Явная конечно разностная схема для уравнения теплопроводности

Видео:Решение уравнения теплопроводности методом конечных разностейСкачать

Решение уравнения теплопроводности методом конечных разностей

Контрольная работа: Конечно-разностный метод решения для уравнений параболического типа

К дифференциальным уравнениям с частными производными приходим при решении самых разнообразных задач. Например, при помощи дифференциальных уравнений с частными производными можно решать задачи теплопроводности, диффузии, многих физических и химических процессов.

Как правило, найти точное решение этих уравнений не удается, поэтому наиболее широкое применение получили приближенные методы их решения. В данной работе ограничимся рассмотрением дифференциальных уравнений с частными производными второго порядка, а точнее дифференциальными уравнениями с частными производными второго порядка параболического типа, когда эти уравнения являются линейными, а искомая функция зависит от двух переменных

Для решения дифференциальных уравнений параболического типа существует несколько методов их численного решения на ЭВМ, однако особое положение занимает метод сеток, так как он обеспечивает наилучшие соотношения скорости, точности полученного решения и простоты реализации вычислительного алгоритма. Метод сеток еще называют методом конечных разностей.

1 Теоретическая часть

1.1 Постановка задач для уравнений параболического типа

Классическим примером уравнения параболического типа является уравнение теплопроводности (диффузии). В одномерном по пространству случае однородное (без источников энергии) уравнение теплопроводности имеет вид

Явная конечно разностная схема для уравнения теплопроводностиЯвная конечно разностная схема для уравнения теплопроводности Явная конечно разностная схема для уравнения теплопроводности(1)

Если на границах Явная конечно разностная схема для уравнения теплопроводностии Явная конечно разностная схема для уравнения теплопроводностизаданы значения искомой функции Явная конечно разностная схема для уравнения теплопроводностив виде

Явная конечно разностная схема для уравнения теплопроводностиЯвная конечно разностная схема для уравнения теплопроводности, Явная конечно разностная схема для уравнения теплопроводности, (2)

Явная конечно разностная схема для уравнения теплопроводностиЯвная конечно разностная схема для уравнения теплопроводности, Явная конечно разностная схема для уравнения теплопроводности, (3)

т.е. граничные условия первого рода, и , кроме того заданы начальные условия

Явная конечно разностная схема для уравнения теплопроводностиЯвная конечно разностная схема для уравнения теплопроводности, Явная конечно разностная схема для уравнения теплопроводности, (4)

то задачу (1)-(4) называют первой начально-краевой задачей для уравнения теплопроводности (1).

В терминах теории теплообмена Явная конечно разностная схема для уравнения теплопроводности— распределение температуры в пространственно-временной области

Явная конечно разностная схема для уравнения теплопроводностиa 2 — коэффициент температуропроводности, а (2), (3) с помощью функций Явная конечно разностная схема для уравнения теплопроводности, Явная конечно разностная схема для уравнения теплопроводностизадают температуру на границах Явная конечно разностная схема для уравнения теплопроводностии Явная конечно разностная схема для уравнения теплопроводности.

Если на границах Явная конечно разностная схема для уравнения теплопроводностии Явная конечно разностная схема для уравнения теплопроводностизаданы значения производных искомой функции по пространственной переменной:

Явная конечно разностная схема для уравнения теплопроводностиЯвная конечно разностная схема для уравнения теплопроводности, Явная конечно разностная схема для уравнения теплопроводности, (5)

Явная конечно разностная схема для уравнения теплопроводностиЯвная конечно разностная схема для уравнения теплопроводности, Явная конечно разностная схема для уравнения теплопроводности, (6)

т.е. граничные условия второго рода, то задачу (1), (5), (6), (4) называют второй начально-краевой задачей для уравнения теплопроводности (1). В терминах теории теплообмена на границах в этом случае заданы тепловые потоки.

Если на границах заданы линейные комбинации искомой функции и ее производной по пространственной переменной:

Явная конечно разностная схема для уравнения теплопроводностиЯвная конечно разностная схема для уравнения теплопроводности, Явная конечно разностная схема для уравнения теплопроводности, (7)

Явная конечно разностная схема для уравнения теплопроводностиЯвная конечно разностная схема для уравнения теплопроводности, Явная конечно разностная схема для уравнения теплопроводности, (8)

т.е. граничные условия третьего рода, то задачу (1), (7), (8), (4) называют третьей начально-краевой задачей для уравнения теплопроводности (1). В терминах теплообмена граничные условия (7), (8) задают теплообмен между газообразной или жидкой средой с известными температурами Явная конечно разностная схема для уравнения теплопроводностина границе Явная конечно разностная схема для уравнения теплопроводностии Явная конечно разностная схема для уравнения теплопроводностина границе Явная конечно разностная схема для уравнения теплопроводностии границами расчетной области с неизвестными температурами Явная конечно разностная схема для уравнения теплопроводности, Явная конечно разностная схема для уравнения теплопроводности. Коэффициенты α, β – известные коэффициенты теплообмена между газообразной или жидкой средой и соответствующей границей.

Для пространственных задач теплопроводности в области Явная конечно разностная схема для уравнения теплопроводностипервая начально-краевая задача имеет вид

Явная конечно разностная схема для уравнения теплопроводности(9)

Аналогично ставится вторая и третья начально-краевые задачи для пространственного уравнения (9). На практике часто ставятся начально-краевые задачи теплопроводности со смешанными краевыми условиями, когда на границах задаются граничные условия различных родов.

1.2 Основные определения и конечно-разностные схемы

Основные определения, связанные с методом конечных разностей, рассмотрим на примере конечно-разностного решения первой начально-краевой задачи для уравнения теплопроводности (1)-(4).

Согласно методу сеток в плоской области D строится сеточная область Dh , состоящая из одинаковых ячеек. При этом область Dh должна как можно лучше приближать область D . Сеточная область (то есть сетка) Dh состоит из изолированных точек, которые называются узлами сетки. Число узлов будет характеризоваться основными размерами сетки h : чем меньше h , тем больше узлов содержит сетка. Узел сетки называется внутренним, если он принадлежит области D , а все соседние узлы принадлежат сетке Dh . В противном случае он называется граничным. Совокупность граничных узлов образует границу сеточной области Гh .

Сетка может состоять из клеток разной конфигурации: квадратных, прямоугольных, треугольных и других. После построения сетки исходное дифференциальное уравнение заменяется разностным уравнением во всех внутренних узлах сетки. Затем на основании граничных условий устанавливаются значения искомого решения в граничных узлах. Присоединяя граничные условия сеточной задачи к разностным уравнениям, записанных для внутренних узлов, получаем систему уравнений, из которой определяем значения искомого решения во всех узлах сетки.

Нанесем на пространственно-временную область Явная конечно разностная схема для уравнения теплопроводности, Явная конечно разностная схема для уравнения теплопроводностиконечно разностную сетку ωh,τ :

Явная конечно разностная схема для уравнения теплопроводности(10)

с пространственным шагом h = l / N и шагом по времени τ=T/K.

Явная конечно разностная схема для уравнения теплопроводности

Рисунок 1 – Конечно-разностная сетка

Введем два временных слоя : нижний Явная конечно разностная схема для уравнения теплопроводности,на котором распределение искомой функции u ( xj , t k ) , Явная конечно разностная схема для уравнения теплопроводности, известно (при к = 0 распределение определяется начальным условием (4)u ( xj , t k )=ψ( xj ) ), и верхний временной слой t k +1 =( k +1) τ , на котором распределение искомой функции u ( xj , t k +1 ) , Явная конечно разностная схема для уравнения теплопроводности.

Сеточной функцией задачи (1)-(4) называют однозначное отображение целых аргументов j , k в значения функции Явная конечно разностная схема для уравнения теплопроводности.

На введенной сетке вводят сеточные функции Явная конечно разностная схема для уравнения теплопроводности, Явная конечно разностная схема для уравнения теплопроводностипервая из которых известна, вторая подлежит определению. Для определения в задаче (1)-(4) заменяют (аппроксимируют) дифференциальные операторы отношением конечных разностей (более подробно это рассматривают в разделах численных методов «Численное дифференцирование»), получают

Явная конечно разностная схема для уравнения теплопроводности, (11)

Явная конечно разностная схема для уравнения теплопроводности, (12)

Подставляя (11), (12) в задачу (1)-(4), получим явную конечно-разностную схему для этой задачи в форме

Явная конечно разностная схема для уравнения теплопроводности(13)

В каждом уравнении этой задачи все значения сеточной функции известны, за исключением одного, Явная конечно разностная схема для уравнения теплопроводности, которое может быть определено явно из соотношений (13). В соотношения (13) краевые условия входят при значениях j =1 и j = N l , a начальное условие – при k = 0.

Если в (12) дифференциальный оператор по пространственной переменной аппроксимировать отношением конечных разностей на верхнем временном слое:

Явная конечно разностная схема для уравнения теплопроводности, (14)

то после подстановки (11), (14) в задачу (1)-(4) получим неявную конечно-разностную схему для этой задачи:

Явная конечно разностная схема для уравнения теплопроводности(15)

Теперь сеточную функцию Явная конечно разностная схема для уравнения теплопроводностина верхнем временном слое можно получить из решения (15) с трехдиагональной матрицей. Эта СЛАУ в форме, пригодной для использования метода прогонки, имеет вид

Явная конечно разностная схема для уравнения теплопроводности

Явная конечно разностная схема для уравнения теплопроводностиЯвная конечно разностная схема для уравнения теплопроводности;

Явная конечно разностная схема для уравнения теплопроводностиЯвная конечно разностная схема для уравнения теплопроводности;

Явная конечно разностная схема для уравнения теплопроводности, Явная конечно разностная схема для уравнения теплопроводности;

Явная конечно разностная схема для уравнения теплопроводностиЯвная конечно разностная схема для уравнения теплопроводности;

Явная конечно разностная схема для уравнения теплопроводности;

Явная конечно разностная схема для уравнения теплопроводности;

Явная конечно разностная схема для уравнения теплопроводности.

Шаблоном конечно-разностной схемы называют ее геометрическую интерпретацию на конечно-разностной сетке. На рисунке приведены шаблоны для явной и неявной конечно-разностных схем при аппроксимации задачи.

Явная конечно разностная схема для уравнения теплопроводности

Рисунок 2 — Шаблон явной конечно-разностной схемы для уравнения теплопроводности

Явная конечно разностная схема для уравнения теплопроводности

Рисунок 3 — Шаблон неявной конечно-разностной схемы для уравнения теплопроводности

В случае явных схем значения функции в узле очередного слоя можно найти, зная значения в узлах предыдущих слоев. В случае неявных схем для нахождения значений решения в узлах очередного слоя приходится решать систему уравнений. Для проведения вычислений самой простой схемой оказывается первая: достаточно на основании начального условия найти значения функции в узлах слоя Явная конечно разностная схема для уравнения теплопроводности, чтобы в дальнейшем последовательно определять значения решения в узлах слоев Явная конечно разностная схема для уравнения теплопроводностии т.д. В случае второй схемы, которая является неявной, обязательно приходится решать систему уравнений для нахождения решения сеточной задачи. В любом случае согласно методу сеток будем иметь столько уравнений, сколько имеется неизвестных (значения искомой функции в узлах). Число неизвестных равно числу всех узлов сетки. Решая систему уравнений, получаем решение поставленной задачи.

Разрешимость этой системы для явных схем вопросов не вызывает, так как все действия выполняются в явно определенной последовательности. В случае неявных схем разрешимость системы следует исследовать в каждом конкретном случае. Важным вопросом является вопрос о том, на сколько найденные решения хорошо (адекватно) отражают точные решения, и можно ли неограниченно сгущая сетку (уменьшая шаг по осям) получить приближенные решения, сколь угодно близкие к точным решениям? Это вопрос о сходимости метода сеток.

На практике следует применять сходящиеся разностные схемы, причем только те из них, которые являются устойчивыми, то есть при использовании которых небольшие ошибки в начальных или промежуточных результатах не приводят к большим отклонениям от точного решения. Всегда следует использовать устойчивые разностные схемы, проводя соответствующие исследования на устойчивость. Явные схемы просты для организации вычислительного процесса, но имеют один весьма весомый недостаток: для их устойчивости приходится накладывать сильные ограничения на сетку. Неявные схемы свободны от этого недостатка, но есть другая трудность – надо решать системы уравнений большой размерности, что на практике при нахождении решения сложных уравнений в протяженной области с высокой степенью точности может потребовать больших объемов памяти ЭВМ и времени на ожидание конечного результата. К счастью, прогресс не стоит на месте и уже сейчас мощности современных ЭВМ вполне достаточно для решения поставленных перед ними задач.

Вопрос устойчивости будет рассмотрен далее.

Из определения порядка аппроксимации ясно, что чем выше порядок аппроксимации, тем лучше конечно-разностная схема приближается к дифференциальной задаче. Это не означает, что решение по разностной схеме может быть так же близко к решению дифференциальной задачи, так как разностная схема может быть условно устойчивой или абсолютно неустойчивой вовсе.

Для нахождения порядка аппроксимации используется аппарат разложения в ряды Тейлора точных (неизвестных, но дифференцируемых) решений дифференциальной задачи в узлах сетки (подчеркнем: значения сеточной функции uh дискретны, следовательно, не дифференцируемы и поэтому не разлагаются в ряды Тейлора).

1.4 Устойчивость. Исследование устойчивости методом гармонического анализа

конечно-разностная схема устойчива, если для малых возмущений входных данных (начально-краевых условий и правых частей) конечно-разносная схема обеспечивает малые возмущения сеточной функции uh т.е. решение с помощью конечно-разностной схемы находится под контролем входных данных.

Если во входные данные fn входят только начальные условия или только краевые условия, или только правые части, то говорят об устойчивости соответственно по начальным условиям, по краевым условиям или по правым частям.

Из математической физики известно, что решение начально-краевых задач представляется в виде следующего ряда:

Явная конечно разностная схема для уравнения теплопроводности, (16)

где λ n – собственные значения

Явная конечно разностная схема для уравнения теплопроводности– собственные значения функции, получаемые из решения соответствующей задачи Штурма-Лиувиля, т.е. решение может быть представлено в виде суперпозиции отдельных гармоник Явная конечно разностная схема для уравнения теплопроводности, каждая из которых есть произведение функции времени и функции пространственной переменной, причем последняя по модулю ограничена сверху единицей при любых значениях переменной x .

В то же время функция времени Явная конечно разностная схема для уравнения теплопроводности, называемая амплитудной частью гармоники, никак не ограничена, и, по всей вероятности, именно амплитудная часть гармоник является источником неконтролируемого входными данными роста функции и, следовательно, источником неустойчивости.

Таким образом, если конечно-разностная схема устойчива, то отношение амплитудной части гармоники на верхнем временном слое к амплитудной части на нижнем временном слое по модулю должно быть меньше единицы.

Если разложить значение сеточной функции Явная конечно разностная схема для уравнения теплопроводностив ряд Фурье по собственным функциям:

Явная конечно разностная схема для уравнения теплопроводности(17)

где амплитудная часть Явная конечно разностная схема для уравнения теплопроводностиможет быть представлена в виде произведения

Явная конечно разностная схема для уравнения теплопроводности(18)

где Явная конечно разностная схема для уравнения теплопроводности– размерный и постоянный сомножитель амплитудной части,

k – показатель степени (соответствующий номеру временного слоя) сомножителя, зависящего от времени.

Тогда подставив (17) в конечно-разностную схему, можно по модулю оценить отношение амплитудных частей на соседних временных слоях.

Однако поскольку операция суммирования линейна и собственные функции ортогональны для различных индексов суммирования, то в конечно-разностную схему вместо сеточных значений достаточно подставить одну гармонику разложения (17) (при этом у амплитудной части убрать индекс n ), т.е.

