Явная схема уравнения теплопроводности онлайн

Видео:Решение уравнения теплопроводности в одномерной постановке в Excel с применением неявной схемыСкачать

Решение уравнения теплопроводности в одномерной постановке в Excel с применением неявной схемы

Решение уравнения теплопроводности

Дата добавления: 2013-12-23 ; просмотров: 3588 ; Нарушение авторских прав

Решение алгебраических уравнений методом Ньютона

Достаточно популярным методом решения уравнений является метод касательных, или метод Ньютона. В этом случае уравнение вида f(x) = 0 решается следующим образом. Сначала выбирается нулевое приближение (точка x0). В этой точке строится касательная к графику y = f(x). Точка пересечения этой касательной с осью абсцисс является следующим приближением для корня (точка x1). В этой точке снова строится касательная и т.д. Последовательность точек x0, x1, x2… должна привести к истинному значению корня. Условием сходимости является Явная схема уравнения теплопроводности онлайн.

Так как уравнение прямой, проходящей через точку x0, f(x0) (а это и есть касательная), записывается в виде

Явная схема уравнения теплопроводности онлайн

а в качестве следующего приближения x1 для корня исходного уравнения принимается точка пересечения этой прямой с осью абсцисс, то следует положить в этой точке y = 0:

Явная схема уравнения теплопроводности онлайн,

откуда немедленно следует уравнение для нахождения следующего приближения через предыдущее:

Явная схема уравнения теплопроводности онлайн

Явная схема уравнения теплопроводности онлайн

На Рис. 3 показана реализация метода Ньютона средствами Excel. В ячейку B3 вводится начальное приближение (x0 = -3), а затем остальных ячейках столбца вычисляются все промежуточные величины вплоть до вычисления x1. Для выполнения второго шага в ячейку C3 вводится значение из ячейки B10 и процесс вычислений повторяется в столбце C. Затем, выделив ячейки C2:C10 можно, потянув за маркер в правом нижнем углу выделенной области, распространить его на столбцы D:F. В итоге в ячейке F6 получено значение 0, т.е. значение в ячейке F3 есть корень уравнения.

Этот же результат можно получить, используя циклические вычисления. Тогда после заполнения первого столбца и получения первого значения x1 следует ввести в ячейку H3 формулу =H10. При этом вычислительный процесс будет зациклен и для того, чтобы он выполнялся, в меню Сервис | Параметры на вкладке Вычисления необходимо установить флажок Итерации и указать предельное число шагов итерационного процесса и относительную погрешность (установленное по умолчанию число 0,001 явно недостаточно во многих случаях), по достижении которой вычислительный процесс остановится.

Как известно, такие физические процессы, как перенос тепла, перенос массы в процессе диффузии, подчиняются закону Фика

Явная схема уравнения теплопроводности онлайн,

где l — коэффициент теплопроводности (диффузии), а T – температура (концентрация), а Явная схема уравнения теплопроводности онлайн– поток соответствующей величины. Из математики известно, что дивергенция потока равна объемной плотности источника Q этой величины, т.е.

Явная схема уравнения теплопроводности онлайн

или, для двухмерного случая, когда исследуется распределение температуры в одной плоскости, это уравнение может быть записано в виде:

Явная схема уравнения теплопроводности онлайн(4)

Решение этого уравнения аналитически возможно только для областей простой формы: прямоугольник, круг, кольцо. В остальных ситуациях точное решение этого уравнения невозможно, т.е. невозможно и определить распределение температуры (или концентрации вещества) в сложных случаях. Тогда приходится использовать приближенные методы решения таких уравнений.

Приближенное решение уравнения (4) в области сложной формы состоит из нескольких этапов: 1) построение сетки; 2) построение разностной схемы; 3) решение системы алгебраических уравнений. Рассмотрим последовательно каждый из этапов и их реализацию с помощью пакета Excel.

Явная схема уравнения теплопроводности онлайнЯвная схема уравнения теплопроводности онлайнПостроение сетки. Пусть область имеет форму, показанную на рис. 4. При такой форме точное аналитическое решение уравнения (4), например, методом разделения переменных, невозможно. Поэтому будем искать приближенное решение этого уравнения в отдельных точках. Нанесем на область равномерную сетку, состоящую из квадратов со стороной h. Теперь, вместо того, чтобы искать непрерывное решение уравнения (4), определенное в каждой точке области, будем искать приближенное решение, определенное только в узловых точках сетки, нанесенной на область, т.е. в углах квадратов.

Явная схема уравнения теплопроводности онлайнЯвная схема уравнения теплопроводности онлайнПостроение разностной схемы.Для построения разностной схемы рассмотрим произвольный внутренний узел сетки Ц (центральный) (рис.5). С ним соседствуют четыре узла: В (верхний), Н (нижний), Л (левый) и П (правый). Напомним, расстояние между узлами в сетке равно h. Тогда, используя выражение (2) для приближенной записи вторых производных в уравнении (4), можно приближенно записать:

Явная схема уравнения теплопроводности онлайн,

откуда легко получить выражение, связывающее значение температуры в центральной точке с ее значениями в соседних точках:

Явная схема уравнения теплопроводности онлайн(5)

Выражение (5) позволяет нам, зная значения температуры в соседних точках, вычислить ее значение в центральной точке. Такая схема, в которой производные заменяются конечными разностями, а для поиска значений в точке сетки используются только значения в ближайших соседних точках, называется цетрально-разностной схемой, а сам метод – методом конечных разностей.

Нужно понимать, что уравнение, аналогичное (5), мы получаем ДЛЯ КАЖДОЙ точки сетки, которые, таким образом, оказываются связанными друг с другом. То есть мы имеем систему алгебраических уравнений, в которой число уравнений равно числу узлов сетки. Решать такую систему уравнений можно различными методами.

Решение системы алгебраических уравнений. Метод итераций. Пусть в граничных узлах температура задана и равна 20, а мощность теплового источника равна 100. Размеры нашей области заданы и равны по вертикали 6, а по горизонтали 8, так что сторона квадрата сетки (шаг) h = 1. Тогда выражение (5) для вычисления температуры во внутренних точках принимает вид

Явная схема уравнения теплопроводности онлайн(6)

Явная схема уравнения теплопроводности онлайн

Поставим в соответствие каждому УЗЛУ ячейку на листе Excel. В ячейках, соответствующих граничным точкам, введем число 20 (на рис. 6 они выделены серым цветом). В остальных ячейках запишем формулу (6). Например в ячейке F2 она будет выглядеть следующим образом: =(F1 + F3 + E2 + G2)/4 + 100*(1^2)/4. Записав эту формулу в ячейку F2, можно ее скопировать и вставить в остальные ячейки области, соответствующие внутренним узлам. При этом Excel будет сообщать о невозможности проведения вычислений из-за зацикливания результатов:

Явная схема уравнения теплопроводности онлайн

Нажмите «Отмена» и перейдите в окно Сервис|Параметры|Вычисления, где установите флажок в разделе «Итерации», указав при этом в качестве относительной погрешности величину 0,00001, а в качестве предельного количества итераций 10000:

Явная схема уравнения теплопроводности онлайн

Такие значения обеспечат нам малую СЧЁТНУЮ погрешность и гарантируют, что итерационный процесс дойдет до заданной погрешности.

Однако эти значения НЕ ОБЕСПЕЧИВАЮТ малую погрешность самого метода, так как последняя зависит от погрешности при замене вторых производных конечными разностями. Очевидно, что эта погрешность тем меньше, чем меньше шаг сетки, т.е. размер квадрата, на котором строится наша разностная схема. Это означает, что точно ВЫЧИСЛЕННОЕ значение температуры в узлах сетки, представленное на рис. 6, на самом деле может оказаться совсем не соответствующим действительности. Существует единственный метод проверить найденное решение: найти его на более мелкой сетке и сравнить с предыдущим. Если эти решения отличаются мало, то можно считать, что найденное распределение температуры соответствует действительности.

Уменьшим шаг вдвое. Вместо 1 он станет равным ½. Число узлов у нас соответственно изменится. По вертикали вместо 7 узлов (было 6 шагов, т.е. 7 узлов) станет 13 (12 квадратов, т.е. 13 узлов), а по горизонтали вместо 9 станет 17. При этом не следует забывать, что величина шага уменьшилась вдвое и теперь в формуле (6) вместо 1 2 нужно в правой части подставлять (1/2) 2 . В качестве контрольной точки, в которой будем сравнивать найденные решения, возьмем точку с максимальной температурой, отмеченную на рис. 6 желтым цветом. Результат вычислений показан на рис. 9:

Явная схема уравнения теплопроводности онлайн

Видно, что уменьшение шага привело к существенному изменению значения температуры в контрольной точки: на 4%. Для повышения точности найденного решения следует ещё уменьшить шаг сетки. Для h = ¼ получим в контрольной точке 199,9, а для h = 1/8 соответствующее значение равно 200,6. Можно построить график зависимости найденной величины от величины шага:

Явная схема уравнения теплопроводности онлайн

Из рисунка можно сделать вывод, что дальнейшее уменьшение шага не приведет к существенному изменению температуры в контрольной точке и точность найденного решения можно считать удовлетворительной.

Используя возможности пакета Excel, можно построить поверхность температуры, наглядно представляющую ее распределение в исследуемой области:

Видео:Решение задачи теплопроводности (Явная разностная схема)Скачать

Решение задачи теплопроводности (Явная разностная схема)

Уравнение теплопроводности в tensorflow

Привет, Хабр! Некоторое время назад увлекся глубоким обучением и стал потихоньку изучать tensorflow. Пока копался в tensorflow вспомнил про свою курсовую по параллельному программированию, которую делал в том году на 4 курсе университета. Задание там формулировалось так:

Линейная начально-краевая задача для двумерного уравнения теплопроводности:

Явная схема уравнения теплопроводности онлайн

Явная схема уравнения теплопроводности онлайн

Явная схема уравнения теплопроводности онлайн

Явная схема уравнения теплопроводности онлайн

Хотя правильнее было бы назвать это уравнением диффузии.

Задачу тогда требовалось решить методом конечных разностей по неявной схеме, используя MPI для распараллеливания и метод сопряженных градиентов.

Я не специалист в численных методах, пока не специалист в tensorflow, но опыт у меня уже появился. И я загорелся желанием попробовать вычислять урматы на фреймворке для глубокого обучения. Метод сопряженных градиентов реализовывать второй раз уже не интересно, зато интересно посмотреть как с вычислением справится tensorflow и какие сложности при этом возникнут. Этот пост про то, что из этого вышло.

Видео:Лекция №1.1 Явная и неявная схемы для уравнения теплопроводностиСкачать

Лекция №1.1 Явная и неявная схемы для уравнения теплопроводности

Численный алгоритм

Явная схема уравнения теплопроводности онлайн

Явная схема уравнения теплопроводности онлайн

Явная схема уравнения теплопроводности онлайн

Разностная схема:

Чтобы проще было расписывать, введем операторы:

Явная схема уравнения теплопроводности онлайн

Явная схема уравнения теплопроводности онлайн

Явная разностная схема:

Явная схема уравнения теплопроводности онлайн

В случае явной разностной схемы для вычисления используются значения функции в предыдущий момент времени и не требуется решать уравнение на значения Явная схема уравнения теплопроводности онлайн. Однако такая схема менее точная и требует значительно меньший шаг по времени.

Неявная разностная схема:

Явная схема уравнения теплопроводности онлайн

Явная схема уравнения теплопроводности онлайн

Явная схема уравнения теплопроводности онлайн

Явная схема уравнения теплопроводности онлайн

Перенесем в левую сторону все связанное с Явная схема уравнения теплопроводности онлайн, а в правую Явная схема уравнения теплопроводности онлайни домножим на Явная схема уравнения теплопроводности онлайн:

Явная схема уравнения теплопроводности онлайн

По сути мы получили операторное уравнение над сеткой:

Явная схема уравнения теплопроводности онлайн

что, если записать значения Явная схема уравнения теплопроводности онлайнв узлах сетки как обычный вектор, является обычной системой линейных уравнений (Явная схема уравнения теплопроводности онлайн). Значения в предыдущий момент времени константы, так как уже рассчитаны.
Для удобства представим оператор Явная схема уравнения теплопроводности онлайнкак разность двух операторов:

