Является ли гипербола интегральной кривой уравнения (5 видео)

Дифференциальные уравнения первого порядка

Основные понятия и определения

В математике и ее приложениях часто возникает задача отыскания неизвестной функции. Один из основных приемов решения такой задачи – составление уравнения относительно этой функции. Во многих случаях эти уравнения содержат не только саму искомую функцию, но и ее производные или дифференциалы. Такого рода уравнения называют дифференциальными уравнениями.

Пример.

Тело массы т падает вертикально вниз с некоторой высоты. Требуется установить зависимость скорости падения от времени, если на тело, кроме силы тяжести, действует сила сопротивления воздуха (тормозящая сила), пропорциональная величине скорости.

Пусть – скорость тела в момент времени t. На тело действуют две противоположно направленные силы: сила тяжести и сила трения , где – коэффициент трения. Таким образом, в направлении движения на тело действует сила

С другой стороны, в силу второго закона Ньютона , где а – ускорение, поэтому получаем

Используя равенство , имеем . Разделив обе части этого равенства на т, получим дифференциальное уравнение

Таким образом, исходная задача свелась к чисто математической задаче:

«Найти функцию , которая является решением уравнения , содержащего неизвестную функцию V и её производную ».

Определение 23.1 Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимые переменные, искомую функцию, и её производные (или дифференциалы) различных порядков. Порядок старшей производной неизвестной функции, входящей в данное дифференциальное уравнение, называется порядкомэтого уравнения.

Если неизвестная функция зависит от одной переменной, то дифференциальное уравнение называется обыкновенным. Если неизвестная функция есть функция нескольких переменных, и дифференциальное уравнение содержит частные производные этой функции, то его называют уравнением в частных производных.

Например, – обыкновенное дифференциальное уравнение третьего порядка относительно неизвестной функции , а – обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка. Причем последнее уравнение можно рассматривать как уравнение относительно функции , так и относительно функции . Уравнения

есть дифференциальные уравнения второго порядка в частных производных относительно функции .

В дальнейшем будем рассматривать только обыкновенные дифференциальные уравнения.

В общем виде обыкновенное дифференциальное уравнение п-го порядка можно представить в виде

где х – независимая переменная, у = – неизвестная функция, а F– заданная функция своих аргументов. Если это уравнение можно записать в виде

то говорят, что оно разрешено относительно старшей производной или записано в нормальной форме.

Определение 23.2 Решением дифференциального уравнения п-го порядка называется всякая функция , , определенная и непрерывная вместе со своими производными до п-го порядка включительно, которая, при подстановке её в дифференциальное уравнение вместо неизвестной, обращает это уравнение в тождество.

Например, функции и являются решениями уравнения

для любого х. Действительно, поскольку , то, подставляя и в уравнение, получим , . Аналогично имеем , .

Функции и есть решения уравнения

Операция отыскания всех решений дифференциального уравнения в некоторой области изменения независимой переменной называется интегрированием дифференциального уравнения.

График решения заданного дифференциального уравнения называется интегральной кривой этого уравнения.

Например, функция является решением дифференциального уравнения для всех . Действительно,

, ,

следовательно, . График этой функции – гипербола (рисунок 1.1) и каждая из ветвей этой гиперболы является интегральной кривой данного дифференциального уравнения.

Основная задача теории дифференциальных уравнений состоит в нахождении всех решений заданного уравнения и изучении их свойств.

Дифференциальные уравнения первого порядка

Дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид

Будем рассматривать только такие дифференциальные уравнения, которые можно записать в нормальной форме

. (1.1)

Часто используется также следующая форма записи дифференциального уравнения первого порядка:

. (1.2)

Указанные формы записи уравнений первого порядка тождественны в том смысле, что от одной из них с помощью тождественных преобразований и замены на (или наоборот) можно перейти к другой. Однако, если равенство (1.1) есть дифференциальное уравнение относительно функции , то равенство (1.2) можно рассматривать как уравнение относительно функции , так и как уравнение относительно функции .

Рассмотрим простейшее дифференциальное уравнение первого порядка

Нахождение решений этого дифференциального уравнения составляет знакомую нам основную задачу интегрального исчисления – отыскание первообразных функции . Значит, искомое решение имеет вид , где F(x) – одна из первообразных функции , а С – произвольная постоянная. Следовательно, рассматриваемое нами простейшее дифференциальное уравнение имеет бесчисленное множество решений. Естественно, возникаетвопрос: всякое ли дифференциальное уравнение в случае его разрешимости имеет бесконечное множество решений?