Явная конечно разностная схема для уравнения теплопроводности(19)

Таким образом, если конечно-разностная схема устойчива по начальным данным , то

Явная конечно разностная схема для уравнения теплопроводности, (20)

т. е. условие (20) является необходимым условием устойчивости.

1.5 Схема Кранка-Николсона

параболическое дифференциальное уравнение конечная разность

Явная конечно разностная схема, записанная в форме

Явная конечно разностная схема для уравнения теплопроводности(21)

обладает тем достоинством, что решение на верхнем временном слое tk+l получается сразу (без решения СЛАУ) по значениям сеточной функции на нижнем временном слое t k , где решение известно (при k = 0 значения сеточной функции формируются из начального условия). Но эта же схема обладает существенным недостатком, поскольку она является условно устойчивой. С другой стороны, неявная конечно-разностная схема, записанная форме

Явная конечно разностная схема для уравнения теплопроводности(22)

приводит к необходимости решать СЛАУ, но зато эта схема абсолютно устойчива.

Проанализируем схемы (21) и (22). Пусть точное решение, которое неизвестно, возрастает по времени, т.е. Явная конечно разностная схема для уравнения теплопроводности. Тогда, в соответствии с явной схемой (21), разностное решение будет заниженным по сравнению с точным, так как Явная конечно разностная схема для уравнения теплопроводностиопределяется по меньшим значениям сеточной функции на предыдущем временном слое, поскольку решение является возрастающим по времени.

Для неявной схемы (22) на возрастающем решении, наоборот, решение завышено по сравнению с точным, поскольку оно определяется по значениям сеточной функции на верхнем временном слое.

На убывающем решении картина изменяется противоположным образом: явная конечно-разностная схема завышает решения, а неявная — занижает (Рисунок 4).

На основе этого анализа возникла идея о построении более точной неявно-явной конечно-разностной схемы с весами при пространственных конечно-разностных операторах, причем при измельчении шагов тик точное (неизвестное) решение может быть взято в «вилку» сколь угодно узкую, так как если явная и неявная схемы аппроксимируют дифференциальную задачу и эти схемы устойчивы, то при стремлении сеточных характеристик τ и h к нулю решения по явной и неявной схемам стремятся к точному решению с разных сторон.

Явная конечно разностная схема для уравнения теплопроводности

Рисунок 4 – Двусторонний метод аппроксимации

Проведенный анализ дал блестящий пример так называемых двусторонних методов, исследованных В. К. Саульевым

Рассмотрим неявно-явную схему с весами для простейшего уравнения теплопроводности:

Явная конечно разностная схема для уравнения теплопроводности(23)

где θ – вес неявной части конечно-разностной схемы,

θ -1 – вес для явной части

Причем Явная конечно разностная схема для уравнения теплопроводности. При θ=1 имеем полностью неявную схему, при θ=0 – полностью явную схему, а при θ=1/2 – схему Кранка-Николсона .

В соответствии с гармоническим анализом для схемы (23) получаем неравенство

Явная конечно разностная схема для уравнения теплопроводности,

Явная конечно разностная схема для уравнения теплопроводности(24)

причем правое неравенство выполнено всегда.

Левое неравенство имеет место для любых значений σ , если Явная конечно разностная схема для уравнения теплопроводности. Если же вес θ лежит в пределах Явная конечно разностная схема для уравнения теплопроводности, то между σ и θ из левого неравенства устанавливается связь

Явная конечно разностная схема для уравнения теплопроводности Явная конечно разностная схема для уравнения теплопроводности(25)

являющаяся условием устойчивости неявно-явной схемы с весами (23), когда вес находится в пределах Явная конечно разностная схема для уравнения теплопроводности.

Таким образом, неявно-явная схема с весами абсолютно устойчива при Явная конечно разностная схема для уравнения теплопроводностии условно устойчива с условием (25) при Явная конечно разностная схема для уравнения теплопроводности.

Рассмотрим порядок аппроксимации неявно-явной схемы с весами, для чего разложим в ряд Тейлора в окрестности узла (x j ,tk ) на точном решении значения сеточных функций Явная конечно разностная схема для уравнения теплопроводностипо переменной t , Явная конечно разностная схема для уравнения теплопроводности, Явная конечно разностная схема для уравнения теплопроводностипо переменной х и полученные разложения подставим в (23):

Явная конечно разностная схема для уравнения теплопроводности

В этом выражении дифференциальный оператор Явная конечно разностная схема для уравнения теплопроводностиот квадратной скобки в соответствии с дифференциальным уравнением равен дифференциальному оператору Явная конечно разностная схема для уравнения теплопроводности, в соответствии с чем вышеприведенное равенство приобретает вид

Явная конечно разностная схема для уравнения теплопроводности

После упрощения получаем

Явная конечно разностная схема для уравнения теплопроводности,

откуда видно, что для схемы Кранка-Николсона (θ = 1/2) порядок аппроксимации схемы (23) составляет Явная конечно разностная схема для уравнения теплопроводности, т.е. на один порядок по времени выше, чем для обычных явных или неявных схем. Таким образом, схема Кранка-Николсона при θ = 1/2 абсолютно устойчива и имеет второй порядок аппроксимации по времени и пространственной переменной х .

Используем в уравнение (23) подстановку r= a 2 k / h 2 . Но в то же время его нужно решить для трех «еще не вычисленных» значений Явная конечно разностная схема для уравнения теплопроводности, Явная конечно разностная схема для уравнения теплопроводности, и Явная конечно разностная схема для уравнения теплопроводности. Это возможно, если все значения перенести в левую часть уравнения. Затем упорядочим члены уравнения (23) и в результате получим неявную разностную формулу

Явная конечно разностная схема для уравнения теплопроводности(26)

для i=2,3,…, n-1 . Члены в правой части формулы (26) известны. Таким образом, формула (26) имеет вид линейной трехдиагональной системы АХ=В. Шесть точек, используемых в формуле Кранка-Николсона (26), вместе с промежуточной точкой решетки, на которой основаны численные приближения, показаны на рисунке 5.

Явная конечно разностная схема для уравнения теплопроводности

Рисунок 5 – Шаблон (схема) метода Кранка-Николсона

Иногда в формуле (26) используется значение r=1 . В этом случае приращение по оси t равно Явная конечно разностная схема для уравнения теплопроводности, формула (26) упрощается и принимает вид

Явная конечно разностная схема для уравнения теплопроводности, (27)

для i=2,3,…, n-1 . Граничные условия используются в первом и последнем уравнениях (т. е. в Явная конечно разностная схема для уравнения теплопроводностии Явная конечно разностная схема для уравнения теплопроводностисоответственно).

Уравнения (27) особенно привлекательны при записи в форме трехдиагональной матрицы АХ = В.

Если метод Кранка-Николсона реализуется на компьютере, то линейную систему АХ = В можно решить либо прямым методом, либо итерационным.

Явная конечно разностная схема для уравнения теплопроводности

2. Практическая часть

2.1 Постановка задачи

Используем метод Кранка-Николсона, чтобы решить уравнение

Явная конечно разностная схема для уравнения теплопроводности,

с начальным условием

Явная конечно разностная схема для уравнения теплопроводности,

и граничными условиями

2.2 Решение в ППП MatLab

Решение будем искать в ППП MatLab 7. Создадим четыре выполняемых m-фала: crnich.m – файл-функция с реализацией метода Кранка-Николсона; trisys.m – файл-функция метода прогонки; f.m – файл-функция задающая начальное условие задачи; fе.m – файл-функция задающая функцию определяющую точное решение задачи(найдена аналитическим путем). Листинги программ представлены в приложении А.

Для простоты возьмем шаг Δх = h = 0,1 и Δ t = к = 0,01 . Таким образом, соотношение r =1. Пусть решетка имеет n=11 столбцов в ширину и m=11 рядов в высоту.

2.3 Анализ результатов

Решения для данных параметров отразим в таблице 1. Трехмерное изображение данных из таблицы покажем на рисунке 5.

Таблица 1 – Значения u(х i , ti ), полученные методом Кранка-Николсона

Название: Конечно-разностный метод решения для уравнений параболического типа
Раздел: Рефераты по математике
Тип: контрольная работа Добавлен 23:16:39 16 апреля 2011 Похожие работы
Просмотров: 16037 Комментариев: 20 Оценило: 3 человек Средний балл: 5 Оценка: неизвестно Скачать
xi 00.10.20.30.40.50.60.70.80.91
ti
001.11801.53881.11800.363300.36331.11801.53881.11800
0.0100.61690.92880.86210.61770.49050.61770.86210.92880.61690
0.0200.39420.64800.71860.68000.64880.68000.71860.64800.39420
0.0300.28870.50670.62530.66650.67330.66650.62530.50670.28870
0.0400.23310.42580.55600.62510.64580.62510.55600.42580.23310
0.0500.19950.37200.49960.57540.60020.57540.49960.37200.19950
0.0600.17590.33150.45110.52530.55040.52530.45110.33150.17590
0.0700.15740.29810.40820.47780.50150.47780.40820.29810.15740
0.0800.14190.26930.36980.43380.45580.43380.36980.26970.14190
0.0900.1830.24370.33510.39360.41370.39360.33510.24370.12830
0.100.11610.22080.30380.35700.37530.35700.30380.22080.11610

Величины, полученные методом Кранка-Николсона, достаточно близки к

аналитическому решению u(x,t) = sin(πx)e -π2 t + sin(3πx)e -9π2 t , истинные значения для последнего представлены в таблице 2

Максимальная погрешность для данных параметров равна 0,005

Таблица 2 – точные значения u(х i , ti ), при t=0.1

xi 00.10.20.30.40.50.60.70.80.91
t11
0.100.11530.21920.30160.35440.37260.35440.30160.21920.11530

Явная конечно разностная схема для уравнения теплопроводности

Рисунок 5 –Решениеu= u(х i , ti ), для метода Кранка-Николсона

В зависимости от формы области, краевых условий, коэффициентов исходного уравнения метод конечных разностей имеет погрешности аппроксимации от первого до четвертого порядка относительно шага. В силу этого они успешно используются для разработки программных комплексов автоматизированного проектирования технических объектов.

В МКР строятся, как правило, регулярные сетки, особенности геометрии области учитываются только в около граничных узлах. В связи с этим МКР чаще применяется для анализа задач с прямолинейными границами областей определения функций.

Проблемой методов конечных разностей является высокая размерность результирующей системы алгебраических уравнений (несколько десятков тысяч в реальных задачах. Поэтому реализация методов конечных разностей в составе САПР требует разработки специальных способов хранения матрицы коэффициентов системы и методов решения последней.

1 Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений. Т.2. – М.: Физматгиз, 1962.

2 Мэтьюз, Джон, Г., Финк, Куртис, Д. Численные методы. Использование MATLAB, 3-е издание.— М. : Вильяме, 2001. — 720 с

3 Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. – М.: Наука, 1972.

4 Формалев В.Ф., Ревизников Д.Л. Численные методы. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 400 с.

5 Пирумов У.Г. Численные методы. – М.: Издательство МАИ, 1998.

6 Калиткин Н.Н. Численные методы. – М.: Наука, 1976.

Листинг программы для расчета по методу Кранка-Николсона

Видео:Лекция №1.1 Явная и неявная схемы для уравнения теплопроводностиСкачать

Лекция №1.1 Явная и неявная схемы для уравнения теплопроводности

Разностная аппроксимация начально-краевой задачи для уравнения теплопроводности. Понятие явной и неявной схемы.

    Владислав Грузинский 5 лет назад Просмотров:

1 Разностная аппроксимация начально-краевой задачи для уравнения теплопроводности. Понятие явной и неявной схемы. 1 Разностная аппроксимация уравнения теплопроводности Рассмотрим различные варианты разностной аппроксимации линейного одномерного по пространству уравнения теплопроводности: где T > 0 некоторая константа. u t = u + fx, t, x 0, l, t 0, T ], 1.1 x Введем в области D = равномерную сетку с шагом по координате и шагом по времени: x =, = 0, 1. = l; t j = j, j = 0, 1. M, M = T. Уравнение 1.1 содержит как производные по пространственной переменной x, так и по времени t, поэтому для построения его разностной аппроксимации придется использовать узлы сетки, соответствующие различным j. Все узлы сетки, отвечающие фиксированному j, называют j-м временным слоем. Свойства разностных схем для уравнения 1.1 зависят от того, на каком слое j по времени аппроксимируется выражение u x. Рассмотрим возможные варианты. Вариант 1: явная схема. Для аппроксимации оператора L = t x приведенный на рис. 1. в уравнении 1.1 используем шаблон, 1

2 Рис. 1: Шаблон явной схемы для уравнения теплопроводности. Соответствующий разностный оператор L 0 u имеет вид: L 0 ux, t + ux, t ux +, t ux, t + ux, t u =. Далее для краткости будем использовать следующие стандартные обозначения: u = ux, t; û = ux, t +. Тогда: u t = û u, L 0 u = u t u xx. Найдем погрешность аппроксимации разностным оператором L 0 исходного дифференциального оператора L в точке x, t. В случае достаточно гладкой функции ux, t при достаточно малых шагах и имеем: u t = ux, t + ux, t = ux, t t + O, 1. Следовательно, разностный оператор L 0 аппроксимирует дифференциальный оператор L с погрешностью O + в точке x, t: L 0 u xx = ux, t x + O. 1.3 ux, t u = t ux, t x > <L[ux,t] +O +. Введем сеточную функцию ϕ = ϕx, t j, аппроксимирующую правую часть fx, t уравнения 1.1 на всех внутренних узлах x, t j сетки с погрешностью O +. В качестве ϕ можно взять, например ϕx, t j = fx, t j. Тогда разностное уравнение L 0 y = ϕ будет аппроксимировать исходное дифференциальное уравнение теплопроводности 1.1 с первым порядком погрешности по и вторым по.

3 Вариант. Чисто неявная схема. Используем для аппроксимации оператора L = t x приведенный на рис.. в уравнении 1.1 шаблон, Рис. : Шаблон неявной схемы для уравнения теплопроводности. Тогда разностная аппроксимация оператора L уравнения теплопроводности будет выглядеть следующим образом: L 1 ux, t + ux, t ux +, t + ux, t + + ux, t + u = = u t û xx. Рассмотрим погрешность аппроксимации разностным оператором L 1 исходного дифференциального оператора L в точках x, t, x, t +. Так как для достаточно гладкой функции ux, t справедливы равенства û xx = ux, t + x + O = ux, t x + O +, 1.4 то с учетом 1. получаем, что оператор L 1 аппроксимирует дифференциальный оператор L в уравнении 1.1 с погрешностью O + в точках x, t и x, t + : L 1 ux, t u = t ux, t x > <L[ux,t] +O + ux, t + = ux, t + +O +. > t <L[ux,t+] Беря в качестве сеточной аппроксимации правой части уравнения 1.1, например, функцию ϕx, t j = fx, t j+1, получим разностное уравнение L 1 y = ϕ, аппроксимирующее 1.1 с погрешностью O +. 3

4 Вариант 3. Неявная схема с весами. Используем шаблон, приведенный на рис. 3, и линейную комбинацию операторов L 0 и L 1 для аппроксимации дифференциального оператора L: L σ u = σl1 u+1 σl0 u = σu t σû xx +1 σu t 1 σu xx = u t σû xx + 1 σu xx, где σ 0, 1. Рис. 3: Шаблон неявной схемы с весами для уравнения теплопроводности. Пользуясь равенствами 1., 1.3 и 1.4, получаем, что оператор L σ аппроксимирует исходный дифференциальный оператор L с погрешностью O + в точках x, t, x, t+ при любом σ. По определению погрешность ψx, t = L σ u Lu 1.5 аппроксимации выражения Lu разностным выражением L σ u может вычисляться в любой точке x, t, а не обязательно в каком-либо узле сетки, так как в соотношении 1.5 функция ux, t это произвольная достаточно гладкая функция непрерывных аргументов x и t. Поэтому рассмотрим погрешность аппроксимации оператором L σ дифференциального оператора L в центральной точке x, t шаблона, приведенного на рис. 3. Пользуясь для достаточно гладкой функции ux, t разложением в ряд Тейлора в окрестности точки x, t + 0.5, при малых и получаем: ux, t + ux, t u t = = u t + O, x,t+0.5 û xx = u x + O = u x,t+ x + 3 u x,t+0.5 t x + O +, x,t+0.5 u xx = u x + O = u x,t x x,t u t x + O +. x,t+0.5 4

5 Следовательно, при σ = 0.5 в точке x, t оператор L 0.5 в силу своей симметрии аппроксимирует L со вторым порядком погрешности аппроксимации по и : L σ u = ux, t + t ux, t + x > <L[ux,t+ ] 3 ux, t + σ 1 + O +. > <x t 0 при σ=0.5 Для того, чтобы получить разностное уравнение, аппроксимирующее дифференциальное уравнение u t = u + fx, t x с погрешностью O + в точке x, t +, достаточно взять в качестве сеточной аппроксимации правой части fx, t этого уравнения функцию ϕx, t j = fx, t j Итак, разностное уравнение L 0.5 y = ϕ, где ϕx, t j = fx, t j + 0.5, аппроксимирует уравнение 1.1 со вторым порядком погрешности по и. Реализация явной, неявной и симметричной разностных схем для начально-краевой задачи для уравнения теплопроводности на отрезке. Пример.1. Постройте явную разностную схему для следующей начально-краевой задачи на отрезке x [0, 1]: u t = u + x, 0 6 задаче с однородными граничными условиями: v t = v, 0 7 Итак, первый вариант явной разностной схемы для задачи.1, обладающей погрешностью аппроксимации O +, имеет вид: y j = yj 1 yj + yj +1 + x, = 1. 1, j = 0, 1. M 1, y 0 3πx = sn, = 0, 1. 4 y j 0 = 0, y j yj 1 = t j, j = 0, 1. M. Рассмотрим алгоритм решения системы.4. При j = 0 значения y j известны из начального условия. Следовательно, при каждом фиксированном j = 0, 1. M 1 неизвестными являются. Найти их можно следующим образом: 1 при = 1. 1 из первого уравнения системы.4 находим = y j + y j +1 yj + yj 1 + x ; при = 0 и = пользуемся граничными условиями, учитывая, что 1 и 1 уже известны: 0 = 0, = yj t j+1; 3 переходим на новый слой по времени, увеличивая j на единицу и повторяем действия 1 и. На рис.4-6 приведены результаты решения системы.4 для = 50 и M = Рис. 4: Аналитическое решение задачи.1. Если мы хотим, чтобы явная схема аппроксимировала исходную задачу с погрешностью O +, то можно использовать тот же прием, который применялся ранее для ап- 7

8 Рис. 5: Численное решение задачи.1 с помощью явной схемы. Рис. 6: Погрешность численного решения задачи.1 с помощью явной схемы. проксимации граничного условия, содержащего производную, в краевой задаче для обыкновенного дифференциального уравнения на отрезке. Пусть ux, t решение задачи.1. Рассмотрим выражение: u x = ux, t ux, t ux, t = ux, t + O = x x ux, t = ux, t x + O. x t Заменяя в нем производную u t конечной разностью: ux, t t = ux, t ux, t + O, 8

9 получим ux, t ux, t = ux, t x ux, t ux, t x + O +. Переходя в полученном равенстве к пределу при x 1 и учитывая, что по условию u x = t, x=1 находим, что при t = t j+1 имеет место равенство: u j+1 uj+1 1 = t j+1 u j+1 uj 1 + O +. Следовательно, разностное уравнение yj+1 1 = t j+1 yj 1.5 аппроксимирует граничное условие Неймана при x = 1 с погрешностью O +. Таким образом, меняя в схеме.4 уравнение.3 на.5, мы получим схему, аппроксимирующую исходную задачу на ее решении с погрешностью O +. Уравнение.5 удобно переписать в виде: 1 = t j yj, j = 0, 1. M 1, и использовать при уже найденных 1, yj для завершения перехода на слой j + 1. Результаты расчетов по соответствующей явной схеме на той же сетке, что и в предыдущем случае, приведены на рис Рис. 7: Численное решение задачи с помощью явной схемы с граничным условием.5. 9

10 Рис. 8: Погрешность решения задачи с помощью явной схемы с граничным условием.5. Также для получения схемы, имеющей погрешность аппроксимации O +, можно аппроксимировать граничное условие Неймана при x = 1 с помощью трехточечной первой разностной производной: 3 4yj yj+1 Переписывая это уравнение в виде = t j+1, j = 0, 1. M 1. = 4 3 yj yj+1 + t j+1 3,.6 мы можем использовать его для завершения перехода на слой j + 1 при уже найденных 1 и yj+1. Погрешность вычислений по схеме с условием.6 приведена на рис. 9. Рис. 9: Погрешность решения задачи с помощью явной схемы с граничным условием.6. 10

11 Пример.. Постройте чисто неявную разностную схему для начально-краевой задачи.1. Сравните численное решение с аналитическим и исследуйте зависимость погрешности от шагов сетки. Решение. Используем ту же сетку, что и в предыдущем примере с той лишь разницей, что соотношение шагов и теперь может быть любым. Разностная аппроксимация уравнения в соответствии с неявной схемой имеет вид: y j = yj+1 1 yj x, = 1. 1, j = 0, 1. M 1..7 Дополним разностное уравнение.7 начальными и граничными условиями на сетке. Как и в случае явной схемы, начальное условие и граничное условие Дирихле при x = 0 аппроксимируются точно: y 0 3πx = sn, = 0, 1. ; 0 = 0, j = 1. M 1. Для аппроксимации граничного условия при x = 1 используем те же три способа, что и в случае явной схемы, разобранной в предыдущем примере. Первый вариант аппроксимации граничного условия Неймана при x = 1: yj+1 1 = t j+1, j = 1. M 1. Получающаяся при этом неявная разностная схема: y 0 3πx = sn, = 0, 1. 0 = 0, j = 0, 1. M 1, y j yj+1 1 = yj+1 1 yj x, = 1. 1, j = 0, 1. M 1, = t j+1, j = 0, 1. M 1.8 имеет погрешность аппроксимации O +. Значения сеточной функции y j на нулевом слое по времени известны из начального условия, поэтому при каждом фиксированном j = 0, 1. M 1 неизвестными являются. Система уравнений, которым они удовлетворяют, имеет вид: 0 = 0, yj = yj t j+1, + yj+1 +1 = y j + x, = 1. 1,.9 11

12 то есть является системой с трехдиагональной матрицей: 0 = κ µ 1, A 1 C + B +1 = F, = 1. 1, = κ 1 + µ,.10 где κ 1 = 0, µ 1 = 0, A = B =, C = 1 +, F = y j + x, κ = 1, µ = t j+1. Очевидно, что достаточные условия устойчивости прогонки: A > 0, B > 0, C A + B, C A + B, = 1. 1, 0 κ p 1, p = 1, для системы.9 выполнены. Решая систему.9 методом прогонки и последовательно увеличивая значения j на единицу, мы полностью решим систему.8. Результаты вычислений по неявной схеме.8 в случае = M = 50 приведены на рис Рис. 10: Численное решение задачи.1 с помощью неявной схемы.8. Рис. 11: Погрешность численного решения задачи.1 с помощью неявной схемы.8. 1

13 Второй вариант аппроксимации граничного условия Неймана при x = 1: 1 = t j yj, j = 0, 1. M В этом случае для неизвестных при каждом фиксированном j получаем трехдиагональную систему вида.10, где κ = 1 1 +, µ = κ t j yj Погрешность расчетов по соответствующей неявной схеме в случае = M = 50 приведена на рис. 1.. Рис. 1: Погрешность решения задачи.1 с помощью неявной схемы с граничным условием.11. Третий вариант аппроксимации граничного условия Неймана при x = 1: = 4 3 yj yj+1 + t j+1 3 Для того, чтобы получить для неизвестных.1 систему с трехдиагональной матрицей при каждом фиксированном j, исключим из уравнения.1 неизвестное. Для этого воспользуемся уравнением.7 при = 1: yj yj yj+1 = F 1. Следовательно, = + 1 yj+1 F 1, 13

14 и уравнение.1 принимает вид: = 1 В результате для неизвестных.10, где κ = 1, 1 + F 1 + t j+1. приходим к системе с трехдиагональной матрицей вида µ = F 1 + t j+1. Погрешность расчетов по соответствующей схеме в случае = M = 50 приведена на рис. 13. Рис. 13: Погрешность численного решения задачи.1 с помощью неявной схемы с граничным условием.1. Пример.3. Постройте симметричную разностную схему схему с весом σ = 0.5 для начально-краевой задачи.1. Сравните численное решение с аналитическим и исследуйте зависимость погрешности от шагов сетки. Решение. Аппроксимация уравнения u t = u x + x в соответствии с симметричной разностной схемой имеет вид: y j = 1 y j+1 1 yj yj 1 yj + yj +1 + x,.13 где = 1. 1, j = 0, 1. M 1. Разностное уравнение.13 аппроксимирует исходное дифференциальное уравнение теплопроводности с погрешностью O + на всех внутренних узлах сетки. 14

15 Начальное условие и условие Дирихле при x = 0 аппроксимируются так же, как и в двух рассмотренных ранее случаях. Граничное условие Неймана при x = 1 можно аппроксимировать как с первым, так и со вторым порядком по. Если в качестве аппроксимации условия при x = 1 берется разностное уравнение yj+1 1 = t j+1, j = 1. M 1, то схема будет иметь погрешность аппроксимации O +. Соответствующая система для неизвестных будет трехдиагональной: 0 = 0, A 1 C + B +1 = F, = 1. 1, = yj t j+1,.14 где A = B =, C = 1 + A, F = y j + x + yj 1 yj + yj +1. Достаточные условия устойчивости прогонки для системы.14 выполнены. Погрешность решения задачи по схеме.14 для = M = 50 приведена на рис. 14. Рис. 14: Погрешность численного решения задачи.1 с помощью симметричной схемы. Построим аппроксимацию граничного условия Неймана при x = 1 с погрешностью O +. Рассмотрим равенство: ux, t ux, t = ux, t x ux, t t x + O,.15 где ux, t решение исходной задачи.1. Положим в равенстве.15 t = t j Так как ux, t j ux, t j =

16 и получаем: 1 = 1 u j uj 1 + uj+1 ux, tj ux, t j ux, t t t=tj +0.5 u j+1 1 = ux, t x + ux, t j+1 ux, t j+1 + O = ux, t j+1 ux, t j x,t j O, u j+1 u j x + O +. Перейдем в полученном равенстве к пределу при x 1 то есть при, учитывая граничные условия задачи: 1 u j uj 1 + uj+1 uj = t j Следовательно, разностное уравнение y j yj 1 + yj+1 yj+1 1 = t j +0.5 будет аппроксимировать условие u x = t x=1 yj u j+1 uj с погрешностью O +. Соответствующая система для вид: где 0 = 0, 1 1 A 1 C + B +1 = F, = 1. 1, = κ 1 + µ, 1 κ = 1 +, µ = κ 1 + yj + O +., j = 0, 1. M 1.16 при фиксированном j имеет + t j + y j + yj Погрешность, получаемая при численном решении задачи с использованием граничного условия.16, для = M = 50 приведена на рис. 15. Такой же порядок погрешности аппроксимации можно получить, используя граничное условие = 4 3 yj yj+1 + t j Исключим из этого уравнения неизвестное, используя уравнение.13 при = 1: Так как yj yj+1 = F 1. = + 1 yj+1 F 1, 16

17 Рис. 15: Погрешность численного решения задачи.1 с помощью симметричной схемы с граничным условием.16. уравнение.18 можно переписать в виде: = F 1 + t j+1. В результате мы снова придем к системе с трехдиагональной матрицей вида.17 для неизвестных при каждом фиксированном j = 0, 1. M 1, где теперь κ = 1, µ = F 1 + t j+1. Погрешность решения по предложенной схеме при = M = 50 приведена на рис. 16. Рис. 16: Погрешность решения задачи с помощью симметричной схемы с граничным условием

18 3 Задачи для самостоятельного решения Решите аналитически и численно при помощи явной, неявной и симметричной схем начальнокраевую задачу для уравнения теплопроводности на отрезке: u t = u a + fx, t, x 0, l, t 0, T ], x ux, 0 = u 0 x, u γ 0 x + δ 0u = g 0 t, x=0 u γ 1 x + δ 1u = g 1 t, x=l где: x а a =, f = cos e t, u 0 = π x, γ 0 = 1, δ 0 = 0, γ 1 = 0, δ 1 = 1, g 0 = 1, g 1 = 0, l = π; б a = 1, f = e t x / 1, u 0 = 1 + e t x /, γ 0 = 1, δ 0 = 0, γ 1 = 1, δ 1 = 0, g 0 = 0, g 1 = e t, l = 1; в a = 0.5, f = e t, u 0 = 1 + sn 3x, γ 0 = 0, δ 0 = 1, γ 1 = 1, δ 1 = 0, g 0 = e t, g 1 = 0, l = π/; 3πx г a = 1, f = 0, u 0 = 3 x + cos, γ 0 = 1, δ 0 = 0, γ 1 = 0, δ 1 = 1, g 0 = 1, g 1 = 1, l = ; 4 д a = 0.1, f = 0, u 0 = cosπx + x + x, γ 0 = 1, δ 0 = 0, γ 1 = 1, δ 1 = 0, g 0 = 1, g 1 = 5, l =. Сравните результаты численного решения по разным схемам между собой и с аналитическим решением задачи. 18

Видео:Решение задачи теплопроводности (Явная разностная схема)Скачать

Решение задачи теплопроводности (Явная разностная схема)

Разностные схемы для уравнения теплопроводности

3.1. Исходная задача. Будем рассматривать следующую первую краевую задачу для уравнения теплопроводности с постоянными коэффициентами. В области <0 n i = y(xi, tn),

Явная конечно разностная схема для уравнения теплопроводности

Иногда для упрощения записи индексы i и n будем опускать, обозначая

Явная конечно разностная схема для уравнения теплопроводности

Явная конечно разностная схема для уравнения теплопроводности Явная конечно разностная схема для уравнения теплопроводности
Явная конечно разностная схема для уравнения теплопроводности Явная конечно разностная схема для уравнения теплопроводности

Чтобы аппроксимировать уравнение (1) в точке (xi, tn), введем шаблон, изображенный на рисунке и состоящий из четырех узлов (xi±1, tn), (xi, tn), (xi, tn+1). Производную ¶u/¶t заменим в точке (xi, tn) разностным отношением y n t, i, а производную ¶ 2 u/¶ 2 x – второй разностной производной y n xx, i. Правую часть f(x, t) заменим приближенно сеточной функцией j n i, в качестве j n i можно взять одно из следующих выражений:

Явная конечно разностная схема для уравнения теплопроводности

В результате получим разносное уравнение

Явная конечно разностная схема для уравнения теплопроводности

которое аппроксимирует исходное дифференциальное уравнение в точке (xi, tn) с первым порядком по t и вторым порядком по h при условии, что разность j n i – f(xi, tn) имеет тот же порядок малости.

Под разностной схемой понимается совокупность разностных уравнений, аппроксимирующих основное дифференциальное уравнение во всех внутренних узлах сетки и дополнительные (начальные и граничные) условия – в граничных узлах сетки. Разностную схему по аналогии с дифференциальной задачей будем называть также разностной задачей. В данном случае разностная схема имеет вид

Явная конечно разностная схема для уравнения теплопроводности

Эта схема представляет собой систему линейных алгебраических уравнений с числом уравнений, равным числу неизвестных. Находить решение такой системы следует по слоям. Решение на нулевом слое задано начальными условиями y 0 i = u0(xi), i = 0, 1,…, N. Если решение y n i, i = 0, 1,…, N, на слое n уже найдено, то решение yi n+1 на слое n+1 находится по явной формуле

Явная конечно разностная схема для уравнения теплопроводности

Явная конечно разностная схема для уравнения теплопроводностиа значения доопределяются из граничных

условий. По этой причине схема (6) называется явной разностной схемой. Несколько позже мы познакомимся и с неявными схемами, в которых для нахождения yi n+1 при заданных yi n требуется решать систему уравнений.

Погрешность разностной схемы (6) определяется как разность zi n = yi n – u(xi, tn) между решением задачи (6) и решением исходной задачи (1) – (3). Подставляя в (6) yi n = zi n + u(xi, tn), получим уравнение для погрешности

Явная конечно разностная схема для уравнения теплопроводности
Явная конечно разностная схема для уравнения теплопроводности

где – погрешность аппроксимации разностной

схемы (6) на решении задачи (1) – (3), y i n = O( t + h 2 ). Можно оценить решение zi n уравнения (8) через правую часть yi n и доказать тем самым сходимость разностной схемы (6) с первым порядком по t и вторым – по h. Однако это исследование мы отложим, а сейчас на примере схемы (6) продемонстрируем один распространенный прием исследования разностных схем с постоянными коэффициентами, называемый методом гармоник. Хотя данный метод не является достаточно обоснованным, в частности не учитывает влияния граничных условий и правых частей, он позволяет легко найти необходимые условия устойчивости и сходимости разностных схем. Покажем, например, что явную схему (6) можно применять лишь при условии t £ 0,5h 2 , означающем, что шаг по времени надо брать достаточно малым.

Явная конечно разностная схема для уравнения теплопроводности

т.е. однородное уравнение, соответствующее (5). Будем искать частные решения (9), имеющие вид

yj n ( j ) = q n e ijh j , (10)

где i – мнимая единица, j – любое действительное число и q – число, подлежащее определению. Подставляя (10) в уравнение (9) и сокращая на e ijh j , получим

Явная конечно разностная схема для уравнения теплопроводности
Явная конечно разностная схема для уравнения теплопроводности
Явная конечно разностная схема для уравнения теплопроводности

Начальные условия соответствующие решениям вида (10) (их называют гармониками), ограничены. Если для некоторого j множитель q станет по модулю больше единицы, то решение вида (10) будет неограниченно возрастать при n®¥. В этом случае разностное уравнение (9) называется неустойчивым, поскольку нарушается непрерывная зависимость его решения от начальных условий. Если же |q| £ 1 для всех действительных j, то все решения вида (10) ограничены при любом n и разностное уравнение (9) называется устойчивым. В случае неустойчивости найти решение разностной задачи (6) по формулам (7) практически невозможно, так как погрешности (например погрешности округления), внесенные в начальный момент времени, будут неограниченно возрастать при увеличении n. Такие разностные схемы называются неустойчивыми.

Для уравнения (9) неравенство |q| £ 1 выполняется согласно (11) при всех j тогда и только тогда, когда g £ 0,5. Таким образом, использование схемы (6) возможно лишь при выполнении условия t £ 0,5h 2 . Разностные схемы, устойчивые лишь при некотором ограничении на отношение шагов по пространству и по времени, называются условно устойчивыми. Следовательно, схема (6) возможно устойчива, причем условие устойчивости имеет вид t/h 2 £ 0,5. Условно устойчивые схемы для уравнений параболического типа используются редко, так как они накладывают слишком сильное ограничение на шаг по времени. Действительно, пусть, например, h = 10 -2 . Тогда шаг t не должен превосходить 0,5 * 10 -4 , и для того чтобы вычислить решение yj n при t = 1, надо взять число шагов по времени n = t -1 ³ 2 * 10 4 , т.е. провести не менее 2 * 10 4 вычислений по формулам (7).

3.3. Неявные схемы. Чисто неявной разностной схемой для уравнения теплопроводности теплопроводности (схемой с опережением) называется разностная схема, использующая шаблон (xi, tn), (xi ± 1 , tn+1), (xi, tn+1) и имеющая вид

Явная конечно разностная схема для уравнения теплопроводности

Здесь j n i = f(xi, tn+1) + O( t + h 2 ). Схема имеет первый порядок аппроксимации по t и второй – по h. Решение системы (12) находится, как и в случае явной схемы, по слоям, начиная с n = 1. Однако, теперь, в отличие от явной схемы, для нахождения y i n+1 по известным yi n требуется решить систему уравнений

Явная конечно разностная схема для уравнения теплопроводности

где g = t /h 2 , Fi n = yi n + t j i n . Эту систему можно решать методом прогонки, так как условия устойчивости прогонки выполнены.

Для исследования устойчивости разностной схемы (12) будем искать частные решения уравнения

Явная конечно разностная схема для уравнения теплопроводности

имеющие вид (10). Тогда получим

Явная конечно разностная схема для уравнения теплопроводности

следовательно, |q| £ 1 при любых j , t , h. Таким образом, схема (12) абсолютно устойчива, т.е. устойчива при любых шагах t и h. Абсолютная устойчивость является основным условием неявных схем. Теперь уже не надо брать шаг t слишком малым, можно взять, например, t = h = 10 -2 . Величина шагов сетки t , h определяются теперь необходимой точностью расчета, а не соображениями устойчивости.

Явная конечно разностная схема для уравнения теплопроводностиШеститочечной симметричной схемой называется разностная схема

для которой начальные и граничные условия задаются так же, как и в схеме (12). Эта схема использует шеститочечный шаблон, изображенный на рисунке.

Обобщением трех рассмотренных схем является однопараметрическое семейство схем с весами. Зададим произвольный действительный параметр s и определим разностную схему

Явная конечно разностная схема для уравнения теплопроводности

При s = 0 получим отсюда явную схему, при s = 1 – чисто неявную схему и при s = 0,5 – симметричную схему (14). Исследуем погрешность аппроксимации схемы (15) на решении исходной задачи (1) – (3). Представим решение задачи (15) в виде yi n = u(xi, tn) + zi n , где u(xi, tn) – точное решение дифференциальной задачи (1) – (3). Тогда для погрешности получим систему уравнений

Явная конечно разностная схема для уравнения теплопроводности

i = 1, 2,…, N – 1, n = 0, 1,…, K – 1,

Сеточная функция yi n , входящая в правую часть уравнения (16) и равная

Явная конечно разностная схема для уравнения теплопроводности(17)

Явная конечно разностная схема для уравнения теплопроводностиназывается погрешностью аппроксимации схемы (15) на решении задачи (1) – (3). Получим первые члены разложения функции yi n по степеням h и t. Будем разлагать все функции, входящие в выражение для yi n , по формуле Тейлора в точке (xi, tn + 0,5t). Учитывая разложения

Явная конечно разностная схема для уравнения теплопроводности
Явная конечно разностная схема для уравнения теплопроводности

Отсюда, проводя разложение в точке (xi, tn+1/2) и обозначая u = u (xi, tn+1/2), будем иметь

Явная конечно разностная схема для уравнения теплопроводности

и, перегруппировывая слагаемые, получим, что

Явная конечно разностная схема для уравнения теплопроводности

Учитывая уравнение (1) u’’ – u = – f и следствие из него u IV – u’’ = –f’’, окончательно можно записать, что

Явная конечно разностная схема для уравнения теплопроводности

Явная конечно разностная схема для уравнения теплопроводностиИз формулы (18) можно сделать следующие выводы. Если

то схема (15) имеет второй порядок аппроксимации по t и четвертый – по h. Такая схема называется схемой повышенного порядка аппроксимации. Если

Явная конечно разностная схема для уравнения теплопроводности

то схема (15) имеет второй порядок аппроксимации по t и по h. При остальных значениях s и при j i n º 0 в виде (10), то получим

Явная конечно разностная схема для уравнения теплопроводности

и |q| £ 1 при всех j, если

Явная конечно разностная схема для уравнения теплопроводности

Отсюда видно, в частности, что все схемы с s ³ 0,5 абсолютно устойчивы. Схема повышенного порядка аппроксимации (s = s*) также абсолютно устойчива, что проверяется непосредственно.

При s ¹ 0 разностная схема (15) является неявной схемой. Для нахождения решения yi n+1 по заданным yi n требуется решать систему уравнений

Явная конечно разностная схема для уравнения теплопроводности

Явная конечно разностная схема для уравнения теплопроводностигде

Система (20) решается методом прогонки. Условия устойчивости прогонки при s ¹ 0 сводятся к неравенству

|1 + 2 s g | ³ 2 | s | g

и выполнены при s ³ – 1/(4g). Последнее неравенство следует из условия устойчивости (19) разностной схемы.

3.4. Уравнения с переменными коэффициентами и линейные уравнения. Рассмотрим первую краевую задачу для уравнения теплопроводности с переменными коэффициентами

Явная конечно разностная схема для уравнения теплопроводности

где r (x, t), k(x, t), f(x, t) – достаточно гладкие функции, удовлетворяющие условиям

Явная конечно разностная схема для уравнения теплопроводности

Дифференциальное выражение при каждом

фиксированном t аппроксимируем в точке (xi, t) так же, как и в стационарном случае, разностным отношением

Явная конечно разностная схема для уравнения теплопроводности

где разностный коэффициент теплопроводности a(xi, t) должен удовлетворять условиям второго порядка аппроксимации

Явная конечно разностная схема для уравнения теплопроводности

Наиболее употребительны следующие выражения для a(xi, t):

Явная конечно разностная схема для уравнения теплопроводности

Разностная схема с весами для задачи (21) имеет вид

Явная конечно разностная схема для уравнения теплопроводности

Здесь в качестве t можно взять любое значение t Î [tn, tn+1], например t = tn + 0,5 t. Если в уравнении (24) t = tn + 0,5 t , s = 0,5, то схема (24) имеет второй порядок аппроксимации по t и по h. При остальных значениях s и t выполняется первый порядок аппроксимации по t и второй – по h.

При исследовании устойчивости разностных схем с переменными коэффициентами иногда применяется принцип замороженных коэффициентов, сводящий задачу к уравнению с постоянными коэффициентами. Рассмотрим явную схему, соответствующую уравнению (24) с s = 0 и f(xi, t) º 0, т.е. схему

Явная конечно разностная схема для уравнения теплопроводности

Предположим, что коэффициенты r (xi, t), a(xi, t) – постоянные, r (xi, t) º r = const, a(xi, t) º a = const. Тогда уравнение (25) можно записать в виде

Явная конечно разностная схема для уравнения теплопроводности

Явная конечно разностная схема для уравнения теплопроводностиили

Из п.2 известно, что последнее уравнение устойчиво при t ’ £ 0,5h 2 , т.е. при

Явная конечно разностная схема для уравнения теплопроводности

Принцип замороженных коэффициентов утверждает, что схема (25) устойчива, если условие (26) выполнено при всех допустимых значениях a(xi, t), r (xi, t), т.е. если при всех x, t выполнены неравенства

Явная конечно разностная схема для уравнения теплопроводности

Если известно, что 0 0, то неравенство (27) будет выполнено при

Явная конечно разностная схема для уравнения теплопроводности

Строгое обоснование устойчивости схемы (25) будет дано в примере 2 из главы 2.

Если параметр s ³ 0,5, то из принципа замороженных коэффициентов следует абсолютная устойчивость схемы (24).

Рассмотрим теперь первую краевую задачу для нелинейного уравнения теплопроводности

Явная конечно разностная схема для уравнения теплопроводности

В случае нелинейных уравнений, когда заранее неизвестны пределы изменения функции k(u), избегают пользоваться явными схемами. Чисто неявная схема, линейная относительно yi n+2 , i = 1, 2,…, N – 1, имеет вид

Явная конечно разностная схема для уравнения теплопроводности

где ai = 0,5 (k(y n i) + k(y n i-1)). Эта схема абсолютно устойчива, имеет первый порядок аппроксимации по t и второй – по h. Решение yi n+1 , i = 1, 2,…, N – 1, находится методом прогонки. Заметим, что схему (29) можно записать в виде

Явная конечно разностная схема для уравнения теплопроводности

Часто используется нелинейная схема

Явная конечно разностная схема для уравнения теплопроводности

Для реализации этой схемы необходимо применить тот или иной итерационный метод. Например такой:

Явная конечно разностная схема для уравнения теплопроводности

Здесь s – номер итерации. Как видим, нелинейные коэффициенты берутся с предыдущей итерации, а в качестве начального приближения для yi n+1 выбирается yi n . Это начальное приближение тем лучше, чем меньше шаг t. Число итераций M задается из соображений точности. В задачах с гладкими коэффициентами при k(u) ³ c1 > 0 часто бывает достаточно провести две – три итерации. Значения yi (S+1) на новой итерации находятся из системы (31) методом прогонки. При M = 1 итерационный метод (31) совпадает с разностной схемой (29).

Для приближенного решения нелинейного уравнения (28) применяются также схемы предиктор – корректор второго порядка точности, аналогичные методу Рунге – Кутта для обыкновенных дифференциальных уравнений. Здесь переход со слоя n на слой n+1 осуществляется в два этапа. Приведем пример такой схемы. На первом этапе решается неявная линейная система уравнений

Явная конечно разностная схема для уравнения теплопроводности

из которой находятся промежуточные значения yi n+1/2 , i = 0, 1,…, N. Затем на втором этапе используется симметричная шеститочечная схема для уравнения (28), в которой нелинейные коэффициенты a(y), f(y) вычисляются при y = yi n+1/2 , т.е. схема

💥 Видео

Математика в неожиданных местах: Разностная схема для уравнения теплопроводностиСкачать

Математика в неожиданных местах: Разностная схема для уравнения теплопроводности

Решение уравнения теплопроводности в одномерной постановке в Excel с применением неявной схемыСкачать

Решение уравнения теплопроводности в одномерной постановке в Excel с применением неявной схемы

Решение задачи Коши для уравнения теплопроводности (Часть 1)Скачать

Решение задачи Коши для уравнения теплопроводности (Часть 1)

6-2. Метод сетокСкачать

6-2. Метод сеток

Решение уравнения теплопроводности в одномерной постановке в ExcelСкачать

Решение уравнения теплопроводности в одномерной постановке в Excel

Решение задачи теплопроводности методом конечных разностейСкачать

Решение задачи теплопроводности методом конечных разностей

6-1. Уравнение теплопроводностиСкачать

6-1. Уравнение теплопроводности

Решение нестационарного уравнения теплопроводности в двухмерной постановке в ExcelСкачать

Решение нестационарного уравнения теплопроводности в двухмерной постановке в Excel

Решение первой краевой задачи для неоднородного уравнения теплопроводности.Скачать

Решение первой краевой задачи для неоднородного уравнения теплопроводности.

Уравнение в частных производных Уравнение теплопроводностиСкачать

Уравнение в частных производных  Уравнение теплопроводности

01 Теплопроводность, явныйСкачать

01 Теплопроводность, явный

Метод Фурье для неоднородного уравнения теплопроводностиСкачать

Метод Фурье для неоднородного уравнения теплопроводности

Метод конечных элементов (Часть 1) | Пример реализации для уравнения теплопроводностиСкачать

Метод конечных элементов (Часть 1) | Пример реализации для уравнения теплопроводности

Стационарное решение одномерного уравнения теплопроводности.Скачать

Стационарное решение одномерного уравнения теплопроводности.

Решение первой начально-краевой задачи для одномерного уравнения теплопроводности.Скачать

Решение первой начально-краевой задачи для одномерного уравнения теплопроводности.

8.1 Решение уравнения теплопроводности на отрезкеСкачать

8.1 Решение уравнения теплопроводности на отрезке
Поделиться или сохранить к себе: