Является ли линия интегральной кривой уравнения

Содержание
  1. Особые решения дифференциальных уравнений
  2. Особые решения дифференциального уравнения
  3. Является ли линия интегральной кривой уравнения
  4. 3.2. Определение дифференциального уравнения и связанных с ним общих понятий.
  5. 3.3. Дифференциальные уравнения первого порядка как поле направлений.
  6. 3.4. Задача Коши.
  7. 3.5. Основные методы интегрирования дифференциальных уравнений первого порядка.
  8. Дифференциальные уравнения первого порядка
  9. I. Уравнения с разделяющимися переменными
  10. II. Уравнения, однородные относительно переменных
  11. III. Уравнения в полных дифференциалах
  12. IV. Линейные дифференциальные уравнения
  13. 3.6. Особое решение дифференциального уравнения. Уравнение Клеро.
  14. 3.7. Уравнение Бернулли.
  15. 3.9. Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка.
  16. 3.10. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка. Общая теория.
  17. 3.12. Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.
  18. 3.13. Неоднородное линейное дифференциальное уравнение, структура общего решения. Принцип наложения.
  19. 3.14. Подбор частных решений линейного неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами и со специальной правой частью.
  20. 3.15. Метод вариации произвольных постоянных.
  21. 💡 Видео

Видео:Решить дифф. уравнение и построить интегральные кривыеСкачать

Решить дифф. уравнение и построить интегральные кривые

Особые решения дифференциальных уравнений

Решение дифференциального уравнения

называется особым , если в каждой его точке нарушается свойство единственности, т. е. если через каждую его точку кроме этого решения проходит и другое решение, имеющее в точке ту же касательную, что и решение , но не совпадающее с ним в сколь угодно малой окрестности . График особого решения будем называть особой интегральной кривой уравнения (1). Если функция и ее частные производные и непрерывны по всем аргументам , то любое особое решение уравнения (1) удовлетворяет также уравнению

Значит, чтобы отыскать особые решения (1), надо исключить из уравнений (1) и (2).

Полученное после исключения из (1) и (2) уравнение

Часто бывает так, что распадается на несколько ветвей . Тогда нужно установить, является ли каждая в отдельности ветвь решением уравнения (1), и если является, то будет ли оно особым решением, т.е. нарушается ли единственность в каждой его точке.

Пример 1. Найти особые решения дифференциального уравнения

а) Находим p-дискриминантную кривую. В данном случае и условие (2) принимает вид , отсюда . Подставляя это выражение для в уравнение (4), получаем

Кривая (5) есть p-дискриминантная кривая уравнения (4): она состоит из одной ветви — параболы.

б) Проверяем, является ли p-дискриминантная кривая решением заданного уравнения. Подставляя (5) и ее производную в (4), убеждаемся, что есть решение уравнения (4).

в) Проверяем, является ли решение (S) особым решением уравнения (4). Для этого найдем общее решение уравнения (4). Перепишем (4) в виде . Это уравнение Клеро. Его общее решение

Выпишем условие касания двух кривых и в точке с абсциссой :

Первое равенство выражает совпадение ординат кривых, а второе выражает совпадение угловых коэффициентов касательных к этим кривым в точке с абсциссой .

Полагая , находим, что условия (7) принимают вид

Подставляя в первое из равенств (8), получаем или т.е. при первое равенство выполняется тождественно, так как есть абсцисса произвольной точки.

Итак, в каждой точке кривой (5) ее касается некоторая другая кривая семейства (6), а именно та, для которой . Значит, есть особое решение уравнения (4).

г) Геометрическое истолкование.
Общее решение уравнения (4) есть семейство прямых (6), а особое решение (5) является огибающей этого семейства прямых (рис. 19).

Огибающей семейства кривых

называется такая кривая, которая в каждой своей точке касается некоторой кривой семейства (9) и каждого отрезка которой касается бесконечное множество кривых из (9). Будем говорить, что кривые и касаются в точке , если они имеют в этой точке общую касательную.

Если (9) есть общий интеграл уравнения (1), то огибающая семейства кривых (9), если она существует, будет особой интегральной кривой этого уравнения. В самом деле, в точках огибающей значения совпадают со значениями для интегральной кривой, касающейся огибающей в точке , и, следовательно, в каждой точке огибающей значения удовлетворяют уравнению , т.е. огибающая является интегральной кривой.

Далее, в каждой точке огибающей нарушена единственность, так как через точки огибающей по одному направлению проходит, по крайней мере, две интегральные кривые: сама огибающая и касающаяся ее в рассматриваемой точке интегральная кривая семейства (9). Следовательно, огибающая является особой интегральной кривой.

Из курса математического анализа известно, что огибающая входит в состав C-дискриминантной кривой (коротко СДК), определяемой системой уравнений

Некоторая ветвь СДК заведомо будет огибающей, если на ней:

1) существуют ограниченные по модулю частные производные

где и — постоянные;

Замечание. Условия 1) и 2) лишь достаточны, а потому ветви СДК, на которых нарушено одно из этих условий, тоже могут быть огибающими.

Пример 2. Найти особые решения дифференциального уравнения

а) Находим C-дискриминантную кривую. Имеем , так что отсюда . Подставляя это значение в (14), получаем откуда

Это и есть C-дискриминантная кривая: она состоит из двух прямых и .

б) Непосредственной подстановкой убеждаемся, что каждая из ветвей СДК является решением уравнения (13).

в) Докажем, что каждое из решений (15) является особым решением уравнения (13). В самом деле, так как и , то на каждой ветви СДК имеем (предполагаем, что решение уравнения (13) рассматривается на отрезке

где — область допустимых значений .

Заметим, что на любой из ветвей СДК в области 0″ png;base64,iVBORw0KGgoAAAANSUhEUgAAADAAAAAQCAMAAABncAyDAAAAM1BMVEVHcEwAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAADbQS4qAAAAEHRSTlMAMRDQiiHowAFBoWFRoLFx3eb7ogAAAMZJREFUKM+1UksSwyAIVUHAX+T+p602mTYkdqZd1AUL5fk+4NzfjiQvv/QXwkz++/6kyblOYfXmMd4vNxglaF//xu0KEeJZdVYXkDFUbhaSDCDqDtDhO3ASgOypGJbMyVh4A3A8bBpQq1URM1exAEcTUHaF4R5ZzFQXDE+FuDIfET4AiqZFe+PykiQHYIbb8rAgTsAM3lvTjvc5DCVeORANFjSxbhfOqn6ux5wPICRojOf2fJ81Uscj+bmEUc5q4jKCXucmPQAaYQaRCPmIUQAAAABJRU5ErkJggg==» />, так дх что выполняется одно из условий (12). Значит, условия (11) и (12) выполняются, а, следовательно, прямые (15) являются огибающими парабол (14).

Итак, установлено, что каждое из решений (15) есть особое решение.

В вопросах отыскания особых решений оказываются полезными следующие символические схемы:

Схема (16) означает, что уравнение p-дискриминантной кривой может распадаться на три уравнения:

1) — уравнение огибающей;

2) — уравнение геометрического места точек заострения (возврата);

3) — уравнение геометрического места точек прикосновения интегральных линий, причем множитель входит в в квадрате.

Схема (17) означает, что уравнение C-дискриминантной кривой может распадаться на три уравнения:

1) — уравнение огибающей;

2) — уравнение геометрического места узловых точек, причем множитель входит в в квадрате;

3) — уравнение геометрического места точек заострения, причем множитель входит в в кубе.

Не обязательно, чтобы для каждой задачи все составные части и фигурировали в соотношениях (16) и (17).

Из всех геометрических мест только огибающая есть особое решение дифференциального уравнения. Отыскание огибающей упрощается тем, что в схемы (16) и (17) она входит в первой степени.

В отношении других геометрических мест (точек заострения, узловых точек и точек прикосновения) требуется дополнительный анализ в каждом конкретном случае. То обстоятельство, что некоторый множитель входит в в квадрате (и совсем не входит в ) указывает на то, что здесь может быть геометрическое место точек прикосновения интегральных линий. Аналогично, если некоторый множитель входит в в квадрате (и совсем не входит в ), то здесь может быть геометрическое место узловых точек. Наконец, если множитель входит в в первой степени, а в — в третьей, то возможно наличие геометрического места точек заострения.

Пример 3. Найти особое решение дифференциального уравнения

Решение. Особое решение, если оно существует, определяется системой

где второе уравнение (19) получено из (18) дифференцированием его по . Исключив , получим p-дискриминантную кривую , которая распадается на две ветви

Подстановкой убеждаемся, что обе функции являются решениями уравнения (18).

Чтобы установить, являются ли решения (20) и (21) особыми или нет, найдем огибающую семейства

являющегося общим интегралом для (18).

Выпишем систему для определения C-дискриминантной кривой откуда, исключая , получаем , или и , что совпадает с (20) и (21). В силу того, что на линиях (20) и (21) условия (11) и (12) выполняются, заключаем, что линии и являются огибающими, а значит (20) и (21) есть особые решения заданного уравнения.

Интегральные кривые (22) суть параболы , а линии — огибающие этого семейства парабол (рис. 20).

Пример 4. Найти особые решения дифференциального уравнения

Решение. Дифференцируем (23) по

Исключая из (23) и (24), получим . Дискриминантная кривая есть ось ординат. Она не является интегральной кривой уравнения (23), но согласно схеме (16) может быть геометрическим местом точек прикосновения интегральных кривых.

Решениями уравнения (23) являются параболы и те гладкие кривые, которые можно составить из их частей (рис. 21).

Из чертежа видно, что прямая действительно есть геометрическое место точек прикосновения интегральных кривых уравнения (23).

Пример 5. Найти особые решения дифференциального уравнения

Решение. Найдем . Исключая из системы уравнений получаем

Преобразовав уравнение (25) к виду , находим его общий интеграл .

Найдем . Исключая из системы уравнений будем иметь

Итак, из (26) и (27) имеем

Множитель входит в p-дискриминант и в C-дискриминант в первой степени и дает огибающую, т. е. функция есть особое решение дифференциального уравнения (25). Непосредственной подстановкой убеждаемся, что действительно удовлетворяет уравнению.

Уравнение , входящее во второй степени в p-дискриминант и совсем не входящее в C-дискриминант, дает место точек прикосновения .

Наконец, уравнение , входящее в C-дискриминант во второй степени и совсем не входящее в p-дискриминант, дает место узловых точек (рис.22).

Пример 6. Найти особые решения дифференциального уравнения

а) Ищем p-дискриминантную кривую. Дифференцируя (28) по , получаем , откуда

Подставляя (29) в (28), найдем уравнение :

б) Ищем общий интеграл уравнения (28). Обозначив у’ через р, перепишем (28) в виде

Дифференцируя обе части (28) по и учитывая, что , будем иметь

Приравнивая нулю первый множитель , получаем (29), а соотношение дает

Исключая параметр из уравнений (31) и (32), найдем общее решение уравнения (28):

в) Находим C-дискриминантную кривую. Дифференцируя (33) по C, будем иметь

Подставляя (34) в (33), получаем уравнение .

Согласно символическим схемам (16) и (17) заключаем, что есть огибающая семейства полукубических парабол (33), а есть геометрическое место точек заострения (множитель входит в уравнение в кубе) (рис. 23). Подстановкой в уравнение (28) убеждаемся, что есть решение, а решением не является (при уравнение (28) не имеет смысла). Таким образом, решение есть особое (огибающая семейства интегральных линий).

Видео:18+ Математика без Ху!ни. Дифференциальные уравнения.Скачать

18+ Математика без Ху!ни. Дифференциальные уравнения.

Особые решения дифференциального уравнения

2. Особые решения дифференциального уравнения.

Пусть рассматривается дифференциальное уравнение первого порядка общего вида F(x,y,y/)=0.

Тогда существование его особого решения прежде всего может быть связано с условием Является ли линия интегральной кривой уравнения, не обеспечивающим представление y/ как неявной функции переменных x и y, задаваемой уравнением F(x,y,y/)=0.

Таким образом, формируя систему уравнений

Является ли линия интегральной кривой уравнения,

и исключая из нее переменную y/, получаем функцию y=y(x), которая может дать особое решение дифференциального уравнения F(x,y,y/)=0.

Определение. Кривая, получаемая исключением параметра p из системы уравнений

Является ли линия интегральной кривой уравнения,

называется дискретной кривой уравнения F(x,y,y/)=0.

Для того, чтобы дискретная кривая давала особое решение дифференциального уравнения, остается проверить, что она удовлетворяет уравнению F(x,y,y/)=0, и что через каждую ее точку проходит хотя бы одна интегральная кривая общего решения этого уравнения, т.е. проверить, что в точках дискретной кривой нарушается свойство единственности решения дифференциального уравнения.

Пример 1. Дано уравнение Является ли линия интегральной кривой уравнения.

Как было указано выше его особое решение дается уравнениями y=x+c и y=-x+c. Опреляя для него дискретную кривую имеем систему уравнений

Является ли линия интегральной кривой уравнения.

Очевидно, данная система решения не имеет, поэтому рассматриваемое дифференциальное уравнение особых решений не имеет.

Пример 2. Рассмотрим решение уравнения Является ли линия интегральной кривой уравнения

Его общее решение имеет вид Является ли линия интегральной кривой уравнения. Выписывая систему уравнений

Является ли линия интегральной кривой уравненияили Является ли линия интегральной кривой уравнения, (где p=y/)

и исключая из нее переменную p, получаем уравнение дискретной кривой y=0 (ось Ox). Очевидно, она является решением дифференциального уравнения, так как из y=0=const следует y/=0. Кроме того через любую точку M(x0;0) этой кривой проходит частное решение дифференциального уравнения, получаемое из общего при c=-x0. Не трудно убедиться, что касательные в точке M(x0;0) дискретной кривой и частного решения совпадают. Таким образом, дискретная кривая y=0 является особым решением исходного дифференциального уравнения.

Ниже на рис. 3 изображено семейство интегральных кривых этого уравнения, являющееся семейством парабол.

Из рисунка видно, что дискретная кривая y=0, являющаяся осью Ox, касается в каждой точке некоторой кривой семейства.

Выше была рассмотрена ситуация, когда уравнение F(x,y,y/)=0 не определяло y/ как неявную функцию переменных x и y, так как выполнялось условие Является ли линия интегральной кривой уравнения.

Предположим теперь, что в области D, где ищется решение дифференциального уравнения, выполняется условие Является ли линия интегральной кривой уравнения. В этом случае уравнение F(x,y,y/)=0 определяет y/ как неявную функцию от x и y, т.е. можно считать y/=f(x,y) или даже явно выразить y/ через x и y в виде y/=f(x,y). Тогда особое решение будет связано с нарушением условий приведенной выше в параграфе 3, теоремы Коши существования и единственности решения дифференциального уравнения.

Таким невыполнимым условием, обычно, берется условие Липшица, и геометрическое место точек, в которых оно нарушается, задается условием Является ли линия интегральной кривой уравненияили, считая Является ли линия интегральной кривой уравнения, условием Является ли линия интегральной кривой уравнения.

Пример 3. Рассматривается дифференциальное уравнение Является ли линия интегральной кривой уравнения(сравните с примером 2). Здесь Является ли линия интегральной кривой уравнения. Так как Является ли линия интегральной кривой уравнения, то дискретная кривая отсутствует. Из Является ли линия интегральной кривой уравненияи условия Является ли линия интегральной кривой уравнения, находим, что в точках кривой y=0, являющейся осью Ox, нарушается условие теоремы Коши. Следовательно, эта кривая y=0 может быть особым решением. Остается проверить, что она удовлетворяет исходному дифференциальному уравнению и что в ее точках нарушается условие единственности прохождения интегральной кривой. Общее решение данного уравнения имеет вид Является ли линия интегральной кривой уравнения, т.е. такой же, как и в примере 2. Разбирая пример 2, выполнимость обоих условий была проверена. Следовательно, решение y=0 действительно является особым.

Пример 4. Дано уравнение Является ли линия интегральной кривой уравнения.

Для него Является ли линия интегральной кривой уравнения, т.е. дискретной кривой нет. Из Является ли линия интегральной кривой уравненияи условия Является ли линия интегральной кривой уравнения, получаем точки кривой y=0, в которых нарушены условия теоремы Коши.

Однако, в данном случае кривая y=0 не удовлетворяет дифференциальному уравнению. Следовательно, это уравнение особых решений не имеет.

Особым решением дифференциального уравнения довольно часто бывают огибающие семейства его интегральных кривых.

Определение. Кривая y=y(x) называется огибающей семейства интегральных кривых интегрального уравнения, задаваемого общим решением Ф(x,y,c)=0, если в каждой точке она касается одной из кривых данного семейства, т.е. имеет с ней в этой точке общую касательную.

Для нахождения огибающей может быть использован следующий подход.

Пусть огибающая задана параметрически уравнениями x=x(t),y=y(t).

Со значением параметра t можно связать значение постоянной c, отвечающей той интегральной кривой семейства Ф(x,y,c)=0, которая касается огибающей в точке M(x(t),y(t)), т.е. величину c можем рассматривать как функцию параметра t, а именно c=c(t).

Подставляя функции x=x(t),y=y(t) и c=c(t) в Ф(x,y,c)=0, получаем тождество

Является ли линия интегральной кривой уравнения.

Предполагая, что Ф(x,y,c) имеет непрерывные частные производные первого порядка, из тождества вытекает Является ли линия интегральной кривой уравнения.

Покажем, что Является ли линия интегральной кривой уравнения. Действительно, k-угловой коэффициент касательной для огибающей в точке x0=x(t0), y0=y(t0) при t=t0 равен

Является ли линия интегральной кривой уравнения.

Уравнение Ф(x,y,c0)=0, где c0=c(t0), задает интегральную кривую семейства, проходящую через точку M0(x0, y0). Угловой коэффициент касательной к данной интегральной кривой в точке M0(x0, y0) равен Является ли линия интегральной кривой уравнения, где Является ли линия интегральной кривой уравненияуравнение данной кривой. Рассматривая уравнение Ф(x,y,c0)=0, как неявное задание уравнения Является ли линия интегральной кривой уравненияинтегральной кривой, значение Является ли линия интегральной кривой уравнениянайдем из соотношения Является ли линия интегральной кривой уравнения, предполагая Является ли линия интегральной кривой уравнения.

Из Является ли линия интегральной кривой уравненияполучаем Является ли линия интегральной кривой уравненияи

Является ли линия интегральной кривой уравненияили

Является ли линия интегральной кривой уравнения.

Таким образом, для произвольного значения t0 параметра t выполняется Является ли линия интегральной кривой уравнения.

Следовательно, из Является ли линия интегральной кривой уравненияс учетом доказанного соотношения получаем

Является ли линия интегральной кривой уравнения.

Но так как Является ли линия интегральной кривой уравнения, ибо Является ли линия интегральной кривой уравнения, то из последнего вытекает, что в точках огибающей должно выполняться условие Является ли линия интегральной кривой уравнения.

Таким образом, для нахождения огибающей надо рассмотреть систему уравнений

Является ли линия интегральной кривой уравнения.

Исключая из нее параметр c, найдем уравнение y=y(x) или Y(x,y)=0 огибающей (исключая точки, где одновременно Является ли линия интегральной кривой уравненияи Является ли линия интегральной кривой уравнения). Окончательно убеждаясь в том, что поперечная кривая является огибающей, проверяя условие касания в каждой ее точке интегральной кривой семейства.

Пример 5. Снова рассмотрим уравнение из примера 2 Является ли линия интегральной кривой уравнения. Его общее решение имеет вид Является ли линия интегральной кривой уравнения, т.е. Является ли линия интегральной кривой уравнения.

Для нахождения огибающей рассмотрим систему

Является ли линия интегральной кривой уравнения.

Из нее получаем уравнение огибающей y=0. Далее убеждаемся, что y=0 действительно является огибающей, так как через каждую ее точку M(x0;0) проходит интегральная кривая со значением параметра c=-x0.

Пример 6. Рассмотрим дифференциальное уравнение Является ли линия интегральной кривой уравнения. Его общее решение имеет вид (x-c)2+y2=1 получаем Является ли линия интегральной кривой уравнения. Подставляя Является ли линия интегральной кривой уравненияи (x-c)2+y2=1 в левую часть уравнения, получим тождество Является ли линия интегральной кривой уравнения.

Нетрудно видеть, что семейством интегральных кривых являются окружности единичного радиуса с центром в точках (c,0), лежащих на оси Ox.

На рис. 4 изображено семейство этих окружностей.

Из рисунка видно, что семейство интегральных кривых имеет две огибающие y=1 и y=-1, удовлетворяющих диффренциальному уравнению и, следовательно, дающих его два особых решения.

Найдем уравнения огибающих аналитически. Из Ф(x,y,c)=(x-c)2+y2-1, Является ли линия интегральной кривой уравненияполучаем следующую систему уравнений

Является ли линия интегральной кривой уравнения.

Исключая из уравнения параметр c, получаем y2=1. Данное уравнение дает две огибающих y=1 и y=-1.

Пример 7. Дано уравнение Является ли линия интегральной кривой уравнения.

Его общее решение будет Является ли линия интегральной кривой уравнения, представляющем семейство гипербол, изображенных на рис. 5.

Из Является ли линия интегральной кривой уравнениядля нахождения предполагаемых огибающих получаем систему уравнений

Является ли линия интегральной кривой уравнения.

Исключая из уравнений параметр c получаем уравнение кривой y=0, являющейся осью Ox.

Кривая y=0 удовлетворяет дифференциальному уравнению и, следовательно, является его решением. Однако, она не является огибающей, так как не имеет общих точек с интегральными кривыми семейства. Таким образом, являясь решением уравнения, она не является его особым решением.

Далее будут рассмотрены методы решения отдельных типов дифференциальных уравнений.

3. Дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными.

Определение. Дифференциальное уравнение первого порядка

Является ли линия интегральной кривой уравнения

называется уравнением с разделяющимися переменными, если оно может быть представлено в виде Является ли линия интегральной кривой уравненияили Является ли линия интегральной кривой уравнения.

Разнося переменные x и y и их дифференциалы в разные стороны такого уравнения, оно может быть записано в виде

Является ли линия интегральной кривой уравнения(отсюда происходит название данного типа уравнения).

Можно следующую интерпретацию происхождения данного уравнения.

Пусть величина Z является с одной стороны функцией величины y, т.е. z=M(y). С другой стороны величина Z является функцией величины x, т.е. z=g(x). Например, если Z-объем выпуска продукции, то с одной стороны z зависит от величины y – объема основных фондов, с другой стороны z может рассматриваться зависимой от величины x – объема затрачиваемых трудовых ресурсов. Таким образом, через соотношения z=H(y) и z=G(x) одна из величин y или x представляется функцией другой величины x или, соответственно, y. Исходное дифференциальное уравнение отображает эту функциональную связь через дифференциалы функций H(y) и G(x), уравнивая их, т.е. dz=dH(y)=dG(x). Отсюда можно считать, что Является ли линия интегральной кривой уравнения.

Таким образом, чтобы найти эту функциональную связь в виде y=y(x),x=x(y) или f(x,y)=0, надо проинтегрировать каждую из частей дифференциального уравнения, получая

Является ли линия интегральной кривой уравнения, Является ли линия интегральной кривой уравненияи затем приравнять их H(y)+c1=G(x)+c2 (имея в виду z=H(y)+c1, z=G(x)+c2, и затем z исключается). Вместо двух постоянных c1 и c2 обычно берется одна c=c2-c1, и тогда общее решение дифференциального уравнения записывается в виде

Если это возможно, из него одна из величин может быть представлена явно функцией другой y=y(x) или x=x(y).

Пример 1. Рассмотрим дифференциальное уравнение получаемое при моделировании процесса распространения информации о новом товаре

Является ли линия интегральной кривой уравнения.

Данное уравнение, очевидно, относится к уравнению с разделяющимися переменными. Разнеся переменные x и t и их дифференциалы по разные стороны, уравнение запишем в виде

Является ли линия интегральной кривой уравненияили Является ли линия интегральной кривой уравнения.

Проинтегрируем каждую из сторон этого уравнения:

Является ли линия интегральной кривой уравнения

Приравнивая найденные интегралы получаем

Является ли линия интегральной кривой уравненияили Является ли линия интегральной кривой уравнения,

где c=N(c1-c2). Отсюда далее Является ли линия интегральной кривой уравнения, где Является ли линия интегральной кривой уравнения. Так как по смыслу задачи Является ли линия интегральной кривой уравнения, то Является ли линия интегральной кривой уравнения, и тогда Является ли линия интегральной кривой уравнения. Окончательно общее решение дифференциального уравнения получает вид

Является ли линия интегральной кривой уравнения, где Является ли линия интегральной кривой уравнения>0.

Нетрудно проверить, что дискретной и огибающей кривых дифференциальное уравнение не имеет. Однако беря крайние значения для Является ли линия интегральной кривой уравненияравные Является ли линия интегральной кривой уравнения, получаем кривые x=N и x=0, являющиеся решениями уравнения, но не особыми.

Пример 2. Возьмем дифференциальное уранение

Является ли линия интегральной кривой уравненияили Является ли линия интегральной кривой уравнения,

геометрическая иллюстрация решений которого рассматривается в параграфе 2.

Данное уравнение является с разделяющимися переменными> Разнося переменные в разные стороны, записываем уравнение в виде

Является ли линия интегральной кривой уравнения.

Интегрирование левой и правой частей уравнения, дает общее решение вида Является ли линия интегральной кривой уравнения, где постоянная взята в виде lnc,c>0. Далее несложно преобразовать данное уравнение к виду

Является ли линия интегральной кривой уравненияили Является ли линия интегральной кривой уравнения, где постоянная Является ли линия интегральной кривой уравненияуже не имеет ограничений на знак.

Как видно получилось семейство гипербол.

Пусть из данного семейства интегральных кривых (гипербол) необходимо выделить кривую (решение) проходящую через точку M(1,1), т.е. выделить решение, удовлетворяющее начальному условию y(1)=1. Для этого в общее решение уравнения подставим значения x=1, y=1, и найдем, отвечающее искомой кривой, значение постоянной Является ли линия интегральной кривой уравнения. Очевидно, это значение равно Является ли линия интегральной кривой уравнения. Следовательно, искомое частное решение определяется уравнением

Yx=1 или Является ли линия интегральной кривой уравнения.

Пример 3. Рассмотрим уравнение Является ли линия интегральной кривой уравнения, приведенное в параграфе 3. Разрешая его относительно y/, получаем два уравнения y/=1 и y/=-1 или Является ли линия интегральной кривой уравненияи Является ли линия интегральной кривой уравнения.

Оба являются с разделяющимися переменными и приводятся к виду dy=dx и dx=-dx. Интегрирование левых и правых частей уравнений дает следующие их общие решения y=x+c и y=-x+c.

Пример 4. Следующим уравнением возьмем уарвнение Является ли линия интегральной кривой уравненияиз примера в параграфе 4.

Разрешая его относительно y/ получаем

Является ли линия интегральной кривой уравненияили Является ли линия интегральной кривой уравнения.

Разделяя переменные имеем

Является ли линия интегральной кривой уравнения.

Найдем интегралы от левой и правой частей уравнения:

Является ли линия интегральной кривой уравнения.

Является ли линия интегральной кривой уравнения.

Приравнивая интегралы и заменяя две постоянных на одну получаем следующий вид общего решения уравнения

Является ли линия интегральной кривой уравнения.

Возводя в квадрат обе части данного уравнения, получаем окончательный вид общего решения

Пример 5. Решить дифференциальное уравнение Является ли линия интегральной кривой уравнения,

Найти его частное решение при условии Является ли линия интегральной кривой уравнения.

Разрешая уравнение относительно y/, видим, что оно является уравнением с разделяющимися переменными

Является ли линия интегральной кривой уравнения.

Разнося переменные по разные стороны уравнения получаем

Является ли линия интегральной кривой уравнения.

Интегрируя каждую из частей этого уравнения, получаем следующее общее решение исходного дифференциального уравнения

Является ли линия интегральной кривой уравненияили Является ли линия интегральной кривой уравнения.

Используя начальное условие Является ли линия интегральной кривой уравнения, определяем значение константы c для искомого частного решения Является ли линия интегральной кривой уравнения. Искомое частное решение дается уравнением Является ли линия интегральной кривой уравнения.

4. Однородное дифференциальное уравнение первого порядка.

Функция f(x,y) называется однородной степени m, если Является ли линия интегральной кривой уравнения.

Функция f(x,y) называется однородной нулевой степени, если Является ли линия интегральной кривой уравнения.

Например, функция Является ли линия интегральной кривой уравненияявляется однородной второй степени. Действительно, Является ли линия интегральной кривой уравнения. Функция Является ли линия интегральной кривой уравненияоднородная нулевой степени, так как Является ли линия интегральной кривой уравнения.

Всякая однородная функция нулевой степени может быть представлена в виде функции от отношения y/x (или отношения x/y). Действительно, пусть f(x,y) – однородная функция нулевой степени, тогда, взяв в качестве Является ли линия интегральной кривой уравнения, имеем Является ли линия интегральной кривой уравненияможет рассматриваться как функция отношения y/x, т.е. Является ли линия интегральной кривой уравнения.

Определение. Дифференциальное уравнение первого порядка F(x,y,y/)=0, называется однородным, если оно может быть представлено в виде y/=f(x,y) или Является ли линия интегральной кривой уравнения., где f(x,y) – однородная функция нулевой степени.

Решение однородного дифференциального уравнения сводится к решению уравнения с разделяющимися переменными заменой y/x=u или y=ux, где u-функция от x.

Подставляя в исходное уравнение Является ли линия интегральной кривой уравненияи Является ли линия интегральной кривой уравнения, получаем уравнение вида Является ли линия интегральной кривой уравненияили Является ли линия интегральной кривой уравнения, являющиеся с разделяющимися переменными. Если u=g(x,c) или Ф(x,u,c)=0 является его общим решением, то y=xg(x,c) или Ф(x,y/x,c)=0 будет общим решением исходного уравнения.

Пример 1. Рассматривается уравнение

Перепишем его в виде Является ли линия интегральной кривой уравнения. Справа стоит функция однородная нулевой степени. Действительно, Является ли линия интегральной кривой уравнения. Итак, преобразованное уравнение является однородным дифференциальным уравнением. Решаем его заменой y=ux. Получаем

Является ли линия интегральной кривой уравненияили Является ли линия интегральной кривой уравнения, т.е. Является ли линия интегральной кривой уравнения.

Разделяя переменные приходим к уравнению

Является ли линия интегральной кривой уравнения.

Интегрируем левую и правую части этого уравнения:

Является ли линия интегральной кривой уравнения.

Приравнивая найденные интегралы, получаем общее решение вспомогательного дифференциального уравнения относительно переменных x и u

Является ли линия интегральной кривой уравненияили Является ли линия интегральной кривой уравнения, где c>0.

Потенциируя последнее выражение, общее решение получает вид Является ли линия интегральной кривой уравнения, где c – произвольная постоянная.

Заменяя u=y/x, получаем общий интеграл исходного дифференциального уравнения Является ли линия интегральной кривой уравненияили y2+x2=cx,

Последнее выражение приводится к виду

Является ли линия интегральной кривой уравнения.

Таким образом, семейством интегральных кривых исходного уравнения является семейство окружностей с центрами в точках Является ли линия интегральной кривой уравнения, лежащих на оси x, и радиусами Является ли линия интегральной кривой уравнения. Очевидно, все эти окружности касаются оси y в точке начала координат. На рис. 6 изображено семейство этих окружностей.

Пример 2. Требуется найти частное решение уравнения Является ли линия интегральной кривой уравнения,

Удовлетворяющих начальному условию y(1)=0.

Нетрудно видеть (убедиться), что справа стоит однородная функция нулевой степени. Итак, исходное дифференциальное уравнение является однородным. Выполняя замену y=ux, приводим его к виду

Является ли линия интегральной кривой уравненияили Является ли линия интегральной кривой уравнения.

Разделяем переменные, получаем

Является ли линия интегральной кривой уравнения.

Интегрируя обе части этого уравнения, получаем общее решение вспомогательного дифференциального уравнения

Является ли линия интегральной кривой уравненияили Является ли линия интегральной кривой уравнения.

Подставим в него Является ли линия интегральной кривой уравненияи получим Является ли линия интегральной кривой уравнения. Логарифмируя обе части этого уравнения получаем Является ли линия интегральной кривой уравненияи далее Является ли линия интегральной кривой уравнения.

Последнее соотношение дает общее решение исходного дифференциального уравнения. Чтобы найти частное решение, воспользуемся начальными условиями x=1,y=0. Подставим их в общее решение Является ли линия интегральной кривой уравнения, отсюда Является ли линия интегральной кривой уравненияи Является ли линия интегральной кривой уравнения.

Таким образом, искомое частное решение имеет вид Является ли линия интегральной кривой уравнения.

5. Линейное дифференциальное уравнение первого порядка.

Определение. Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида y/+g(x)y=h(x).

Такое название ему дано в связи с тем, что относительно переменных y и y/ его можно рассматривать как линейное.

Если Является ли линия интегральной кривой уравнения, то уравнение принимает простой вид y/=h(x), и сводится к нахождению неопределенного интеграла Является ли линия интегральной кривой уравнения. Его общее решение тогда имеет вид Является ли линия интегральной кривой уравнения.

Если Является ли линия интегральной кривой уравнения, то уравнение называется однородным линейным. Оно приобретает вид Является ли линия интегральной кривой уравнения, и, как нетрудно видеть, сводится к решению уравнения с разделяющимися переменными Является ли линия интегральной кривой уравненияи далее Является ли линия интегральной кривой уравнения.

Его общее решение имеет вид Является ли линия интегральной кривой уравнения, где Является ли линия интегральной кривой уравнения— некоторая первообразная для функции g(x).

Предположим теперь, что Является ли линия интегральной кривой уравнения, функции g(x) и h(x) являются непрерывными. Пусть y=f(x,c) – искомое общее решение линейного дифференциального уравнения.

Представим исходное уравнение в виде

Является ли линия интегральной кривой уравнения,

и подставим в выражение, стоящее в квадратных скобках, Является ли линия интегральной кривой уравнения, т.е. как бы полагая в общем решении Является ли линия интегральной кривой уравнения. Тогда вышеприведенное уравнение примет вид

Является ли линия интегральной кривой уравнения,

являясь линейным однородным дифференциальным уравнением (в нем вместо y взята для удобства переменная z, чтобы не возникло путаницы решений этого уравнения с исходным).

Общее решение этого уравнения, как уже отмечалось ранее, может быть представлено в виде

Является ли линия интегральной кривой уравнения,

где A – произвольная постоянная. Очевидно, Является ли линия интегральной кривой уравненияявляется его частным решением, и, следовательно, может быть получено при некотором значении Является ли линия интегральной кривой уравнения, т.е.

Является ли линия интегральной кривой уравнения.

Если теперь освободиться от условия фиксирования постоянной Является ли линия интегральной кривой уравнения, то получаем, что общее решение исходного уравнения имеет вид

Является ли линия интегральной кривой уравнения.

В нем второй множитель функция Является ли линия интегральной кривой уравненияявляется, как нетрудно видеть, частным решением при c=1 однородного линейного уравнения Является ли линия интегральной кривой уравнения. Первый множитель функция Является ли линия интегральной кривой уравненияпредставляет общее решение дифференциального уравнения u/v(x)=h(x).

Действительно, подставляя в это уравнение u/x(x,c), получаем тождество

Является ли линия интегральной кривой уравнения

Является ли линия интегральной кривой уравнения.

Таким образом, показано, что общее решение линейного дифференциального уравнения Является ли линия интегральной кривой уравнения

Представляется в виде y=u(x,c)v(x), где v(x) – частное решение однородного уравнения Является ли линия интегральной кривой уравнения, решаемое при c=1, u(x,c) – общее решение уравнения u/v(x)=h(x).

Нетрудно видеть, что в обоих случаях приходится решать уравнение с разделяющимися переменными.

Заметим, что хотя при решении однородного уравнения Является ли линия интегральной кривой уравнениябралось частное решение V(x) однородного уравнения v/+g(x)v=0,

Являющегося уравнением с разделяющимися переменными.

На втором этапе определяется решение u(x,c) дифференциального уравнения u/v(x)=h(x),

Также являющегося уравнением с разделяющимися переменными. После их решений общее решение исходного линейного уравнения представляется в виде

Пример 1. Решить уравнение

Сначала решаем однородное уравнение v/+2v=0.

Из него получаем

Является ли линия интегральной кривой уравненияили Является ли линия интегральной кривой уравнения.

Интегрируя его левую и правую части, получаем его общий интеграл (решение) вида

Является ли линия интегральной кривой уравнения.

Полагая в нем c=0 и потенциируя его, получаем следующее его нетривиальное частное решение Является ли линия интегральной кривой уравнения.

Далее решаем уравнение вида

Является ли линия интегральной кривой уравненияили Является ли линия интегральной кривой уравнения.

Разнося переменные в разные части уравнения и интегрируя их, получаем общее решение этого уравнения

Является ли линия интегральной кривой уравнения.

Является ли линия интегральной кривой уравнения

Является ли линия интегральной кривой уравнения.

Рассматривая данное уравнение, как уравнение относительно интеграла, находим его вид

Является ли линия интегральной кривой уравнения.

Следовательно, Является ли линия интегральной кривой уравнения.

Тогда общее решение исходного уравнения будет

Является ли линия интегральной кривой уравнения.

Предположим теперь, что требуется выделить частное решение, проходящее через точку M(0,0), т.е. решение, удовлетворяющее начальному условию y(0)=0. Для этого подставим значения x=0, y=0 в общее решение и найдем соответствующее значение постоянной c:

Является ли линия интегральной кривой уравнения, отсюда c=0,2.

Искомым частным решением является

Является ли линия интегральной кривой уравнения.

Пример 2. Решить уравнение

Является ли линия интегральной кривой уравнения,

являющееся линейным дифференциальным уравнением.

На первом этапе найдем решение соответствующего линейного однородного уравнения

Является ли линия интегральной кривой уравнения, или Является ли линия интегральной кривой уравнения.

Разделяя переменные по разные стороны уравнения, имеем

Является ли линия интегральной кривой уравнения.

Интегрируя обе части данного уравнения, получаем следующее его частное решение

Является ли линия интегральной кривой уравнения.

На втором этапе решаем уравнение вида

Является ли линия интегральной кривой уравнения.

Делая замену Является ли линия интегральной кривой уравнения, сокращая обе части уравнения на Является ли линия интегральной кривой уравненияи разделяя переменные, имеем du=x2dx.

Интегрируя правую и левую части уравнения, получаем его общее решение

Является ли линия интегральной кривой уравнения.

Общее решение исходного дифференциального уравнения имеет вид

Является ли линия интегральной кривой уравнения.

6. Дифференциальное уравнение первого порядка в полных дифференциалах.

Определение. Пусть дифференциальное уравнение первого порядка представлено в виде

Где M(x,y) и N(x,y) – функции двух переменных x и y. Тогда, если левая часть уравнения есть полный дифференциал некоторой функции U(x,y), т.е.

то такое уравнение называется уравнением в полных дифференциалах.

Уравнение в полных дифференциалах кратко можно представить в виде

а поэтому общий интеграл (решение) такого уравнения имеет вид U(x,y)=0.

Дифференциальное уравнение такого типа возникает, когда поведение системы подчинено условию сохранения некоторой величины U(энергии, массы, стоимости и т.д.).

Отметим следующий признак, позволяющий определить является ли рассматриваемое уравнение уравнением в полных дифференциалах.

dU(x,y)=M(x,y)dx+N(x,y)dy, тогда функции M(x,y) и N(x,y) должны быть для U(x,y) частными производными первого порядка, соответственно, по переменным x и y, т.е.

Является ли линия интегральной кривой уравнения.

Предполагая функции M(x,y) и N(x,y) непрерывными и имеющими непрерывные частные производные, соответственно, по y и x, т.е. выполнение соотношений

Является ли линия интегральной кривой уравнения,

Является ли линия интегральной кривой уравнения

получаем, что для M(x,y) и N(x,y) должно выполняться условие

Является ли линия интегральной кривой уравнения.

Полученное условие является не только необходимым, но и достаточным для того, чтобы уравнение M(x,y)dx+N(x,y)dy=0

Было уравнением в полных дифференциалах.

Нахождение общего решения уравнения в полных дифференциалах проводится в два этапа.

На первом этапе функция U(x,y) рассматривается как функция только аргумента x, переменная y получает как бы фиксированное значение Является ли линия интегральной кривой уравнения. Тогда соотношению

Является ли линия интегральной кривой уравнения

ставится в соответствие дифференциальное уравнение

Является ли линия интегральной кривой уравнения.

Пусть его общее решение представляется в виде

Является ли линия интегральной кривой уравнения.

Но так как решение уравнения зависит от y, то в общем решении постоянная c является функцией y, т.е. c=h(y). Следовательно, общее решение предыдущего дифференциального уравнения, снимая с y условие закрепления его значения, имеет вид

На втором этапе находится вид функции h(y). Для этого обратимся к соотношению

Является ли линия интегральной кривой уравнения,

в котором уже закрепляется как бы значение переменной x.

Используя данное соотношение и вид функции U(x,y), получаем дифференциальное уравнение, связывающее переменные h и y:

Является ли линия интегральной кривой уравненияили Является ли линия интегральной кривой уравнения.

Интегрируя это уравнение, находим его общее решение

Является ли линия интегральной кривой уравнения.

Из Является ли линия интегральной кривой уравнения, получаем окончательный вид функции U(x,y), а именно

Является ли линия интегральной кривой уравнения

В последнем двойном интеграле вместо Является ли линия интегральной кривой уравненияможно взять функцию Является ли линия интегральной кривой уравнения(т.к. Является ли линия интегральной кривой уравнения). Тогда функция U(x,y) получает вид

Является ли линия интегральной кривой уравнения.

Так как общее решение исходного дифференциального уравнения записывается в виде U(x,y)=c=const, то, заменяя две постоянных на одну, получаем следующий вид общего решения уравнения

Является ли линия интегральной кривой уравненияили

Является ли линия интегральной кривой уравнения.

Пример 1. Дано дифференциальное уравнение

В нем M(x,y)=6x2y2+6xy-1, N(x,y)=4x3y+3x2y+2y. Из Является ли линия интегральной кривой уравненияи тождества Является ли линия интегральной кривой уравнения,

Следует, что данное уравнение является уравнением в полных дифференциалах. Проведем его решение в два этапа.

На первом решаем уравнение

Является ли линия интегральной кривой уравненияили dU=(6x2y2+6xy-1)dx,

в котором переменная y считается закрепленной. Интегрируя это уравнение, получаем

На втором этапе определяем вид функции h(y), используя для этого соотношение

Является ли линия интегральной кривой уравнения

и дифференциальное уравнение для h и y

4x3y+3×2+h/(y)=4x3y+3×2+2y или Является ли линия интегральной кривой уравнения.

Интегрируя последнее, получаем h=y2+c. Общий интеграл исходного уравнения тогда можно записать в виде

Пример 2. Найти решение уравнения

Проверяем, является ли оно уравнением в полных дифференциалах? Для этого из M(x,y)=2xsiny, N(x,y)=3y2+x2cosy

Является ли линия интегральной кривой уравнения.

Так как, очевидно, выполняется условие

Является ли линия интегральной кривой уравнения,

то уравнение есть уравнение в полных дифференциалах.

Сначала решаем уравнение

Является ли линия интегральной кривой уравненияили dU=2xsinydx,

считая y постоянной. Интегрирование уравнения дает

Затем находим функцию h(y), используя соотношения

Является ли линия интегральной кривой уравнения, с одной стороны, и Является ли линия интегральной кривой уравнения, с другой стороны. Соотношения приводят к дифференциальному уравнению

Является ли линия интегральной кривой уравненияили Является ли линия интегральной кривой уравнения.

Интегрируя последнее уравнение, получаем h=y3+c.

Тогда общий интеграл исходного дифференциального уравнения записывается в виде

Далее рассмотрим понятие интегрирующего множителя. Ранее отмечалось, что уравнение в полных дифференциалах возникает, когда поведение системы сохраняет некоторую величину U, т.е. удовлетворяет соотношению

Дифференциальным аналогом его является уравнение dU(x,y)=0 или

Где Является ли линия интегральной кривой уравнения.

Предположим теперь, что частные производные функции U(x,y) представимы в виде

Является ли линия интегральной кривой уравнения.

Тогда соотношению U(x,y)=e будет соответствовать уравнение в полных дифференциалах вида

Если теперь данное уравнение разделить на общий множитель слагаемых g(x,y), то получим уравнение M(x,y)dx+N(x,y)dy=0.

Решение последнего уравнения эквивалентно решению предыдущего, из которого оно получено, однако оно может уже не являться уравнением в полных дифференциалах, также для него возможно будет

Является ли линия интегральной кривой уравнения.

В то же время после умножения его на множитель g(x,y), оно становится уравнением в полных дифференциалах.

Определение. Функция g(x,y) называется интегрирующим множителем дифференциального уравнения

Если после умножения его на эту функцию оно становится уравнением в полных дифференциалах.

Данный способ решения дифференциального уравнения называется методом интегрирующего множителя.

Найдем условие, которому должен подчиняться интегрирующий множитель g(x,y). Из предложения, что уравнение

Становится уравнением в полных дифференциалах следует выполнение условия

Является ли линия интегральной кривой уравнения.

Разверернув левую и правую части этого тождества

Является ли линия интегральной кривой уравнения,

заключаем, что функция g(x,y) должна являться решением уравнения

Является ли линия интегральной кривой уравнения.

В общем случае решение данного уравнения вызывает затруднения. Отметим два случая, когда его решение становится проще.

Случай первый. Пусть

Является ли линия интегральной кривой уравнения.

Тогда интегрирующий множитель можно искать в виде функции зависящей только от x.

Действительно, пусть g=g(x). Тогда в виду Является ли линия интегральной кривой уравнения; получаем, что искомая функция g(x) является решением дифференциального уравнения

Является ли линия интегральной кривой уравненияили Является ли линия интегральной кривой уравнения,

интегрируя которое, находим

Является ли линия интегральной кривой уравнения, т.е. Является ли линия интегральной кривой уравнения.

Второй слуяай относится к аналогичной ситуации, когда

Является ли линия интегральной кривой уравнения.

Тогда интегрирующий множитель ищется в виде функции только от y, т.е. g=g(y).

Аналогично предыдущему, не трудно видеть, что функция g(y) является решением уравнения

Является ли линия интегральной кривой уравнения

и представляется в виде

Является ли линия интегральной кривой уравнения.

Пример 3. Дано уравнение

Из M(x,y)=y2-3xy-2×2, N(x,y)=xy-x2, Является ли линия интегральной кривой уравнения, Является ли линия интегральной кривой уравненияследует Является ли линия интегральной кривой уравнения, т.е. уравнение не является в полных дифференциалах.

Однако из соотношения

Является ли линия интегральной кривой уравнения

вытекает, что можно найти такой интегрирующий множитель g=g(x), после умножения на который исходное уравнение становится уравнением в полных дифференциалах.

Указанный множитель находим из уравнения

Является ли линия интегральной кривой уравнения,

интегрируя которое получаем Является ли линия интегральной кривой уравнения, или g=xc. Так как в качестве множителя достаточно взять одну из функций, то положим c=1 и, тогда, g=x.

Умножая исходное уравнение на множитель g=x, получаем

являющееся уже уравнением в полных дифференциалах. Интегрируя его, находим

Является ли линия интегральной кривой уравнения,

Является ли линия интегральной кривой уравнения,

затем из U/y=x2y-x3+h/(x) и U/y=N(x,y)=x2y-x3

получаем x2y-x3+h/=x2y-x3, т.е. Является ли линия интегральной кривой уравненияи,

следовательно, h=c=const. Таким образом, общее решение имеет вид

Является ли линия интегральной кривой уравнения.

Пример 4. Требуется решить уравнение

Из M(x,y)=2xy2-y, N(x,y)=y2+x+y, Является ли линия интегральной кривой уравненияследует

Является ли линия интегральной кривой уравнения.

Однако из соотношения

Является ли линия интегральной кривой уравнения,

вытекает, что для исходного дифференциального уравнения существует интегрирующий множитель g=g(y), с помощью которого уравнение становится уравнением в полных дифференциалах.

Интегрирующий множитель находится из уравнения

Является ли линия интегральной кривой уравнения.

Интегрируя его, получаем Является ли линия интегральной кривой уравнения.

Умножая исходное уравнение на множитель Является ли линия интегральной кривой уравнения, приходим к уравнению

Является ли линия интегральной кривой уравнения.

Это уравнение является уже уравнением в полных дифференциалах. Решаем его

Является ли линия интегральной кривой уравнения,

Является ли линия интегральной кривой уравнения,

затем из Является ли линия интегральной кривой уравнения

Является ли линия интегральной кривой уравненияили Является ли линия интегральной кривой уравнения.

Интегрируя последнее уравнение, имеем Является ли линия интегральной кривой уравнения.

Таким образом, общий интеграл исходного уравнения имеет вид

Является ли линия интегральной кривой уравнения.

7. Дифференциальные уравнения второго порядка.

Обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка имеет следующий общий вид

F(x,y,y/,y//)=0 или Является ли линия интегральной кривой уравнения.

Наше знакомство с дифференциальными уравнениями второго порядка будет ограничено рассмотрением линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

Определение. Линейным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида

где p и q – числа, h(x) – некоторая функция от x.

Если в этом уравнении Является ли линия интегральной кривой уравнения, то оно называется однородным линейным дифференциальным уравнением второго порядка.

Рассмотрим решение однородного уравнения

Является ли линия интегральной кривой уравнения.

Этому явлению может быть поставлено в соответствие квадратное уравнение вида Является ли линия интегральной кривой уравнения,

Называемое характеристическим. Его корниЯвляется ли линия интегральной кривой уравнения, как известно, определяются формулами

Является ли линия интегральной кривой уравнения.

Возможны следующие три случая для вида корней Является ли линия интегральной кривой уравненияэтого уравнения:

1) корни уравнения – действительные и различные;

2) корни – действительные и равные;

3) корни уравнения – комплексно-сопряженные.

Для каждого из этих случаев однородное дифференциальное уравнение имеет свой вид общего интеграла.

Случай 1. Дискриминант характеристического уравнения положителен, т.е. p2-4q>0. Тогда оба корня Является ли линия интегральной кривой уравнениядействительные и различные. В этом случае общее решение однородного уравнения имеет вид

Является ли линия интегральной кривой уравнения,

где c1, c2 – произвольные постоянные.

Действительно, если Является ли линия интегральной кривой уравнения, то Является ли линия интегральной кривой уравнения, Является ли линия интегральной кривой уравнения.

Подставляя выражения для y,y/ и y// в уравнение получим

Является ли линия интегральной кривой уравнения

Является ли линия интегральной кривой уравнения.

Случай 2. Дискриминант характеристического квадратного уравнения равен нулю, т.е p2-4q=0.

Тогда оба корня Является ли линия интегральной кривой уравнениядействительные и равные, т.е. Является ли линия интегральной кривой уравнения.

В этом случае общее решение однородного уравнения имеет вид

Является ли линия интегральной кривой уравнения.

Видео:Найти все интегральные кривые уравненияСкачать

Найти все интегральные кривые уравнения

Является ли линия интегральной кривой уравнения

Многие процессы в природе можно описать с помощью функции. Дифференциальное исчисление позволяет по данной функции исследовать ее свойства. Не менее важна и обратная задача: по данным свойствам функции найти эту функцию. Иными словами, исследуя процесс, найти функцию, которая его описывает.

В алгебре для нахождения неизвестных величин пользуются уравнениями: по условию задачи составляют соотношение, связывающее неизвестную величину с данными и, решая его, находят неизвестную. Аналогично в анализе для нахождения неизвестной функции по данным ее свойствам составляют уравнение, связывающее неизвестную величину с величинами, задающими ее свойство. Поскольку свойства выражаются через производные или дифференциалы того или иного порядка, приходят к соотношению, связывающему функцию, ее производные или дифференциалы. Это соотношение называется дифференциальным уравнением, решая его, находят искомую функцию.

Рассмотрим задачи, приводящие к понятию дифференциального уравнения.

Задача 1. На плоскости XOY найти кривую, которая в каждой своей точке имеет касательную, образующую с положительным направлением оси Ox угол, тангенс которого равен удвоенной абсциссе точки касания.

Решение. Пусть уравнение искомой кривой y = f (x).
Является ли линия интегральной кривой уравнения

Обозначим через α угол, образованный касательной МТ с положительным направлением оси Ох. Как известно, угловой коэффициент касательной МТ есть tg α, и он равен производной от y по x, так что

С другой стороны, по условию задачи имеем

Приравнивая значения tg α, определяемые формулами (1.1) tg α = y ‘ и (1.2) tg α = 2x получим

Решением дифференциального уравнения (1.3) y ‘ = 2x является любая первообразная для функции 2x. Например, решением будет

Как известно из интегрального исчисления, все первообразные для функции 2x и, следовательно, все решения дифференциального уравнения (1.3) y ‘ = 2x даются формулой

где С — произвольная постоянная.

Дифференциальное уравнение имеет бесчисленное множество решений, т.е. условию задачи удовлетворяет не одна кривая, а целое семейство кривых — парабол. Но если в условие задачи добавить точку M0 (x0, y0), через которую проходит искомая кривая, то получим единственную кривую. Для этого достаточно заменить в уравнении (1.5) y = x 2 + С координаты x и y координатами точки M0

и, найдя из полученного уравнения значение произвольной постоянной С, подставить его в уравнение (1.5) y = x 2 + С . Выполняя указанные выкладки, имеем:

С = y0Является ли линия интегральной кривой уравнения, y = x 2 – Является ли линия интегральной кривой уравнения+ y0.

Таким образом, искомой кривой будет парабола

y = x 2 – Является ли линия интегральной кривой уравнения+ y0.

Задача 2. Предположим, что материальная точка P движется по прямой, которую принимаем за ось Ox. Пусть известна скорость движения как функция от времени t; обозначим ее через f (t) и будем предполагать, что она непрерывна при всех рассматриваемых значениях времени t. Требуется найти закон движения точки, т. е. зависимость x от t, х = x(t), если известно, что в некоторый момент времени t0 точка занимает положение x0, так что x(t0) = x0. Является ли линия интегральной кривой уравнения Является ли линия интегральной кривой уравнения

Решение. Известно, что скорость движения рассматриваемой точки в момент времени t равна производной от x по t. С другой стороны, эта скорость равна f (t). Поэтому

Является ли линия интегральной кривой уравнения= f (t). (1.7)

Равенство (1.7) Является ли линия интегральной кривой уравнения= f (t) есть дифференциальное уравнение движения рассматриваемой точки. Оно задает закон движения в дифференциальной форме. Интегрируя уравнение (1.7) Является ли линия интегральной кривой уравнения= f (t) , найдем закон движения в конечной форме.

Интегрирование уравнения (1.7) Является ли линия интегральной кривой уравнения= f (t) состоит в нахождении всех первообразных для функции f (t), которые, как известно из интегрального исчисления, могут быть записаны в виде

x = Является ли линия интегральной кривой уравненияf (t) dt + C. (1.8)

Выделим решение (движение), в котором

Для этого положим в формуле (1.8) x = Является ли линия интегральной кривой уравненияf (t) dt + C t = t0, x = x0. Получим

x0 = Является ли линия интегральной кривой уравненияf (t) dt + C,

откуда C = x0; следовательно, искомым решением (движением) будет

x = Является ли линия интегральной кривой уравненияf (t) dt + x0. (1.10)

Формула (1.10) x = Является ли линия интегральной кривой уравненияf (t) dt + x0 дает искомый закон движения материальной точки. Других движений, определяемых дифференциальным уравнением (1.7) Является ли линия интегральной кривой уравнения= f (t) и условием (1.9) x = x0 при t = t0 , нет.

Условие (1.9) x = x0 при t = t0 называется начальным условием, а числа t0 и x0начальными данными решения (движения).

3.2. Определение дифференциального уравнения и связанных с ним общих понятий.

x Является ли линия интегральной кривой уравненияЯвляется ли линия интегральной кривой уравнения= 0, z = z (x, y),

то оно называется уравнением с частными производными.

В дальнейшем будем рассматривать только обыкновенные дифференциальные уравнения.

Не всегда удается получать решения в явном виде, например

Аналогично определяются общий интеграл и частный интеграл дифференциального уравнения.

Например, все решения уравнения

y’ = Является ли линия интегральной кривой уравнения

y = Является ли линия интегральной кривой уравненияЯвляется ли линия интегральной кривой уравненияdx + C.

3.3. Дифференциальные уравнения первого порядка как поле направлений.

Если его возможно разрешить относительно производной y ‘, то оно приводится к виду y ‘ = f (x, y). (3.1)

Такая форма дифференциального уравнения первого порядка называется нормальной, а уравнение является разрешимым относительно производной от искомой функции.

Выясним геометрический смысл дифференциального уравнения первого порядка вида (3.1) y ‘ = f (x, y) .

Общее решение геометрически задает однопараметрическое семейство интегральных кривых.

Решение y = y (x) уравнения (3.1) y ‘ = f (x, y) представляет собой на плоскости XOY кривую, а y ‘ — угловой коэффициент касательной к этой кривой в точке M (x, y). Уравнение (3.1) y ‘ = f (x, y) дает, таким образом, соотношение между координатами точки и угловым коэффициентом касательной к интегральной кривой в этой точке.

Задание уравнения (3.1) y ‘ = f (x, y) означает, что в каждой точке M (x, y) области, где определена функция f (x, y), задано направление касательной к интегральной кривой в точке M (x, y). Значит, имея уравнение (3.1) y ‘ = f (x, y) мы получаем поле направлений. Это поле графически можно изобразить, поместив в каждой точке M (x, y) черточку, наклоненную к оси Ox под углом, тангенс которого равен f (x, y).

Задача интегрирования уравнения (3.1) y ‘ = f (x, y) заключается в том, чтобы найти семейство кривых, у которых касательная к каждой точке совпадает с направлением поля в этих точках. Такое истолкование уравнения (3.1) y ‘ = f (x, y) дает графический способ построения его решения.

y ‘ = Является ли линия интегральной кривой уравнения= p. (3.2)

Это значит, что интегральные кривые пересекают эту линию под одним и тем же углом

Является ли линия интегральной кривой уравнения= tg α = p,

т.е. все черточки параллельны для всех точек изоклины.

Давая p различные значения, получим ряд изоклин или линий постоянного наклона касательных. Чтобы получить, приближенный график решения, проходящий через данную точку M0 (x0, y0), проводим кривую так, чтобы она пересекала изоклину под углами, указанными черточками и проходила через точку M0 (x0, y0).

Установим связь между уравнением (3.2) y ‘ = Является ли линия интегральной кривой уравнения= p и его интегральными кривыми. Предположим, что правая часть уравнения (3.2) y ‘ = Является ли линия интегральной кривой уравнения= p определена и непрерывна в области G , и пусть

есть интегральная кривая этого уравнения, проходящая через точку M (x, y). Проведем касательную к интегральной кривой (3.3) y = y (x) в точке M и обозначим через α угол, образованный касательной MT с положительным направлением оси x.
Является ли линия интегральной кривой уравнения

Таким образом, если через точку M(x, y) проходит интегральная кривая (3.3) y = y (x) , то наклон касательной к ней в этой точке определяется формулой

так что наклон касательной к интегральной кривой определен заранее самим дифференциальным уравнением.

Наклоны касательных можно указать, не находя интегральных кривых. Для этого построим в каждой точке M области G отрезок (для определенности — единичной длины) с центром в точке M, составляющий с положительным направлением оси Ox угол α, тангенс которого определяется формулой (3.4) tg α = f (x, y) . Получим так называемое поле направлений, определяемое уравнением (3.2) y ‘ = Является ли линия интегральной кривой уравнения= p . Всякая интегральная кривая этого уравнения обладает тем свойством, что направление касательной в каждой ее точке совпадает с направлением поля, определяемым уравнением (3.2) y ‘ = Является ли линия интегральной кривой уравнения= p в этой точке.
Является ли линия интегральной кривой уравнения

Чтобы ответить на вопрос, под каким углом интегральные кривые могут пересекать ось x, достаточно подставить в правую часть уравнения (3.2) y ‘ = Является ли линия интегральной кривой уравнения= p y = 0, и получим тангенс угла α:

Например, интегральные кривые уравнения

Является ли линия интегральной кривой уравнения= x 2 + y 2 . (3.5)

пересекают ось x под углом α, тангенс которого равен x 2 . Аналогично интегральные кривые уравнения (3.2) y ‘ = Является ли линия интегральной кривой уравнения= p в точках их пересечения с осью y образуют с осью x угол α:

Вообще, если надо узнать, какой угол с осью x образуют интегральные кривые уравнения (3.2) y ‘ = Является ли линия интегральной кривой уравнения= p в точках их пересечения с заданной кривой y = φ(x), то достаточно подставить y = φ(x) в правую часть уравнения (3.2) y ‘ = Является ли линия интегральной кривой уравнения= p . Получим

Например, для интегральных кривых уравнения

Является ли линия интегральной кривой уравнения= yx

в точках их пересечения с прямой y = y имеем tg α = 0, так что касательные к этим интегральным кривым параллельны оси x.

Кривая ω (x, y) = 0, в каждой точке которой направление поля, определяемое дифференциальным уравнением (3.2) y ‘ = Является ли линия интегральной кривой уравнения= p , одно и то же, называется изоклиной этого уравнения.

Уравнения изоклин дифференциального уравнения (3.2) y ‘ = Является ли линия интегральной кривой уравнения= p имеют вид

где k = tg α = const. Например, для уравнения (3.5) Является ли линия интегральной кривой уравнения= x 2 + y 2 изоклинами будут окружности

вырождающиеся в точку (0,0) при k = 0. При k = 1 получаем изоклину

Интегральные кривые в каждой точке этой окружности наклонены к оси x под углом α. С увеличением k наклон интегральных кривых возрастает, и интегральные кривые имеют вид, указанный схематически на рисунке. Построив достаточно «густое» семейство изоклин (в нашем случае — окружностей); можно получить методом изоклин сколь угодно точное представление об интегральных кривых.
Является ли линия интегральной кривой уравнения

Если в точке M(x, y) правая часть уравнения (3.2) y ‘ = Является ли линия интегральной кривой уравнения= p обращается в бесконечность, то естественно считать, что направление ноля в такой точке параллельно оси y. В этом случае надо рассматривать перевернутое уравнение

Является ли линия интегральной кривой уравнения= Является ли линия интегральной кривой уравнения. (3.6)

Таким образом, во всякой точке M(x, y), в которой правая часть уравнения (3.2) y ‘ = Является ли линия интегральной кривой уравнения= p имеет конечное значение или обращается в бесконечность, это уравнение задает вполне определенное направление поля. Интегральные кривые перевернутого уравнения (3.6) Является ли линия интегральной кривой уравнения= Является ли линия интегральной кривой уравнения, которое всегда будем рассматривать наряду с уравнением (3.2) y ‘ = Является ли линия интегральной кривой уравнения= p в окрестности точек, где f (x, y) обращается в бесконечность, будем присоединять к интегральным кривым уравнения (3.2) y ‘ = Является ли линия интегральной кривой уравнения= p .

3.4. Задача Коши.

Дифференциальное уравнение обычно имеет бесчисленное множество решений. Для того, чтобы из всех решений выделить одно, надо задать какое-либо конкретное значение функции при некотором значении независимого переменного. Задать значение y0 искомой функции при некотором значении x0 независимого переменного — это значит задать начальное условие

Является ли линия интегральной кривой уравнения= y0.

С геометрической точки зрения задача отыскания решения дифференциального уравнения с заданным начальным условием равносильна тому, чтобы найти ту интегральную кривую, которая проходит через точку M0 (x0, y0) на плоскости XOY.

Естественно возникает вопрос: всегда ли существует решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее данному начальному условию, и, если существует, то будет ли оно единственным?

Ответ на поставленные вопросы дает теорема существования и единственности решения дифференциального уравнения первого порядка.

Пусть дано уравнение y’ = f (x, y) с начальным условием Является ли линия интегральной кривой уравнения= y0, и относительно функции f (x, y) выполнены следующие условия:

    В прямоугольнике R, определенном неравенствами

функция f (x, y) непрерывна. Из этого условия вытекает, что в замкнутой области R функция f (x, y) ограничена, т.е. существует действительное число M > 0 такое, что для любой точки (x, y) ∈ R | f (x, y)| ≤ M.

  • В области R функция f (x, y) относительно аргумента y удовлетворяет условию Липшица, т.е. существует такое действительное число A > 0, что | f (x, y1) – f (x, y2)| ≤ A|y1y2|.
  • Обозначим через h меньшее из двух чисел a, Является ли линия интегральной кривой уравнения.

    При данных условиях существует единственное решение y = y(x), где x0hxx0 + h, удовлетворяющее начальному условию Является ли линия интегральной кривой уравнения= y0.

    3.5. Основные методы интегрирования дифференциальных уравнений первого порядка.

    Дифференциальные уравнения первого порядка

    I. Уравнения с разделяющимися переменнымиII. Уравнения, однородные относительно переменныхIII. Уравнения в полных дифференциалахIV. Линейные дифференциальные уравненияy’ = f (x) g ( y)y’ = f (x, y), где f (x, y) — однородная функция нулевого порядкаM(x, y) dx + N(x, y) dy = 0,

    где Является ли линия интегральной кривой уравненияy’ + P(x) y = Q(x)

    1. y’ = Является ли линия интегральной кривой уравнения.
    2. Разделить переменные.
    3. Проинтегрировать.
    1. Замена Является ли линия интегральной кривой уравнения= u, где u = u(x).
    2. После подстановки получим уравнение с разделяющимися переменными.
    3. Решив его, заменим u = Является ли линия интегральной кривой уравнения.
    1. Проверяем

      Является ли линия интегральной кривой уравнения.
      Решением дифференциального уравнения является u(x, y), где

      Является ли линия интегральной кривой уравнения= M(x, y),

      Является ли линия интегральной кривой уравнения= N(x, y).

      y’ + P(x) y = 0 — линейное однородное дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными.

    1. y’ + P(x) y = Q(x)
    • метод вариации произвольной постоянной;
    • метод Бернулли:
      y = u(x) · v(x).

    I. Уравнения с разделяющимися переменными

    Дифференциальное уравнение вида y’ = f (x) g ( y) или M(x) N( y) dx + P(x) Q ( y) dy = 0 называется уравнением с разделяющимися переменными.

    Можно сделать преобразование так, чтобы в одной части была одна переменная, в другой — другая.

    Является ли линия интегральной кривой уравненияdx + Является ли линия интегральной кривой уравненияdy = 0,

    где Является ли линия интегральной кривой уравненияdx — дифференциал некоторой функции от x,

    Является ли линия интегральной кривой уравненияdy — дифференциал некоторой функции от y.

    Общий интеграл, выраженный в квадратурах:

    Является ли линия интегральной кривой уравнения Является ли линия интегральной кривой уравненияdx + Является ли линия интегральной кривой уравнения Является ли линия интегральной кривой уравненияdy = C.

    Частный интеграл, удовлетворяющий условию Является ли линия интегральной кривой уравнения= y0, выражается

    Является ли линия интегральной кривой уравнения Является ли линия интегральной кривой уравненияdx + Является ли линия интегральной кривой уравнения Является ли линия интегральной кривой уравненияdy = 0.

    Если работать с уравнением y’ = f (x) g ( y), то Является ли линия интегральной кривой уравнения= f (x) dx — уравнение с разделенными переменными.

    Замечание. Необходимо учесть, что при делении на P(x) и N(y), мы могли потерять решение уравнения, поэтому нужно проверить, не являются ли решениями данного уравнения, не вошедшие в общее решение, решения уравнений P(x) = 0 и N(y) = 0.

    Действительно, всякое решение, например y = y0, уравнения N(y) = 0 является решением уравнения

    Значит решения y = y0, x = x0 являются интегралами уравнения (5.1) M(x) N( y) dx + P(x) Q ( y) dy , даже если они не содержатся в общем решении.

    II. Уравнения, однородные относительно переменных

    Пусть имеем дифференциальное уравнение y’ = f (x, y), однородное относительно переменных x и y. Положив t = Является ли линия интегральной кривой уравненияв тождестве f (tx, ty) = f (x, y), получим f (x, y) = f Является ли линия интегральной кривой уравнения1, Является ли линия интегральной кривой уравнения Является ли линия интегральной кривой уравнения, т.е. однородная функция нулевого измерения зависит только от отношения аргументов.

    Обозначив f Является ли линия интегральной кривой уравнения1, Является ли линия интегральной кривой уравнения Является ли линия интегральной кривой уравнения= φЯвляется ли линия интегральной кривой уравненияЯвляется ли линия интегральной кривой уравненияЯвляется ли линия интегральной кривой уравнения, получим, что однородное относительно переменных x и y дифференциальное уравнение всегда можно представить в виде

    Является ли линия интегральной кривой уравнения= φЯвляется ли линия интегральной кривой уравненияЯвляется ли линия интегральной кривой уравненияЯвляется ли линия интегральной кривой уравнения.

    Как интегрируется уравнение y’ = φЯвляется ли линия интегральной кривой уравненияЯвляется ли линия интегральной кривой уравненияЯвляется ли линия интегральной кривой уравнения?

    Оно сводится к уравнению с разделяющимися переменными. Для этого делают замену

    Является ли линия интегральной кривой уравнения= u,

    где u — новая искомая функция от независимой переменной x, т.е. u = u(x).

    Дифференцируя по x, имеем:

    тогда данное уравнение примет вид:

    Является ли линия интегральной кривой уравненияx = φ(u) – u.

    Это есть дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными, преобразовав которое, получим:

    Является ли линия интегральной кривой уравнения= Является ли линия интегральной кривой уравнения.

    Является ли линия интегральной кривой уравнения Является ли линия интегральной кривой уравнения= Является ли линия интегральной кривой уравнения Является ли линия интегральной кривой уравнения+ C,

    Является ли линия интегральной кривой уравнения Является ли линия интегральной кривой уравнения= ln x + ln C

    Является ли линия интегральной кривой уравнения Является ли линия интегральной кривой уравнения= ln Cx,

    причем |x| не пишем, т.к. –1 войдет в постоянную C.

    После взятия квадратуры, подставляем u = Является ли линия интегральной кривой уравнения.

    Замечание. Мы делили на φ(u) – u, предполагая, что оно отлично от нуля.

    1. Если φ(u) ≡ u, то уравнение y’ = φ(u) примет вид: y’ = Является ли линия интегральной кривой уравнения— уравнение с разделяющимися переменными.
    2. Если φ(u) = u при некоторых значениях u = u0, то функция y = u0x — решение уравнения y’ = φ(u), которое может и не вытекать из общего.

    y’ = u0 и φЯвляется ли линия интегральной кривой уравненияЯвляется ли линия интегральной кривой уравненияЯвляется ли линия интегральной кривой уравнения= φ(u0) равны, тогда u0 = φЯвляется ли линия интегральной кривой уравненияЯвляется ли линия интегральной кривой уравненияЯвляется ли линия интегральной кривой уравнения, xdx = [φ(u) – u] dx.

    III. Уравнения в полных дифференциалах

    Если существует функция u(x, y) такая, что

    M(x, y) = Является ли линия интегральной кривой уравнения, N(x, y) = Является ли линия интегральной кривой уравнения,

    то дифференциальное уравнение

    можно переписать в форме

    Является ли линия интегральной кривой уравненияdx + Является ли линия интегральной кривой уравненияdy = 0, т.е. d[u(x, y)] = 0.

    В этом случае, данное уравнение имеет решение

    Другой вопрос, как найти эту функцию u(x, y)?

    Это можно сделать с помощью криволинейного интеграла, но на практике поступают следующим образом.

    Т.к. Является ли линия интегральной кривой уравнения= M(x, y), то

    u(x, y) = Является ли линия интегральной кривой уравненияM(x, y) dx + C(y), (5.3)

    где C(y) — функция, зависящая только от y и пока нам неизвестная. Будем ее искать из условия, что Является ли линия интегральной кривой уравнения= N(x, y), но

    Является ли линия интегральной кривой уравнения= Является ли линия интегральной кривой уравненияЯвляется ли линия интегральной кривой уравненияЯвляется ли линия интегральной кривой уравненияM(x, y) dx + C(y)Является ли линия интегральной кривой уравнения.

    Является ли линия интегральной кривой уравненияЯвляется ли линия интегральной кривой уравненияЯвляется ли линия интегральной кривой уравненияM(x, y) dx Является ли линия интегральной кривой уравнения+ C’(y) = N(x, y).

    Отсюда находим C’(y), а интегрированием найдем C(y), которое затем подставляем в (5.3) и получаем u(x, y). Тогда общий интеграл уравнения (5.2) M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0 имеет вид

    IV. Линейные дифференциальные уравнения

    Рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение y’ + P(x) y = 0. Это и уравнение с разделяющимися переменными, значит,

    Является ли линия интегральной кривой уравнения= – P(x) y

    Является ли линия интегральной кривой уравнения= – P(x) dx.

    Проинтегрируем последнее уравнение:

    Является ли линия интегральной кривой уравнения Является ли линия интегральной кривой уравнения= – Является ли линия интегральной кривой уравненияP(x) dx + C,

    ln y = ln CЯвляется ли линия интегральной кривой уравненияP(x) dx.

    Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения имеет вид

    y = CЯвляется ли линия интегральной кривой уравнения.

    Общее решение линейного неоднородного уравнения можно найти:

    его общее решение y = CЯвляется ли линия интегральной кривой уравнения.
    Ищем решение данного линейного неоднородного дифференциального уравнения в виде

    y = C(x)Является ли линия интегральной кривой уравнения, (5.4)

    где C(x) — искомая функция от x.

    Так как это решение дифференциального уравнения, то найдем y’:

    y’ = C’(x) Является ли линия интегральной кривой уравнения+ C(x) Является ли линия интегральной кривой уравнения(– P(x))

    и, подставив в данное уравнение, получим

    C’(x) = Q(x)Является ли линия интегральной кривой уравнения.

    Интегрированием находим C(x):

    C(x) = Является ли линия интегральной кривой уравненияQ(x) Является ли линия интегральной кривой уравнения+ C.

    Найденную функцию C(x) подставляем в (5.4) y = C(x) Является ли линия интегральной кривой уравненияи получаем общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения первого порядка.

    2. Методом Бернулли.

    На примере решения уравнения y’Является ли линия интегральной кривой уравнения= x.

    Пусть решение имеет вид:

    u’v + v’uЯвляется ли линия интегральной кривой уравнения= x.

    u’v + uЯвляется ли линия интегральной кривой уравненияv’Является ли линия интегральной кривой уравненияЯвляется ли линия интегральной кривой уравнения. ( ∗ )

    Пусть v’Является ли линия интегральной кривой уравнения= 0.

    Является ли линия интегральной кривой уравнения= Является ли линия интегральной кривой уравнения,

    Является ли линия интегральной кривой уравнения= Является ли линия интегральной кривой уравнения,

    v = x 3 , подставим в уравнение ( ∗ ),

    u’ = Является ли линия интегральной кривой уравнения.

    Интегрированием находим u:

    u = Является ли линия интегральной кривой уравнения Является ли линия интегральной кривой уравнения= – Является ли линия интегральной кривой уравнения+ C,

    y = Является ли линия интегральной кривой уравненияЯвляется ли линия интегральной кривой уравнения+ C Является ли линия интегральной кривой уравненияx 3 — общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения первого порядка.

    3.6. Особое решение дифференциального уравнения. Уравнение Клеро.

    Решение y = y(x), в каждой точке которого нарушается единственность решения задачи Коши, называется особым решением. Особое решение не может быть получено из формулы общего решения y = φ(x, C) (6.1) при конкретном числовом значении произвольной постоянной C (но может быть получено при C = C(x)).

    Если правая часть уравнения Является ли линия интегральной кривой уравнения= f (x, y) (6.2) удовлетворяет во всей области задания условиям теоремы Пикара, то это уравнение, очевидно, не имеет особых решений. Если функция f (x, y), стоящая в правой части уравнения , непрерывна относительно x и y во всей области задания и имеет частную производную по y (ограниченную или нет), то особыми решениями могут быть только те кривые y = φ(x), во всех точках которых Является ли линия интегральной кривой уравненияобращается в бесконечность:

    Является ли линия интегральной кривой уравнения Является ли линия интегральной кривой уравненияy = φ(x) = ∞.

    Кривые, подозрительные на особые решения, могут быть иногда найдены по уравнению семейства интегральных кривых.

    Огибающая семейства интегральных кривых уравнения (6.2) Является ли линия интегральной кривой уравнения= f (x, y) всегда является особым решением этого уравнения, ибо, во-первых, она является решением (интегральной кривой) уравнения (6.2) Является ли линия интегральной кривой уравнения= f (x, y) , так как в каждой ее точке направление касательной совпадает с направлением поля, направлений, определяемого дифференциальным уравнением (6.2) Является ли линия интегральной кривой уравнения= f (x, y) в этой точке, и, во-вторых, в каждой ее точке, очевидно, нарушается единственность решения задачи Коши.

    Отметим, наконец, что особые решения всегда можно обнаружить в процессе нахождения общего решения (общего интеграла) дифференциального уравнения. Дело в том, что когда делим обе части данного дифференциального уравнения на некоторую функцию ω(x, y), то получаем уравнение, вообще говоря, не равносильное данному, ибо можем при этом потерять решения вида y = φ(x) при x = ψ(y), при которых делитель ω(x, y) обращается в нуль, если эти решения не содержатся в общем решении, т. е. не получаются из него ни при каких числовых значениях произвольной постоянной (включая ± ∞). Решения, о которых идет речь, очевидно, являются особыми.

    Вообще всегда при интегрировании дифференциального уравнения нужно иметь в виду следующее замечание Н. М. Гюнтера: «Внимательно относясь к процессу, переводящему дифференциальное уравнение в его общий интеграл, можно без всяких интегрирований найти все особые решения, ни одного не пропустив». В дальнейшем будем систематически пользоваться этим указанием для нахождения особых решений всех уравнений, общий интеграл которых удается построить в элементарных функциях или в квадратурах.

    Рассмотрим случай полного уравнения (6.3) F(x, y, y’) = 0 , в котором функция F линейно зависит от y и x. Такое уравнение можно, разрешив относительно y, записать в виде

    Если φ(y’) ≠ y’, то уравнение (6.4) y = φ(y’)x + ψ(y’) называется уравнением Лагранжа. Найдем его общее решение в параметрической форме.

    Воспользуемся основным соотношением:

    приняв y’ за параметр, который на этот раз (по традиции) обозначим буквой p (y’ = p). Тогда уравнение Лагранжа (6.4) y = φ(y’)x + ψ(y’) будет равносильно системе двух уравнений

    Является ли линия интегральной кривой уравнения(6.4, а)

    Пользуясь основным соотношением (6.5) dy = y’dx с учетом (6.4, а) Является ли линия интегральной кривой уравнения, получим (вычисляя dy как дифференциал функции от двух аргументов p и x)

    Это есть дифференциальное уравнение с неизвестной функцией x от независимой переменной p. Замечая, что искомая функция x входит в коэффициент при dp линейно, перепишем его в виде

    Является ли линия интегральной кривой уравнения.

    Это есть линейное уравнение с искомой функцией x. Интегрируя его, получим

    Подставляя эту функцию в первое из уравнений (6.4, а) Является ли линия интегральной кривой уравнениявыразим y через p. Общим решением уравнения Лагранжа (6.4) y = φ(y’)x + ψ(y’) в параметрической форме будет

    Является ли линия интегральной кривой уравнения

    Если уравнение φ(p) – p = 0 имеет действительные решения p = pi (i = 1, 2 , …, n), то, подставляя их в первое из уравнений (6.4, а) Является ли линия интегральной кривой уравненияи принимая во внимание, что φ(pi) = pi, получим

    Эти прямые линии могут оказаться особыми решениями уравнения Лагранжа (6.4) y = φ(y’)x + ψ(y’) .

    Это уравнение называется уравнением Клеро.

    Применяя тот же алгоритм, что и при интегрировании уравнения Лагранжа, имеем

    Это уравнение распадается на два:

    Первое из них дает p = C = const. Подставляя это значение в первое из уравнений (6.7) y = xp + ψ(p), y’ = p , получим

    Это семейство прямых линий и есть общее решение уравнения Клеро (6.6) y = xy’ + ψ(y’) . Заметим, что оно получается из (6.6) y = xy’ + ψ(y’) формальной заменой y’ на C.

    Второе из уравнений (6.8) dp = 0 и x + ψ’(p) = 0 вместе с первым из уравнений (6.7) y = xp + ψ(p), y’ = p дает решение уравнения Клеро (6.6) y = xy’ + ψ(y’) в параметрической форме:

    Является ли линия интегральной кривой уравнения(6.10)

    которое обычно является особым и представляет наибольший (если не исключительный) интерес для приложений. Геометрически это решение чаще всего является огибающей семейства (6.9) y = xC + ψ(C) и в этом случае представляет собой заведомо особое решение.

    Действительно, разыскивая кривую, подозрительную на огибающую семейства (6.9) y = xC + ψ(C) , по правилу, указанному выше, имеем систему

    Является ли линия интегральной кривой уравнения

    где второе уравнение получено из первого, дифференцированием по C. Из этой системы находим

    Является ли линия интегральной кривой уравнения

    Но эти уравнения отличаются от (6.10) Является ли линия интегральной кривой уравнениятолько обозначением параметра.

    Таким образом, приходим к очень простому алгоритму интегрирования уравнения Клеро:

    1. Общее решение получается заменой у’ на C.
    2. Особое решение ищется как огибающая семейства прямых, образующих общее решение.

    В случае уравнения Клеро наибольший интерес представляет не общее, а особое решение.

    3.7. Уравнение Бернулли.

    Рассмотрим одно нелинейное уравнение, которое всегда приводится к линейному. Это уравнение Бернулли:

    Для приведения уравнения Бернулли к линейному уравнению избавимся сначала в правой части от множителя y m , разделив на него обе части уравнения. Получим

    Это уравнение можно переписать в виде

    Является ли линия интегральной кривой уравнения( y 1 – m ) + p(x)y 1 – m = q(x).

    Введя новую неизвестную функцию z:

    придем к уравнению

    Является ли линия интегральной кривой уравненияz’ + p(x)z = q(x),

    Это есть линейное уравнение. Найдя его общее решение, получим общее решение уравнения Бернулли по формуле

    y = Является ли линия интегральной кривой уравнения.

    Заметим, что если m > 0, то уравнение Бернулли имеет решение y ≡ 0. Это решение будет особым, если 0 (8.2) Является ли линия интегральной кривой уравнения= 0 видно, что всякое дифференциальное уравнение второго порядка выражает некоторое общее свойство его интегральных кривых y = y(x), устанавливая в каждой точке интегральной кривой зависимость между координатами точки, наклоном касательной к интегральной кривой и кривизной интегральной кривой в этой точке.

    Рассмотрим теперь вопрос о механическом истолковании уравнения второго порядка и его решений. Пусть материальная точка массой m движется по прямой, которую примем за ось x, под действием силы F (t, x, Является ли линия интегральной кривой уравнения), зависящей от времени t, положения x и скорости Является ли линия интегральной кривой уравненияв момент времени t. Тогда согласно второму закону Ньютона имеем

    m Является ли линия интегральной кривой уравнения= F (t, x, Является ли линия интегральной кривой уравнения), (8.3)

    где Является ли линия интегральной кривой уравненияесть ускорение точки в момент времени t. Перепишем уравнение (8.3) m Является ли линия интегральной кривой уравнения= F (t, x, Является ли линия интегральной кривой уравнения) в виде

    Является ли линия интегральной кривой уравнения= f (t, x, Является ли линия интегральной кривой уравнения), (8.4)

    где f = Является ли линия интегральной кривой уравнения.

    соответствует, как и в случае уравнения первого порядка, определенный закон движения. Поэтому часто решение (8.5) x = x(t) называют движением, определяемым уравнением (8.5) x = x(t) . Задача, теории интегрирования уравнения (8.4) Является ли линия интегральной кривой уравнения= f (t, x, Является ли линия интегральной кривой уравнения) состоит в нахождении всех движений, определяемых этим уравнением, и изучении их свойств. Так как уравнение (8.4) Является ли линия интегральной кривой уравнения= f (t, x, Является ли линия интегральной кривой уравнения) удается проинтегрировать в конечном виде лишь в редких случаях, то весьма важно уметь устанавливать свойства движений, определяемых этим дифференциальным уравнением непосредственно по свойствам самого дифференциального уравнения.

    Для уравнения n-го порядка

    (n > 1) задача Коши ставится так: найти решение

    удовлетворяющее начальным условиям (условиям Коши)

    y = y0, y ‘ = Является ли линия интегральной кривой уравнения, …, y (n – 1) = Является ли линия интегральной кривой уравненияпри x = x0, (8.8)

    где x0, y0, Является ли линия интегральной кривой уравнения, …, Является ли линия интегральной кривой уравнения— заданные числа (начальные данные решения (8.7) y = y(x) . В отличие от уравнения первого порядка здесь при заданном значении независимой переменной задается значение не только искомой функции, но и ее производных до порядка на единицу ниже, чем порядок дифференциального уравнения.

    В частности, для уравнения второго порядка (8.1) F (x, y, y ‘, y ») = 0 начальные условия (8.8) y = y0, y ‘ = Является ли линия интегральной кривой уравнения, …, y (n – 1) = Является ли линия интегральной кривой уравненияпри x = x0 принимают вид

    y = y0, y ‘ = Является ли линия интегральной кривой уравненияпри x = x0.

    Геометрически речь идет о нахождении интегральной кривой y = y(x), проходящей через заданную точку M0 (x0, y0) и имеющей в этой точке касательную M0T, которая образует с положительным направлением оси x заданный угол α0:

    tg α0 = Является ли линия интегральной кривой уравнения.

    Наряду с задачей Коши большое значение имеет задача, в которой условия на искомую функцию (и ее производные) налагаются не к одной точке, а на концах некоторого промежутка. Такая задача называется краевой задачей, а налагаемые условия — краевыми условиями.

    Теорема существования и единственности решения уравнения n-го порядка

    Рассмотрим уравнение n-го порядка в нормальной форме

    Для этого уравнения, как и в случае уравнения первого порядка, имеет место следующая теорема существования и единственности решения задачи Коши.

    Случай линейного уравнения. Выбор начальных данных. Интервал существования решения

    Рассмотрим линейное уравнение n-го порядка

    Предположим, что все коэффициенты p1, …, pn и правая часть f (x) заданы и непрерывны в интервале (a, b). Тогда условия сформулированной выше теоремы Пикара заведомо выполняются в окрестности начальной точки (x0, y0, Является ли линия интегральной кривой уравнения, …, Является ли линия интегральной кривой уравнения), где x0 ∈ (a, b), а y0, Является ли линия интегральной кривой уравнения, …, Является ли линия интегральной кривой уравнения— любые заданные числа. Поэтому для линейного уравнения (8.10) y (n) + p1 (x) y (n – 1) + … + pn – 1 (x) y ‘ + pn (x) y = f (x) имеет место следующая теорема существования и единственности решения задачи Коши.

    Теорема. Если функции p1, …, pn и f (x) непрерывны в интервале (a, b), то уравнение (8.10) y (n) + p1 (x) y (n – 1) + … + pn – 1 (x) y ‘ + pn (x) y = f (x) имеет единственное решение (8.7) y = y(x) , удовлетворяющее начальным условиям (8.8) y = y0, y ‘ = Является ли линия интегральной кривой уравнения, …, y (n – 1) = Является ли линия интегральной кривой уравненияпри x = x0 , причем y0, Является ли линия интегральной кривой уравнения, …, Является ли линия интегральной кривой уравненияможно задавать произвольно, а x0 можно брать любым из интервала (a, b).

    Можно доказать, что решение (8.7) y = y(x) определено во всем интервале (а,b).

    В частности, если функции p1, …, pn и f (x) — полиномы (или другие функции, непрерывные при всех x), то все начальные данные y0, Является ли линия интегральной кривой уравнения, …, Является ли линия интегральной кривой уравненияможно задавать произвольно. Решение существует, единственно и определено при всех x.

    Если функции p1, …, pn, f (x) суть рациональные функции, т. е. являются отношениями полиномов

    Является ли линия интегральной кривой уравнения(8.11)

    то при постановке задачи Коши начальные значения y0, Является ли линия интегральной кривой уравнения, …, Является ли линия интегральной кривой уравненияможно задавать любыми, а можно брать любым, кроме действительных нулей знаменателей Q1, …, Qn, Qn + 1. Решение с такими начальными данными будет заведомо определено в окрестности точки x0, не содержащей нулей знаменателей Q1, …, Qn, Qn + 1.

    3.9. Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка.

    Дифференциальное уравнение n-го порядка имеет вид

    Если уравнение (9.1) F (x, y, y ‘, …, y (n) ) = 0 разрешимо относительно старшей производной y (n) , то оно примет вид

    Рассмотрим некоторые типы уравнений, допускающие понижение порядка.

    Уравнение вида y (n) = f (x).Уравнение вида
    F (x, y, y ‘, …, y (n) ) = 0,
    не содержащее явно неизвестную функцию y.Уравнение вида
    F (x, y (k) , y (k + 1) , …, y (n) ) = 0,
    не содержащее явно неизвестную функцию, а также несколько ее первых производных.Уравнение вида
    F (x, y, y ‘, …, y (n) ) = 0,
    не содержащее явно независимую переменную x.Решение дифференциального уравнения сводится к последовательному применению квадратур. Общее решение содержит n произвольных постоянных.Сделав замену y ‘ = z, где z = z(x), сводим данное уравнение к уравнению более низкого порядка. Решив его, заменяем z = y ‘ и находим y.Производим замену y (k) = z, где z = z(x). Решив полученное уравнение, заменяем z = y (k) и интегрированием находим y.Сделав замену y ‘ = z, где z = z(y), получим дифференциальное уравнение (n – 1)-го порядка, связывающее y, z и производные от z по y.
    Например, в дифференциальном уравнении вида F ( y, y ‘, y » ) делается замена y ‘ = z, тогда
    y » = Является ли линия интегральной кривой уравнения= Является ли линия интегральной кривой уравнения Является ли линия интегральной кривой уравнения= Является ли линия интегральной кривой уравненияz.
    Заменяя y ‘ = z, y » = Является ли линия интегральной кривой уравненияz, получим дифференциальное уравнение первого порядка
    F Является ли линия интегральной кривой уравненияy, z, y ‘, Является ли линия интегральной кривой уравненияz Является ли линия интегральной кривой уравнения= 0.

    3.10. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка. Общая теория.

    Однородные и неоднородные линейные уравнения n-го порядка

    Линейное уравнение n-го порядка имеет следующий общий вид:

    и называется однородным. Если f (x) ≠ 0, то уравнение (10.1) y (n) + p1 (x) y (n – 1) + … + pn – 1 (x) y ‘ + pn (x) y = f (x) называется неоднородным. Ниже показано, что, как и в случае линейного уравнения первого порядка, интегрирование неоднородного линейного уравнения (10.1) y (n) + p1 (x) y (n – 1) + … + pn – 1 (x) y ‘ + pn (x) y = f (x) приводится к интегрированию однородного уравнения.

    Будем предполагать, что функции p1, …, pn, f (x) непрерывны в интервале (a, b). Это предположение обеспечит существование и единственность решения задачи Коши с любыми y0, Является ли линия интегральной кривой уравнения, …, Является ли линия интегральной кривой уравненияпри любом x ∈ (a, b). В частности, единственным решением однородного уравнения (10.2) y (n) + p1 (x) y (n – 1) + … + pn – 1 (x) y ‘ + pn (x) y = 0 с нулевыми начальными условиями y0 (x0) = 0, Является ли линия интегральной кривой уравнения(x0) = 0, …, Является ли линия интегральной кривой уравнения(x0) = 0 — будет только очевидное нулевое решение y = 0.

    Понятие о линейном дифференциальном операторе n-го порядка

    Таким образом, L(y) есть результат выполнения над функцией y операций, указанных в правой части формулы (10.3) L(y) ≡ y (n) + p1 (x) y (n – 1) + … + pn – 1 (x) y ‘ + pn (x) y , а именно: вычисление производных от функции y вплоть до порядка т включительно, умножение y0, Является ли линия интегральной кривой уравнения, …, Является ли линия интегральной кривой уравнения, Является ли линия интегральной кривой уравненияна заданные функции p1, …, pn, 1 и сложение полученных произведений. Совокупность этих операций обозначим символом L:

    LЯвляется ли линия интегральной кривой уравнения+ p1 (x) Является ли линия интегральной кривой уравнения+ pn – 1 (x) Является ли линия интегральной кривой уравнения+ pn (x)

    и будем называть его линейным дифференциальным оператором n-го порядка. В частности, линейный дифференциальный оператор второго порядка имеет вид

    LЯвляется ли линия интегральной кривой уравнения+ p1 (x) Является ли линия интегральной кривой уравнения+ p2 (x).

    Линейный дифференциальный оператор L обладает следующими основными свойствами (линейность оператора L):

    1) постоянный множитель можно выносить за знак оператора

    2) оператор от суммы двух функций равен сумме операторов от этих функций

    Из этих основных свойств оператора L следует, что

    LЯвляется ли линия интегральной кривой уравнения Является ли линия интегральной кривой уравненияCk yk Является ли линия интегральной кривой уравнения= Является ли линия интегральной кривой уравненияCk L(yk).

    т. е. оператор от линейной комбинации m функций равен линейной комбинации операторов от этих функций.

    Если функция y = y(x) является решением уравнения (10.4) L(y) = f (x) или (10.5) L(y) = 0 в некотором интервале (a, b), то значение оператора L от этой функции равно f (x) или нулю при всех x из (a, b):

    Функции cos x и sin x являются действительной и мнимой частями комплексной функции e ix . Так как они определены при всех значениях x, то и функция e ix определена при всех значениях x.

    Аналогично определяется показательная функция более общего вида e αx , где α = a + ib; причем a и b — действительные числа:

    Здесь действительная и мнимая части e ax cos bx, ie ax sin bx, а вместе с ними и функция e αx определены при всех значениях x.

    Введем понятие о производной комплексной функции действительной переменной. Предположим, что действительная и мнимая части комплексной функции (10.6) y(x) = u(x) + iv(x) (i = Является ли линия интегральной кривой уравнения) имеют производную k-го порядка. Тогда производная k-го порядка этой функции определяется так:

    Используя формулу (10.7) y (k) (x) = u (k) (x) + iv (k) (x) , можем вычислить значение оператора L от комплексной функции действительной независимой переменной. При этом получим

    т. е. значение оператора L от комплексной функции (10.6) y(x) = u(x) + iv(x) (i = Является ли линия интегральной кривой уравнения) является комплексной функцией действительной переменной x; причем действительной и мнимой частями этой функции являются значения оператора L от действительной и мнимой частей функции (10.6) y(x) = u(x) + iv(x) (i = Является ли линия интегральной кривой уравнения) .

    Дадим теперь понятие о комплексном решении однородного линейного уравнения L(y) = 0. Функция (10.6) y(x) = u(x) + iv(x) (i = Является ли линия интегральной кривой уравнения) называется комплексным решением уравнения L(y) = 0 в интервале (a, b), если она обращает это уравнение в тождество

    откуда вытекает, что

    Является ли линия интегральной кривой уравнения≠ const (a (11.2) y1, y2, …, ym (a линейно зависимы в интервале (a, b), то одна из них является линейной комбинацией остальных.

    α1, α2, …, αn (a (11.3) α1, α2, …, αn (a однородного линейного уравнения n-го порядка. С этой целью введем в рассмотрение определитель, составленный из данных частных решений и их производных до порядка n – 1 включительно:

    W(x) = Является ли линия интегральной кривой уравнения

    Этот определитель называется определителем Вронского решений y1, y2, …, yn.

    Теорема. Для того чтобы решения (11.3) α1, α2, …, αn (a были линейно независимы в (a, b), т. е. в интервале непрерывности коэффициентов уравнения L(y) = 0, необходимо и достаточно, чтобы W(x) не обращался в нуль ни в одной точке из (a, b).

    Значение определителя Вронского n решений однородного линейного уравнения L(y) = 0 тесно связано с самим уравнением, а именно: имеет место следующая формула Остроградского—Лиувилля:

    W(x) = W(x0) Является ли линия интегральной кривой уравнения. (11.4)

    Из формулы (11.4) W(x) = W(x0) Является ли линия интегральной кривой уравнениявидно, что определитель Вронского n решений уравнения L(y) = 0 обладает двумя замечательными свойствами:

    1. Если W(x) обращается в нуль в одной точке из интервала (a, b), то он равен нулю во всех точках этого интервала.
    2. Если W(x) не равен нулю в одной точке из интервала (a, b), то он отличен от нуля во всех точках этого интервала.

    Таким образом, для того, чтобы n решений (11.3) α1, α2, …, αn (a составляли фундаментальную систему решений уравнения L(y) = 0 в интервале (a, b), достаточно, чтобы их определитель Вронского был отличен от нуля в одной точке x0 ∈ (a, b).

    Построение общего решения однородного линейного уравнения по фундаментальной системе решений

    Знание фундаментальной системы решений уравнения L(y) = 0 дает возможность построить общее решение этого уравнения.

    a (n – 1) | (11.5) a (n – 1) | имеет место существование и единственность решения задачи Коши. Покажем, что функция (11.1) Является ли линия интегральной кривой уравненияCkyk удовлетворяет обоим условиям, указанным в определении общего решения уравнения n-го порядка.

    1. Система уравнений

    Является ли линия интегральной кривой уравнения(11.6)

    разрешима в области (11.5) a (n – 1) | относительно произвольных постоянных C1, C2, …, Cn так как определитель этой системы, будучи равен определителю Вронского для фундаментальной системы решений (11.3) α1, α2, …, αn (a , отличен от нуля.

    2. Функция (11.1) Является ли линия интегральной кривой уравненияCkyk по третьему свойству решений однородного линейного уравнения является решением уравнения L(y) = 0 при всех значениях произвольных постоянных C1, C2, …, Cn.

    Поэтому функция (11.1) Является ли линия интегральной кривой уравненияCkyk является общим решением уравнения L(y) = 0 в области (11.5) a (n – 1) | .

    Формула (11.1) Является ли линия интегральной кривой уравненияCkyk содержит в себе все решения уравнения L(y) = 0, ибо она дает возможность найти решение, удовлетворяющее начальным условиям

    y = y0, y ‘ = Является ли линия интегральной кривой уравнения, …, y (n – 1) = Является ли линия интегральной кривой уравненияпри x = x0 (11.7)

    где y0, Является ли линия интегральной кривой уравнения, …, Является ли линия интегральной кривой уравненияможно задавать произвольно, а x0 брать любым из интервала (a, b). Для этого достаточно подставить в систему (11.6) Является ли линия интегральной кривой уравнениявместо x, y, y ‘, …, y (n – 1) начальные данные x0, y0, Является ли линия интегральной кривой уравнения, …, Является ли линия интегральной кривой уравненияи разрешить полученную систему

    Является ли линия интегральной кривой уравнения(11.8)

    относительно произвольных постоянных C1, C2, …, Cn. Так как определитель системы (11.8) Является ли линия интегральной кривой уравненияесть W(x0) и он отличен от нуля вследствие того, что система решений (11.3) α1, α2, …, αn (a фундаментальная, то эта система имеет единственное решение

    C1 = Является ли линия интегральной кривой уравнения, C2 = Является ли линия интегральной кривой уравнения, …, Cn = Является ли линия интегральной кривой уравнения

    Подставляя найденные значения произвольных постоянных в общее решение (11.1) Является ли линия интегральной кривой уравненияCkyk , получим искомое решение:

    y = Является ли линия интегральной кривой уравнения Является ли линия интегральной кривой уравненияyk.

    Таким образом, фундаментальная система решений (11.3) α1, α2, …, αn (a является базисом n–мерного линейного пространства решений уравнения L(y) = 0.

    3.12. Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.

    Рассмотрим линейное уравнение n-го порядка

    где коэффициенты a1, a2, …, an суть действительные числа, а правая часть f (x) непрерывна в некотором интервале (a, b) (a ≥ – ∞, b ≤ + ∞).

    Так как интегрирование неоднородного линейного уравнения приводится к интегрированию соответствующего однородного уравнения, то рассмотрим сначала вопрос о построении общего решения однородного уравнения

    Для нахождения общего решения этого уравнения достаточно знать фундаментальную систему решений. Так как коэффициенты уравнения постоянны и, следовательно, заведомо непрерывны при всех значениях x, то согласно теореме Пикара и все решения уравнения (12.2) L(y) ≡ y (n) + a1 y (n – 1) + … + an – 1 y ‘ + an y = 0 определены при всех значениях x. Поэтому в дальнейшем мы не будем указывать ни интервал существования частных решений, ни область задания общего решения.

    Эйлер доказал, что для однородного линейного уравнения с постоянными коэффициентами всегда можно построить фундаментальную систему решений, состоящую из элементарных функций, и, следовательно, это уравнение всегда интегрируется в элементарных функциях. Ниже это утверждение доказывается для уравнения второго порядка и распространяется на уравнение n-го порядка.

    Рассмотрим уравнение второго порядка

    где p и q — действительные числа. Будем, следуя Эйлеру, искать частное решение уравнения (12.3) L(y) ≡ y » + py ‘ + qy = 0 в виде

    где λ — подлежащее определению число (действительное или комплексное). Согласно определению решения функция (12.4) y = e λx будет решением уравнения (12.3) L(y) ≡ y » + py ‘ + qy = 0 , если λ выбрано так, что функция (12.4) y = e λx обращает это уравнение в тождество

    Вычисляя L(e λx ), т. е. подставляя функцию (12.4) y = e λx в левую часть уравнения (12.3) L(y) ≡ y » + py ‘ + qy = 0 , и принимая во внимание, что

    Из формулы (12.7) L(e λx ) = (λ 2 + pλ + q)e λx следует, что интересующее нас тождество (12.5) L(e λx ) ≡ 0 будет выполняться тогда и только тогда, когда P(λ) = 0, т. е. когда λ является корнем уравнения

    Заметим, что характеристическое уравнение (12.8) λ 2 + pλ + q = 0 может быть составлено по данному дифференциальному уравнению (12.3) L(y) ≡ y » + py ‘ + qy = 0 заменой y », y ‘ и y на λ 2 , λ и 1, т. е. степень λ совпадает с порядком производной, если условиться считать, что производная нулевого порядка от функции есть сама функция y (0) ≡ y.

    Структура фундаментальной системы решений, а вместе с ней и общего решения уравнения (12.3) L(y) ≡ y » + py ‘ + qy = 0 зависит от вида корней характеристического уравнения (12.8) λ 2 + pλ + q = 0 .

    Интегрирование однородного линейного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами в случае различных корней характеристического уравнения

    Рассмотрим сначала случаи, когда эти корни различные и действительные. Обозначим их через λ1 и λ2. Тогда, подставляя в формулу (12.4) y = e λx вместо λ числа λ1 и λ2, получим два частных решения уравнения (12.3) L(y) ≡ y » + py ‘ + qy = 0

    y1 = Является ли линия интегральной кривой уравнения, y1 = Является ли линия интегральной кривой уравнения. (12.9)

    Эти решения, очевидно, линейно независимы, так как их отношение

    Является ли линия интегральной кривой уравнения= Является ли линия интегральной кривой уравнения

    не равно тождественно постоянной величине. В линейной независимости решений (12.9) y1 = Является ли линия интегральной кривой уравнения, y1 = Является ли линия интегральной кривой уравненияможно убедиться также при помощи определителя Вронского. Имеем

    W(x) = Является ли линия интегральной кривой уравнения= Является ли линия интегральной кривой уравнения(λ2λ1) ≠ 0.

    Следовательно, частные решения y1 = Является ли линия интегральной кривой уравнения, y1 = Является ли линия интегральной кривой уравненияобразуют фундаментальную систему решений. Тогда общим решением уравнения (12.3) L(y) ≡ y » + py ‘ + qy = 0 будет

    y = C1 Является ли линия интегральной кривой уравнения+ C2 Является ли линия интегральной кривой уравнения.

    Предположим теперь, что корни характеристического уравнения комплексные. Так как коэффициенты этого уравнения действительные, то эти комплексные корни являются сопряженными, так что они имеют вид

    Подставляя корень λ1 = a + bi в формулу (12.4) y = e λx , получим комплексное решение

    поэтому решение (12.10) y = e (a + bi)x можно записать так:

    Отделяя в комплексном решении (12.11) y = e ax cos ax + i e ax sin bx действительную и мнимую части, получим два действительных частных решения

    Эти решения, очевидно, независимы, так как

    Является ли линия интегральной кривой уравнения≠ const.

    Аналогично убеждаемся, что сопряженному корню λ2 = abi соответствуют действительные частные решения

    Решения (12.13) e ax cos ax, – e ax sin bx , очевидно, линейно зависимы с решениями (12.12) y1 = e ax cos ax, y2 = e ax sin bx .

    Таким образом, паре сопряженных комплексных корней λ1, 2 = a ± bi соответствуют два действительных линейно независимых частных решения (12.12) y1 = e ax cos ax, y2 = e ax sin bx .

    Решения (12.12) y1 = e ax cos ax, y2 = e ax sin bx образуют фундаментальную систему решений уравнения (12.3) L(y) ≡ y » + py ‘ + qy = 0 . Поэтому

    будет общим решением уравнения (12.3) L(y) ≡ y » + py ‘ + qy = 0 .

    Если корни λ1 и λ2 чисто мнимые, т. е. λ1 = ib и λ2 = – ib, то им соответствуют линейно независимые частные решения вида

    Эти решения образуют фундаментальную систему решений уравнения (12.3) L(y) ≡ y » + py ‘ + qy = 0 , а

    есть общее решение этого уравнения.

    Случай кратных корней характеристического уравнения

    Предположим теперь, что характеристическое уравнение (12.8) λ 2 + pλ + q = 0 имеет равные корни λ1 = λ2 = – Является ли линия интегральной кривой уравнения. Нам надо найти два линейно независимых частных решения. Одним частным решением, очевидно, будет

    y1 = Является ли линия интегральной кривой уравнения(12.15)

    y1 = Является ли линия интегральной кривой уравнения. (12.15, а)

    Убедимся непосредственной подстановкой в уравнение (12.3) L(y) ≡ y » + py ‘ + qy = 0 в том, что

    y2 = x Является ли линия интегральной кривой уравнения(12.16)

    есть второе частное решение уравнения (12.3) L(y) ≡ y » + py ‘ + qy = 0 , линейно независимое с решением (12.15) y1 = Является ли линия интегральной кривой уравнения:

    Является ли линия интегральной кривой уравнения= Является ли линия интегральной кривой уравненияЯвляется ли линия интегральной кривой уравненияxЯвляется ли линия интегральной кривой уравнения,

    Является ли линия интегральной кривой уравнения= – p Является ли линия интегральной кривой уравнения+ Является ли линия интегральной кривой уравненияxЯвляется ли линия интегральной кривой уравнения. (12.17)

    L(xЯвляется ли линия интегральной кривой уравнения) = – px Является ли линия интегральной кривой уравнения+ Является ли линия интегральной кривой уравненияx Является ли линия интегральной кривой уравнения+ px Является ли линия интегральной кривой уравненияЯвляется ли линия интегральной кривой уравненияx Является ли линия интегральной кривой уравнения+ qx Является ли линия интегральной кривой уравнения= Является ли линия интегральной кривой уравненияЯвляется ли линия интегральной кривой уравнения+ q Является ли линия интегральной кривой уравненияx Является ли линия интегральной кривой уравнения≡ 0 (12.18)

    так как Является ли линия интегральной кривой уравненияq = 0.

    Общим решением уравнения (12.3) L(y) ≡ y » + py ‘ + qy = 0 будет

    y = Является ли линия интегральной кривой уравнения(C1 + C2x).

    3.13. Неоднородное линейное дифференциальное уравнение, структура общего решения. Принцип наложения.

    Структура общего решения неоднородного линейного уравнения

    Покажем, что, как и в случае линейного неоднородного уравнения первого порядка, интегрирование неоднородного уравнения (13.1) L(y) ≡ y (n) + p1 (x) y (n – 1) + … + pn – 1 (x) y ‘ + pn (x) y = f (x) приводится к интегрированию однородного уравнения, если известно одно частное решение неоднородного уравнения (13.1) L(y) ≡ y (n) + p1 (x) y (n – 1) + … + pn – 1 (x) y ‘ + pn (x) y = f (x) .

    z = Является ли линия интегральной кривой уравненияCk zk (13.5)

    Подставляя это значение z в формулу (13.3) y = y1 + z , получим

    y = y1 + Является ли линия интегральной кривой уравненияCk zk (13.6)

    Эта формула содержит в себе все решения неоднородного линейного уравнения (13.1) L(y) ≡ y (n) + p1 (x) y (n – 1) + … + pn – 1 (x) y ‘ + pn (x) y = f (x) . Функция (13.6) y = y1 + Является ли линия интегральной кривой уравненияCk zk , как нетрудно убедиться, является общим решением уравнения (13.1) L(y) ≡ y (n) + p1 (x) y (n – 1) + … + pn – 1 (x) y ‘ + pn (x) y = f (x) .

    Таким образом мы доказали следующую теорему о структуре общего решения неоднородного линейного уравнения (13.1) L(y) ≡ y (n) + p1 (x) y (n – 1) + … + pn – 1 (x) y ‘ + pn (x) y = f (x) .

    Теорема. Общее решение неоднородного линейного уравнения (13.1) L(y) ≡ y (n) + p1 (x) y (n – 1) + … + pn – 1 (x) y ‘ + pn (x) y = f (x) равно сумме какого-нибудь частного решения этого уравнения и общего решения соответствующего однородного уравнения (13.4) L(z) = 0 .

    Общее решение (13.6) y = y1 + Является ли линия интегральной кривой уравненияCk zk дает возможность решить задачу Коши с любыми начальными данными x0, y0, Является ли линия интегральной кривой уравнения, …, Является ли линия интегральной кривой уравненияиз области (11.5) a (n – 1) | за счет выбора соответствующих значений произвольных постоянных.

    Задача нахождения частного решения неоднородного уравнения (13.1) L(y) ≡ y (n) + p1 (x) y (n – 1) + … + pn – 1 (x) y ‘ + pn (x) y = f (x) во многих случаях облегчается, если воспользоваться замечательным свойством частных решений, выражаемым следующей теоремой.

    и известно, что y1 есть частное решение уравнения

    а y2 — частное решение уравнения

    3.14. Подбор частных решений линейного неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами и со специальной правой частью.

    Случай для линейного неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами и с правой частью имеющей вид полинома от x степени m

    Для уравнения с постоянными коэффициентами в случае, когда правая часть имеет специальный вид, удается найти частное решение методом неопределенных коэффициентов (методом подбора частных решений).

    Рассмотрим этот метод для уравнения n-го порядка вида

    где a1, …, an — действительные числа, α — действительное число, Pm (x) — полином от x степени m, которая может быть равной нулю, так что этот полином может вырождаться в число, отличное от нуля.

    Метод неопределенных коэффициентов состоит в том, что задается вид частного решения с неопределенными коэффициентами, которые определяются подстановкой в данное уравнение. Вид частного решения уравнения зависит от того, совпадает ли число α с корнями характеристического уравнения:

      Если α не является корнем характеристического уравнения, то частное решение имеет вид

    где Qm (x) — полином степени m с коэффициентами, подлежащими определению.
    Если α является корнем характеристического уравнения кратности k, то

    т. е. частное решение приобретает множитель xk .

    Случай для линейного неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами и с правой частью имеющей вид:

    где α и b — действительные числа, P1 и P2 — полиномы от x, старшая степень которых равна m, так что один из них обязательно имеет степень m, а степень другого не превосходит m, и он может быть даже тождественно равен нулю.

    Составим комплексное число α + ib, где действительная часть α есть коэффициент показателя множителя e αx , а мнимая часть b — коэффициент аргумента bx функций cos bx и sin bx.

    где Q1 и Q2 — полиномы степени m с неопределенными коэффициентами; причем надо брать оба эти полинома даже в том случае, когда один из полиномов P1 и P2 тождественно равен нулю.
    Если число α + ib есть корень характеристического уравнения кратности k, то

    т. е. частное решение приобретает множитель xk .

    3.15. Метод вариации произвольных постоянных.

    Пусть дано неоднородное линейное уравнение второго порядка

    где коэффициенты p(x), q(x) и правая часть f (x) есть функции от x, непрерывные в некотором интервале (a, b).

    Рассмотрим наряду с уравнением (15.1) L(y) ≡ + p(x)y’ + q(x)y = f (x) соответствующее ему однородное уравнение

    W(x) = Является ли линия интегральной кривой уравнения≠ 0 (15.4)

    Тогда, как известно, общее решение уравнения (15.3) L(z1) ≡ 0, L(z2) ≡ 0 имеет вид

    Оно содержит производные второго порядка от искомых функций C1(x) и C2(x), так что на первый взгляд задача усложнилась: вместо уравнения второго порядка (15.1) L(y) ≡ + p(x)y’ + q(x)y = f (x) с одной неизвестной функцией y мы получили уравнение того же порядка, но уже с двумя неизвестными функциями — C1(x) и C2(x). Однако мы покажем, что искомые функции можно подчинить такому дополнительному условию, что в уравнение (15.6) L(C1(x)z1 + C2(x)z2) = f (x) не войдут производные второго порядка от этих функций.

    Дифференцируя обе части равенства (15.5) z = C1(x)z1 + C2(x)z2 , имеем y’ = C1(x) Является ли линия интегральной кривой уравнения+ C2(x) Является ли линия интегральной кривой уравнения+ Является ли линия интегральной кривой уравнения(x)z1 + Является ли линия интегральной кривой уравнения(x)z2.

    Чтобы при вычислении не появились производные второго порядка от C1(x) и C2(x), положим

    Является ли линия интегральной кривой уравнения(x)z1 + Является ли линия интегральной кривой уравнения(x)z2 = 0.

    Это и есть то дополнительное условие на искомые функции C1(x) и C2(x), о котором говорилось выше. При этом условии выражение для y’ примет вид

    y’ = C1(x) Является ли линия интегральной кривой уравнения+ C2(x)Является ли линия интегральной кривой уравнения. (15.7)

    Вычисляя теперь , получим

    = C1(x) Является ли линия интегральной кривой уравнения+ C2(x) Является ли линия интегральной кривой уравнения+ Является ли линия интегральной кривой уравнения(x) Является ли линия интегральной кривой уравнения+ Является ли линия интегральной кривой уравнения(x)Является ли линия интегральной кривой уравнения. (15.8)

    Подставим выражения для y, y’ и из формул (15.5) z = C1(x)z1 + C2(x)z2 , (15.7) y’ = C1(x) Является ли линия интегральной кривой уравнения+ C2(x) Является ли линия интегральной кривой уравненияи (15.8) = C1(x) Является ли линия интегральной кривой уравнения+ C2(x) Является ли линия интегральной кривой уравнения+ Является ли линия интегральной кривой уравнения(x) Является ли линия интегральной кривой уравнения+ Является ли линия интегральной кривой уравнения(x) Является ли линия интегральной кривой уравненияв уравнение (15.1) L(y) ≡ + p(x)y’ + q(x)y = f (x) . Для этого умножим левые и правые части этих формул соответственно на q, p и 1, сложим почленно и приравняем сумму правой части уравнения (15.1) L(y) ≡ + p(x)y’ + q(x)y = f (x) . Получим

    C1(x)L(z1) + C1(x)L(z2) + Является ли линия интегральной кривой уравнения(x) Является ли линия интегральной кривой уравнения+ Является ли линия интегральной кривой уравнения(x) Является ли линия интегральной кривой уравнения= f (x).

    Здесь в силу (15.3) L(z1) ≡ 0, L(z2) ≡ 0 первые два слагаемых равны нулю, поэтому

    Является ли линия интегральной кривой уравнения(x) Является ли линия интегральной кривой уравнения+ Является ли линия интегральной кривой уравнения(x) Является ли линия интегральной кривой уравнения= f (x).

    Таким образом мы получили систему дифференциальных уравнений

    Является ли линия интегральной кривой уравнения

    Эта система в силу (15.4) W(x) = Является ли линия интегральной кривой уравнения≠ 0 однозначно разрешима относительно Является ли линия интегральной кривой уравнения(x) и Является ли линия интегральной кривой уравнения(x). Решая ее, получим

    Является ли линия интегральной кривой уравнения(x) = φ1(x) и Является ли линия интегральной кривой уравнения(x) = φ2(x),

    где φ1(x) и φ2(x) суть вполне определенные функции от x. Их можно найти, например, по правилу Крамера. При этом, так как z1, z2, Является ли линия интегральной кривой уравненияи Является ли линия интегральной кривой уравнениянепрерывны в интервале (a, b), то в силу (15.4) W(x) = Является ли линия интегральной кривой уравнения≠ 0 функции φ1(x) и φ2(x) будут непрерывны в интервале (a, b). Поэтому

    C1(x) = Является ли линия интегральной кривой уравненияφ1(x)dx + C1, C2(x) = Является ли линия интегральной кривой уравненияφ2(x)dx + C2,

    y = z1Является ли линия интегральной кривой уравненияφ1(x)dx + z2Является ли линия интегральной кривой уравненияφ2(x)dx + C1z1 + C2z2. (15.9)

    Полагая здесь C1 = C2 = 0, получим частное решение

    y1 = z1Является ли линия интегральной кривой уравненияφ1(x)dx + z2Является ли линия интегральной кривой уравненияφ2(x)dx

    так что формулу (15.9) y = z1Является ли линия интегральной кривой уравненияφ1(x)dx + z2Является ли линия интегральной кривой уравненияφ2(x)dx + C1z1 + C2z2 можно записать в виде

    откуда в силу теоремы о структуре общего решения неоднородного линейного уравнения следует, что формула (15.9) y = z1Является ли линия интегральной кривой уравненияφ1(x)dx + z2Является ли линия интегральной кривой уравненияφ2(x)dx + C1z1 + C2z2 дает общее решение уравнения (15.1) L(y) ≡ + p(x)y’ + q(x)y = f (x) . Все решения, входящие в формулу (15.9) y = z1Является ли линия интегральной кривой уравненияφ1(x)dx + z2Является ли линия интегральной кривой уравненияφ2(x)dx + C1z1 + C2z2 , заведомо определены в интервале (a, b).

    Изложенный метод вариации произвольных постоянных легко распространяется на уравнение n-го порядка. Пусть дано неоднородное линейное уравнение n-го порядка

    где коэффициенты p1 (x), …, pn (x) и правая часть f (x) суть функции от x, непрерывные в некотором интервале (a, b).

    Рассмотрим соответствующее однородное уравнение.

    Пусть z1, z2, …, zn — фундаментальная система решений этого уравнения. Тогда

    z = Является ли линия интегральной кривой уравненияCkzk

    Решение данного неоднородного уравнения ищется в виде

    y = Является ли линия интегральной кривой уравненияCk(x)zk, (15.11)

    где функции Ck(x) определяются из системы уравнений

    Является ли линия интегральной кривой уравнения

    Решая эту систему относительно Является ли линия интегральной кривой уравнения(k = 1, 2, …, n), находим

    Является ли линия интегральной кривой уравнения= φk(x) (k = 1, 2, …, n),

    Ck(x) = Является ли линия интегральной кривой уравненияφk(x)dx + Ck (k = 1, 2, …, n).

    Подставляя найденные значения Ck(x) в формулу (15.11) y = Является ли линия интегральной кривой уравненияCk(x)zk , получаем

    y = Является ли линия интегральной кривой уравненияzkЯвляется ли линия интегральной кривой уравненияφk(x)dx + Является ли линия интегральной кривой уравненияCkzk. (15.12)

    Это и есть общее решение уравнения. Все решения, входящие в формулу (15.12) y = Является ли линия интегральной кривой уравненияzkЯвляется ли линия интегральной кривой уравненияφk(x)dx + Является ли линия интегральной кривой уравненияCkzk , заведомо определены в интервале (a, b).

    💡 Видео

    1. Что такое дифференциальное уравнение?Скачать

    1. Что такое дифференциальное уравнение?

    Составить дифференциальные уравнения семейств линийСкачать

    Составить дифференциальные уравнения семейств линий

    Особые решения дифференциальных уравнений, огибающая семейства кривых | Лекция 34 | МатанализСкачать

    Особые решения дифференциальных уравнений, огибающая семейства кривых | Лекция 34 | Матанализ

    Математика без Ху!ни. Кривые второго порядка. Эллипс.Скачать

    Математика без Ху!ни. Кривые второго порядка. Эллипс.

    Построить интегральную кривуюСкачать

    Построить интегральную кривую

    Общее и частное решение дифференциального уравненияСкачать

    Общее и частное решение дифференциального уравнения

    Уравнения кривых в пространствеСкачать

    Уравнения кривых в пространстве

    13. Как решить дифференциальное уравнение первого порядка?Скачать

    13. Как решить дифференциальное уравнение первого порядка?

    Задача о цепной линии | Дифференциальные уравненияСкачать

    Задача о цепной линии | Дифференциальные уравнения

    Дифференциальные уравнения, 1 урок, Дифференциальные уравнения. Основные понятияСкачать

    Дифференциальные уравнения, 1 урок, Дифференциальные уравнения. Основные понятия

    Олегу Тинькову запрещён вход на Мехмат МГУСкачать

    Олегу Тинькову запрещён вход на Мехмат МГУ

    Составить дифференциальное уравнение семейства кривыхСкачать

    Составить дифференциальное уравнение семейства кривых

    Поле направлений дифференциального уравнения первого порядкаСкачать

    Поле направлений дифференциального уравнения первого порядка

    Геометрический смысл дифференциального уравненияСкачать

    Геометрический смысл дифференциального уравнения

    ДУ Уравнения, не разрешенные относительно производнойСкачать

    ДУ Уравнения, не разрешенные относительно производной

    Основные понятия дифференциальных уравнений от bezbotvyСкачать

    Основные понятия дифференциальных уравнений от bezbotvy
    Поделиться или сохранить к себе: