Явная схема для уравнения переноса

Видео:27. Уравнения переносаСкачать

27. Уравнения переноса

Линейное уравнение переноса

При классификации уравнений с частными производными (2.1) отмечалось, что уравнения первого порядка называются также уравнениями переноса. Это объясняется тем, что такие уравнения описывают процессы переноса частиц в средах, распространения возмущений и т.п.

В общем случае уравнения переноса могут иметь значительно более сложный вид (например, интегродифференциальное уравнение Больцмана в кинетической теории газов). Однако здесь мы ограничимся линейным уравнением с частными производными первого порядка. Его решение представляет интерес не только с практической точки зрения; в еще большей степени это уравнение полезно при разработке и исследовании разностных схем.

Будем считать, что искомая функция Uзависит от времени tи одной пространственной переменной х. Тогда линейное уравнение переноса может быть записано в виде

Явная схема для уравнения переноса(2.23)

Здесь а — скорость переноса, которую будем считать постоянной и положительной. Это соответствует переносу (распространению возмущений) слева направо в положительном направлении оси х. Правая часть F(x, t) характеризует наличие поглощения (или, наоборот, источников) энергии, частиц и т.п. в зависимости от того, какой физический процесс описывается уравнением переноса.

Характеристики уравнения (2.23) определяются соотношениями х — at = С = const. При постоянном а они являются прямыми линиями, которые в данном случае (а > 0) наклонены вправо (рис. 2.5).

Явная схема для уравнения переноса

Рис. 2.5. Область решения

Расчетная область при решении уравнения (2.23) может быть как бесконечной, так и ограниченной. В первом случае, задавая начальное условие при t = 0:

Явная схема для уравнения переноса(2.24)

получаем задачу Коши для полуплоскости Явная схема для уравнения переносаНа практикеобычно приходится решать уравнение переноса в некоторой ограниченной области (например, в прямоугольнике Явная схема для уравнения переноса; см. рис. 2.5). Начальное условие (2.24) в этом случае задается на отрезке l1; граничное условие нужно задать при х = 0, т.е. на отрезке l2, поскольку при а > 0 возмущения распространяются вправо. Это условие запишем в виде

Явная схема для уравнения переноса(2.25)

Таким образом, задача состоит в решении уравнения (2.23) с начальным и граничным условиями (2.24) и (2.25) в ограниченной области G: Явная схема для уравнения переноса

Убедиться в том, что данная задача поставлена правильно (корректно) можно, проанализировав решение уравнения (2.23), которое при F(x, t) = 0 имеет вид

Явная схема для уравнения переноса(2.26)

где Н — произвольная дифференцируемая функция. В этом легко убедиться, подставляя (2.26) в уравнение (2.23). Решение (2.26) называется бегущей волной (со скоростью а). Это решение постоянно вдоль каждой характеристики: при х — at = С искомая функция U = Н(хat) = Н(С) постоянна. Таким образом, начальные и граничные условия переносятся вдоль характеристик, поэтому они должны задаваться на отрезках ll2 расчетной области G(см. рис. 2.5).

Можно также построить аналитическое решение задачи Коши для неоднородного уравнения (2.23). Заметим лишь, что решение этой задачи меняется вдоль характеристики, а не является постоянным.

Рассмотрим разностные схемы для решения задачи (2.23) — (2.25). Построим в области Gравномерную прямоугольную сетку с помощью прямых xi = ih (i =0,1. I) и Явная схема для уравнения переноса. Вместо функций U(x,t), F(x,t), Ф(х) и Явная схема для уравнения переносабудем рассматривать сеточные функции, значения которых в узлах (xi, tj) соответственно равны Явная схема для уравнения переносаи Явная схема для уравнения переноса. Для построения разностной схемы необходимо выбрать шаблон. Примем его в виде правого нижнего уголка(рис. 2.6). При этом входящие в уравнение (2.23) производные аппроксимируются конечно-разностными соотношениями с использованием односторонних разностей:

Явная схема для уравнения переноса(2.27)

Явная схема для уравнения переноса

Рис. 2.6. Правый нижний уголок

Решая это разностное уравнение относительно единственного неизвестного значения Явная схема для уравнения переносана (j + 1)-ом слое, получаем следующую разностную схему:

Явная схема для уравнения переноса Явная схема для уравнения переноса(2.28)

Полученная схема явная, поскольку значения сеточной функции в каждом узле верхнего слоя Явная схема для уравнения переносавыражаются явно с помощью соотношений (2.28) через ранее найденные ее значения на предыдущем слое.

Для начала счета по схеме (2.28), т.е. для вычисления сеточной функции на первом слое, необходимы ее значения на слое j= 0. Они определяются начальным условием (2.24), которое записываем для сеточной функции:

Явная схема для уравнения переноса(2.29)

Граничное условие (2.25) также записывается в сеточном виде:

Явная схема для уравнения переноса(2.30)

Таким образом, решение исходной дифференциальной задачи (2.23) — (2.25) сводится к решению разностной задачи (2.28) – (2.30). Найденные значения сеточной функции Явная схема для уравнения переносапринимаются в качестве значений искомой функции и в узлах сетки.

Алгоритм решения исходной задачи (2.23) — (2.25) с применением рассмотренной разностной схемы достаточно прост. На рис. 2.7 представлена его структурограмма. В соответствии с этим алгоритмом в памяти компьютера хранится весь двумерный массив Явная схема для уравнения переноса, и он целиком выводится на печать по окончании счета. С целью экономии памяти (и если эти результаты не понадобятся для дальнейшей обработки) можно воспользоваться тем, что схема двухслойная, и хранить лишь значения сеточной функции на двух соседних слоях Явная схема для уравнения переноса. Рекомендуем читателю соответственным образом модифицировать представленный алгоритм и построить новую структурограмму.

Явная схема для уравнения переноса

Рис. 2.7. Алгоритм решения линейного уравнения переноса

Укажем теперь некоторые свойства данной разностной схемы. Она аппроксимирует исходную задачу с первым порядком, т.е. невязка имеет порядок O(h+τ). Схема условно устойчива; условие устойчивости имеет вид

Явная схема для уравнения переноса(2.31)

Эти свойства схемы установлены в предположении, что решение U(x, t), начальное и граничное значения Ф(х) и Явная схема для уравнения переносадважды непрерывно дифференцируемы, а правая часть F(x, t) имеет непрерывные первые производные.

Поскольку схема (2.28) устойчива и аппроксимирует исходную задачу, то в соответствии с приведенной в разд. 2.1 теоремой сеточное решение сходится к точному с первым порядком при Явная схема для уравнения переноса. Отметим, что при а 0 эта схема не сходится.

Граничное условие для уравнения переноса (2.23) при а 0). Такая аппроксимация называется противопотоковой и широко используется при численном решении уравнений переноса.

При построении явной разностной схемы (2.28) производная ¶U/х аппроксимировалась с помощью значений сеточной функции на j-ом слое; в результате получилось разностное уравнение (2.27), в котором использовано значение сеточной функции Явная схема для уравнения переносалишь в одном узле верхнего слоя. Если производную¶U/х аппроксимировать на (j + 1)-ом слое (шаблон изображен на рис. 2.9), то получится неявная схема. Разностное уравнение примет вид

Явная схема для уравнения переноса(2.34)

Явная схема для уравнения переноса

Рис. 2.9. Правый верхний уголок

Разрешая это уравнение относительно Явная схема для уравнения переноса, приходим к следующей разностной схеме:

Явная схема для уравнения переноса(2.35)

Это двухслойная трехточечная схема первого порядка точности. Она безусловно устойчива (при а > 0). Хотя формально данная разностная схема строилась как неявная, практическая организация счета по ней проводится так же, как и для явных схем.

Действительно, в правую часть уравнения (2.35) входит значение Явная схема для уравнения переносана (j+1)-ом слое, которое при вычислении Явная схема для уравнения переносауже найдено. При расчете Явная схема для уравнения переносазначение Явная схема для уравнения переносаберется из граничного условия (2.30). По объему вычислений и логике программы (см. рис. 2.7) схема (2.35) аналогична схеме (2.28), однако безусловная устойчивость делает ее более удобной, поскольку исключается ограничение на величину шага.

Схему (2.28) можно применять для решения задачи Коши в неограниченной области, поскольку граничное условие (2.30) в этой схеме можно не использовать.

Явная схема для уравнения переноса

Рис. 2.10. Прямоугольник

Рассмотрим еще одну разностную схему, которую построим на симметричном прямоугольном шаблоне (рис. 2.10). Производная по tздесь аппроксимируется в виде полусуммы отношений односторонних конечных разностей в (i — 1)-м и i-м узлах, а производная по x — в виде полусуммы конечно-разностных соотношений на jми (j + 1)-ом слоях. Правую часть вычисляют в центре ячейки, хотя возможны и другие способы ее вычисления (например, в виде некоторой комбинации ее значений в узлах). В результате указанных аппроксимаций получим разностное уравнение в виде

Явная схема для уравнения переноса

Явная схема для уравнения переноса(2.36)

Данная двухслойная четырехточечная схема также формально построена как неявная. Однако из (2.36) можно выразить неизвестное значение Явная схема для уравнения переносачерез остальные, которые предполагаются известными:

Явная схема для уравнения переноса(2.37)

Построенная схема имеет второй порядок точности. Она устойчива на достаточно гладких решениях.