Явная схема уравнения теплопроводности онлайн

Явная схема уравнения теплопроводности онлайн

Явная схема уравнения теплопроводности онлайн

Заменив Явная схема уравнения теплопроводности онлайнна нашу оценку Явная схема уравнения теплопроводности онлайн, запишем функционал ошибки:

Явная схема уравнения теплопроводности онлайн

Явная схема уравнения теплопроводности онлайн

где Явная схема уравнения теплопроводности онлайн— ошибка в узлах сетки.

Будем итерационно минимизировать функционал ошибки, используя градиент.

В итоге задача свелась к перемножению тензоров и градиентному спуску, а это именно то, для чего tensorflow и был задуман.

Видео:Решение задачи теплопроводности методом конечных разностейСкачать

Решение задачи теплопроводности методом конечных разностей

Реализация на tensorflow

Кратко о tensorflow

В tensorflow сначала строится граф вычислений. Ресурсы под граф выделяются внутри tf.Session. Узлы графа — это операции над данными. Ячейками для входных данных в граф служат tf.placeholder. Чтобы выполнить граф, надо у объекта сессии запустить метод run, передав в него интересующую операцию и входные данные для плейсхолдеров. Метод run вернет результат выполнения операции, а также может изменить значения внутри tf.Variable в рамках сессии.

tensorflow сам умеет строить графы операций, реализующие backpropagation градиента, при условии, что в оригинальном графе присутствуют только операции, для которых реализован градиент (пока не у всех).

Сначала код инициализации. Здесь производим все предварительные операции и считаем все, что можно посчитать заранее.

По-хорошему надо было считать значения функции на краях заданными и оптимизировать значения функции только во внутренней области, но с этим возникли проблемы. Способа сделать оптимизируемым только часть тензора не нашлось, и у операции присвоения значения срезу тензора не написан градиент (на момент написания поста). Можно было бы попробовать хитро повозиться на краях или написать свой оптимизатор. Но и просто добавление разности на краях значений функции и краевых условий в функционал ошибки хорошо работает.

Стоит отметить, что метод с адаптивным моментом показал себя наилучшим образом, пусть функционал ошибки и квадратичный.

Вычисление функции: в каждый момент времени делаем несколько оптимизационных итераций, пока не превысим maxiter или ошибка не станет меньше eps, сохраняем и переходим к следующему моменту.

Запуск:

Видео:Уравнение в частных производных Уравнение теплопроводностиСкачать

Уравнение в частных производных  Уравнение теплопроводности

Результаты

Явная схема уравнения теплопроводности онлайн
Явная схема уравнения теплопроводности онлайн

Условие как и оригинальное, но без Явная схема уравнения теплопроводности онлайнв уравнении:

Явная схема уравнения теплопроводности онлайн

Явная схема уравнения теплопроводности онлайн

Явная схема уравнения теплопроводности онлайн

Что легко правится в коде:

Разницы почти нет, потому что производные имеют большие порядки, чем сама функция.

Явная схема уравнения теплопроводности онлайн
Явная схема уравнения теплопроводности онлайн

Условие с одним нагревающимся краем:

Явная схема уравнения теплопроводности онлайн

Явная схема уравнения теплопроводности онлайн

Явная схема уравнения теплопроводности онлайн

Явная схема уравнения теплопроводности онлайн

Явная схема уравнения теплопроводности онлайн
Явная схема уравнения теплопроводности онлайн

Условие с остыванием изначально нагретой области:

Явная схема уравнения теплопроводности онлайн

Явная схема уравнения теплопроводности онлайн

Явная схема уравнения теплопроводности онлайн

Явная схема уравнения теплопроводности онлайн

Явная схема уравнения теплопроводности онлайн

Явная схема уравнения теплопроводности онлайн
Явная схема уравнения теплопроводности онлайн

Условие с включением нагрева в области:

Явная схема уравнения теплопроводности онлайн

Явная схема уравнения теплопроводности онлайн

Явная схема уравнения теплопроводности онлайн

Явная схема уравнения теплопроводности онлайн

Явная схема уравнения теплопроводности онлайн
Явная схема уравнения теплопроводности онлайн

Видео:Решение уравнения теплопроводности методом конечных разностейСкачать

Решение уравнения теплопроводности методом конечных разностей

Рисование гифок

Функция рисования 3D-гифки:

В основной класс добавляем метод, возвращающий U в виде pandas.DataFrame

Функция рисования 2D-гифки:

Стоит отметить, что оригинальное условие без использования GPU считалось 4м 26с, а с использованием GPU 2м 11с. При больших значениях точек разрыв растет. Однако не все операции в полученном графе GPU-совместимы.

  • Intel Core i7 6700HQ 2600 МГц,
  • NVIDIA GeForce GTX 960M.

Посмотреть, какие операции на чем выполняются, можно с помощью следующего кода:

Это был интересный опыт. Tensorflow неплохо показал себя для этой задачи. Может быть даже такой подход получит какое-то применение — всяко приятнее писать код на питоне, чем на C/C++, а с развитием tensorflow станет еще проще.

Видео:Решение уравнения теплопроводности в одномерной постановке в ExcelСкачать

Решение уравнения теплопроводности в одномерной постановке в Excel

Лабораторная работа №7

Решение уравнений в частных производных методом сеток.

Решить одномерное уравнение теплопроводности методом сеток.

Используя явную схему метода сеток, проинтегрировать одномерное уравнение теплопроводности Явная схема уравнения теплопроводности онлайнсо следующими начальными и граничными условиями: Явная схема уравнения теплопроводности онлайн, Явная схема уравнения теплопроводности онлайн, Явная схема уравнения теплопроводности онлайн, Явная схема уравнения теплопроводности онлайн, Явная схема уравнения теплопроводности онлайн.

Наиболее простой конечно-разностной схемой, применяемой для численного решения уравнений с частными производными, является явная схема. В случае одномерного уравнения теплопроводности она записывается следующим образом:

Явная схема уравнения теплопроводности онлайн, j = 1, . , n , ( 10 )

где Явная схема уравнения теплопроводности онлайн, n — число узлов cетки по x. ( 11 )

1. В первой строке введем названия параметров: n , l , c , Dx, g, m, Dt, a, b, а под ними в соответствующих ячейках — числовые значения (n=10, l=1, c=1). Для Dx вводим соответствующую формулу =B2/A2 (Dx=l/n). Исходя из условий устойчивости явной схемы, выбираем m=0,5 и выражаем Dt через m из уравнения ( 11 ) (=$D$2*$D$2*0,5).Для параметров функций, задающих краевые и начальные условия, выбираем следующие значения: g=8, a=10000, b=250.

2. В столбце А, как мы уже делали в предыдущих работах, разместим вычисление значений x, соответствующих узлам сетки. В третьей строке разместим формулы, вычисляющие значения узлов по времени. В столбце Вразместим формулы, вычисляющие начальное распределение температуры по длине стержня =EXP($E$2*A4-$E$2*A4*A4), а в четвертой и четырнадцатой строках, начиная со столбца С, -формулы, вычисляющие значения температуры на концах стержня: =EXP(-$H$2*C$3*C$3+$I$2*C$3).

3. В ячейку С5вводим формулу, реализующую конечно-разностное уравнение ( 10 ) —=B5+$F$2*(B6-2*B5+B4). Распространяем эту формулу на всю область, ограниченную краевыми и начальными условиями.

4. Результирующая таблица и построенная с использованием данных из блока A3:J14 диаграмма представлены на рис. 24 и 25.

Явная схема уравнения теплопроводности онлайн

Рис. 24. Решение одномерного уравнения теплопроводности с использованием явной схемы метода сеток.

Явная схема уравнения теплопроводности онлайн

Рис. 25. Графическое изображение решения одномерного уравнения теплопроводности.

Литература

1. Фигурнов В. Э. IBM PC для пользователя. 6-е изд. — М.: ИНФРА-М, 1995.

2. Шиб Й. Windows 3.1 (русская версия ) : Пер. с нем. — М. : БИНОМ, 1995.

3. Николь Н., Альбрехт Р. Электронные таблицы Excel 5.0: Практ. пособ. / Пер. с нем. — М.: ЭКОМ.,1995.

4. Наймершайм Дж. Excel 5.0 for Windows: Учебное пособие / Пер. с англ. — М.: Междунар. отношения, 1995.

5. Осейко Н. Н. Excel 5.0 для пользователя: — К.: Торгово — издательское бюро ВНV, 1994.

6. Альтхаус М. Excel. Секреты и советы / Пер. с нем. М.: БИНОМ, 1995.

7. Основы работы с Excel 5.0 : Методические указания / ИГХТА. — Иваново, 1996.

8. Численные методы : Методические указания / ИХТИ. — Иваново, 1988.

9. Методические указания и задания к практическим занятиям по вычислительной математике : Методические указания / ИХТИ. — Иваново, 1988.

10. Моделирование сложных изотермических реакций, описываемых линейными дифференциальными уравнениями : Методические указания / ИХТИ. — Иваново, 1992.

Оглавление

Лабораторная работа № 1. Основные элементы работы в EXCEL . . . 3

Лабораторная работа № 2. Построение графиков и диаграмм . . . . . . 7

Лабораторная работа № 3. Вычисление определенных интегралов . . 15

Лабораторная работа № 4. Решение систем линейных уравнений . . . 17

Лабораторная работа № 5. Обработка экспериментальных данных . 20

Лабораторная работа № 6. Решение обыкновенных дифференциаль-

ных уравнений и систем обыкновенных дифференциальных уравне-

Лабораторная работа № 7. Решение уравнений в частных производ-

ных методом сеток . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

Дата добавления: 2015-02-09 ; просмотров: 18 ; Нарушение авторских прав

💡 Видео

Методы решения уравнения теплопроводности с несколькими пространственными переменнымиСкачать

Методы решения уравнения теплопроводности с несколькими пространственными переменными

6-2. Метод сетокСкачать

6-2. Метод сеток

6-1. Уравнение теплопроводностиСкачать

6-1. Уравнение теплопроводности

От краевыех задач к уравнению теплопроводностиСкачать

От краевыех задач к уравнению теплопроводности

8.1 Решение уравнения теплопроводности на отрезкеСкачать

8.1 Решение уравнения теплопроводности на отрезке

Метод конечных элементов (Часть 1) | Пример реализации для уравнения теплопроводностиСкачать

Метод конечных элементов (Часть 1) | Пример реализации для уравнения теплопроводности

Интуитивное понимание формулы теплопроводности (часть 11) | Термодинамика | ФизикаСкачать

Интуитивное понимание формулы теплопроводности (часть 11) | Термодинамика | Физика

Уравнение теплопроводности на полупрямой (решение задачи)Скачать

Уравнение теплопроводности на полупрямой (решение задачи)

12. Как остывает шар (решение уравнения теплопроводности)Скачать

12. Как остывает шар (решение уравнения теплопроводности)

12.1 Как остывает кирпич (уравнение теплопроводности)Скачать

12.1 Как остывает кирпич (уравнение теплопроводности)

Математика в неожиданных местах: Разностная схема для уравнения теплопроводностиСкачать

Математика в неожиданных местах: Разностная схема для уравнения теплопроводности

Принцип максимума для уравнения теплопроводности на отрезкеСкачать

Принцип максимума для уравнения теплопроводности на отрезке

Вывод уравнения теплопроводностиСкачать

Вывод уравнения теплопроводности
Поделиться или сохранить к себе:
Читайте также:

  1. DL – deadline – крайний срок сдачи работы – после DL работа принимается, но оценка снижается (20% за неделю, если не оговорено другое).
  2. E) Работа в цикле
  3. I. Самостоятельная работа
  4. I. Самостоятельная работа
  5. I. Самостоятельная работа
  6. I. Самостоятельная работа
  7. I. Самостоятельная работа
  8. I. Самостоятельная работа
  9. I. Самостоятельная работа
  10. I. Самостоятельная работа