В то же время, при решении прикладных задач, приводящих к дифференциальным уравнениям относительно некоторой функции , по понятным соображениям требуется найти не все множество решений этого дифференциального уравнения, а только одно, удовлетворяющее определенным требованиям. В этом случае на искомую функцию накладывают дополнительные условия. Для дифференциального уравнения первого порядка эти условия чаще всего записывают в виде:

при , или , или . (1.3)

и называют начальными условиями, а величины у₀ и х₀ при этом называются начальными значениями.

Если дифференциальное уравнение описывает некоторый реальный процесс (физический, химический, природный, социальный и т.д.), то начальные условия (1.3), чаще всего, определяют начальное состояние этого процесса.

Определение 23.3Задача отыскания решения дифференциального уравнения , удовлетворяющего начальным условиям , называется задачей Коши.

Геометрически задача Коши состоит в отыскании той интегральной кривой, которая проходит через заданную точку .

В связи с этим, возникает еще один вопрос: для любых ли начальных условий задача Коши разрешима и сколько она имеет решений?

Справедлива следующая теорема существования и единственности решения задачи Коши для дифференциального уравнения первого порядка.

Если в дифференциальном уравнении функция и её частная производная непрерывны в некоторой области DÌR 2 , то для любой внутренней точки области D существует и притом единственное решение этого дифференциального уравнения, определенное в некоторой окрестности точки и удовлетворяющее начальному условию .

Геометрический смысл теоремы Коши состоит в следующем: через каждую точку области D, в которой выполнены условия теоремы, проходит единственная интегральная кривая заданного дифференциального уравнения.

Таким образом, теорема Коши отвечает на оба поставленных нами вопроса:

1. В области D непрерывности функции и ее производной дифференциальное уравнение имеет бесконечное множество решений, каждое из которых соответствует определенному начальному условию . Геометрически эти решения образуют семейство интегральных кривых.

2. Для любого начального условия , ÎD, задача Коши разрешима и имеет единственное решение.

Таким образом, по виду правой части уравнения и по начальным данным можно определить, существует ли искомое решение задачи Коши для этого дифференциального уравнения и единственно ли оно.

Пусть D – область плоскости Оху, в которой выполнены условия теоремы Коши.

Определение 23.4 Общим решением дифференциального уравнения в области D называется функция , зависящая от произвольной постоянной С,непрерывно дифференцируемая по переменной х и удовлетворяющая условиям:

1) является решением этого дифференциального уравнения для любого значения С;

2) для всякого начального условия , , существует константа С₀ такая, что решение удовлетворяет этому начальному условию.

Общее решение, записанное в неявном виде Ф(х, у, С) = 0, называют общим интегралом дифференциального уравнения.

Геометрически общее решение определяет в области D семейство интегральных кривых.

Определение 23.5 Частным решением дифференциального уравнения в области D называется функция , которая получается из общего решения данного дифференциального уравнения при конкретном значении константы С = С₀ .

Геометрически частное решение определяет одну кривую семейства интегральных кривых. Таким образом, задача Коши – это задача отыскания частного решения заданного дифференциального уравнения, удовлетворяющего заданным начальным условиям.

Если известно общее решение данного дифференциального уравнения, то чтобы найти его частное решение, удовлетворяющее начальному условию , используют следующий алгоритм:

1. В равенстве заменяют х на х₀, у на у₀.

3. Подставляют найденное значение в общее решение вместо постоянной С.

4. Полученная функция и есть искомое частное решение.

Заметим, что теорема Коши гарантирует единственность решения только для точек , в которых функция и ее производной непрерывны. Если в некоторой точке (х₁, у₁) хотя бы одно из этих условий нарушается, то через эту точку может проходить несколько, или не проходить ни одной интегральной кривой дифференциального уравнения . Рассмотрим, например, уравнение . Функция и её частная производная не определены в точках , т.е. в точках оси Оу. Общее решение этого дифференциального уравнения имеет вид . Геометрически уравнение определяет семейство парабол с вершинами в точке . Очевидно, через точку проходит бесконечное множество кривых этого семейства (интегральных кривых данного дифференциального уравнения), а через другие точки оси Оу не проходит ни одной интегральной кривой.

Определение 23.6Точки (х₀, у₀), в окрестности которых решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее условию не существует, или существует, но не единственно, называются особыми точками.

Очевидно, для уравнения особыми являются точки, в которых либо функция , либо ее производная имеют разрыв. Для рассмотренного выше уравнения особыми являются точки оси Оу.

Может случиться и так, что дифференциальное уравнение имеет решение, которое ни при каких значениях константы С из общего решения не получается.

Например, для уравнения при у ³ 0 общее решение имеет вид . Но этому дифференциальному уравнению удовлетворяет, очевидно, и функция , которая не получается из общего решения ни при каком значении постоянной С. Нетрудно убедиться в том, что прямая

в каждой своей точке касается одной из интегральных кривых . Кроме того, во всех точках этой прямой производная функции имеет разрыв второго рода, т.е. все точки

этой прямой – особые.

Решение дифференциального уравнения, график которого состоит сплошь из особых точек, называют особым решением, а соответствующую интегральную кривую называют особой кривой данного дифференциального уравнения. Особое решение не может быть получено из общего решения дифференциального уравнения ни при каком значении постоянной С.

В общем случае, решить дифференциальное уравнение – значит найти все его решения, т.е. общее решение (общий интеграл) и особые решения, если они существуют. В данном пособии мы будем рассматривать только вопрос нахождения общего решения дифференциальных уравнений.

1.3 Геометрическая и механическая интерпретация дифференциального уравнения первого порядка

Пусть – решение дифференциального уравнения . По определению, эта функция имеет производную в каждой точке некоторого интервала . Значит, график этой функции есть кривая, в каждой точке которой можно провести касательную. Угловой коэффициент k касательной (тангенс угла её наклона к оси Ох) в каждой точке кривой равен

, и значит, k = f(x, у).

Следовательно, дифференциальное уравнение устанавливает зависимость между координатами точки интегральной кривой и угловым коэффициентом касательной к интегральной кривой в этой точке.

Если в каждой точке М вычислить значение , то получим так называемое поле направлений касательных к интегральным кривым*) дифференциального уравнения.

Если для наглядности через каждую точку провести отрезок прямой (для определенности единичной длины) с серединой в этой точке и угловым коэффициентом, равным , то получим множество отрезков, каждый из которых является участком касательной к интегральной кривой, проходящей через точку . Совокупность этих отрезков дает геометрическую картину поля направлений заданного дифференциального уравнения и позволяет составить представление о поведении интегральных кривых в области D.

Таким образом, дифференциальное уравнение первого порядка определяет поле направлений, а каждое его решение определяет кривую в этом поле, направление касательной к которой в каждой точке совпадает с направлением поля в этой точке.

В связи с этим, задача интегрирования дифференциального уравнения , с геометрической точки зрения, может быть истолкована так: найти такую кривую, для которой касательная в каждой её точке имеет направление, совпадающее с направлением поля в этой точке.

Например, если для некоторого дифференциального уравнения поле направлений имеет вид, изображенный на рисунке 1.2, то, очевидно, интегральные кривые этого дифференциального уравнения есть концентрические окружности с центром в начале координат.

Значит, построив поле направлений заданного дифференциального уравнения первого порядка, можно построить интегральные кривые этого уравнения.

Рассмотрим метод построения интегральных кривых, называемый методом изоклин.

Определение 23.8. Изоклиной *) дифференциального уравнения называется линия, в каждой точке которой направление (наклон) поля заданного дифференциального уравнения одно и то же, т.е. выполняется соотношение .

Из определения следует, что уравнение изоклины, соответствующей значению , имеет вид f(x, у) = k. Например, для дифференциального уравнения у¢ = х 2 + у 2 уравнения изоклин имеют вид х 2 + у 2 = k , очевидно это есть окружности радиуса .

Смысл параметра в следующем: k = tga, где a – угол, образованный касательной к интегральной кривой с положительным направлением оси Ох.

Алгоритм метода изоклин включает следующие шаги:

1) Записать уравнения изоклин f(x, у) = k.

2) Построить изоклины, придавая k числовые значения из области значений функции .

3) Построить поле направлений. С этой целью для каждой изоклины найти угол a наклона поля направлений из условия и построить серию отрезков, пересекающих изоклину и проходящих под углом a к оси Ох.

4) В полученном поле направлений построить искомые интегральные кривые так, чтобы они пересекали каждую изоклину под тем углом a, который указан на этой изоклине.

Замечание 1.

При построении изоклин выделяют изоклины нулей ( ), на которых находятся точки экстремумов искомых интегральных кривых, и изоклины бесконечностей ( ), в точках которых интегральные кривые имеют вертикальные касательные.

Замечание 2.

Чтобы получить достаточно точное представление о поведении интегральных кривых, нужно построить как можно более «густое» семейство изоклин. Если требуется решить дифференциальное уравнение с начальными условиями , то строим одну интегральную кривую, проходящую через заданную точку .

Замечание 3.

Построить отрезок под углом a к оси Ох, для которого , очень легко на клетчатой бумаге, используя известный факт: в прямоугольном треугольнике АВС с острым углом a есть отношение противолежащего катета ВС к прилежащему катету АВ.

Поэтому, если построить треугольник с катетами т и п, где , параллельными осям координат, а катет длины п параллелен оси Ох, то гипотенуза этого треугольника будет наклонена к оси Ох под углом a.

Исходя из этого, поле направлений можно построить так. Взять любую расположенную вблизи изоклины вершину клетки, пусть это точка А (рисунок 1.3). Из этой точки переместиться по горизонтали на п клеточек вправо, если > 0, или влево, если 2 , проходящую через точку (0, 1).

Решение. Уравнение изоклин данного ДУ 1 + у 2 = k , или . Будем придавать k значения (k ³ 1) и на соответствующих изоклинах отмечать отрезки, наклоненные под углом a таким, что tga = k. Для этого составим таблицу:

Чтобы построить искомую интегральную кривую, проведем через точку (0; 1) линию так, чтобы она пересекала каждую изоклину с таким наклоном, который указан на этой изоклине (рисунок 1.4).

О методе изоклин построения интегральных кривых можно прочитать также в [1], гл. 13, § 3.

Рассмотрим задачу о движении материальной точки по прямой, считая, что скорость движения зависит от времени и положения точки на прямой. Введем на плоскости декартову прямоугольную систему координат tOy. Прямую, по которой движется точка, примем за ось Оу, другую ось координат будем считать осью времени t (рисунок 1.5). Тогда скорость движения v в общем случае есть функция времени t и положения y точки Р на оси Оу. Требуется найти закон движения этой точки, т.е. зависимость .

Учитывая физический смысл производной: , из равенства получаем уравнение

Это дифференциальное уравнение первого порядка называют дифференциальным уравнением движения.

Всякое решение этого уравнения представляет собой некоторый закон (уравнение) движения точки по оси Оу, его принято называть просто движением, определяемым данным дифференциальным уравнением. График функции –интегральная кривая – представляет собой график движения (не путайте с траекторией движения, которая есть отрезок оси Оу, рисунок 1.6)

Задача Коши: , , состоит в нахождении такого движения , при котором движущаяся точка в момент времени t₀ находится в положении у₀ на оси Оу.

Таким образом, с физической точки зрения, дифференциальное уравнение первого порядка есть дифференциальное уравнение движения точки по прямой; решение этого уравнения есть закон движения этой точки, интегральная кривая – график движения.

*) Если в каждой точке области Q задано значение некоторой величины, то говорят что в области Q задано поле этой величины.

Содержание

Кривые второго порядка — определение и построение с примерами решения
Эллипс
Гипербола
Кривые второго порядка на плоскости
Особые решения дифференциальных уравнений
📹 Видео

Видео:Лекция 31.2. Кривые второго порядка. Гипербола.Скачать

Кривые второго порядка — определение и построение с примерами решения

Содержание:

Геометрической фигурой или просто фигурой на плоскости называется множество точек. Задать фигуру — значит указать, из каких точек плоскости она состоит. Одним из важных способов задания фигуры на плоскости является ее задание при помощи уравнений с двумя неизвестными. Произвольное уравнение с двумя неизвестными х и у записывается в виде

Если точка М(а,Ь) принадлежит фигуре Ф, то координаты (а,Ь) являются решениями уравнения
если пара чисел (c,d) является решением уравнения F(x,y) = 0, то точка N(c,d) принадлежит фигуре Ф.

Это определение в более компактной записи выглядит следующим образом. Уравнение называется уравнением фигуры, если , то есть (а, b) — решение уравнения F(x,y) = 0.

Из определения уравнения фигуры следует, что фигура Ф состоит только из тех точек плоскости, координаты которых являются решениями уравнения , т.е. уравнение фигуры задает эту фигуру.

Возможны два вида задач:

дано уравнение и надо построить фигуру Ф, уравнением которой является ;
дана фигура Ф и надо найти уравнение этой фигуры.

Первая задача сводится к построению графика уравнения и решается, чаще всего, методами математического анализа.

Для решения второй задачи, как следует из определения уравнения фигуры, достаточно:

Задать фигуру геометрически, т.е. сформулировать условие, которому удовлетворяют только точки фигуры (довольно часто определение фигуры содержит такое условие);
Записать в координатах условие, сформулированное в первом пункте.

Видео:Видеоурок "Гипербола"Скачать

Эллипс

Эллипсом называется линия, состоящая из всех точек плоскости, для каждой из которых сумма расстояний до двух данных точек , есть величина постоянная (большая, чем расстояние между ).

Точки называются фокусами эллипса. Обозначив расстояние между фокусами через 2с, а сумму расстояний от точек эллипса до фокусов через 2а, имеем с b. В этом случае а называется большой полуосью, a b — малой.

Если а =Ь, то уравнение (7.3) можно переписать в виде:

(7.5)

Это уравнение окружности с центром в начале координат. Эллипс (3) можно получить из окружности (4) сжатием плоскости к оси Ох. Пусть на плоскости выбрана прямоугольная система координат Оху. Тогда преобразование, переводящее произвольную точку М(х,у) в точку координаты которой задаются формулами будет окружность (4) переводить в эллипс, заданный соотношением

Число называется эксцентриситетом эллипса. Эксцентриситет характеризует форму эллипса: чем ближе к нулю, тем больше эллипс похож на окружность; при увеличении становится более вытянутым

Фокальными радиусами точки М эллипса называются отрезки прямых, соединяющие эту точку с фокусами . Их длины и задаются формулами Прямые называются директрисами эллипса. Директриса называется левой, а — правой. Так как для эллипса и, следовательно, левая директриса располагается левее левой вершины эллипса, а правая — правее правой вершины.

Директрисы обладают следующим свойством: отношение расстояния г любой точки эллипса от фокуса к ее расстоянию d до соответствующей директрисы есть величина постоянная, равная эксцентриситету, т.е.

Видео:Математика без Ху!ни. Кривые второго порядка. Эллипс.Скачать

Гипербола

Гиперболой называется линия, состоящая из всех точек плоскости, модуль разности расстояний от которых до двух данных точек есть величина постоянная (не равная нулю и меньшая, чем расстояние между ).

Точки называются фокусами гиперболы. Пусть по-прежнему расстояние между фокусами равно 2с. Модуль расстояний от точек гиперболы до фокусов обозначим через а. По условию, а 0) (рис. 9.7). Ось абсцисс проведём через фокус F перпендикулярно директрисе. Начало координат расположим посередине между фокусом и директрисой. Пусть А — произвольная точка плоскости с координатами (х, у) и пусть . Тогда точка А будет лежать на параболе, если r=d, где d- расстояние от точки А до директрисы. Фокус F имеет координаты .

Тогда А расстояние Подставив в формулу r=d, будем иметь. Возведя обе части равенства в квадрат, получим

или

(9.4.1)

Уравнение (9.4.1)- каноническое уравнение параболы. Уравнения также определяют параболы.

Легко показать, что уравнение , определяет параболу, ось симметрии которой перпендикулярна оси абсцисс; эта парабола будет восходящей, если а > 0 и нисходящей, если а О. Для этого выделим полный квадрат:

и сделаем параллельный перенос по формулам

В новых координатах преобразуемое уравнение примет вид: где р — положительное число, определяется равенством .

Пример:

Пусть заданы точка F и прямая у =-1 (рис. 9.8). Множество точек Р(х, y) для которых расстояние |PF| равно расстоянию, называется параболой. Прямая у = -1 называется директрисой параболы, а точка F — фокусом параболы. Чтобы выяснить, как располагаются точки Р, удовлетворяющие условию, запишем это равенство с помощью координат: , или после упрощения . Это уравнение геометрического места точек, образующих параболу (рис. 9.8).

Видео:Аналитическая геометрия: Эллипс, Парабола, Гипербола. Высшая математикаСкачать

Кривые второго порядка на плоскости

Кривой второго порядка называется фигура на плоскости, задаваемая в прямоугольной системе координат уравнением второй степени относительно переменных х и у:

где коэффициенты А, В и С не равны одновременно нулю

Любая кривая второго порядка на плоскости принадлежит к одному из типов: эллипс, гипербола, парабола, две пересекающиеся прямые, 2 параллельные прямые, прямая, точка, пустое множество.

Кривая второго порядка принадлежит эллиптическому типу, если коэффициент В равен нулю: В=0, а коэффициенты А и С имеют одинаковые знаки: АС>0.

Кривая второго порядка принадлежит гиперболическому типу, если коэффициент В равен нулю: В=0, а коэффициенты А и С имеют противоположные знаки: АС 2с. Точка М(х,у) принадлежит эллипсу тогда и только тогда, когда ее координаты удовлетворяют уравнению

которое называют каноническим уравнением эллипса.

Число а называют большей полуосью эллипса, число — мень-

шей полуосью эллипса, 2а и 2b — соответственно большей и меньшей осями эллипса. Точки называют вершинами эллипса, а — его фокусами (рис. 12).

Координатные оси являются осями симметрии эллипса, а начало координат — его центром симметрии. Центр симметрии эллипса называется центром эллипса.

Замечание. Каноническое уравнение эллипса можно рассматривать и в случае b>а. Оно определяет эллипс с большей полуосью b, фокусы которого лежат на оси Оу.

В случае а=b каноническое уравнение эллипса принимает вид и определяет окружность радиуса а с центром в начале координат.

Эксцентриситетом эллипса называется отношение фокусного расстояния к длине большей оси.

Так, в случае а>b эксцентриситет эллипса выражается формулой:

Эксцентриситет изменяется от нуля до единицы и характеризует форму эллипса. Для окружности Чем больше эксцентриситет, тем более вытянут эллипс.

Пример:

Показать, что уравнение

является уравнением эллипса. Найти его центр, полуоси, вершины, фокусы и эксцентриситет. Построить кривую.

Решение:

Дополняя члены, содержащие х и у соответственно, до полных квадратов, приведем данное уравнение к каноническому виду:

— каноническое уравнение эллипса с центром в точке большей полуосью а=3 и меньшей полуосью

Найдем эксцентриситет эллипса:

Для вычисления вершин и фокусов удобно пользовать новой прямоугольной системой координат, начало которой находится в точке а оси параллельны соответственно осям Ох, Оу и имеют те же направления (осуществили преобразование параллельного переноса). Тогда новые координаты точки будут равны ее старым координатам минус старые координаты нового начала, т.е.

В новой системе координат координаты вершин и фокусов гиперболы будут следующими:

Переходя к старым координатам, получим:

Построим график эллипса.

Задача решена.

Гиперболой называется множество всех точек плоскости, для которых модуль разности расстояний до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, меньшая расстояния между фокусами.

Так же, как и для эллипса, геометрическое свойство точек гиперболы выразим аналитически. Расстояние между фокусами назовем фокусным расстоянием и обозначим через 2с. Постоянную величину обозначим через 2а: 2а

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Видео:Эллипс, парабола и гипербола. Конические сечения | Ботай со мной #055 | Борис Трушин |Скачать

Особые решения дифференциальных уравнений

Решение дифференциального уравнения

называется особым , если в каждой его точке нарушается свойство единственности, т. е. если через каждую его точку кроме этого решения проходит и другое решение, имеющее в точке ту же касательную, что и решение , но не совпадающее с ним в сколь угодно малой окрестности . График особого решения будем называть особой интегральной кривой уравнения (1). Если функция и ее частные производные и непрерывны по всем аргументам , то любое особое решение уравнения (1) удовлетворяет также уравнению

Значит, чтобы отыскать особые решения (1), надо исключить из уравнений (1) и (2).

Полученное после исключения из (1) и (2) уравнение

Часто бывает так, что распадается на несколько ветвей . Тогда нужно установить, является ли каждая в отдельности ветвь решением уравнения (1), и если является, то будет ли оно особым решением, т.е. нарушается ли единственность в каждой его точке.

Пример 1. Найти особые решения дифференциального уравнения

а) Находим p-дискриминантную кривую. В данном случае и условие (2) принимает вид , отсюда . Подставляя это выражение для в уравнение (4), получаем

Кривая (5) есть p-дискриминантная кривая уравнения (4): она состоит из одной ветви — параболы.

б) Проверяем, является ли p-дискриминантная кривая решением заданного уравнения. Подставляя (5) и ее производную в (4), убеждаемся, что есть решение уравнения (4).

в) Проверяем, является ли решение (S) особым решением уравнения (4). Для этого найдем общее решение уравнения (4). Перепишем (4) в виде . Это уравнение Клеро. Его общее решение

Выпишем условие касания двух кривых и в точке с абсциссой :

Первое равенство выражает совпадение ординат кривых, а второе выражает совпадение угловых коэффициентов касательных к этим кривым в точке с абсциссой .

Полагая , находим, что условия (7) принимают вид

Подставляя в первое из равенств (8), получаем или т.е. при первое равенство выполняется тождественно, так как есть абсцисса произвольной точки.

Итак, в каждой точке кривой (5) ее касается некоторая другая кривая семейства (6), а именно та, для которой . Значит, есть особое решение уравнения (4).

г) Геометрическое истолкование.
Общее решение уравнения (4) есть семейство прямых (6), а особое решение (5) является огибающей этого семейства прямых (рис. 19).

Огибающей семейства кривых

называется такая кривая, которая в каждой своей точке касается некоторой кривой семейства (9) и каждого отрезка которой касается бесконечное множество кривых из (9). Будем говорить, что кривые и касаются в точке , если они имеют в этой точке общую касательную.

Если (9) есть общий интеграл уравнения (1), то огибающая семейства кривых (9), если она существует, будет особой интегральной кривой этого уравнения. В самом деле, в точках огибающей значения совпадают со значениями для интегральной кривой, касающейся огибающей в точке , и, следовательно, в каждой точке огибающей значения удовлетворяют уравнению , т.е. огибающая является интегральной кривой.

Далее, в каждой точке огибающей нарушена единственность, так как через точки огибающей по одному направлению проходит, по крайней мере, две интегральные кривые: сама огибающая и касающаяся ее в рассматриваемой точке интегральная кривая семейства (9). Следовательно, огибающая является особой интегральной кривой.

Из курса математического анализа известно, что огибающая входит в состав C-дискриминантной кривой (коротко СДК), определяемой системой уравнений

Некоторая ветвь СДК заведомо будет огибающей, если на ней:

1) существуют ограниченные по модулю частные производные

где и — постоянные;

Замечание. Условия 1) и 2) лишь достаточны, а потому ветви СДК, на которых нарушено одно из этих условий, тоже могут быть огибающими.

Пример 2. Найти особые решения дифференциального уравнения

а) Находим C-дискриминантную кривую. Имеем , так что отсюда . Подставляя это значение в (14), получаем откуда

Это и есть C-дискриминантная кривая: она состоит из двух прямых и .

б) Непосредственной подстановкой убеждаемся, что каждая из ветвей СДК является решением уравнения (13).

в) Докажем, что каждое из решений (15) является особым решением уравнения (13). В самом деле, так как и , то на каждой ветви СДК имеем (предполагаем, что решение уравнения (13) рассматривается на отрезке

где — область допустимых значений .

Заметим, что на любой из ветвей СДК в области 0″ png;base64,iVBORw0KGgoAAAANSUhEUgAAADAAAAAQCAMAAABncAyDAAAAM1BMVEVHcEwAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAADbQS4qAAAAEHRSTlMAMRDQiiHowAFBoWFRoLFx3eb7ogAAAMZJREFUKM+1UksSwyAIVUHAX+T+p602mTYkdqZd1AUL5fk+4NzfjiQvv/QXwkz++/6kyblOYfXmMd4vNxglaF//xu0KEeJZdVYXkDFUbhaSDCDqDtDhO3ASgOypGJbMyVh4A3A8bBpQq1URM1exAEcTUHaF4R5ZzFQXDE+FuDIfET4AiqZFe+PykiQHYIbb8rAgTsAM3lvTjvc5DCVeORANFjSxbhfOqn6ux5wPICRojOf2fJ81Uscj+bmEUc5q4jKCXucmPQAaYQaRCPmIUQAAAABJRU5ErkJggg==» />, так дх что выполняется одно из условий (12). Значит, условия (11) и (12) выполняются, а, следовательно, прямые (15) являются огибающими парабол (14).

Итак, установлено, что каждое из решений (15) есть особое решение.

В вопросах отыскания особых решений оказываются полезными следующие символические схемы:

Схема (16) означает, что уравнение p-дискриминантной кривой может распадаться на три уравнения:

1) — уравнение огибающей;

2) — уравнение геометрического места точек заострения (возврата);

3) — уравнение геометрического места точек прикосновения интегральных линий, причем множитель входит в в квадрате.

Схема (17) означает, что уравнение C-дискриминантной кривой может распадаться на три уравнения:

1) — уравнение огибающей;

2) — уравнение геометрического места узловых точек, причем множитель входит в в квадрате;

3) — уравнение геометрического места точек заострения, причем множитель входит в в кубе.

Не обязательно, чтобы для каждой задачи все составные части и фигурировали в соотношениях (16) и (17).

Из всех геометрических мест только огибающая есть особое решение дифференциального уравнения. Отыскание огибающей упрощается тем, что в схемы (16) и (17) она входит в первой степени.

В отношении других геометрических мест (точек заострения, узловых точек и точек прикосновения) требуется дополнительный анализ в каждом конкретном случае. То обстоятельство, что некоторый множитель входит в в квадрате (и совсем не входит в ) указывает на то, что здесь может быть геометрическое место точек прикосновения интегральных линий. Аналогично, если некоторый множитель входит в в квадрате (и совсем не входит в ), то здесь может быть геометрическое место узловых точек. Наконец, если множитель входит в в первой степени, а в — в третьей, то возможно наличие геометрического места точек заострения.

Пример 3. Найти особое решение дифференциального уравнения

Решение. Особое решение, если оно существует, определяется системой

где второе уравнение (19) получено из (18) дифференцированием его по . Исключив , получим p-дискриминантную кривую , которая распадается на две ветви

Подстановкой убеждаемся, что обе функции являются решениями уравнения (18).

Чтобы установить, являются ли решения (20) и (21) особыми или нет, найдем огибающую семейства

являющегося общим интегралом для (18).

Выпишем систему для определения C-дискриминантной кривой откуда, исключая , получаем , или и , что совпадает с (20) и (21). В силу того, что на линиях (20) и (21) условия (11) и (12) выполняются, заключаем, что линии и являются огибающими, а значит (20) и (21) есть особые решения заданного уравнения.

Интегральные кривые (22) суть параболы , а линии — огибающие этого семейства парабол (рис. 20).

Пример 4. Найти особые решения дифференциального уравнения

Решение. Дифференцируем (23) по

Исключая из (23) и (24), получим . Дискриминантная кривая есть ось ординат. Она не является интегральной кривой уравнения (23), но согласно схеме (16) может быть геометрическим местом точек прикосновения интегральных кривых.

Решениями уравнения (23) являются параболы и те гладкие кривые, которые можно составить из их частей (рис. 21).

Из чертежа видно, что прямая действительно есть геометрическое место точек прикосновения интегральных кривых уравнения (23).

Пример 5. Найти особые решения дифференциального уравнения

Решение. Найдем . Исключая из системы уравнений получаем

Преобразовав уравнение (25) к виду , находим его общий интеграл .

Найдем . Исключая из системы уравнений будем иметь

Итак, из (26) и (27) имеем

Множитель входит в p-дискриминант и в C-дискриминант в первой степени и дает огибающую, т. е. функция есть особое решение дифференциального уравнения (25). Непосредственной подстановкой убеждаемся, что действительно удовлетворяет уравнению.

Уравнение , входящее во второй степени в p-дискриминант и совсем не входящее в C-дискриминант, дает место точек прикосновения .

Наконец, уравнение , входящее в C-дискриминант во второй степени и совсем не входящее в p-дискриминант, дает место узловых точек (рис.22).

Пример 6. Найти особые решения дифференциального уравнения

а) Ищем p-дискриминантную кривую. Дифференцируя (28) по , получаем , откуда

Подставляя (29) в (28), найдем уравнение :

б) Ищем общий интеграл уравнения (28). Обозначив у’ через р, перепишем (28) в виде

Дифференцируя обе части (28) по и учитывая, что , будем иметь

Приравнивая нулю первый множитель , получаем (29), а соотношение дает

Исключая параметр из уравнений (31) и (32), найдем общее решение уравнения (28):

в) Находим C-дискриминантную кривую. Дифференцируя (33) по C, будем иметь

Подставляя (34) в (33), получаем уравнение .

Согласно символическим схемам (16) и (17) заключаем, что есть огибающая семейства полукубических парабол (33), а есть геометрическое место точек заострения (множитель входит в уравнение в кубе) (рис. 23). Подстановкой в уравнение (28) убеждаемся, что есть решение, а решением не является (при уравнение (28) не имеет смысла). Таким образом, решение есть особое (огибающая семейства интегральных линий).