X2 7x 10 0 решить уравнение по теореме виета (7 видео)

x²+7x+10=0 (x в квадрате плюс 7 умножить на x плюс 10 равно 0) решить через дискриминант и по теореме Виета, найти корни.

Содержание

Калькулятор квадратных уравнений
Введите данные:
Округление:
Уравнение:
Дискриминант:
Корни квадратного уравнения:
Решение по теореме Виета
Преобразование в приведённый вид
Разложение на множители
График функции y = x²+7x+10
24. Теорема Виета
Упражнения
Решение задач по математике онлайн
Калькулятор онлайн. Решение квадратного уравнения.
Немного теории.
Квадратное уравнение и его корни. Неполные квадратные уравнения
Формула корней квадратного уравнения
Теорема Виета
📺 Видео

Видео:Теорема Виета за 30 сек🦾Скачать

Калькулятор квадратных уравнений

Введите данные:

Округление:

Уравнение:

(a * x^ + b * x + c) = (1 * x^ + 7 * x + 10) = 0

Дискриминант:

(D = b^ — 4 * a * c) = (7^ — 4 * 10) = (49 — 40) = 9

Корни квадратного уравнения:

Видео:5 способов решения квадратного уравнения ➜ Как решать квадратные уравнения?Скачать

Решение по теореме Виета

Преобразование в приведённый вид

Наше уравнение уже является приведенным так как коэффициент a = 1

Итого, имеем приведенное уравнение:
(x^ + 7 * x + 10 = 0)

Теорема Виета выглядит следующим образом:
(x_*x_=c)
(x_+x_=-b)

Мы получаем следующую систему уравнений:
(x_*x_=10)
(x_+x_=-7)

Методом подбора получаем:
(x_ = -2)
(x_ = -5)

Видео:ТЕОРЕМА ВИЕТА ЗА 2 МИНУТЫСкачать

Разложение на множители

Разложение происходит по формуле:
(a*(x-x_)*(x-x_) = 0)

То есть у нас получается:
(1*(x+2)*(x+5) = 0)

Видео:Теорема Виета. 8 класс.Скачать

График функции y = x²+7x+10

Интервалы задаются через точку с запятой (; ). При задании интервалов и шага можно использовать математические выражения (прим. -4pi; (5/6)pi) или слово «авто» или оставить поля пустыми (эквивалентно «авто»)

Видео:САМЫЙ ПРОСТОЙ СПОСОБ ПОНЯТЬ ТЕОРЕМУ ВИЕТА #shorts #математика #егэ #огэ #теорема #теоремавиетаСкачать

24. Теорема Виета

Приведённое квадратное уравнение х 2 — 7х + 10 = 0 имеет корни 2 и 5. Сумма корней равна 7, а произведение равно 10. Мы видим, что сумма корней равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену. Докажем, что таким свойством обладает любое приведённое квадратное уравнение, имеющее корни.

Сумма корней приведённого квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

Рассмотрим приведённое квадратное уравнение. Обозначим второй коэффициент буквой р, а свободный член буквой q:

Дискриминант этого уравнения D равен р 2 — 4q.

Пусть D > 0. Тогда это уравнение имеет два корня:

Найдём сумму и произведение корней:

При D = 0 квадратное уравнение х 2 + рх + q = 0 имеет один корень. Если условиться считать, что при D = 0 квадратное уравнение имеет два равных корня, то теорема будет верна и в этом случае. Это следует из того, что при D = 0 корни уравнения также можно вычислять по формуле

Доказанная теорема называется теоремой Виета по имени знаменитого французского математика Франсуа Виета.

Используя теорему Виета, можно выразить сумму и произведение корней произвольного квадратного уравнения через его коэффициенты.

Пусть квадратное уравнение ах 2 + bх + с = 0 имеет корни x₁ и х₂. Равносильное ему приведённое квадратное уравнение имеет вид

По теореме Виета

Справедливо утверждение, обратное теореме Виета:

Если числа m и n таковы, что их сумма равна -р, а произведение равно q, то эти числа являются корнями уравнения х 2 + рх + q = 0.

По условию m + n = — р, а mn = q. Значит, уравнение х 2 + рх + q = 0 можно записать в виде

х 2 — (m + n) х + mn = 0.

Подставив вместо х число m, получим:

m 2 — (m + n)m + mn = m 2 — m 2 — mn + mn = 0.

Значит, число m является корнем уравнения.

Аналогично можно показать, что число n также является корнем уравнения.

Рассмотрим примеры применения теоремы Виета и теоремы, обратной теореме Виета.

Пример 1. Найдём сумму и произведение корней уравнения

Решение: Дискриминант D = 25 — 4 • 3 • 2 = 1 — положительное число. Значит, уравнение имеет корни. Эти же корни имеет приведённое квадратное уравнение . Значит, сумма корней уравнения Зх 2 — 5х + 2 = 0 равна , а произведение равно .

По теореме, обратной теореме Виета, можно проверять, правильно ли найдены корни квадратного уравнения.

Пример 2. Решим уравнение х 2 + Зх — 40 = 0 и выполним проверку по теореме, обратной теореме Виета.

Решение: Найдём дискриминант:

D = З 2 + 4 • 40 = 169.

По формуле корней квадратного уравнения получаем

Покажем, что корни уравнения найдены правильно. В уравнении х 2 + Зх — 40 = 0 коэффициент р равен 3, а свободный член q равен -40. Сумма найденных чисел -8 и 5 равна -3, а их произведение равно -40. Значит, по теореме, обратной теореме Виета, эти числа являются корнями уравнения х 2 + Зх — 40 = 0.

Пример 3. Найдём подбором корни уравнения

Решение: Дискриминант D = 1 — 4 • 1 • (-12) — положительное число. Пусть x₁ и х₂ — корни уравнения. Тогда

Если х₁ и х₂ — целые числа, то они являются делителями числа -12. Учитывая также, что сумма этих чисел равна 1, нетрудно догадаться, что x₁ = -3 и x₂ = 4.

Упражнения

Найдите сумму и произведение корней уравнения:

Решите уравнение и выполните проверку по теореме, обратной теореме Виета:

Найдите корни уравнения и выполните проверку по теореме, обратной теореме Виета:

Найдите подбором корни уравнения:

В уравнении x 2 + рх — 35 = 0 один из корней равен 7. Найдите другой корень и коэффициент р.

Один из корней уравнения x 2 — 13х + q = 0 равен 12,5. Найдите другой корень и коэффициент q.

Один из корней уравнения x 2 + bх + 24 = 0 равен 8. Найдите другой корень и коэффициент b.

Один из корней уравнения 10x 2 — ЗЗх + с = 0 равен 5,3. Найдите другой корень и коэффициент с.

Разность корней квадратного уравнения x 2 — 12х + q = 0 равна 2. Найдите q.

Разность корней квадратного уравнения x 2 + х + с = 0 равна 6. Найдите с.

Разность квадратов корней квадратного уравнения x 2 + 2x + q = 0 равна 12. Найдите q.

Известно, что сумма квадратов корней уравнения x 2 — Зx + а = 0 равна 65. Найдите а.

(Для работы в парах.) Не решая уравнения, выясните, имеет ли оно корни, и если имеет, то определите их знаки:

1) Сформулируйте теорему, на основании которой можно определить знаки корней.
2) Распределите, кто выполняет задания а), в), д), а кто — задания б), г), е), и выполните их.
3) Проверьте друг у друга, правильно ли выполнены задания. Исправьте ошибки, если они допущены.
Докажите, что уравнение не может иметь корни одинаковых знаков:

а) Зх 2 + 113х — 7 = 0;
б) 5х 2 — 291x — 16 = 0.
(Для работы в парах.) Уравнение х 2 + 5х + m = 0 имеет корни x₁ и х₂. Найдите, при каком значении m:

а) сумма квадратов корней равна 35;
б) сумма кубов корней равна 40.

1) Обсудите подходы к выполнению задания а) и задания б).
2) Распределите, кто выполняет задание а), а кто — задание б), и выполните их.
3) Проверьте друг у друга правильность полученных ответов. Исправьте замеченные ошибки.
При каких значениях х верно равенство:

Катеты прямоугольного треугольника относятся как 8 : 15, а гипотенуза равна 6,8 м. Найдите площадь треугольника.

Отношение гипотенузы прямоугольного треугольника к одному из катетов равно

X2 7x 10 0 решить уравнение по теореме виета

, другой катет равен 15 см. Найдите периметр треугольника.

Найдите стороны прямоугольника, если известно, что одна из них на 14 см больше другой, а диагональ прямоугольника равна 34 см.

Видео:Решение квадратных уравнений. Дискриминант. 8 класс.Скачать

Решение задач по математике онлайн

//mailru,yandex,google,vkontakte,odnoklassniki,instagram,wargaming,facebook,twitter,liveid,steam,soundcloud,lastfm, // echo( ‘

Видео:ТЕОРЕМА ВИЕТА // Как решать Квадратные Уравнения по АЛГЕБРЕ 8 классСкачать

Калькулятор онлайн.
Решение квадратного уравнения.

С помощью этой математической программы вы можете решить квадратное уравнение.

Программа не только даёт ответ задачи, но и отображает процесс решения двумя способами:
— с помощью дискриминанта
— с помощью теоремы Виета (если возможно).

Причём, ответ выводится точный, а не приближенный.
Например, для уравнения (81x^2-16x-1=0) ответ выводится в такой форме:

Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.

Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.

Если вы не знакомы с правилами ввода квадратного многочлена, рекомендуем с ними ознакомиться.

В качестве переменной может выступать любая латинсая буква.
Например: ( x, y, z, a, b, c, o, p, q ) и т.д.

Числа можно вводить целые или дробные.
Причём, дробные числа можно вводить не только в виде десятичной, но и в виде обыкновенной дроби.

Правила ввода десятичных дробей.
В десятичных дробях дробная часть от целой может отделяться как точкой так и запятой.
Например, можно вводить десятичные дроби так: 2.5x — 3,5x^2

Правила ввода обыкновенных дробей.
В качестве числителя, знаменателя и целой части дроби может выступать только целое число.

Знаменатель не может быть отрицательным.

При вводе числовой дроби числитель отделяется от знаменателя знаком деления: /
Целая часть отделяется от дроби знаком амперсанд: &
Ввод: 3&1/3 — 5&6/5z +1/7z^2
Результат: ( 3frac — 5frac z + fracz^2 )

При вводе выражения можно использовать скобки. В этом случае при решении квадратного уравнения введённое выражение сначала упрощается.
Например: 1/2(y-1)(y+1)-(5y-10&1/2)

Видео:Как решать любое квадратное уравнение Полное Неполное квадр ур x^2+2x-3=0 5x^2-2x=0 2x^2-2=0 3x^2=0Скачать

Немного теории.

Видео:Алгебра 8. Урок 10 - Теорема Виета и её применение в задачахСкачать

Квадратное уравнение и его корни. Неполные квадратные уравнения

Каждое из уравнений
( -x^2+6x+14=0, quad 8x^2-7x=0, quad x^2-frac=0 )
имеет вид
( ax^2+bx+c=0, )
где x — переменная, a, b и c — числа.
В первом уравнении a = -1, b = 6 и c = 1,4, во втором a = 8, b = —7 и c = 0, в третьем a = 1, b = 0 и c = 4/9. Такие уравнения называют квадратными уравнениями.

Определение.
Квадратным уравнением называется уравнение вида ax 2 +bx+c=0, где x — переменная, a, b и c — некоторые числа, причём ( a neq 0 ).

Числа a, b и c — коэффициенты квадратного уравнения. Число a называют первым коэффициентом, число b — вторым коэффициентом и число c — свободным членом.

В каждом из уравнений вида ax 2 +bx+c=0, где ( a neq 0 ), наибольшая степень переменной x — квадрат. Отсюда и название: квадратное уравнение.

Заметим, что квадратное уравнение называют ещё уравнением второй степени, так как его левая часть есть многочлен второй степени.

Квадратное уравнение, в котором коэффициент при x 2 равен 1, называют приведённым квадратным уравнением. Например, приведёнными квадратными уравнениями являются уравнения
( x^2-11x+30=0, quad x^2-6x=0, quad x^2-8=0 )

Если в квадратном уравнении ax 2 +bx+c=0 хотя бы один из коэффициентов b или c равен нулю, то такое уравнение называют неполным квадратным уравнением. Так, уравнения -2x 2 +7=0, 3x 2 -10x=0, -4x 2 =0 — неполные квадратные уравнения. В первом из них b=0, во втором c=0, в третьем b=0 и c=0.

Неполные квадратные уравнения бывают трёх видов:
1) ax 2 +c=0, где ( c neq 0 );
2) ax 2 +bx=0, где ( b neq 0 );
3) ax 2 =0.

Рассмотрим решение уравнений каждого из этих видов.

Для решения неполного квадратного уравнения вида ax 2 +c=0 при ( c neq 0 ) переносят его свободный член в правую часть и делят обе части уравнения на a:
( x^2 = -frac Rightarrow x_ = pm sqrt< -frac> )

Так как ( c neq 0 ), то ( -frac neq 0 )

Значит, неполное квадратное уравнение вида ax 2 +bx=0 при ( b neq 0 ) всегда имеет два корня.

Неполное квадратное уравнение вида ax 2 =0 равносильно уравнению x 2 =0 и поэтому имеет единственный корень 0.

Видео:Как решать квадратные уравнения без дискриминантаСкачать

Формула корней квадратного уравнения

Рассмотрим теперь, как решают квадратные уравнения, в которых оба коэффициента при неизвестных и свободный член отличны от нуля.

Решим квадратне уравнение в общем виде и в результате получим формулу корней. Затем эту формулу можно будет применять при решении любого квадратного уравнения.

Решим квадратное уравнение ax 2 +bx+c=0

Разделив обе его части на a, получим равносильное ему приведённое квадратное уравнение
( x^2+fracx +frac=0 )

Преобразуем это уравнение, выделив квадрат двучлена:
( x^2+2x cdot frac+left( fracright)^2- left( fracright)^2 + frac = 0 Rightarrow )

Подкоренное выражение называют дискриминантом квадратного уравнения ax 2 +bx+c=0 («дискриминант» по латыни — различитель). Его обозначают буквой D, т.е.
( D = b^2-4ac )

Теперь, используя обозначение дискриминанта, перепишем формулу для корней квадратного уравнения:
( x_ = frac < -b pm sqrt> ), где ( D= b^2-4ac )

Очевидно, что:
1) Если D>0, то квадратное уравнение имеет два корня.
2) Если D=0, то квадратное уравнение имеет один корень ( x=-frac ).
3) Если D 0), один корень (при D = 0) или не иметь корней (при D

Видео:Как решать уравнение с корнями Иррациональное уравнение Как решать уравнение с корнем х под корнемСкачать

Теорема Виета

Приведённое квадратное уравнение ax 2 -7x+10=0 имеет корни 2 и 5. Сумма корней равна 7, а произведение равно 10. Мы видим, что сумма корней равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену. Таким свойством обладает любое приведённое квадратное уравнение, имеющее корни.

Т.е. теорема Виета утверждает, что корни x₁ и x₂ приведённого квадратного уравнения x 2 +px+q=0 обладают свойством:
( left< begin x_1+x_2=-p \ x_1 cdot x_2=q end right. )