Схема (2.37) получена для случая а > 0. Аналогичную ей схему при а 0, а2 > 0 — скорости переноса вдоль осей х, у, (2.39) — начальное условие при t= 0; (2.40) — граничные условия при х =0, y= 0.

В трехмерной области (х, у, t) построим разностную сетку, ячейки которой имеют форму прямоугольного параллелепипеда. Для этого проведем координатные плоскости через точки деления осей х, у, t:

Явная схема для уравнения переноса

Значение сеточной функции в узле (i, j, k), с помощью которой аппроксимируются значения Явная схема для уравнения переноса, обозначим через Явная схема для уравнения переноса. Построим безусловно устойчивую разностную схему первого порядка точности, аналогичную схеме (2.35). Шаблон изображен на рис. 2.11, где выделена одна ячейка разностной сетки. Сплошными линиями соединены узлы шаблона. Нижний слой (нижнее основание параллелепипеда) имеет номер k, верхний k+ 1.

Явная схема для уравнения переноса

Рис. 2.11. Шаблон для двумерного уравнения

По аналогии с (2.34) запишем разностное уравнение, аппроксимирующее дифференциальное уравнение (2.38):

Явная схема для уравнения переноса

Разрешим это уравнение относительно значения сеточной функции в узле Явная схема для уравнения переноса:

Явная схема для уравнения переноса(2.41)

Вычислительный алгоритм этой схемы аналогичен алгоритму одномерной схемы (2.35). Здесь также счет производится по слоям k= 1,2. К. При k= 0 используется начальное условие (2.39), которое нужно переписать в разностном виде:

Явная схема для уравнения переноса(2.42)

На каждом слое последовательно вычисляют значения сеточной функции в узлах. При этом последовательность перехода от узла к узлу может быть различной: двигаются параллельно либо оси х, либо оси у. Во втором случае последовательность вычисляемых значений следующая: Явная схема для уравнения переносаЯвная схема для уравнения переноса

На рис. 2.12 показана нумерация узлов, соответствующая данной последовательности вычислений на каждом временном слое. Точками отмечены расчетные узлы сетки, крестиками — граничные узлы, в которых значения сеточной функции задаются граничными условиями (2.40). Эти условия обходимо записать в сеточном виде:

Явная схема для уравнения переноса. (2.43)

Явная схема для уравнения переноса

Рис. 2.12. Последовательность вычислений

При этом значения Явная схема для уравнения переносав угловой точке (х = 0, у = 0) в данной разностной схеме не используются.

Алгоритм решения смешанной задачи (2.38 – 2.40) для двумерного уравнения переноса по схеме (2.41) с учетом сеточных начального и граничных условий (2.42) и (2.43) представлен на рис. 2.13. При этом некоторые блоки (вычисление начальных значений uij, значений на границе Явная схема для уравнения переносапересылка Явная схема для уравнения переноса) даны схематически, хотя каждый из них представляет циклический алгоритм.

Явная схема для уравнения переноса

Рис. 2.13. Алгоритм решения двумерного уравнения переноса

В данном алгоритме предусмотрено хранение в памяти машины не полного трехмерного массива искомых значений Явная схема для уравнения переноса, а лишь значений на двух слоях: Явная схема для уравнения переноса— нижний слой, Явная схема для уравнения переноса— верхний слой (искомые значения). Введен счетчик выдачи l, решение выдается через каждые Lслоев; при L = 1 происходит выдача результатов на каждом слое. Блок «Вычисление Явная схема для уравнения переноса» вычисляет искомое значение по формуле, которая в принятых в структурограмме обозначениях имеет вид

Видео:Разностные схемы для решения уравнения переноса. Numerical Schemes for Linear Advection Equation.Скачать

Разностные схемы для решения уравнения переноса. Numerical Schemes for Linear Advection Equation.

Дипломная работа: Разностные схемы для уравнения переноса на неравномерных сетках

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Якутский государственный университет имени М.К. Аммосова

Институт математики и информатики

Кафедра прикладной математики

“Разностные схемы для уравнения переноса на неравномерных сетках”

Прикладная математика и информатика”

Специализация “Математическое моделирование”

Едисеева Зоя Никитична

Научный руководитель: Охлопков Н.М

Рецензент: Николаев Владимир Егорович

Глава I. Основные понятия разностных схем

1.1 Сеточная область

1.2 Сеточная функция. Пространство сеточных функций. Нормы сеточных функций

1.3 Аппроксимация дифференциальных операторов

1.4 Разностная схема

1.5 Корректность разностной схемы

1.6 Аппроксимация и сходимость

1.7 Неравномерная сетка

1.7.1 Построение сеточной области

1.7.2 Формирование сетки

Глава II. Одномерное уравнение переноса с переменными коэффициентами

2.1 Постановка задачи

2.3 Неявные схемы

2.3.1 Центрально-разностная схема

2.3.2 Трехточечная схема с весом

Глава III. Одномерное уравнение переноса с постоянными коэффициентами

3.1 Постановка задачи

3.2 Схема бегущего счета

3.3 Неявные схемы

3.3.1 Центрально-разностная схема

3.3.2 Трехточечная схема весом

3.3.3 Схема “прямоугольник”

3.3.4 Схема со сглаживанием

3.3.5 Схема прямоугольник со сглаживанием

3.3.6 “Шахматная ” схема

Вычислительную математику в узком смысле понимают как теорию численных методов и алгоритмов решения широкого круга математических задач.

В этом смысле теория разностных схем – это раздел вычислительной математики, изучающий методы приближенного решения дифференциальных уравнений путем их замены конечно-разностными уравнениями (разностными схемами).

Разностная схема должна удовлетворять следующим основным требованиям:

1.Определенный порядок аппроксимации, устойчивость экономичность, консервативность, однородность.

2.Важной характеристикой разностной схемы, устанавливающей ее связь с исходным дифференциальным уравнением, является погрешность аппроксимации, определенная как величина невязки, возникающей при подстановке в разностную схему решение исходной задачи.

От того, в каком смысле данная схема аппроксимирует задачу, зависит выбор метода исследования точности схем и тип априорных оценок, выражающих устойчивость по правой части.

Устойчивость является внутренним свойством разностной схемы, которая изучается независимо от аппроксимации и сходимости.

Объектом исследования выбраны разностные схемы, аппроксимирующие исходную задачу.

Цель дипломной работы – выбор наиболее устойчивой разностной схемы.

Для достижения цели поставлены следующие задачи:

— рассмотреть разностные методы решения для уравнений переноса с переменными и постоянными коэффициентами на неравномерных сетках;

— выполнить численный эксперимент рассматриваемых схем.

Глава I . Основные понятия теории разностных схем

Для численного решения задач по дифференциальным уравнениям методом сеток (конечных разностей) необходимо проделать следующее. Область непрерывного изменения аргумента (аргументов) искомой функции заменяется конечным дискретным множеством точек ,называемых узлами сетки. Все производные, входящие в дифференциальную задачу, заменяются разностными производными. Это осуществляется тем или иным методом конструирования разностных схем. В конечном итоге получаем систему алгебраических уравнений. Таким образом, сущность метода сеток, в настоящее время самого универсального решателя дифференциальных уравнений, состоит в замене исходных дифференциальных задач системами алгебраических уравнений, их приближенно заменяющими.

Если при измельчении шагов сетки решение разностной схемы сходится к решению исходной дифференциальной задачи, то за решение исходной задачи принимается решение разностной схемы. После конструирования разностной схемы необходимо провести теоретические исследования разрешимости задач. Внутренними свойствами разностной схемы являются аппроксимация и устойчивость. Эти свойства разностной схемы должны исследоваться для каждой схемы.

Получающиеся разностные схемы решаются теми или иными методами решения систем алгебраических уравнений. Разрешающий алгоритм должен быть экономичным и этим же требованиям должна обладать и разностная схема.

1.1 Сеточная область

Для построения разностной схемы необходимо построить сетку Gh -конечное множество точек, принадлежащих G, плотность распределения которых характеризуется параметрами h-шагом сетки. Пусть область изменения аргумента x есть отрезок G=. Разобьем этот отрезок точками xi =i∙h, i=0,n на n равных частей длины h=1/n каждая. Множество точек xi =i∙h, называется равномерной сеткой на отрезке 0≤x≤1 и обозначим Явная схема для уравнения переноса=<xi =i∙h, i=0,n> , а число h-расстояние между точками (узлами) сетки называется шагом сетки. Разбиение отрезка 0≤x≤1 точками xi , i=0,n можно производить произвольным образом — 0 2 (x)dx, H=C[a,b] ,

а сеточную функцию определять в виде

yh =uh (x), x Явная схема для уравнения переносаwh .

1.3 Аппроксимация дифференциальных операторов

Пусть имеем дифференциальный оператор Явная схема для уравнения переноса

Этот оператор можно аппроксимировать несколькими способами. Например,

Явная схема для уравнения переноса— правая разностная производная; (3)

Явная схема для уравнения переноса — левая разностная производная; (4)

Явная схема для уравнения переноса — центральная разностная производная; (5)

Можно взять их линейную комбинацию

Явная схема для уравнения переноса, (6) где у- вещественный параметр.

При у=1 из (6) получаем аппроксимацию (3); при у=0 – аппроксимацию (4), а при у=0.5- аппроксимацию (7).

Чтобы показать погрешность аппроксимации, разложим по формуле Тейлора

Явная схема для уравнения переноса

предполагая, что функция v(x) достаточно гладкая в некоторой окрестности (x-h0 ,x+h0 ) точки х, h 0 в узле xi Явная схема для уравнения переносаwh если Явная схема для уравнения переноса, т.е.

Явная схема для уравнения переноса, M=const>0.

В качестве следующего примера рассмотрим оператор Явная схема для уравнения переноса.

Для аппроксимации этого оператора используем трехточечный шаблон (x-h, x, x+h).

Замечая Явная схема для уравнения переноса, имеем

Явная схема для уравнения переноса

Явная схема для уравнения переноса

Пользуясь разложением (7), покажем, что порядок аппроксимации равен двум, т.е.

Явная схема для уравнения переноса

так как Явная схема для уравнения переноса

1.4 Разностная схема

Как правило, дифференциальное уравнение решается с некоторыми дополнительными условиями — начальными (задача Коши), краевыми (краевая задача) либо и с начальными, и с краевыми условиями (смешанные задачи). Эти дополнительные условия при переходе к разностным уравнениям надо так же аппроксимировать.

Пусть имеем некоторую дифференциальную задачу, записанную в виде

Lu=f(x), xЯвная схема для уравнения переносаG (8)

с дополнительным условием

lu=ц(x), xЯвная схема для уравнения переносаГ. (9)

Введем в области Явная схема для уравнения переносаГ сетку Явная схема для уравнения переносаЯвная схема для уравнения переноса

и поставим в соответствие задаче (8), (9) разностную задачу

Lh yh =fh , xЯвная схема для уравнения переносаwh , (10)

Lh yhh , xЯвная схема для уравнения переносагh . (11)

Функция yh (x), fh (x), цh (x) зависят от шага сетки. Меняя h, получаем множества функций <yh >, <fh >, <цh >, зависящих от параметра h. Таким образом, мы рассматриваем не одну разностную задачу, а семейство задач, зависящее от параметра h. Это семейство задач называется разностной схемой.

Рассмотрим примеры разностных схем, аппроксимирующих дифференциальные задачи.

Пример 1. Имеем задачу Коши

Явная схема для уравнения переноса, 0 0, M2 >0 не зависящие от h и такие, что при любых f hЯвная схема для уравнения переноса Hh , цh Явная схема для уравнения переносаHh справедлива оценка

Явная схема для уравнения переносаHh ≤ M1Явная схема для уравнения переносаHh +M2Явная схема для уравнения переносаHh . (16)

Свойство 2), означающее непрерывную зависимость, равномерную относительно h, решения разностной схемы от правых частей, называется устойчивостью разностной схемы. Рассмотрим примеры.

Пример 1. Пусть имеем задачу:

Явная схема для уравнения переноса(17)

Точным решением задачи (17) является функция

Явная схема для уравнения переноса

Если ввести новую функцию Явная схема для уравнения переносато получим задачу

Явная схема для уравнения переноса(18)

Решением задачи (18) является функция

Явная схема для уравнения переноса

Задачу (18) аппроксимируем на равномерной сетке Явная схема для уравнения переноса= <xi =ih, i=0,n> схемой:

Явная схема для уравнения переноса(19)

Перепишем схему (19) в виде

Явная схема для уравнения переноса

Явная схема для уравнения переноса

Рассмотрим фиксированную точку Явная схема для уравнения переносаи выберем последовательность сеток Явная схема для уравнения переносатаких, чтобы Явная схема для уравнения переноса= i0 ∙ h, т.е. Явная схема для уравнения переносаявляется узлом сетки Явная схема для уравнения переносапри h→0.

Вычислим значение у в этой точке y(Явная схема для уравнения переноса) = yi 0 =s i 0 y0 . Так как │s│ 0

и любых h, то│ y(Явная схема для уравнения переноса)│≤│s i 0 │ ∙ │y0 │ 0.

Для устойчивости вычислительных алгоритмов решения задачи (20) должно быть выполнено условие вида (21) т.е.

Явная схема для уравнения переноса(22)

Задачу (20) аппроксимируем явной схемой Эйлера

Явная схема для уравнения переноса Явная схема для уравнения переноса (23)

Явная схема для уравнения переноса.

Выражая решение схемы (23) через начальное условие, имеем

Явная схема для уравнения переносаЯвная схема для уравнения переноса

Неравенство (22) будет выполнено, если

Явная схема для уравнения переноса

т.е. Явная схема для уравнения переносаЯвная схема для уравнения переноса.

Таким образом, явная схема Эйлера условно устойчива.

Пример 3. Для численного решения задачи (20) используем неявную схему Эйлера

Явная схема для уравнения переноса Явная схема для уравнения переноса(24)

Явная схема для уравнения переносат.е.

Явная схема для уравнения переносапри Явная схема для уравнения переноса

Схема (24) абсолютно устойчива, ибо выполнено условие (22) при любом h.

Пример 4. Задачу (20) аппроксимируем схемой с весом

Явная схема для уравнения переноса Явная схема для уравнения переноса(25)

Явная схема для уравнения переноса

Условие (22) будет выполнено, если

Явная схема для уравнения переносат.е Явная схема для уравнения переноса

Явная схема для уравнения переноса

Схема абсолютно устойчива при

Явная схема для уравнения переносаи Явная схема для уравнения переноса

Явная схема для уравнения переноса

т.е. схема (25) условно устойчива при Явная схема для уравнения переноса

1.6 Аппроксимация и сходимость

Для того, чтобы выяснить, с какой точностью приблизили функцию u=u(x) с помощью функции y(x), мы должны их сравнить. Пусть u h значение функции u(x) на сеточной области Явная схема для уравнения переноса, т.е. u h Явная схема для уравнения переносаHh .

Рассмотрим погрешность решения разностной схемы (14), (15), которая аппроксимирует на сетке Явная схема для уравнения переносадифференциальную задачу (12), (13).

Введем функцию погрешности решения

где yh – решение схемы (14), (15), u h — решение задачи (12), (13) на сетке ͞wh . Подставив yh = zh +u h в линейную задачу (14), (15), получим для zh задачу того же вида, что и (14), (15):

Явная схема для уравнения переноса(26)

Явная схема для уравнения переноса(27)

Явная схема для уравнения переноса(28)

Функции (28) называются погрешностью аппроксимации задачи (12), (13), схемой (14), (15) на решение задачи (12), (13).

Будем говорить, что решение разностной схемы (14), (15) сходится к решению задачи (12), (13), если

Явная схема для уравнения переносаHh = Явная схема для уравнения переносаHh → 0 при h→0.

Разностная схема сходится со скоростью О(hn) или имеет n-ый порядок точности, если при достаточно малом h ≤ h0 выполняется неравенство

Явная схема для уравнения переносаHh =Явная схема для уравнения переносаHh M ∙ h n ,

где M > 0, не зависит от h, n > 0.

Говорят, что разностная схема имеет n-ый порядок аппроксимации, если

т.е Явная схема для уравнения переноса M∙h n .

Теорема . Пусть дифференциальная задача (12), (13) поставлена корректно, разностная схема (14), (15) является корректной и аппроксимирует исходную задачу (12), (13). Тогда решение разностной схемы (14), (15) сходится к решению исходной задачи (12), (13), причем порядок точности совпадает с порядком аппроксимации.

Доказательство . Если схема (14), (15) корректна, то не трудно получить оценку погрешности решения через погрешность аппроксимации (28).

Задача (26), (27) аналогична задаче (14), (15), поэтому для нее пользуясь априорной оценкой вида (16), получим оценку

Явная схема для уравнения переносаHh = Явная схема для уравнения переносаHh M1 Явная схема для уравнения переносаHh + M2 Явная схема для уравнения переносаHh . (29)

Таким образом, если схема (14), (15) корректна и аппроксимирует задачу (12), (13), то она сходится при h→0. Норма погрешности ‖zhHh →0 при h→0, если Явная схема для уравнения переносаHh →0 и Явная схема для уравнения переносаHh →0 при h→0.

Из оценки (28) видно, что порядок точности схемы (14), (15) определяется порядком аппроксимации, и чтобы схема сходилась со скоростью O(h n ), n>0 достаточно, чтобы она имела аппроксимацию того же порядка, т.е.

Явная схема для уравнения переносаHh = О(h n ), Явная схема для уравнения переносаHh = O(h n ).

Пример 1. Рассмотрим явную схему Эйлера

Явная схема для уравнения переноса Явная схема для уравнения переносаЯвная схема для уравнения переноса

которая аппроксимирует дифференциальную задачу (20). Покажем порядок погрешности аппроксимации и сходимость.

Рассмотрим функцию погрешности решения Явная схема для уравнения переноса

Для zi получаем схему:

Явная схема для уравнения переноса Явная схема для уравнения переноса(30)

Разложим ui +1 по формуле Тейлора в точке xi , имеем

Явная схема для уравнения переноса(31)

Подставляя (31) в шi , получим

Явная схема для уравнения переноса

т.е. имеем порядок аппроксимации. Из (30) имеем

Явная схема для уравнения переноса

При Явная схема для уравнения переноса Явная схема для уравнения переносаимеем Явная схема для уравнения переносаВыражая zi через z0 , получим:

Явная схема для уравнения переноса

Отсюда видно, что при h→0, │zi │→0. Для точности схемы имеем

│zi +1 │≤ Явная схема для уравнения переносаh∙│шs │≤ h ∙ i ∙ O(h) = xi ∙O(h) ≤ M ∙ h,

т.е. схема имеет первый порядок точности.

Пример 2. Рассмотрим неявную схему Эйлера

Явная схема для уравнения переноса,

которая аппроксимирует дифференциальную задачу (20). Для погрешности решения zi = yi –ui получаем разностную схему:

Явная схема для уравнения переносаЯвная схема для уравнения переноса

Подставляя разложение (31) в шi , получим

Явная схема для уравнения переноса

Явная схема для уравнения переноса

т.е. первый порядок аппроксимации. Для сходимости рассмотрим решение задачи для zi :

Явная схема для уравнения переноса

Множитель Явная схема для уравнения переносапри л > 0. Выражая zi через z0 , имеем

Явная схема для уравнения переносаЯвная схема для уравнения переноса

Отсюда │zi │≤ M∙h, т.е. схема имеет первый порядок точности. Таким же образом можно показать, что схема с весом

Явная схема для уравнения переносаЯвная схема для уравнения переноса

имеет первый порядок аппроксимации и при выполнении условий устойчивости имеет место сходимость и притом порядок точности совпадает с порядком погрешности аппроксимации.

1.7 Неравномерная сетка

1.7.1 Построение сеточной области

Пусть исходная область Явная схема для уравнения переноса=<Явная схема для уравнения переноса>. Ее аппроксимируем сеточной областью:

Явная схема для уравнения переносаЯвная схема для уравнения переноса, Явная схема для уравнения переносаЯвная схема для уравнения переносаЯвная схема для уравнения переноса— средний шаг>- сетка по х;

Явная схема для уравнения переноса Явная схема для уравнения переноса, Явная схема для уравнения переносаЯвная схема для уравнения переносаЯвная схема для уравнения переноса— средний шаг>- сетка по t;

Тогда искомая сетка есть Явная схема для уравнения переноса— неравномерная сетка.

На этой сетке аппроксимируем дифференциальные операторы:

Явная схема для уравнения переноса— правая разностная производная по х; (1)

Явная схема для уравнения переноса-сеточная функция;

Явная схема для уравнения переноса— левая разностная производная по х; (2)

Явная схема для уравнения переноса— центральная разностная производная по х; (3)

Явная схема для уравнения переносаЯвная схема для уравнения переноса— аппроксимация с весом Явная схема для уравнения переноса; (4)

Явная схема для уравнения переносаАппроксимация первой производной по t имеет вид:

Явная схема для уравнения переноса— правая разностная производная по t; (5)

Явная схема для уравнения переноса— левая разностная производная по t; (6)

Явная схема для уравнения переноса— центральная разностная производная по t; (7)

Аппроксимация второй производной по х и по t имеет вид:

Явная схема для уравнения переноса; (8)

Явная схема для уравнения переноса; (9)

Покажем погрешность аппроксимации первой производной по х.

Для этого введем функцию погрешности решения Явная схема для уравнения переносаНайдем Явная схема для уравнения переносаи подставим в (1).

Имеем Явная схема для уравнения переноса= Явная схема для уравнения переноса, Явная схема для уравнения переноса

Функцию Явная схема для уравнения переносаразложим по формуле Тейлора

Явная схема для уравнения переноса,

и подставим в Явная схема для уравнения переносаИмеем

Явная схема для уравнения переносаЯвная схема для уравнения переноса,

отсюда получаем аппроксимацию первого порядка Явная схема для уравнения переноса.

1.7.2 Формирование сетки

Явная схема для уравнения переноса, Явная схема для уравнения переноса (1)

Явная схема для уравнения переноса, q>1-возраст.геометр.прогрессия

Явная схема для уравнения переноса, q 1. (3)

2) Явная схема для уравнения переноса, (4)

Явная схема для уравнения переноса, q 1 и по формуле (3) n Явная схема для уравнения переносаЯвная схема для уравнения переноса

Пример Пусть Явная схема для уравнения переноса

вычисляем по формуле (5)

Явная схема для уравнения переноса

Явная схема для уравнения переноса

Можно использовать другой подход:

Явная схема для уравнения переноса, Явная схема для уравнения переноса, Явная схема для уравнения переноса ,

Явная схема для уравнения переноса,

Явная схема для уравнения переноса, Явная схема для уравнения переноса.

a) Явная схема для уравнения переноса, q 1 – возрастающая геом. прогрессия.

Таким образом, можно рассматривать следующие модули сеток:

1) Равномерная сетка Явная схема для уравнения переноса.

2) Квазиравномерная сетка (Явная схема для уравнения переноса…).

3) Неравномерная по возрастающей геометрической прогрессии Явная схема для уравнения переноса.

4) Неравномерная по убывающей геометрической прогрессии Явная схема для уравнения переноса.

5) Среднеарифметический метод 3) и 4) Явная схема для уравнения переноса.

Глава II . Одномерное уравнение переноса с переменными коэффициентами

2.1 Постановка задачи

Рассмотрим уравнение вида:

Явная схема для уравнения переноса Явная схема для уравнения переноса Явная схема для уравнения переноса(1)

удовлетворяющий начальным условиям

Явная схема для уравнения переноса(2)

и граничным условиям:

Явная схема для уравнения переноса

Явная схема для уравнения переноса(3)

1) Явная схема для уравнения переноса

Явная схема для уравнения переносаl=1, T=1

точное решение: Явная схема для уравнения переноса

2) Явная схема для уравнения переноса

Явная схема для уравнения переноса

точное решение: Явная схема для уравнения переноса

3) Явная схема для уравнения переноса

Явная схема для уравнения переноса

точное решение: Явная схема для уравнения переноса

4) Явная схема для уравнения переноса

Явная схема для уравнения переноса

точное решение: Явная схема для уравнения переноса

Для решения задачи (1) – (3) используем различные разностные схемы, вернее, явную и неявную.

2.2 “Явные ” схемы

Явные схемы для нашей задачи используются тогда, когда p(x,t) > 0, (p0 >0, pN >0) или p(x,t) 0, (p0 >0, pN >0)

Разностная схема (правая) имеет вид

Явная схема для уравнения переноса; (1′)

Явная схема для уравнения переноса; (2′)

Явная схема для уравнения переноса; (3′)

из (1′) Явная схема для уравнения переноса,

где Явная схема для уравнения переноса Явная схема для уравнения переносаЯвная схема для уравнения переноса.

2) p(x,t) Явная схема для уравнения переноса; (1″)

Явная схема для уравнения переноса; (2″)

Явная схема для уравнения переноса; (3″)

из (1′) Явная схема для уравнения переноса,

где Явная схема для уравнения переноса Явная схема для уравнения переносаЯвная схема для уравнения переноса.

Таблица 1 Численное решение уравнения переноса с переменными коэффициентами схема бегущего счета “явная ” схема (правая разностная схема)

🔍 Видео

Лекция №1.1 Явная и неявная схемы для уравнения теплопроводностиСкачать

Лекция №1.1 Явная и неявная схемы для уравнения теплопроводности

Пример построения схем для уравнения переноса в пространстве неопределенных коэффициентов.Скачать

Пример построения схем для уравнения переноса в пространстве неопределенных коэффициентов.

6-2. Метод сетокСкачать

6-2. Метод сеток

Вычислительная математика 23 Квазилинейное уравнение переносаСкачать

Вычислительная математика 23 Квазилинейное уравнение переноса

Решение задачи теплопроводности (Явная разностная схема)Скачать

Решение задачи теплопроводности (Явная разностная схема)

Простейшие разностные схемы для уравнения переносаСкачать

Простейшие разностные схемы для уравнения переноса

03 Перенос, явныйСкачать

03 Перенос, явный

Решение уравнения теплопроводности методом конечных разностейСкачать

Решение уравнения теплопроводности методом конечных разностей

Уравнение переноса. Решение (1)Скачать

Уравнение переноса. Решение (1)

Лекция 291. Схема ускоренного переносаСкачать

Лекция 291.  Схема ускоренного переноса

№6. Уравнения в частных производных. Уравнения переноса, мелкой воды.Скачать

№6. Уравнения в частных производных. Уравнения переноса, мелкой воды.

Математика в неожиданных местах: Разностная схема для уравнения теплопроводностиСкачать

Математика в неожиданных местах: Разностная схема для уравнения теплопроводности

Сеточные методы решения дифференциальных уравнений в частных производных.Скачать

Сеточные методы решения дифференциальных уравнений в частных производных.

Кубические уравнения. Деление столбиком. Схема Горнера.Скачать

Кубические уравнения. Деление столбиком. Схема Горнера.

Cистемы уравнений. Разбор задания 6 и 21 из ОГЭ. | МатематикаСкачать

Cистемы уравнений. Разбор задания 6 и 21 из ОГЭ.  | Математика

Кобельков Г. М. - Численные методы. Часть 2 - Решение уравнений в частных производныхСкачать

Кобельков Г. М. - Численные методы. Часть 2 - Решение уравнений в частных производных

Решение уравнений. Как переносить слагаемые из одной части уравнения в другую. Математика 6 классСкачать

Решение уравнений. Как переносить слагаемые из одной части уравнения в другую. Математика 6 класс

Уравнение в частных производных Уравнение теплопроводностиСкачать

Уравнение в частных производных  Уравнение теплопроводности
Поделиться или сохранить к себе:
Название: Разностные схемы для уравнения переноса на неравномерных сетках
Раздел: Рефераты по информатике, программированию
Тип: дипломная работа Добавлен 06:44:11 13 ноября 2009 Похожие работы
Просмотров: 1664 Комментариев: 21 Оценило: 3 человек Средний балл: 5 Оценка: неизвестно Скачать