа устойчивости был предложен Дж. фон Нейманом в Лос-Аламосе в 944 г. В этом методе решение модельного уравнения представляется рядом Фурье с конечным числом членов и устойчивость или неустойчивость определяется тем что каждое отдельное колебание затухает или нанарастает. Рассмотрим явную схему для уравнения типа теплопроводности: или d d /. Каждая Фурье-компонента решения записывается в виде V e k где V амплитуда отдельной компоненты с волновым числом k длина волны A π/k на -м временном слое и -мнимая единица. Пространственная область считается бесконечной. Если ввести фазовый угол θk то V e θ. Подставляя соответствующие Фурье-компоненты в разностное уравнение получаем V e V e d V e V V θ θ θ θ θ множитель [ θ θ V V d e e ] e e после деления на общий θ θ Учитываем e e cosθ и определим множитель перехода G равенством V GV. Для G имеем G d cosθ. Заметим GGθ т.е множители перехода для различных Фурье-компонент различны. Чтобы решение оставалось ограниченным для всех θ должно выполняться условие G. Это условие называется критерием устойчивости для уравнения с диффузионным членом. Учитывая выражение для G получаем d cosθ Которое должно выполняться для всех возможных θ. Правое неравенство выполняется всегда. Левое накладывает на d условие устойчивости d / или.

12 Спектральный признак устойчивости разностных схем является наиболее распространенным в силу своей простоты и универсальности. Однако данный метод допускает использование только для однородных уравнений с постоянными коэффициентами без учета краевых условий. Иначе подстановка m λ em в разностную схему дает соотношение связывающее между собой λ и : так называемое характеристическое дисперсионное уравнение. Величина λ- в общем случае комплексная — именуется множителем коэффициентом перехода поскольку m λ m. Необходимое условие устойчивости сводится к требованию λ. Для явной схемы λ-4σs / где σ/. Схема устойчива при σ.5 Для неявной схемы от величины σ λ 4σ s / и схема абсолютно устойчива независимо Типы сеток. Рассмотрим два метода построения прямоугольных сеток которые наиболее широко применяются при моделировании пластов. При построении блочно-центрированной сетки моделируемая область прежде всего разбивается на сеточные блоки в общем случае неравномерно. Затем в центрах блоков помещаются узлы. В этом случае отсутствуют узлы на границе области а узлы находящиеся в смежных блоках могут иметь различные расстояния до общей грани рис.. δ — δ — Рис.. Блочно-центрированная сетка. Построение сетки с распределенными узлами начинается с размещения узлов причем первый и последний узлы помещаются на границы области а остальные между ними возможно неравномерно. Границы сеточных блоков находятся посередине между узлами. В случае если узлы располагаются на равных расстояниях размеры первого и последнего блоков оказываются меньше рис..

13 δ — δ — Рис.. Сетка с распределенными узлами. Пусть длина го блока и — расстояния от узла до узла и — соответственно δ и δ — расстояния от узла до соответствующих границ блока δ δ Тогда для блочно-центрированной сетки имеем: δ δ.5 ±.5 для сетки с распределенными узлами: δ δ δ δ.5. При использовании блочно-центрированной сетки минимизируется ошибка дискретизации аккумулирующим членов производной по времени в уравнении сохранения массы т.к. центр блока совпадает с его центром масс. Применение сетки с распределенными узлами позволяет наилучшим образом аппроксимировать потоковые члены производная по направлению т.к. граница соседних блоков находится посередине между узлами сетки. Аппроксимация граничных условий. Для записи разностных уравнений в нерегулярных узлах на границе или вблизи нее необходимо привлекать граничные условия. Например для уравнения типа теплопроводности нерегулярными являются граничные узлы и N. Для первой краевой задачи µ L µ в этих узлах нетрудно записать разностные уравнения µ N µ которые являются точными. Более сложен случай второй краевой задачи для того же уравнения далее будем рассматривать только условие на левой границе: µ L µ. Можно аппроксимировать производную односторонней разностью: µ здесь приняты обычно используемые обозначения. «Крышечка острием вверх» означает функцию со следующего временного слоя по сравнению с функцией без дополнительных значков «крышечка острием вниз» — с предыдущего временного слоя по сравнению с функцией без дополнительных значков. Обозначения используются чтобы не писать все время индекс временного слоя. Данное граничное условие неявное т.к. оно содержит два значения функции со следующего слоя.

14 Однако невязка разностного уравнения равна O т.е. имеет меньший порядок малости чем невязка в регулярных узлах. Это приводит к понижению общей точности расчета. Рассмотрим способ описания разностного граничного условия точности O. Способ фиктивных точек. Сделаем это на примере явной схемы. Введем вне отрезка L фиктивную точку — и будем исходное уравнение справедливым при считать -. Тогда разностное уравнение можно написать при : Заменим в граничном условии на левой границе производную симметричной разностью: µ Исключая из двух последних соотношений фиктивную точку получим разностный аналог краевого условия µ 4 Это условие содержит только одно значение с нового слоя т.е. оно явное. Эту же процедуру можно провести используя неявную разностную схему. Тогда аналоги соотношений — запишутся в следующем виде: µ. Исключая фиктивную точку получим неявный разностный аналог краевого условия µ 5 в котором только одно значение с предыдущего слоя. Аппроксимацию граничных условий можно также провести интегро-интерполяционным способом. Интегрируем уравнение от до /. Интегралы берутся приближенно например по методу прямоугольников в крайних или средних точках..5 / µ.5 µ µ 6 С точностью до обозначений условие 6 совпадает с условием 5. Из 6 легко зависать первые прогоночные коэффициенты

15 µ 7 Дискретизация граничных условий интегро-интерполяционным способом. µ µ khb Q Интегро-интерполяционный способ. Интегрируем уравнение от до /. Интегралы берутся приближенно например по методу прямоугольников в крайних или средних точках. Нумерация точек N первая — это точка соответствующая х. d d Производную в нуле подставим из граничного условия kbh Q µ µ µ kbh Q kbh Q Получилось то же самое что и методом фиктивных точек Можно также получить явное условие Уравнение типа теплопроводности с переменными коэффициентами. [ ] / / W W W / / / / N — неявная схема

16 / Соответственно выписываются коэффициенты. f c b Аналогично строится схема Кранка-Николса для уравнения с переменными коэффициентами. Свойство консервативности Конечно-разностный метод является консервативным если он обеспечивает выполнение определенных интегральных законов сохранения справедливых для исходных дифференциальных уравнений. Например уравнение переноса вихря в консервативной форме имеет вид U. 8 Если его проинтегрировать по пространственной области и применить формулу Остроградского-Гаусса то получим ds ds U d 9 Уравнение констатирует что скорость накопления некой величины в области равна сумме конвективного и диффузионного притоков величины в область через ее границу за единицу времени. Требование консервативности заключается в тождественном сохранении в конечноразностной схеме этого интегрального соотношения. Простоты ради рассмотрим одномерное модельное уравнение для предельного случая невязкой жидкости которое получается из уравнения 8 и имеет вид Если с другой стороны величину трактовать как массовую плотность то уравнение будет уравнением неразрывности для сжимаемой среды. Используя разности вперед по времени и центральные разности по пространственной переменной можно записать конечно-разностный аналог уравнения в виде. Рассмотрим теперь одномерную область причем меняется от до и вычислим сумму соответствующую интегралу d в уравнении : Суммирование в правой части проводится следующим образом:

17 4 / / Данное уравнение показывает что скорость накопления величины в области в точности равна потоку величины в область через границы -/ и -/. Таким образом полученный конечно-разностный аналог сохраняет интегральное свойство которое выражает формула Остроградского Гаусса для дифференциального уравнения и мы будем говорить что этот аналог обладает свойством консервативности. Свойство консервативности зависит как от используемой формы дифференциального уравнения так и от принятой конечно-разностной схемы. Например неконсервативная форма одномерного модельного уравнения такова: При такой форме исходного дифференциального и схемы с центральной разностью по пространственной переменной члены соответствующие потокам через грани смежных ячеек взаимно не уничтожаются что легко показать за исключением частного случая когда cos. Теперь становится ясным смысл терминов «консервативная» или «дивергентная» форма уравнения. В первом случае консервативность обеспечивается применением метода контрольного объема при выводе конечно-разностных выражений. При использовании консервативной формы конвективный поток величины вытекающий через грань -/ из контрольного объема за единицу времени в точности равен конвективному потоку втекающему через ту же грань в контрольный объем за единицу времени. В случае неконсервативной формы это не имело бы места. Ясно что при > единственный путь обеспечить сохранение суммарного потока в общем случае заключается в независимом сохранении конвективных и диффузионных членов в не одномерном случае необходимо обеспечить консервативность этих членов отдельно по каждой пространственной переменной. Важность свойства консервативности легко понять на примере уравнения неразрывности для сжимаемой среды. Рассмотрим задачу о естественной конвекции в полностью замкнутом сосуде с непроницаемыми стенками. В начальный момент времени считаем что во всем объеме V. К нижней стенке сосуда подводится тепло и происходит естественная конвекция возможно достигающая стационарного состояния. Если для рас-

18 расчетов принимается какая-либо неконсервативная схема то полная масса в исследуемом объеме будет меняться. Если же используется консервативная схема то полная масса не будет меняться. Схема с разностями против потока. Одношаговая явная двухслойная по времени схема обеспечивающая статическую устойчивость для конвективных членов основана на использовании односторонних а не центральных разностей по пространственным переменным. Когда скорости положительны то используются разности назад и наоборот. Таким образом односторонняя разность всегда берется против потока т. е. в направлении вверх по течению от точки в которой вычисляется d/d. Данная схема имеет ошибку аппроксимааппроксимации О х >. . Тогда в точке m вниз по потоку от точки возмущения m m δ δ Что приемлемо. Но в точке где наложено возмущение m m А это уже неразумно. Еще более существенно что в точке m- расположенной вверх по потоку от точки возмущения m m δ δ. Таким образом влияние возмущения проявляется вверх по потоку от точки возмущения и значит свойство транспортивности нарушается.

19 Сравним полученный результат с результатов который дает схема с разностями против потока при >:. Тогда как и ранее в точке m вниз по потоку от точки возмущения будем иметь. m m δ δ В точке m где наложено возмущение m m δ δ А это означает что возмущение выносится из области где оно было наложено как это и должно быть. В точке m- расположенной вверх по потоку от точки возмущения m m И это указывает на то что возмущение не переносится вверх по потоку. Следовательно схема с разностями против потока обладает свойством транспортивности. Свойство транспортивности имеет такой же физический смысл как и свойство консервативности. Схемы с разностями против потока обладающие свойством транспортивности точнее чем схемы с центральными разностями для первых производных именно в этом смысле а не в смысле порядка ошибки аппроксимации. Схема с разностями против потока является транспортивной а также консервативной до тех пор пока составляющие скорости не меняют свой знак. Пример Уравнение с постоянными коэффициентами L / N N — неявная схема схема Кранка-Николса. f c b c f c b

20 Литература. Тарасевич Ю.Ю. Математическое и компьютерное моделирование : вводный курс : учебное пособие для студентов высших учебных заведений обучающихся по специальности «Информатика» / Ю. Ю. Тарасевич. Изд. 5-е. Москва : USS : [ЛИБРОКОМ ]. 48 с. 9.. Зарипов Ф.Ш. Введение в математическое моделирование [Текст: электронный ресурс] : учебно-методический комплекс курса по направлению подготовки: 5 Педагогическое образование профиль: математическое образование информатика и информационные технологии : [учебное пособие] / Зарипов Ф. Ш. Казан. федер. ун-т Каф. высш. математики и мат. моделирования. Электронные данные файл: 589 Мб. Казань : Казанский федеральный университет. Загл. с экрана. Для -го семестра. Режим доступа: открытый.

🎥 Видео

Лекция №1.1 Явная и неявная схемы для уравнения теплопроводностиСкачать

СУПЕРКОМПЬЮТЕРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ГЕОФИЗИЧЕСКОЙ ТУРБУЛЕНТНОСТИСкачать

Лекция 7.1 Павел Берлов: Введение в геофизическую гидродинамику.Скачать

В.П. Шутяев МЕТОДЫ ВАРИАЦИОННОЙ АССИМИЛЯЦИИ ДАННЫХ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ В ЗАДАЧАХ ГЕОФИЗИЧ. ГИДРОДИНАМИКИСкачать

Вывод уравнения неразрывности - Лекция 1Скачать

Толстых М.А. РАЗВИТИЕ МНОГОМАСШТАБНОЙ ГЛОБАЛЬНОЙ МОДЕЛИ АТМОСФЕРЫ ПЛАВСкачать

XVI.ШМУ.04 - Вариационная ассимиляция данных в моделях гидротермодинамики морей - Пармузин Е. И.Скачать

Основное уравнение гидростатики (задачи)Скачать

Вереземская П.С. ВИХРЕРАЗРЕШАЮЩЕЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ СУБПОЛЯРНОГО КРУГОВОРОТА СЕВЕРНОЙ АТЛАНТИКИСкачать

04. Эксперт Сальников "Гидродинамическая модель раннего предупреждения засух"Скачать

ТЕНДЕНЦИИ РАЗВИТИЯ СОВРЕМЕННЫХ НЕГИДРОСТАТИЧЕСКИХ ТЕХНОЛОГИЙ ЧИСЛЕННОГО ПРОГНОЗАСкачать

Решение задач на термохимические уравнения. 8 класс.Скачать

Численное решение задач гидродинамики в продуктах ANSYSСкачать

Кислов А.В. - Климатология с основами метеорологии - Технология прогнозирования погодыСкачать

Тихонов Н. А. - Основы математического моделирования - Явления переноса (Лекция 5)Скачать

Методы исследования физики атмосферы и океана: откуда мы знаем, что происходит на планете?Скачать