Является ли уравнение квадратным х2 0

Содержание
  1. Квадратное уравнение. Дискриминант. Теорема Виета.
  2. теория по математике 📈 уравнения
  3. Дискриминант
  4. Теорема Виета
  5. Как решать квадратные уравнения
  6. Понятие квадратного уравнения
  7. Приведенные и неприведенные квадратные уравнения
  8. Полные и неполные квадратные уравнения
  9. Решение неполных квадратных уравнений
  10. Как решить уравнение ax 2 = 0
  11. Как решить уравнение ax 2 + с = 0
  12. Как решить уравнение ax 2 + bx = 0
  13. Как разложить квадратное уравнение
  14. Дискриминант: формула корней квадратного уравнения
  15. Алгоритм решения квадратных уравнений по формулам корней
  16. Примеры решения квадратных уравнений
  17. Формула корней для четных вторых коэффициентов
  18. Формула Виета
  19. Упрощаем вид квадратных уравнений
  20. Связь между корнями и коэффициентами
  21. Квадратное уравнение
  22. Что такое квадратное уравнение и как его решать?
  23. Формулы корней квадратного уравнения
  24. Примеры решения квадратных уравнений
  25. Примеры решения задач
  26. 🎦 Видео

Видео:Неполные квадратные уравнения. Алгебра, 8 классСкачать

Неполные квадратные уравнения. Алгебра, 8 класс

Квадратное уравнение. Дискриминант. Теорема Виета.

теория по математике 📈 уравнения

Уравнение вида ax 2 +bx+c=0, где a,b,c – любые числа, причем a≠0, называют квадратным уравнением. Числа a,b,c принято называть коэффициентами, при этом a – первый коэффициент, b – второй коэффициент, c – свободный член.

Квадратное уравнение может иметь не более двух корней. Решить такое уравнение – это значит найти все его корни или доказать, что их нет.

Видео:Решение биквадратных уравнений. 8 класс.Скачать

Решение биквадратных уравнений. 8 класс.

Дискриминант

Количество корней квадратного уравнения зависит от такого элемента, как дискриминант (обозначают его буквой D).

Нахождение корней квадратного уравнения

Дискриминант – это такой математический инструмент, который позволяет нам определять количество корней. Он выражается определенной формулой:

D=b 2 –4ac

    Если D>0, то уравнение имеет два различных

Корень — осевой, обычно подземный вегетативный орган высших сосудистых растений, обладающий неограниченным ростом в длину и положительным геотропизмом. Корень осуществляет закрепление растения в почве и обеспечивает поглощение и проведение воды с растворёнными минеральными веществами к стеблю и листьям.

Пример №1. Решить уравнение х 2 –2х–3=0. Определяем коэффициенты: а=1, b=–2, c=–3. Находим дискриминант: D=b 2 –4ac=(–2) 2 –41(–3)=4+12=16. Видим, что дискриминант положительный, значит, уравнение имеет два различных корня, находим их:

Является ли уравнение квадратным х2 0Пример №2. Решить уравнение 5х 2 +2х+1=0. Определяем коэффициенты: а=5, b=2, c=1. D=b 2 –4ac=2 2 –4=4–20=–16, D 2 –6х+9=0. Определяем коэффициенты: а=1, b=–6, c=9.

D=b 2 –4ac=(–6) 2 –4=36–36=0, D=0, 1

Корень — осевой, обычно подземный вегетативный орган высших сосудистых растений, обладающий неограниченным ростом в длину и положительным геотропизмом. Корень осуществляет закрепление растения в почве и обеспечивает поглощение и проведение воды с растворёнными минеральными веществами к стеблю и листьям.

Является ли уравнение квадратным х2 0

Видео:Алгебра 8 класс (Урок№19 - Уравнение х² = а.)Скачать

Алгебра 8 класс (Урок№19 - Уравнение х² = а.)

Теорема Виета

Среди квадратных уравнений встречаются такие, у которых первый коэффициент равен 1 (обратим внимание на пример 1 и 3), такие уравнения называются приведенными.

Приведенные квадратные уравнения можно решать не только с помощью дискриминанта, но и с помощью теоремы Виета.

Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком; произведение корней равно третьему коэффициенту.

Корни с помощью данной теоремы находятся устно способом подбора. Рассмотрим это на примерах.

Пример №4. Решить уравнение х 2 –10х+21=0. Выпишем коэффициенты: а=1, b=–10, c=21. Применим теорему Виета:

Начинаем с произведения корней, которое является положительным числом, значит оба корня либо отрицательные, либо положительные. Предполагаем, что это могут быть либо 3 и 7, либо противоположные им числа. Теперь смотрим на сумму, она является положительным числом, поэтому нам подходит пара чисел 3 и 7. Проверяем: 3+7=10, 37=21. Значит, корнями данного уравнения являются числа 3 и 7.

Пример №5. Решить уравнение: х 2 +5х+4=0. Выпишем коэффициенты: а=1, b=5, c=4. По теореме Виета:

Видим, что произведение корней равно 4, значит оба корня либо отрицательные, либо положительные. Видим, что сумма отрицательная, значит, будем брать два отрицательных числа, нам подходят –1 и –4. Проверим:

Данное уравнение является квадратным. Но в его условии присутствует квадратный

Корень — осевой, обычно подземный вегетативный орган высших сосудистых растений, обладающий неограниченным ростом в длину и положительным геотропизмом. Корень осуществляет закрепление растения в почве и обеспечивает поглощение и проведение воды с растворёнными минеральными веществами к стеблю и листьям.

Записываем обязательно в начале решения, что подкоренное выражение может быть только равным нулю или положительным числом (правило извлечения квадратного

Корень — осевой, обычно подземный вегетативный орган высших сосудистых растений, обладающий неограниченным ростом в длину и положительным геотропизмом. Корень осуществляет закрепление растения в почве и обеспечивает поглощение и проведение воды с растворёнными минеральными веществами к стеблю и листьям.

Решаем полученное неравенство: − х ≥ − 5 , отсюда х ≤ 5 . Следовательно, для ответа мы будем выбирать значения, которые меньше или равны 5.

Решаем наше квадратное уравнение, перенося все слагаемые из правой части в левую, изменяя при этом знаки на противоположные и приводя подобные слагаемые (выражения с квадратным корнем взаимоуничтожаются):

х 2 − 2 х + √ 5 − х − √ 5 − х − 24 = 0

Получим приведенное квадратное уравнение, корни которого можно найти подбором по теореме Виета:

х 2 − 2 х − 24 = 0

Итак, корнями уравнения х 2 − 2 х − 24 = 0 будут числа -4 и 6.

Теперь выбираем корень, обращая внимание на наше ограничение на х, т.е. корень должен быть меньше или равен 5. Таким образом, запишем, что 6 – это посторонний корень, так как 6 н е ≤ 5 , а число минус 4 записываем в ответ нашего уравнения, так как − 4 ≤ 5 .

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Видео:Решение квадратных уравнений. Дискриминант. 8 класс.Скачать

Решение квадратных уравнений. Дискриминант. 8 класс.

Как решать квадратные уравнения

Является ли уравнение квадратным х2 0

О чем эта статья:

Видео:Как решать любое квадратное уравнение Полное Неполное квадр ур x^2+2x-3=0 5x^2-2x=0 2x^2-2=0 3x^2=0Скачать

Как решать любое квадратное уравнение Полное Неполное квадр ур x^2+2x-3=0 5x^2-2x=0 2x^2-2=0 3x^2=0

Понятие квадратного уравнения

Уравнение — это равенство, содержащее переменную, значение которой нужно найти.

Например, х + 8 = 12 — это уравнение, которое содержит переменную х.

Корень уравнения — это такое значение переменной, которое при подстановке в уравнение обращает его в верное числовое равенство.

Например, если х = 5, то при подстановке в уравнение мы получим 5 + 8 = 12. 13 = 12 — противоречие. Значит, х = 5 не является корнем уравнения.

А вот если х = 4, то при подстановке в уравнение мы получим 4 + 8 = 12. 12 = 12 — верное равенство. Значит, х = 4 является корнем уравнения.

Решить уравнение — значит найти все его корни или доказать, что их не существует.

Квадратное уравнение — это уравнение вида ax 2 + bx + c = 0, где a — первый или старший коэффициент, не равный нулю, b — второй коэффициент, c — свободный член.

Чтобы запомнить месторасположение коэффициентов, давайте потренируемся определять их.

Квадратные уравнения могут иметь два корня, один корень или не иметь корней.

Чтобы определить, сколько корней имеет уравнение, нужно обратить внимание на дискриминант. Чтобы его найти, берем формулу: D = b 2 − 4ac. А вот свойства дискриминанта:

  • если D 0, есть два различных корня.

С этим разобрались. А сейчас посмотрим подробнее на различные виды квадратных уравнений.

Разобраться в теме еще быстрее с помощью опытного преподавателя можно на курсах по математике в онлайн-школе Skysmart.

Видео:Квадратные уравнения от «А» до «Я». Классификация, решение и теорема Виета | МатематикаСкачать

Квадратные уравнения от «А» до «Я». Классификация, решение и теорема Виета | Математика

Приведенные и неприведенные квадратные уравнения

Квадратное уравнение может быть приведенным или неприведенным — все зависит от от значения первого коэффициента.

Приведенное квадратное уравнение — это уравнение, где старший коэффициент, тот который стоит при одночлене высшей степени, равен единице.

Неприведенным называют квадратное уравнение, где старший коэффициент отличается от единицы.

Давайте-ка на примерах — вот у нас есть два уравнения:

  • x 2 — 2x + 6 = 0
  • x 2 — x — 1/4 = 0

В каждом из них старший коэффициент равен единице (которую мы мысленно представляем при x 2 ), а значит уравнение называется приведенным.

  • 2x 2 − 4x — 12 = 0 — первый коэффициент отличен от единицы (2), значит это неприведенное квадратное уравнение.

Каждое неприведенное квадратное уравнение можно преобразовать в приведенное, если произвести равносильное преобразование — разделить обе его части на первый коэффициент.

Пример 1. Превратим неприведенное уравнение: 8x 2 + 20x — 9 = 0 — в приведенное.

Для этого разделим обе части исходного уравнения на старший коэффициент 8:

Является ли уравнение квадратным х2 0

Ответ: равносильное данному приведенное уравнение x 2 + 2,5x — 1,125 = 0.

Видео:5 способов решения квадратного уравнения ➜ Как решать квадратные уравнения?Скачать

5 способов решения квадратного уравнения ➜ Как решать квадратные уравнения?

Полные и неполные квадратные уравнения

В определении квадратного уравнения есть условие: a ≠ 0. Оно нужно, чтобы уравнение ax 2 + bx + c = 0 было именно квадратным. Если a = 0, то уравнение обретет вид линейного: bx + c = 0.

Что касается коэффициентов b и c, то они могут быть равны нулю, как по отдельности, так и вместе. В таком случае квадратное уравнение принято называть неполным.

Неполное квадратное уравнение —— это квадратное уравнение вида ax 2 + bx + c = 0, где оба или хотя бы один из коэффициентов b и c равен нулю.

Полное квадратное уравнение — это уравнение, у которого все коэффициенты отличны от нуля.

Для самых любопытных объясняем откуда появились такие названия:
  • Если b = 0, то квадратное уравнение принимает вид ax 2 + 0x+c=0 и оно равносильно ax 2 + c = 0.
  • Если c = 0, то квадратное уравнение выглядит так ax 2 + bx + 0 = 0, иначе его можно написать как ax 2 + bx = 0.
  • Если b = 0 и c = 0, то квадратное уравнение выглядит так ax 2 = 0.

Такие уравнения отличны от полного квадратного тем, что их левые части не содержат либо слагаемого с неизвестной переменной, либо свободного члена, либо и того и другого. Отсюда и их название — неполные квадратные уравнения.

Видео:Математика| Разложение квадратного трехчлена на множители.Скачать

Математика| Разложение квадратного трехчлена на множители.

Решение неполных квадратных уравнений

Как мы уже знаем, есть три вида неполных квадратных уравнений:

  • ax 2 = 0, ему отвечают коэффициенты b = 0 и c = 0;
  • ax 2 + c = 0, при b = 0;
  • ax 2 + bx = 0, при c = 0.

Давайте рассмотрим по шагам, как решать неполные квадратные уравнения по видам.

Как решить уравнение ax 2 = 0

Начнем с решения неполных квадратных уравнений, в которых b и c равны нулю, то есть, с уравнений вида ax 2 = 0.

Уравнение ax 2 = 0 равносильно x 2 = 0. Такое преобразование возможно, когда мы разделили обе части на некое число a, которое не равно нулю. Корнем уравнения x 2 = 0 является нуль, так как 0 2 = 0. Других корней у этого уравнения нет, что подтверждают свойства степеней.

Таким образом, неполное квадратное уравнение ax 2 = 0 имеет единственный корень x = 0.

Пример 1. Решить −6x 2 = 0.

  1. Замечаем, что данному уравнению равносильно x 2 = 0, значит исходное уравнение имеет единственный корень — нуль.
  2. По шагам решение выглядит так:

Как решить уравнение ax 2 + с = 0

Обратим внимание на неполные квадратные уравнения вида ax 2 + c = 0, в которых b = 0, c ≠ 0. Мы давно знаем, что слагаемые в уравнениях носят двусторонние куртки: когда мы переносим их из одной части уравнения в другую, они надевает куртку на другую сторону — меняют знак на противоположный.

Еще мы знаем, что если обе части уравнения поделить на одно и то же число (кроме нуля) — у нас получится равносильное уравнение. Ну есть одно и то же, только с другими цифрами.

Держим все это в голове и колдуем над неполным квадратным уравнением (производим «равносильные преобразования»): ax 2 + c = 0:

  • перенесем c в правую часть: ax 2 = — c,
  • разделим обе части на a: x 2 = — c/а.

Ну все, теперь мы готовы к выводам о корнях неполного квадратного уравнения. В зависимости от значений a и c, выражение — c/а может быть отрицательным или положительным. Разберем конкретные случаи.

Если — c/а 2 = — c/а не имеет корней. Все потому, что квадрат любого числа всегда равен неотрицательному числу. Из этого следует, что при — c/а 0, то корни уравнения x 2 = — c/а будут другими. Например, можно использовать правило квадратного корня и тогда корень уравнения равен числу √- c/а, так как (√- c/а) 2 = — c/а. Кроме того, корнем уравнения может стать -√- c/а, так как (-√- c/а) 2 = — c/а. Ура, больше у этого уравнения нет корней.

Неполное квадратное уравнение ax 2 + c = 0 равносильно уравнению х 2 = -c/a, которое:

  • не имеет корней при — c/а 0.
В двух словах

Пример 1. Найти решение уравнения 8x 2 + 5 = 0.

    Перенесем свободный член в правую часть:

Разделим обе части на 8:

  • В правой части осталось число со знаком минус, значит у данного уравнения нет корней.
  • Ответ: уравнение 8x 2 + 5 = 0 не имеет корней.

    Как решить уравнение ax 2 + bx = 0

    Осталось разобрать третий вид неполных квадратных уравнений, когда c = 0.

    Неполное квадратное уравнение ax 2 + bx = 0 можно решить методом разложения на множители. Как разложить квадратное уравнение:

    Разложим на множители многочлен, который расположен в левой части уравнения — вынесем за скобки общий множитель x.

    Теперь можем перейти от исходного уравнения к равносильному x * (ax + b) = 0. А это уравнение равносильно совокупности двух уравнений x = 0 и ax + b = 0, последнее — линейное, его корень x = −b/a.

    Таким образом, неполное квадратное уравнение ax 2 + bx = 0 имеет два корня:

    Пример 1. Решить уравнение 0,5x 2 + 0,125x = 0

  • Это уравнение равносильно х = 0 и 0,5x + 0,125 = 0.
  • Решить линейное уравнение:

    0,5x = 0,125,
    х = 0,125/0,5

  • Значит корни исходного уравнения — 0 и 0,25.
  • Ответ: х = 0 и х = 0,25.

    Как разложить квадратное уравнение

    С помощью теоремы Виета можно получить формулу разложения квадратного трехчлена на множители. Выглядит она так:

    Формула разложения квадратного трехчлена

    Если x1 и x2 — корни квадратного трехчлена ax 2 + bx + c, то справедливо равенство ax 2 + bx + c = a (x − x1) (x − x2).

    Видео:ТЕОРЕМА ВИЕТА ЗА 2 МИНУТЫСкачать

    ТЕОРЕМА ВИЕТА ЗА 2 МИНУТЫ

    Дискриминант: формула корней квадратного уравнения

    Чтобы найти результат квадратного уравнения, придумали формулу корней. Выглядит она так:

    Является ли уравнение квадратным х2 0

    где D = b 2 − 4ac — дискриминант квадратного уравнения.

    Эта запись означает:

    Чтобы легко применять эту формулу, нужно понять, как она получилась. Давайте разбираться.

    Алгоритм решения квадратных уравнений по формулам корней

    Теперь мы знаем, что при решении квадратных уравнения можно использовать универсальную формулу корней — это помогает находить комплексные корни.

    В 8 классе на алгебре можно встретить задачу по поиску действительных корней квадратного уравнения. Для этого важно перед использованием формул найти дискриминант и убедиться, что он неотрицательный, и только после этого вычислять значения корней. Если дискриминант отрицательный, значит уравнение не имеет действительных корней.

    Алгоритм решения квадратного уравнения ax 2 + bx + c = 0:

    • вычислить его значение дискриминанта по формуле D = b 2 −4ac;
    • если дискриминант отрицательный, зафиксировать, что действительных корней нет;
    • если дискриминант равен нулю, вычислить единственный корень уравнения по формуле х = −b/2a;
    • если дискриминант положительный, найти два действительных корня квадратного уравнения по формуле корней Является ли уравнение квадратным х2 0

    Чтобы запомнить алгоритм решения квадратных уравнений и с легкостью его использовать, давайте тренироваться!

    Примеры решения квадратных уравнений

    Как решать квадратные уравнения мы уже знаем, осталось закрепить знания на практике.

    Пример 1. Решить уравнение −4x 2 + 28x — 49 = 0.

    1. Найдем дискриминант: D = 28 2 — 4(-4)(-49) = 784 — 784 = 0
    2. Так как дискриминант равен нулю, значит это квадратное уравнение имеет единственный корень
    3. Найдем корень

    Ответ: единственный корень 3,5.

    Пример 2. Решить уравнение 54 — 6x 2 = 0.

      Произведем равносильные преобразования. Умножим обе части на −1

    Оставим неизвестное в одной части, остальное перенесем с противоположным знаком в другую

    Ответ: два корня 3 и — 3.

    Пример 3. Решить уравнение x 2 — х = 0.

      Преобразуем уравнение так, чтобы появились множители

    Ответ: два корня 0 и 1.

    Пример 4. Решить уравнение x 2 — 10 = 39.

      Оставим неизвестное в одной части, остальное перенесем с противоположным знаком в другую

    Ответ: два корня 7 и −7.

    Пример 5. Решить уравнение 3x 2 — 4x+94 = 0.

      Найдем дискриминант по формуле

    D = (-4) 2 — 4 * 3 * 94 = 16 — 1128 = −1112

  • Дискриминант отрицательный, поэтому корней нет.
  • Ответ: корней нет.

    В школьной программе за 8 класс нет обязательного требования искать комплексные корни, но такой подход может ускорить ход решения. Если дискриминант отрицательный — сразу пишем ответ, что действительных корней нет и не мучаемся.

    Видео:Квадратный Трехчлен / Разложение квадратного трехчлена на множители, Как решать Квадратные УравненияСкачать

    Квадратный Трехчлен / Разложение квадратного трехчлена на множители, Как решать Квадратные Уравнения

    Формула корней для четных вторых коэффициентов

    Рассмотрим частный случай. Формула решения корней квадратного уравнения Является ли уравнение квадратным х2 0, где D = b 2 — 4ac, помогает получить еще одну формулу, более компактную, при помощи которой можно решать квадратные уравнения с четным коэффициентом при x. Рассмотрим, как появилась эта формула.

    Например, нам нужно решить квадратное уравнение ax 2 + 2nx + c = 0. Сначала найдем его корни по известной нам формуле. Вычислим дискриминант D = (2n) 2 — 4ac = 4n 2 — 4ac = 4(n 2 — ac) и подставим в формулу корней:

    2 + 2nx + c = 0″ height=»705″ src=»https://user84060.clients-cdnnow.ru/uploads/5fc11a460e2f8354381151.png» width=»588″>

    Для удобства вычислений обозначим выражение n 2 -ac как D1. Тогда формула корней квадратного уравнения со вторым коэффициентом 2·n примет вид:

    Является ли уравнение квадратным х2 0

    где D1 = n 2 — ac.

    Самые внимательные уже заметили, что D = 4D1, или D1= D/4. Проще говоря, D1 — это четверть дискриминанта. И получается, что знак D1 является индикатором наличия или отсутствия корней квадратного уравнения.

    Сформулируем правило. Чтобы найти решение квадратного уравнения со вторым коэффициентом 2n, нужно:

    • вычислить D1= n 2 — ac;
    • если D1 0, значит можно найти два действительных корня по формуле

    Является ли уравнение квадратным х2 0

    Видео:№1 Квадратное уравнение х^2+x-6=0 Дискриминант, теорема ВиетаСкачать

    №1 Квадратное уравнение х^2+x-6=0 Дискриминант, теорема Виета

    Формула Виета

    Если в школьной геометрии чаще всего используется теорема Пифагора, то в школьной алгебре ведущую роль занимают формулы Виета. Теорема звучит так:

    Сумма корней x 2 + bx + c = 0 равна второму коэффициенту с противоположным знаком, а произведение корней равняется свободному члену.

    Если дано x 2 + bx + c = 0, где x₁ и x₂ являются корнями, то справедливы два равенства:

    Знак системы, который принято обозначать фигурной скобкой, означает, что значения x₁ и x₂ удовлетворяют обоим равенствам.

    Рассмотрим теорему Виета на примере: x 2 + 4x + 3 = 0.

    Пока неизвестно, какие корни имеет данное уравнение. Но в соответствии с теоремой можно записать, что сумма этих корней равна второму коэффициенту с противоположным знаком. Он равен четырем, значит будем использовать минус четыре:

    Произведение корней по теореме соответствует свободному члену. В данном случае свободным членом является число три. Значит:
    Является ли уравнение квадратным х2 0

    Необходимо проверить равна ли сумма корней −4, а произведение 3. Для этого найдем корни уравнения x 2 + 4x + 3 = 0. Воспользуемся формулами для чётного второго коэффициента:
    2 + 4x + 3 = 0″ height=»215″ src=»https://lh5.googleusercontent.com/E_X403ETh_88EANRWdQN03KRT8yxP2HO4HoCrxj__c8G0DqmNJ1KDRqtLH5Z1p7DtHm-rNMDB2tEs41D7RHpEV5mojDTMMRPuIkcW33jVNDoOe0ylzXdHATLSGzW4NakMkH2zkLE» width=»393″>

    Получилось, что корнями уравнения являются числа −1 и −3. Их сумма равняется второму коэффициенту с противоположным знаком, а значит решение верное.
    2 + 4x + 3 = 0″ height=»52″ src=»https://lh5.googleusercontent.com/VzGPXO9B0ZYrr9v0DpJfXwuzeZtjYnDxE_ma76PUC8o7jVWwa8kZjTJhq2Lof0TiJXAp_ny3yRwI_OyRzeucv9xUZ63yoozGPP4xd4OxvElVT7Pt-d6xL5w17e_mQNs5qZJQiwfG» width=»125″>

    Произведение корней −1 и −3 по теореме Виета должно равняться свободному члену, то есть числу 3. Это условие также выполняется:
    2 + 4x + 3 = 0″ height=»52″ src=»https://lh4.googleusercontent.com/Cq-LCFmY3YGNSan1VF3l3CqIeojoJYAvGAiTBWnzyoZu_xJFrF5NfQ3xCe59apJklw6uYbmQ4lAkBTeC-TJmEGicN3rgGtsezhuqdNiOWjZT39NziOB5uOmQr3cr9-5fNnepdZDo» width=»112″>

    Результат проделанных вычислений в том, что мы убедились в справедливости выражения:

    Когда дана сумма и произведение корней квадратного уравнения, принято начинать подбор подходящих корней. Теорема, обратная теореме Виета, при таких условиях может быть главным помощником. Вот она:

    Обратная теорема Виета

    Если числа x1 и x2 таковы, что их сумма равна второму коэффициенту уравнения x 2 + bx + c = 0, взятому с противоположным знаком, а их произведение равно свободному члену, то эти числа и есть корни x 2 + bx + c = 0.

    Обычно вся суть обратных теорем в том самом выводе, которое дает первая теорема. Так, при доказательстве теоремы Виета стало понятно, что сумма x1 и x2 равна −b, а их произведение равно c. В обратной теореме это и есть утверждение.

    Пример 1. Решить при помощи теоремы Виета: x 2 − 6x + 8 = 0.

      Для начала запишем сумму и произведение корней уравнения. Сумма будет равна 6, так как второй коэффициент равен −6. А произведение корней равно 8.

    2 − 6x + 8 = 0″ height=»59″ src=»https://user84060.clients-cdnnow.ru/uploads/5fc101ce2e346034751939.png» width=»117″>

    Когда у нас есть эти два равенства, можно подобрать подходящие корни, которые будут удовлетворять обоим равенствам системы.

    Чтобы проще подобрать корни, нужно их перемножить. Число 8 можно получить путем перемножения чисел 4 и 2 либо 1 и 8. Но значения x1 и x2 надо подбирать так, чтобы они удовлетворяли и второму равенству тоже.

    Можно сделать вывод, что значения 1 и 8 не подходят, так как они не удовлетворяют равенству x1 + x2 = 6. А значения 4 и 2 подходят обоим равенствам:

    Является ли уравнение квадратным х2 0

    Значит числа 4 и 2 — корни уравнения x 2 − 6x + 8 = 0. p>Является ли уравнение квадратным х2 0

    Упрощаем вид квадратных уравнений

    Если мы ходили в школу всегда одной тропинкой, а потом вдруг обнаружили путь короче — это значит теперь у нас есть выбор: упростить себе задачу и сократить время на дорогу или прогуляться по привычному маршруту.

    Так же и при вычислении корней квадратного уравнения. Ведь проще посчитать уравнение 11x 2 — 4 x — 6 = 0, чем 1100x 2 — 400x — 600 = 0.

    Часто упрощение вида квадратного уравнения можно получить через умножение или деление обеих частей на некоторое число. Например, в предыдущем абзаце мы упростили уравнение 1100x 2 — 400x — 600 = 0, просто разделив обе части на 100.

    Такое преобразование возможно, когда коэффициенты не являются взаимно простыми числами. Тогда принято делить обе части уравнения на наибольший общий делитель абсолютных величин его коэффициентов.

    Покажем, как это работает на примере 12x 2 — 42x + 48 = 0. Найдем наибольший общий делитель абсолютных величин его коэффициентов: НОД (12, 42, 48) = 6. Разделим обе части исходного квадратного уравнения на 6, и придем к равносильному уравнению 2x 2 — 7x + 8 = 0. Вот так просто.

    А умножение обеих частей квадратного уравнения отлично помогает избавиться от дробных коэффициентов. Умножать в данном случае лучше на наименьшее общее кратное знаменателей его коэффициентов. Например, если обе части квадратного уравнения

    Является ли уравнение квадратным х2 0

    умножить на НОК (6, 3, 1) = 6, то оно примет более простой вид x 2 + 4x — 18 = 0.

    Также для удобства вычислений можно избавиться от минуса при старшем коэффициенте квадратного уравнения — для этого умножим или разделим обе части на −1. Например, удобно от квадратного уравнения −2x 2 — 3x + 7 = 0 перейти к решению 2x 2 + 3x — 7 = 0.

    Связь между корнями и коэффициентами

    Мы уже запомнили, что формула корней квадратного уравнения выражает корни уравнения через его коэффициенты:

    Является ли уравнение квадратным х2 0

    Из этой формулы, можно получить другие зависимости между корнями и коэффициентами.

    Например, можно применить формулы из теоремы Виета:

    Для приведенного квадратного уравнения сумма корней равна второму коэффициенту с противоположным знаком, а произведение корней — свободному члену. Например, по виду уравнения 3x 2 — 7x + 22 = 0 можно сразу сказать, что сумма его корней равна 7/3, а произведение корней равно 22/3.

    Можно активно использовать уже записанные формулы и с их помощью получить ряд других связей между корнями и коэффициентами квадратного уравнения. Таким образом можно выразить сумму квадратов корней квадратного уравнения через его коэффициенты:

    Видео:Решение квадратных уравнений. Метод разложения на множители. 8 класс.Скачать

    Решение квадратных уравнений. Метод разложения на множители. 8 класс.

    Квадратное уравнение

    Видео:Алгебра 8. Урок 9 - Квадратные уравнения. Полные и неполныеСкачать

    Алгебра 8. Урок 9 - Квадратные уравнения. Полные и неполные

    Что такое квадратное уравнение и как его решать?

    Мы помним, что уравнение это равенство, содержащее в себе переменную, значение которой нужно найти.

    Если переменная, входящая в уравнение, возведенá во вторую степень (в квадрат), то такое уравнение называют уравнением второй степени или квадратным уравнением.

    Например, следующие уравнения являются квадратными:

    Является ли уравнение квадратным х2 0

    Решим первое из этих уравнений, а именно x 2 − 4 = 0 .

    Все тождественные преобразования, которые мы применяли при решении обычных линейных уравнений, можно применять и при решении квадратных.

    Итак, в уравнении x 2 − 4 = 0 перенесем член −4 из левой части в правую часть, изменив знак:

    Является ли уравнение квадратным х2 0

    Получили уравнение x 2 = 4 . Ранее мы говорили, что уравнение считается решённым, если в одной части переменная записана в первой степени и её коэффициент равен единице, а другая часть равна какому-нибудь числу. То есть чтобы решить уравнение, его следует привести к виду x = a , где a — корень уравнения.

    У нас переменная x всё ещё во второй степени, поэтому решение необходимо продолжить.

    Чтобы решить уравнение x 2 = 4 , нужно ответить на вопрос при каком значении x левая часть станет равна 4 . Очевидно, что при значениях 2 и −2 . Чтобы вывести эти значения воспользуемся определением квадратного корня.

    Число b называется квадратным корнем из числа a , если b 2 = a и обозначается как Является ли уравнение квадратным х2 0

    У нас сейчас похожая ситуация. Ведь, что такое x 2 = 4 ? Переменная x в данном случае это квадратный корень из числа 4, поскольку вторая степень x прирáвнена к 4.

    Тогда можно записать, что Является ли уравнение квадратным х2 0. Вычисление правой части позвóлит узнать чему равно x . Квадратный корень имеет два значения: положительное и отрицательное. Тогда получаем x = 2 и x = −2 .

    Обычно записывают так: перед квадратным корнем ставят знак «плюс-минус», затем находят арифметическое значение квадратного корня. В нашем случае на этапе когда записано выражение Является ли уравнение квадратным х2 0, перед Является ли уравнение квадратным х2 0следует поставить знак ±

    Является ли уравнение квадратным х2 0

    Затем найти арифметическое значение квадратного корня Является ли уравнение квадратным х2 0

    Является ли уравнение квадратным х2 0

    Выражение x = ± 2 означает, что x = 2 и x = −2 . То есть корнями уравнения x 2 − 4 = 0 являются числа 2 и −2 . Запишем полностью решение данного уравнения:

    Является ли уравнение квадратным х2 0

    Выполним проверку. Подставим корни 2 и −2 в исходное уравнение и выполним соответствующие вычисления. Если при значениях 2 и −2 левая часть равна нулю, то это будет означать, что уравнение решено верно:

    Является ли уравнение квадратным х2 0

    В обоих случаях левая часть равна нулю. Значит уравнение решено верно.

    Решим ещё одно уравнение. Пусть требуется решить квадратное уравнение (x + 2) 2 = 25

    Для начала проанализируем данное уравнение. Левая часть возведенá в квадрат и она равна 25 . Какое число в квадрате равно 25 ? Очевидно, что числа 5 и −5

    Является ли уравнение квадратным х2 0

    То есть наша задача найти x, при которых выражение x + 2 будет равно числам 5 и −5 . Запишем эти два уравнения:

    Является ли уравнение квадратным х2 0

    Решим оба уравнения. Это обычные линейные уравнения, которые решаются легко:

    Является ли уравнение квадратным х2 0

    Значит корнями уравнения (x + 2) 2 = 25 являются числа 3 и −7 .

    В данном примере как и в прошлом можно использовать определение квадратного корня. Так, в уравнения (x + 2) 2 = 25 выражение (x + 2) представляет собой квадратный корень из числа 25 . Поэтому можно cначала записать, что Является ли уравнение квадратным х2 0.

    Тогда правая часть станет равна ±5 . Полýчится два уравнения: x + 2 = 5 и x + 2 = −5. Решив по отдельности каждое из этих уравнений мы придём к корням 3 и −7 .

    Запишем полностью решение уравнения (x + 2) 2 = 25

    Является ли уравнение квадратным х2 0

    Из рассмотренных примеров видно, что квадратное уравнение имеет два корня. Чтобы не забыть о найденных корнях, переменную x можно подписывать нижними индексами. Так, корень 3 можно обозначить через x1 , а корень −7 через x2

    Является ли уравнение квадратным х2 0

    В предыдущем примере тоже можно было сделать так. Уравнение x 2 − 4 = 0 имело корни 2 и −2 . Эти корни можно было обозначить как x1 = 2 и x2 = −2.

    Бывает и так, что квадратное уравнение имеет только один корень или вовсе не имеет корней. Такие уравнения мы рассмотрим позже.

    Сделаем проверку для уравнения (x + 2) 2 = 25 . Подставим в него корни 3 и −7 . Если при значениях 3 и −7 левая часть равна 25 , то это будет означать, что уравнение решено верно:

    Является ли уравнение квадратным х2 0

    В обоих случаях левая часть равна 25 . Значит уравнение решено верно.

    Квадратное уравнение бывает дано в разном виде. Наиболее его распространенная форма выглядит так:

    ax 2 + bx + c = 0 ,
    где a, b, c — некоторые числа, x — неизвестное.

    Это так называемый общий вид квадратного уравнения. В таком уравнении все члены собраны в общем месте (в одной части), а другая часть равна нулю. По другому такой вид уравнения называют нормальным видом квадратного уравнения.

    Пусть дано уравнение 3x 2 + 2x = 16 . В нём переменная x возведенá во вторую степень, значит уравнение является квадратным. Приведём данное уравнение к общему виду.

    Итак, нам нужно получить уравнение, которое будет похоже на уравнение ax 2 + bx + c = 0 . Для этого в уравнении 3x 2 + 2x = 16 перенесем 16 из правой части в левую часть, изменив знак:

    Получили уравнение 3x 2 + 2x − 16 = 0 . В этом уравнении a = 3 , b = 2 , c = −16 .

    В квадратном уравнении вида ax 2 + bx + c = 0 числа a , b и c имеют собственные названия. Так, число a называют первым или старшим коэффициентом; число b называют вторым коэффициентом; число c называют свободным членом.

    В нашем случае для уравнения 3x 2 + 2x − 16 = 0 первым или старшим коэффициентом является 3 ; вторым коэффициентом является число 2 ; свободным членом является число −16 . Есть ещё другое общее название для чисел a, b и cпараметры.

    Так, в уравнении 3x 2 + 2x − 16 = 0 параметрами являются числа 3 , 2 и −16 .

    В квадратном уравнении желательно упорядочивать члены так, чтобы они располагались в таком же порядке как у нормального вида квадратного уравнения.

    Например, если дано уравнение −5 + 4x 2 + x = 0 , то его желательно записать в нормальном виде, то есть в виде ax 2 + bx + c = 0.

    В уравнении −5 + 4x 2 + x = 0 видно, что свободным членом является −5 , он должен располагаться в конце левой части. Член 4x 2 содержит старший коэффициент, он должен располагаться первым. Член x соответственно будет располагаться вторым:

    Является ли уравнение квадратным х2 0

    Квадратное уравнение в зависимости от случая может принимать различный вид. Всё зависит от того, чему равны значения a , b и с .

    Если коэффициенты a , b и c не равны нулю, то квадратное уравнение называют полным. Например, полным является квадратное уравнение 2x 2 + 6x − 8 = 0 .

    Если какой-то из коэффициентов равен нулю (то есть отсутствует), то уравнение значительно уменьшается и принимает более простой вид. Такое квадратное уравнение называют неполным. Например, неполным является квадратное уравнение 2x 2 + 6x = 0, в нём имеются коэффициенты a и b (числа 2 и 6 ), но отсутствует свободный член c.

    Рассмотрим каждый из этих видов уравнений, и для каждого из этих видов определим свой способ решения.

    Пусть дано квадратное уравнение 2x 2 + 6x − 8 = 0 . В этом уравнении a = 2 , b = 6 , c = −8 . Если b сделать равным нулю, то уравнение примет вид:

    Является ли уравнение квадратным х2 0

    Получилось уравнение 2x 2 − 8 = 0 . Чтобы его решить перенесем −8 в правую часть, изменив знак:

    Для дальнейшего упрощения уравнения воспользуемся ранее изученными тождественными преобразованиями. В данном случае можно разделить обе части на 2

    Является ли уравнение квадратным х2 0

    У нас получилось уравнение, которое мы решали в начале данного урока. Чтобы решить уравнение x 2 = 4 , следует воспользоваться определением квадратного корня. Если x 2 = 4 , то Является ли уравнение квадратным х2 0. Отсюда x = 2 и x = −2 .

    Значит корнями уравнения 2x 2 − 8 = 0 являются числа 2 и −2 . Запишем полностью решение данного уравнения:

    Является ли уравнение квадратным х2 0

    Выполним проверку. Подставим корни 2 и −2 в исходное уравнение и выполним соответствующие вычисления. Если при значениях 2 и −2 левая часть равна нулю, то это будет означать, что уравнение решено верно:

    Является ли уравнение квадратным х2 0

    В обоих случаях левая часть равна нулю, значит уравнение решено верно.

    Уравнение, которое мы сейчас решили, является неполным квадратным уравнением. Название говорит само за себя. Если полное квадратное уравнение выглядит как ax 2 + bx + c = 0 , то сделав коэффициент b нулём получится неполное квадратное уравнение ax 2 + c = 0 .

    У нас тоже сначала было полное квадратное уравнение 2x 2 + 6x − 4 = 0 . Но мы сделали коэффициент b нулем, то есть вместо числа 6 поставили 0 . В результате уравнение обратилось в неполное квадратное уравнение 2x 2 − 4 = 0 .

    В начале данного урока мы решили квадратное уравнение x 2 − 4 = 0 . Оно тоже является уравнением вида ax 2 + c = 0 , то есть неполным. В нем a = 1 , b = 0 , с = −4 .

    Также, неполным будет квадратное уравнение, если коэффициент c равен нулю.

    Рассмотрим полное квадратное уравнение 2x 2 + 6x − 4 = 0 . Сделаем коэффициент c нулём. То есть вместо числа 4 поставим 0

    Является ли уравнение квадратным х2 0

    Получили квадратное уравнение 2x 2 + 6x=0 , которое является неполным. Чтобы решить такое уравнение, переменную x выносят за скобки:

    Является ли уравнение квадратным х2 0

    Получилось уравнение x(2x + 6) = 0 в котором нужно найти x, при котором левая часть станет равна нулю. Заметим, что в этом уравнении выражения x и (2x + 6) являются сомножителями. Одно из свойств умножения говорит, что произведение равно нулю, если хотя бы один из сомножителей равен нулю (или первый сомножитель или второй).

    В нашем случае равенство будет достигаться, если x будет равно нулю или (2x + 6) будет равно нулю. Так и запишем для начала:

    Является ли уравнение квадратным х2 0

    Получилось два уравнения: x = 0 и 2x + 6 = 0 . Первое уравнение решать не нужно — оно уже решено. То есть первый корень равен нулю.

    Чтобы найти второй корень, решим уравнение 2x + 6 = 0 . Это обычное линейное уравнение, которое решается легко:

    Является ли уравнение квадратным х2 0

    Видим, что второй корень равен −3.

    Значит корнями уравнения 2x 2 + 6x = 0 являются числа 0 и −3 . Запишем полностью решение данного уравнения:

    Является ли уравнение квадратным х2 0

    Выполним проверку. Подставим корни 0 и −3 в исходное уравнение и выполним соответствующие вычисления. Если при значениях 0 и −3 левая часть равна нулю, то это будет означать, что уравнение решено верно:

    Является ли уравнение квадратным х2 0

    Следующий случай это когда числа b и с равны нулю. Рассмотрим полное квадратное уравнение 2x 2 + 6x − 4 = 0 . Сделаем коэффициенты b и c нулями. Тогда уравнение примет вид:

    Является ли уравнение квадратным х2 0

    Получили уравнение 2x 2 = 0 . Левая часть является произведением, а правая часть равна нулю. Произведение равно нулю, если хотя бы один из сомножителей равен нулю. Очевидно, что x = 0 . Действительно, 2 × 0 2 = 0 . Отсюда, 0 = 0 . При других значениях x равенства достигаться не будет.

    Проще говоря, если в квадратном уравнении вида ax 2 + bx + c = 0 числа b и с равны нулю, то корень такого уравнения равен нулю.

    Отметим, что когда употребляются словосочетания « b равно нулю » или « с равно нулю «, то подразумевается, что параметры b или c вовсе отсутствуют в уравнении.

    Например, если дано уравнение 2x 2 − 32 = 0 , то мы говорим, что b = 0 . Потому что если сравнить с полным уравнением ax 2 + bx + c = 0 , то можно заметить, что в уравнении 2x 2 − 32 = 0 присутствует старший коэффициент a , равный 2; присутствует свободный член −32 ; но отсутствует коэффициент b .

    Наконец, рассмотрим полное квадратное уравнение ax 2 + bx + c = 0 . В качестве примера решим квадратное уравнение x 2 − 2x + 1 = 0 .

    Итак, требуется найти x , при котором левая часть станет равна нулю. Воспользуемся изученными ранее тождественными преобразованиями.

    Прежде всего заметим, что левая часть уравнения представляет собой квадрат разности двух выражений. Если мы вспомним как раскладывать многочлен на множители, то получим в левой части (x − 1) 2 .

    Является ли уравнение квадратным х2 0

    Рассуждаем дальше. Левая часть возведенá в квадрат и она равна нулю. Какое число в квадрате равно нулю? Очевидно, что только 0 . Поэтому наша задача найти x , при котором выражение x − 1 равно нулю. Решив простейшее уравнение x − 1 = 0 , можно узнать чему равно x

    Является ли уравнение квадратным х2 0

    Этот же результат можно получить, если воспользоваться квадратным корнем. В уравнении (x − 1) 2 = 0 выражение (x − 1) представляет собой квадратный корень из нуля. Тогда можно записать, что Является ли уравнение квадратным х2 0. В этом примере записывать перед корнем знак ± не нужно, поскольку корень из нуля имеет только одно значение — ноль. Тогда получается x − 1 = 0 . Отсюда x = 1 .

    Значит корнем уравнения x 2 − 2x + 1 = 0 является единица. Других корней у данного уравнения нет. В данном случае мы решили квадратное уравнение, имеющее только один корень. Такое тоже бывает.

    Не всегда бывают даны простые уравнения. Рассмотрим например уравнение x 2 + 2x − 3 = 0 .

    В данном случае левая часть уже не является квадратом суммы или разности. Поэтому нужно искать другие пути решения.

    Заметим, что левая часть уравнения представляет собой квадратный трехчлен. Тогда можно попробовать выделить полный квадрат из этого трёхчлена и посмотреть что это нам даст.

    Выделим полный квадрат из квадратного трёхчлена, располагающего в левой части уравнения:

    Является ли уравнение квадратным х2 0

    В получившемся уравнении перенесем −4 в правую часть, изменив знак:

    Является ли уравнение квадратным х2 0

    Теперь воспользуемся квадратным корнем. В уравнении (x + 1) 2 = 4 выражение (x + 1) представляет собой квадратный корень из числа 4 . Тогда можно записать, что Является ли уравнение квадратным х2 0. Вычисление правой части даст выражение x + 1 = ±2 . Отсюда полýчится два уравнения: x + 1 = 2 и x + 1 = −2 , корнями которых являются числа 1 и −3

    Является ли уравнение квадратным х2 0

    Значит корнями уравнения x 2 + 2x − 3 = 0 являются числа 1 и −3 .

    Является ли уравнение квадратным х2 0

    Пример 3. Решить уравнение x 2 − 6x + 9 = 0 , выделив полный квадрат.

    Выделим полный квадрат из левой части:

    Является ли уравнение квадратным х2 0

    Далее воспользуемся квадратным корнем и узнáем чему равно x

    Является ли уравнение квадратным х2 0

    Значит корнем уравнения x 2 − 6x + 9 = 0 является 3. Выполним проверку:

    Является ли уравнение квадратным х2 0

    Пример 4. Решить квадратное уравнение 4x 2 + 28x − 72 = 0 , выделив полный квадрат:

    Выделим полный квадрат из левой части:

    Является ли уравнение квадратным х2 0

    Перенесём −121 из левой части в правую часть, изменив знак:

    Является ли уравнение квадратным х2 0

    Воспользуемся квадратным корнем:

    Является ли уравнение квадратным х2 0

    Получили два простых уравнения: 2x + 7 = 11 и 2x + 7 = −11. Решим их:

    Является ли уравнение квадратным х2 0

    Пример 5. Решить уравнение 2x 2 + 3x − 27 = 0

    Это уравнение немного посложнее. Когда мы выделяем полный квадрат, первый член квадратного трёхчлена мы представляем в виде квадрата какого-нибудь выражения.

    Так, в прошлом примере первым членом уравнения был 4x 2 . Его можно было представить в виде квадрата выражения 2x , то есть (2x) 2 = 2 2 x 2 = 4x 2 . Чтобы убедиться что это правильно, можно извлечь квадратный корень из выражения 4x 2 . Это квадратный корень из произведения — он равен произведению корней:

    Является ли уравнение квадратным х2 0

    В уравнении 2x 2 + 3x − 27 = 0 первый член это 2x 2 . Его нельзя представить в виде квадрата какого-нибудь выражения. Потому что нет числá, квадрат которого равен 2. Если бы такое число было, то этим числом был бы квадратный корень из числа 2. Но квадратный корень из числа 2 извлекается только приближённо. А приближённое значение не годится для представления числá 2 в виде квадрата.

    Если обе части исходного уравнения умножить или разделить на одно и то же число, то полýчится уравнение равносильное исходному. Это правило сохраняется и для квадратного уравнения.

    Тогда можно разделить обе части нашего уравнения на 2 . Это позвóлит избавиться от двойки перед x 2 что впоследствии даст нам возможность выделить полный квадрат:

    Является ли уравнение квадратным х2 0

    Перепишем левую часть в виде трёх дробей со знаменателем 2

    Является ли уравнение квадратным х2 0

    Сократим первую дробь на 2. Остальные члены левой части перепишем без изменений. Правая часть по-прежнему станет равна нулю:

    Является ли уравнение квадратным х2 0

    Выделим полный квадрат.

    Является ли уравнение квадратным х2 0

    При представлении члена Является ли уравнение квадратным х2 0в виде удвоенного произведения, появление множителя 2 привело бы к тому, что этот множитель и знаменатель дроби Является ли уравнение квадратным х2 0сократились бы. Чтобы этого не произошло, удвоенное произведение было домножено на Является ли уравнение квадратным х2 0. При выделении полного квадрата всегда нужно стараться сделать так, чтобы значение изначального выражения не изменилось.

    Свернём полученный полный квадрат:

    Является ли уравнение квадратным х2 0

    Приведём подобные члены:

    Является ли уравнение квадратным х2 0

    Перенесём дробь Является ли уравнение квадратным х2 0в правую часть, изменив знак:

    Является ли уравнение квадратным х2 0

    Воспользуемся квадратным корнем. Выражение Является ли уравнение квадратным х2 0представляет собой квадратный корень из числа Является ли уравнение квадратным х2 0

    Является ли уравнение квадратным х2 0

    Для вычисления правой части воспользуемся правилом извлечения квадратного корня из дроби:

    Является ли уравнение квадратным х2 0

    Тогда наше уравнение примет вид:

    Является ли уравнение квадратным х2 0

    Полýчим два уравнения:

    Является ли уравнение квадратным х2 0

    Является ли уравнение квадратным х2 0

    Значит корнями уравнения 2x 2 + 3x − 27 = 0 являются числа 3 и Является ли уравнение квадратным х2 0.

    Корень Является ли уравнение квадратным х2 0удобнее оставить в таком виде, не выполняя деления числителя на знаменатель. Так проще будет выполнять проверку.

    Выполним проверку. Подставим найденные корни в исходное уравнение:

    Является ли уравнение квадратным х2 0

    В обоих случаях левая часть равна нулю, значит уравнение 2x 2 + 3x − 27 = 0 решено верно.

    Решая уравнение 2x 2 + 3x − 27 = 0 , в самом начале мы разделили обе его части на 2 . В результате получили квадратное уравнение, в котором коэффициент перед x 2 равен единице:

    Является ли уравнение квадратным х2 0

    Такой вид квадратного уравнения называют приведённым квадратным уравнением.

    Любое квадратное уравнение вида ax 2 + bx + c = 0 можно сделать приведённым. Для этого нужно разделить обе его части на коэффициент, который располагается перед x². В данном случае обе части уравнения ax 2 + bx + c = 0 нужно разделить на a

    Является ли уравнение квадратным х2 0

    Пример 6. Решить квадратное уравнение 2x 2 + x + 2 = 0

    Сделаем данное уравнение приведённым:

    Является ли уравнение квадратным х2 0

    Выделим полный квадрат:

    Является ли уравнение квадратным х2 0

    Получили уравнение Является ли уравнение квадратным х2 0, в котором квадрат выражения Является ли уравнение квадратным х2 0равен отрицательному числу Является ли уравнение квадратным х2 0. Такого быть не может, поскольку квадрат любого числа или выражения всегда положителен.

    Следовательно, нет такого значения x , при котором левая часть стала бы равна Является ли уравнение квадратным х2 0. Значит уравнение Является ли уравнение квадратным х2 0не имеет корней.

    А поскольку уравнение Является ли уравнение квадратным х2 0равносильно исходному уравнению 2x 2 + x + 2 = 0 , то и оно (исходное уравнение) не имеет корней.

    Видео:8 класс. Квадратные уравнения. x2=aСкачать

    8 класс. Квадратные уравнения. x2=a

    Формулы корней квадратного уравнения

    Выделять полный квадрат для каждого решаемого квадратного уравнения не очень удобно.

    Можно ли создать универсальные формулы для решения квадратных уравнений? Оказывается можно. Сейчас мы этим и займёмся.

    Взяв за основу буквенное уравнение ax 2 + bx + c = 0 , и выполнив некоторые тождественные преобразования, мы сможем получить формулы для вывода корней квадратного уравнения ax 2 + bx + c = 0 . В эти формулы можно будет подставлять коэффициенты a , b , с и получать готовые решения.

    Итак, выделим полный квадрат из левой части уравнения ax 2 + bx + c = 0. Сначала сделаем данное уравнение приведённым. Разделим обе его части на a

    Является ли уравнение квадратным х2 0

    Теперь в получившемся уравнении выделим полный квадрат:

    Является ли уравнение квадратным х2 0

    Перенесем члены Является ли уравнение квадратным х2 0и Является ли уравнение квадратным х2 0в правую часть, изменив знак:

    Является ли уравнение квадратным х2 0

    Приведём правую часть к общему знаменателю. Дроби, состоящие из букв, привóдят к общему знаменателю методом «крест-нáкрест». То есть знаменатель первой дроби станóвится дополнительным множителем второй дроби, а знаменатель второй дроби станóвится дополнительным множителем первой дроби:

    Является ли уравнение квадратным х2 0

    В числителе правой части вынесем за скобки a

    Является ли уравнение квадратным х2 0

    Сократим правую часть на a

    Является ли уравнение квадратным х2 0

    Поскольку все преобразования были тождественными, то получившееся уравнение Является ли уравнение квадратным х2 0имеет те же корни, что и исходное уравнение ax 2 + bx + c = 0.

    Уравнение Является ли уравнение квадратным х2 0будет иметь корни только тогда, если правая часть больше нуля или равна нулю. Это потому что в левой части выполнено возведéние в квадрат, а квадрат любого числа положителен или равен нулю (если в этот квадрат возвóдится ноль). А чему будет равна правая часть зависит от того, что будет подставлено вместо переменных a , b и c .

    Поскольку при любом a не рáвным нулю, знаменатель правой части уравнения Является ли уравнение квадратным х2 0всегда будет положительным, то знак дроби Является ли уравнение квадратным х2 0будет зависеть от знака её числителя, то есть от выражения b 2 − 4ac .

    Выражение b 2 − 4ac называют дискриминантом квадратного уравнения. Дискриминант это латинское слово, означающее различитель . Дискриминант квадратного уравнения обозначается через букву D

    Дискриминант позволяет заранее узнать имеет ли уравнение корни или нет. Так, в предыдущем задании мы долго решали уравнение 2x 2 + x + 2 = 0 и оказалось, что оно не имеет корней. Дискриминант же позволил бы нам заранее узнать, что корней нет. В уравнении 2x 2 + x + 2 = 0 коэффициенты a , b и c равны 2, 1 и 2 соответственно. Подставим их в формулу D = b 2 −4ac

    D = b 2 − 4ac = 1 2 − 4 × 2 × 2 = 1 − 16 = −15.

    Видим, что D (оно же b 2 − 4ac ) является отрицательным числом. Тогда нет смысла решать уравнение 2x 2 + x + 2 = 0, выделяя в нём полный квадрат, потому что когда мы дойдем до уравнения вида Является ли уравнение квадратным х2 0, окажется что правая часть станет меньше нуля (из-за отрицательного дискриминанта). А квадрат числа не может быть отрицательным. Следовательно, корней у данного уравнения не будет.

    Станóвится понятно почему древние люди считали выражение b 2 − 4ac различителем. Это выражение подобно индикатору позволяет различить уравнение имеющего корни от уравнения, не имеющего корней.

    Итак, D равно b 2 − 4ac . Подставим в уравнении Является ли уравнение квадратным х2 0вместо выражения b 2 − 4ac букву D

    Является ли уравнение квадратным х2 0

    Если дискриминант исходного уравнения окажется меньше нуля (D , то уравнение примет вид:

    Является ли уравнение квадратным х2 0

    В этом случае говорят, что у исходного уравнения корней нет, поскольку квадрат любого числа не должен быть отрицательным.

    Если дискриминант исходного уравнения окажется больше нуля (D > 0) , то уравнение примет вид:

    Является ли уравнение квадратным х2 0

    В этом случае уравнение будет иметь два корня. Для их вывода воспользуемся квадратным корнем:

    Является ли уравнение квадратным х2 0

    Получили уравнение Является ли уравнение квадратным х2 0. Из него полýчится два уравнения: Является ли уравнение квадратным х2 0и Является ли уравнение квадратным х2 0. Выразим x в каждом из уравнений:

    Является ли уравнение квадратным х2 0

    Получившиеся два равенства это и есть универсальные формулы для решения квадратного уравнения ax 2 + bx + c = 0. Их называют формулами корней квадратного уравнения .

    Чаще всего эти формулы обозначаются как x1 и x2 . То есть для вычисления первого корня используется формула c индексом 1; для вывода второго корня — формула с индексом 2. Обозначим свои формулы так же:

    Является ли уравнение квадратным х2 0

    Очерёдность применения формул не важнá.

    Решим например квадратное уравнение x 2 + 2x − 8 = 0 с помощью формул корней квадратного уравнения. Коэффициенты данного квадратного уравнения это числа 1 , 2 и −8 . То есть, a = 1 , b = 2 , c = −8 .

    Прежде чем использовать формулы корней квадратного уравнения, нужно найти дискриминант этого уравнения.

    Найдём дискриминант квадратного уравнения. Для этого воспользуемся формулой D = b 2 4 ac . Вместо переменных a, b и c у нас будут коэффициенты уравнения x 2 + 2x − 8 = 0

    D = b 2 4ac = 2 2 − 4 × 1 × (−8) = 4 + 32 = 36

    Дискриминант больше нуля. Значит уравнение имеет два корня. Теперь можно воспользоваться формулами корней квадратного уравнения:

    Является ли уравнение квадратным х2 0

    Значит корнями уравнения x 2 + 2x − 8 = 0 являются числа 2 и −4 . Проверкой убеждаемся, что корни найдены верно:

    Является ли уравнение квадратным х2 0

    Наконец, рассмотрим случай когда дискриминант квадратного уравнения равен нулю. Вернёмся к уравнению Является ли уравнение квадратным х2 0. Если дискриминант равен нулю, то правая часть уравнения примет вид:

    Является ли уравнение квадратным х2 0

    И в этом случае квадратное уравнение будет иметь только один корень. Воспользуемся квадратным корнем:

    Является ли уравнение квадратным х2 0

    Далее выражаем x

    Является ли уравнение квадратным х2 0

    Это ещё одна формула для вывода корня квадратного корня. Рассмотрим её применение. Ранее мы решили уравнение x 2 − 6x + 9 = 0 , имеющее один корень 3. Решили мы его методом выделения полного квадрата. Теперь попробуем решить с помощью формул.

    Найдём дискриминант квадратного уравнения. В этом уравнении a = 1 , b = −6 , c = 9 . Тогда по формуле дискриминанта имеем:

    D = b 2 4ac = (−6) 2 − 4 × 1 × 9 = 36 − 36 = 0

    Дискриминант равен нулю (D = 0) . Это означает, что уравнение имеет только один корень, и вычисляется он по формуле Является ли уравнение квадратным х2 0

    Является ли уравнение квадратным х2 0

    Значит корнем уравнения x 2 − 6x + 9 = 0 является число 3.

    Для квадратного уравнения, имеющего один корень также применимы формулы Является ли уравнение квадратным х2 0и Является ли уравнение квадратным х2 0. Но применение каждой из них будет давать один и тот же результат.

    Применим эти две формулы для предыдущего уравнения. В обоих случаях получим один и тот же ответ 3

    Является ли уравнение квадратным х2 0

    Если квадратное уравнение имеет только один корень, то желательно применять формулу Является ли уравнение квадратным х2 0, а не формулы Является ли уравнение квадратным х2 0и Является ли уравнение квадратным х2 0. Это позволяет сэкономить время и место.

    Пример 3. Решить уравнение 5x 2 − 6x + 1 = 0

    Найдём дискриминант квадратного уравнения:

    Является ли уравнение квадратным х2 0

    Дискриминант больше нуля. Значит уравнение имеет два корня. Воспользуемся формулами корней квадратного уравнения:

    Является ли уравнение квадратным х2 0

    Значит корнями уравнения 5x 2 − 6x + 1 = 0 являются числа 1 и Является ли уравнение квадратным х2 0.

    Ответ: 1; Является ли уравнение квадратным х2 0.

    Пример 4. Решить уравнение x 2 + 4x + 4 = 0

    Найдём дискриминант квадратного уравнения:

    Является ли уравнение квадратным х2 0

    Дискриминант равен нулю. Значит уравнение имеет только один корень. Он вычисляется по формуле Является ли уравнение квадратным х2 0

    Является ли уравнение квадратным х2 0

    Значит корнем уравнения x 2 + 4x + 4 = 0 является число −2 .

    Пример 5. Решить уравнение 3x 2 + 2x + 4 = 0

    Найдём дискриминант квадратного уравнения:

    Является ли уравнение квадратным х2 0

    Дискриминант меньше нуля. Значит корней у данного уравнения нет.

    Ответ: корней нет.

    Пример 6. Решить уравнение (x + 4) 2 = 3x + 40

    Приведём данное уравнение к нормальному виду. В левой части располагается квадрата суммы двух выражений. Раскрóем его:

    Является ли уравнение квадратным х2 0

    Перенесём все члены из правой части в левую часть, изменив их знаки. В правой части останется ноль:

    Является ли уравнение квадратным х2 0

    Приведём подобные члены в левой части:

    Является ли уравнение квадратным х2 0

    В получившемся уравнении найдём дискриминант:

    Является ли уравнение квадратным х2 0

    Дискриминант больше нуля. Значит уравнение имеет два корня. Воспользуемся формулами корней квадратного уравнения:

    Является ли уравнение квадратным х2 0

    Значит корнями уравнения (x + 4) 2 = 3x + 40 являются числа 3 и −8 .

    Ответ: 3 ; −8.

    Пример 7. Решить уравнение Является ли уравнение квадратным х2 0

    Умнóжим обе части данного уравнения на 2 . Это позвóлит нам избавиться от дроби в левой части:

    Является ли уравнение квадратным х2 0

    В получившемся уравнении перенесём 22 из правой части в левую часть, изменив знак. В правой части останется 0

    Является ли уравнение квадратным х2 0

    Приведём подобные члены в левой части:

    Является ли уравнение квадратным х2 0

    В получившемся уравнении найдём дискриминант:

    Является ли уравнение квадратным х2 0

    Дискриминант больше нуля. Значит уравнение имеет два корня. Воспользуемся формулами корней квадратного уравнения:

    Является ли уравнение квадратным х2 0

    Значит корнями уравнения Является ли уравнение квадратным х2 0являются числа 23 и −1 .

    Ответ: 23; −1.

    Пример 8. Решить уравнение Является ли уравнение квадратным х2 0

    Умнóжим обе части на наименьшее общее кратное знаменателей обеих дробей. Это позвóлит избавиться от дробей в обеих частях. Наименьшее общее кратное чисел 2 и 3 это число 6 . Тогда получим:

    Является ли уравнение квадратным х2 0

    В получившемся уравнении раскроем скобки в обеих частях:

    Является ли уравнение квадратным х2 0

    Теперь перенесём все члены из правой части в левую часть, изменив у них знаки. В правой части останется 0

    Является ли уравнение квадратным х2 0

    Приведём подобные члены в левой части:

    Является ли уравнение квадратным х2 0

    В получившемся уравнении найдём дискриминант:

    Является ли уравнение квадратным х2 0

    Дискриминант больше нуля. Значит уравнение имеет два корня. Воспользуемся формулами корней квадратного уравнения:

    Является ли уравнение квадратным х2 0

    Значит корнями уравнения Является ли уравнение квадратным х2 0являются числа Является ли уравнение квадратным х2 0и 2.

    Видео:МАТЕМАТИКА 8 класс - Неполные Квадратные Уравнения. Как решать Неполные Квадратные Уравнения?Скачать

    МАТЕМАТИКА 8 класс - Неполные Квадратные Уравнения. Как решать Неполные Квадратные Уравнения?

    Примеры решения квадратных уравнений

    Пример 1. Решить уравнение x 2 = 81

    Это простейшее квадратное уравнение, в котором надо определить число, квадрат которого равен 81. Таковыми являются числа 9 и −9. Воспользуемся квадратным корнем для их вывода:

    Является ли уравнение квадратным х2 0

    Ответ: 9, −9 .

    Пример 2. Решить уравнение x 2 − 9 = 0

    Это неполное квадратное уравнение. Для его решения нужно перенести член −9 в правую часть, изменив знак. Тогда получим:

    Является ли уравнение квадратным х2 0

    Ответ: 3, −3.

    Пример 3. Решить уравнение x 2 − 9x = 0

    Это неполное квадратное уравнение. Для его решения сначала нужно вынести x за скобки:

    Является ли уравнение квадратным х2 0

    Левая часть уравнения является произведением. Произведение равно нулю, если хотя один из сомножителей равен нулю.

    Левая часть станет равна нулю, если отдельно x равно нулю, или если выражение x − 9 равно нулю. Получится два уравнения, одно из которых уже решено:

    Является ли уравнение квадратным х2 0

    Ответ: 0, 9 .

    Пример 4. Решить уравнение x 2 + 4x − 5 = 0

    Это полное квадратное уравнение. Его можно решить методом выделения полного квадрата или с помощью формул корней квадратного уравнения.

    Решим данное уравнение с помощью формул. Сначала найдём дискриминант:

    D = b 2 − 4ac = 4 2 − 4 × 1 × (−5) = 16 + 20 = 36

    Дискриминант больше нуля. Значит уравнение имеет два корня. Вычислим их:

    Является ли уравнение квадратным х2 0

    Ответ: 1, −5 .

    Пример 5. Решить уравнение Является ли уравнение квадратным х2 0

    Умнóжим обе части на наименьшее общее кратное чисел 5, 3 и 6. Это позвóлит избавиться от дробей в обеих частях:

    Является ли уравнение квадратным х2 0

    В получившемся уравнении перенесём все члены из правой части в левую часть, изменив знак. В правой части останется ноль:

    Является ли уравнение квадратным х2 0

    Приведём подобные члены:

    Является ли уравнение квадратным х2 0

    Решим получившееся уравнение с помощью формул:

    Является ли уравнение квадратным х2 0

    Ответ: 5 , Является ли уравнение квадратным х2 0.

    Пример 6. Решить уравнение x 2 = 6

    В данном примере как и в первом нужно воспользоваться квадратным корнем:

    Является ли уравнение квадратным х2 0

    Однако, квадратный корень из числа 6 не извлекается. Он извлекается только приближённо. Корень можно извлечь с определённой точностью. Извлечём его с точностью до сотых:

    Является ли уравнение квадратным х2 0

    Но чаще всего корень оставляют в виде радикала:

    Является ли уравнение квадратным х2 0

    Ответ: Является ли уравнение квадратным х2 0

    Пример 7. Решить уравнение (2x + 3) 2 + (x − 2) 2 = 13

    Раскроем скобки в левой части уравнения:

    Является ли уравнение квадратным х2 0

    В получившемся уравнении перенесём 13 из правой части в левую часть, изменив знак. Затем приведём подобные члены:

    Является ли уравнение квадратным х2 0

    Получили неполное квадратное уравнение. Решим его:

    Является ли уравнение квадратным х2 0

    Ответ: 0 , −1,6 .

    Пример 8. Решить уравнение (5 + 7x)(4 − 3x) = 0

    Данное уравнение можно решить двумя способами. Рассмотрим каждый из них.

    Первый способ. Раскрыть скобки и получить нормальный вид квадратного уравнения.

    Является ли уравнение квадратным х2 0

    Приведём подобные члены:

    Является ли уравнение квадратным х2 0

    Перепишем получившееся уравнение так, чтобы член со старшим коэффициентом располагался первым, член со вторым коэффициентом — вторым, а свободный член располагался третьим:

    Является ли уравнение квадратным х2 0

    Чтобы старший член стал положительным, умнóжим обе части уравнения на −1. Тогда все члены уравнения поменяют свои знаки на противоположные:

    Является ли уравнение квадратным х2 0

    Решим получившееся уравнение с помощью формул корней квадратного уравнения:

    Является ли уравнение квадратным х2 0

    Второй способ. Найти значения x , при которых сомножители левой части уравнения равны нулю. Этот способ удобнее и намного короче.

    Произведение равно нулю, если хотя бы один из сомножителей равен нулю. В данном случае равенство в уравнении (5 + 7x)(4 − 3x) = 0 будет достигаться, если выражение (5 + 7x) равно нулю, или же выражение (4 − 3x) равно нулю. Наша задача выяснить при каких x это происходит:

    Является ли уравнение квадратным х2 0

    Видео:Формула корней квадратного уравнения. Алгебра, 8 классСкачать

    Формула корней квадратного уравнения. Алгебра, 8 класс

    Примеры решения задач

    Предстáвим, что возникла необходимость построить небольшую комнату, площадь которой 8 м 2 . При этом длина комнаты должна быть в два раза больше её ширины. Как определить длину и ширину такой комнаты?

    Сделаем примерный рисунок этой комнаты, который иллюстрирует вид сверху:

    Является ли уравнение квадратным х2 0

    Обозначим ширину комнаты через x . А длину комнаты через 2x , потому что по условию задачи длина должна быть в два раза больше ширины. Множитель 2 и выполнит это требование:

    Является ли уравнение квадратным х2 0

    Поверхность комнаты (её пол) является прямоугольником. Для вычисления площади прямоугольника, нужно длину данного прямоугольника умножить на его ширину. Сделаем это:

    По условию задачи площадь должна быть 8 м 2 . Значит выражение 2x × x следует приравнять к 8

    Получилось уравнение. Если решить его, то можно найти длину и ширину комнаты.

    Первое что можно сделать это выполнить умножение в левой части уравнения:

    В результате этого преобразования переменная x перешла во вторую степень. А мы говорили, что если переменная, входящая в уравнение, возведенá во вторую степень (в квадрат), то такое уравнение является уравнением второй степени или квадратным уравнением.

    Для решения нашего квадратного уравнения воспользуемся изученными ранее тождественными преобразованиями. В данном случае можно разделить обе части на 2

    Является ли уравнение квадратным х2 0

    Теперь воспользуемся квадратным корнем. Если x 2 = 4 , то Является ли уравнение квадратным х2 0. Отсюда x = 2 и x = −2 .

    Через x была обозначена ширина комнаты. Ширина не должна быть отрицательной, поэтому в расчёт берём только значение 2 . Такое часто бывает при решении задачи, в которых применяется квадратное уравнение. В ответе получаются два корня, но условию задачи удовлетворяет только один из них.

    А длина была обозначена через 2x . Значение x теперь известно, подставим его в выражение 2x и вычислим длину:

    Значит длина равна 4 м , а ширина 2 м . Это решение удовлетворяет условию задачи, поскольку площадь комнаты равна 8 м 2

    Ответ: длина комнаты составляет 4 м , а ширина 2 м .

    Пример 2. Огородный участок, имеющий форму прямоугольника, одна сторона которого на 10 м больше другой, требуется обнести изгородью. Определить длину изгороди, если известно, что площадь участка равна 1200 м 2

    Решение

    Длина прямоугольника, как правило, больше его ширины. Пусть ширина участка x метров, а длина (x + 10) метров. Площадь участка составляет 1200 м 2 . Умножим длину участка на его ширину и приравняем к 1200 , получим уравнение:

    Решим данное уравнение. Для начала раскроем скобки в левой части:

    Является ли уравнение квадратным х2 0

    Перенесём 1200 из правой части в левую часть, изменив знак. В правой части останется 0

    Является ли уравнение квадратным х2 0

    Решим получившееся уравнение с помощью формул:

    Является ли уравнение квадратным х2 0

    Несмотря на то, что квадратное уравнение имеет два корня, в расчёт берём только значение 30 . Потому что ширина не может выражаться отрицательным числом.

    Итак, через x была обозначена ширина участка. Она равна тридцати метрам. А длина была обозначена через выражение x + 10 . Подставим в него найденное значение x и вычислим длину:

    x + 10 = 30 + 10 = 40 м

    Значит длина участка составляет сорок метров, а ширина тридцать метров. Эти значения удовлетворяют условию задачи, поскольку если перемножить длину и ширину (числа 40 и 30 ) получится 1200 м 2

    40 × 30 = 1200 м 2

    Теперь ответим на вопрос задачи. Какова длина изгороди? Чтобы её вычислить нужно найти периметр участка.

    Периметр прямоугольника это сумма всех его сторон. Тогда:

    P = 2(a + b) = 2 × (40 + 30) = 2 × 70 = 140 м.

    Ответ: длина изгороди огородного участка составляет 140 м.

    🎦 Видео

    Cистемы уравнений. Разбор задания 6 и 21 из ОГЭ. | МатематикаСкачать

    Cистемы уравнений. Разбор задания 6 и 21 из ОГЭ.  | Математика

    Квадратное уравнение. 8 класс.Скачать

    Квадратное уравнение. 8 класс.

    Свойства квадратного корня. Уравнение х2=а, 8 классСкачать

    Свойства квадратного корня. Уравнение х2=а, 8 класс

    Квадратные уравнения #shorts Как решать квадратные уравненияСкачать

    Квадратные уравнения #shorts  Как решать квадратные уравнения
    Поделиться или сохранить к себе: