Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями

Видео:Взаимное расположение прямых в пространстве. 10 класс.Скачать

Взаимное расположение прямых в пространстве. 10 класс.

Прямая на плоскости – необходимые сведения

Статья рассказывает о понятии прямой на плоскости. Рассмотрим основные термины и их обозначения. Поработаем со взаимным расположением прямой и точки и двух прямых на плоскости. Поговорим об аксиомах. В итоге обсудим методы и способы задания прямой на плоскости.

Видео:Математика без Ху!ни. Взаимное расположение прямой и плоскости.Скачать

Математика без Ху!ни.  Взаимное расположение прямой и плоскости.

Прямая на плоскости – понятие

Для начала необходимо иметь четкое представление о том, что такое плоскость. Любую поверхность чего-либо можно отнести к плоскости, только от предметов она отличается своей безграничностью. Если представить, что плоскость – это стол, то в нашем случае он не будет иметь границ, а будет бесконечно огромен.

Если карандашом дотронуться до стола, останется отметина, которую можно называть «точкой». Таким образом, получим представление о точке на плоскости.

Рассмотрим понятие прямой линии на плоскости. Если провести прямую на листе, то она отобразится на нем с ограниченной длиной. Мы получили не всю прямую, а только ее часть, так как на самом деле она не имеет конца, как и плоскость. Поэтому изображение прямых и плоскостей в тетради формальное.

Видео:Взаимное расположение прямых на плоскости. 7 класс.Скачать

Взаимное расположение прямых на плоскости. 7 класс.

Взаимное расположение прямой и точки

На каждой прямой и в каждой плоскости могут быть отмечены точки.

Точки обозначают как большими, так и маленькими латинскими буквами. Например, А и D или a и d .

Для точки и прямой известны только два варианта расположения: точка на прямой, иначе говоря, что прямая проходит через нее, или точка не на прямой, то есть прямая не проходит через нее.

Чтобы обозначить, принадлежит точка плоскости или точка прямой, используют знак « ∈ ». Если в условии дано, что точка A лежит на прямой a , тогда это имеет такую форму записи A ∈ a . В случае, когда точка А не принадлежит, тогда другая запись A ∉ a .

Через любые две точки, находящиеся в любых плоскостях, существует единственная прямая, которая проходит через них.

Данное высказывание считается акисомой, поэтому не требует доказательств. Если рассмотреть это самостоятельно, видно, что при существующих двух точках имеется только один вариант их соединения. Если имеем две заданные точки А и В , то прямую, проходящую через них можно назвать данными буквами, например, прямая А В . Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.

Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями

Прямая, расположенная на плоскости, имеет большое количество точек. Отсюда исходит аксиома:

Если две точки прямой лежат в плоскости, то и все остальные точки данной прямой принадлежат плоскости.

Множество точек, находящееся между двумя заданными, называют отрезком прямой. Он имеет начало и конец. Введено обозначение двумя буквами.

Если дано, что точки А и Р – концы отрезка, значит, его обозначение примет вид Р А или А Р . Так как обозначения отрезка и прямой совпадают, рекомендовано дописывать или договаривать слова «отрезок», «прямая».

Краткая запись принадлежности включает в себя использование знаков ∈ и ∉ . Для того, чтобы зафиксировать расположение отрезка относительно заданной прямой, применяют ⊂ . Если в условии дано, что отрезок А Р принадлежит прямой b , значит, и запись будет выглядеть следующим образом: А Р ⊂ b .

Случай принадлежности одновременно трех точек одной прямой имеет место быть. Это верно, когда одна точка лежит между двумя другими. Данное утверждение принято считать аксиомой. Если даны точки А , В , С , которые принадлежат одной прямой, а точка В лежит между А и С , следует, что все заданные точки лежат на одной прямой, так как лежат по обе стороны относительно точки B .

Точка делит прямую на две части, называемые лучами. Имеем аксиому:

Любая точка O , находящаяся на прямой, делит ее на два луча, причем две любые точки одного луча лежат по одну сторону луча относительно точки O , а другие – по другую сторону луча.

Видео:15. Взаимное расположение прямых в пространствеСкачать

15. Взаимное расположение прямых в пространстве

Взаимное расположение прямых на плоскости

Расположение прямых на плоскости может принимать вид двух состояний.

Две прямые на плоскости могут совпадать.

Такая возможность появляется, когда прямые имеют общие точки. Исходя из аксиомы, написанной выше, имеем, что через две точки проходит прямая и только одна. Значит, что при прохождении 2 прямых через заданные 2 точки, они совпадают.

Две прямые на плоскости могут пересекаться.

Данный случай показывает, что имеется одна общая точка, которую называют пересечением прямых. Вводится обозначение пересечение знаком ∩ . Если имеется форма записи a ∩ b = M , то отсюда следует, что заданные прямые a и b пересекаются в точке M .

При пересечении прямых имеем дело образовавшимся углом. Отдельному рассмотрению подвергается раздел пересечения прямых на плоскости с образованием угла в 90 градусов, то есть прямого угла. Тогда прямые называют перпендикулярными. Форма записи двух перпендикулярных прямых такая: a ⊥ b , а это значит, что прямая a перпендикулярна прямой b .

Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями

Две прямые на плоскости могут быть параллельны.

Только в том случае, если две заданные прямые не имеют общих пересечений, а, значит, и точек, они параллельны. Используется обозначение, которое можно записать при заданной параллельности прямых a и b : a ∥ b .

Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями

Прямая на плоскости рассматривается вместе с векторами. Особое значение придается нулевым векторам, которые лежат на данной прямой или на любой из параллельных прямых, имеют название направляющие векторы прямой. Рассмотрим рисунок, расположенный ниже.

Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями

Ненулевые векторы, расположенные на прямых, перпендикулярных данной, иначе называют нормальными векторами прямой. Подробно имеется описание в статье нормальный вектор прямой на плоскости. Рассмотрим рисунок ниже.

Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями

Если на плоскости даны 3 линии, их расположение может быть самое разное. Есть несколько вариантов их расположения: пересечение всех, параллельность или наличие разных точек пересечения. На рисунке показано перпендикулярное пересечение двух прямых относительно одной.

Для этого приводим необходимы факторы, доказывающие их взаимное расположение:

  • если две прямые параллельны третьей, тогда они все параллельны;
  • если две прямые перпендикулярны третьей, тогда эти две прямые параллельны;
  • если на плоскости прямая пересекла одну параллельную прямую, тогда пересечет и другую.

Рассмотрим это на рисунках.

Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями

Видео:Лекция 23. Виды уравнений прямой на плоскости.Скачать

Лекция 23. Виды уравнений прямой на плоскости.

Способы задания прямой на плоскости

Прямая на плоскости может быть задана несколькими способами. Все зависит от условия задачи и на чем будет основано ее решение. Эти знания способны помочь для практического расположения прямых.

Прямая задается при помощи указанных двух точек, расположенных в плоскости.

Из рассмотренной аксиомы следует, что через две точки можно провести прямую и притом только одну единственную. Когда прямоугольная система координат указывает координаты двух несовпадающих точек, тогда можно зафиксировать уравнение прямой, проходящей через две заданные точки. Рассмотрим рисунок, где имеем прямую, проходящую через две точки. Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями

Прямая может быть задана через точку и прямую, которой она параллельна.

Данный способ имеет место на существование, так как через точку можно провести прямую, параллельную заданной, причем, только одну. Доказательство известно еще из школьного курса по геометрии.

Если прямая задана относительно декартовой системы координат, тогда возможно составление уравнения прямой, проходящей через заданную точку параллельно заданной прямой. Рассмотрим принцип задания прямой на плоскости.

Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями

Прямая задается через указанную точку и направляющий вектор.

Когда прямая задается в прямоугольной системе координат, есть возможность составления канонического и параметрического уравнений на плоскости. Рассмотрим на рисунке расположение прямой при наличии направляющего вектора.

Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями

Четвертым пунктом задания прямой имеет смысл, когда указана точка, через которую ее следует начертить, и прямая, перпендикулярная ей. Из аксиомы имеем:

Через заданную точку, расположенную на плоскости, пройдет только одна прямая, перпендикулярная заданной.

Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями

И последний пункт, относящийся к заданию прямой на плоскости, это при указанной точке, через которую проходит прямая, и при наличии нормального вектора прямой. При известных координатах точки, которая расположена на заданной прямой, и координатах нормального вектора есть возможность записывания общего уравнения прямой.

Видео:Математика без Ху!ни. Уравнения прямой. Часть 2. Каноническое, общее и в отрезках.Скачать

Математика без Ху!ни. Уравнения прямой. Часть 2. Каноническое, общее и в отрезках.

Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

Содержание:

Общее уравнение прямой:

Пусть на плоскости дана декартова система координат. Движение точки с произвольными координатами х и у по этой плоскости порождает линию.

Определение: Любое соотношение Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями

Определение: Порядок линии определяется по высшему показателю степени переменных х и у или по сумме показателей степени в произведении этих величин.

Пример:

а) 2х + Зу-5 = 0 — линия первого порядка; точка A(l; 1) удовлетворяет этому соотношению, а точка, например, В(1; 0) — ему не удовлетворяет;

б) Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями

в) Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями— линии второго порядка.

Рассмотрим другое определение линии:

Определение: Геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют уравнению F(x; у)=0, называется линией, а само уравнение F(x; у) = 0 — уравнением линии.

Определение: Общим уравнением прямой называется уравнение первого порядка вида Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями

Рассмотрим частные случаи этого уравнения:

а) С = 0; Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями— прямая проходит начало системы координат (Рис. 20):

Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями

Рис. 20. Прямая, проходящая через начало координат.

б) 5 = 0; Ах+С=0 — прямая проходит параллельно оси ординат Оу (Рис. 21):

Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями

Рис. 21. Прямая, проходящая параллельно оси ординат Оу.

в) А = 0; Ву+С=0 — прямая проходит параллельно оси абсцисс Ох (Рис. 22):

Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями

Рис. 22. Прямая, проходящая параллельно оси абсцисс Ох.

Видео:Математика без Ху!ни. Уравнение плоскости.Скачать

Математика без Ху!ни. Уравнение плоскости.

Виды уравнений прямой

1. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Пусть дано общее уравнение прямой Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениямив котором коэффициент Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениямиРазрешим общее уравнение прямой относительно переменной Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениямиОбозначим через Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениямитогда уравнение примет вид Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениямикоторое называется уравнением прямой с угловым коэффициентом. Выясним геометрический смысл параметров Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениямиПри х = 0, у = b, т.е. параметр b показывает, какой величины отрезок отсекает прямая на оси ординат, считая от начала отсчета. При Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениямит.е. прямая отсекает на оси абсцисс отрезок к Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями(Рис. 23, для определенности принято, что Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями):

Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями

Рис. 23. Отрезки, отсекаемые прямой на координатных осях.

Из рисунка видно, что Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениямит.е. угловой коэффициент k определяет тангенс угла наклона прямой к положительному направлению оси абсцисс Ох.

2. Уравнение прямой в отрезках.

Пусть в общем уравнении прямой параметр Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениямиВыполним следующие преобразования Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями

Обозначим через Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениямитогда последнее равенство перепишется в виде Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями. которое называется уравнением прямой в отрезках. Выясним геометрический смысл величин m и n (Рис. 24). При х=0, у=n, т.е. параметр n показывает, какой величины отрезок отсекает прямая на оси ординат, считая от начала отсчета.

Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями

Рис. 24. Отрезки, отсекаемые прямой на координатных осях.

При у=о, х=m, т.е. прямая отсекает на оси абсцисс отрезок m. Следовательно, прямая проходит через 2 точки: Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями

3. Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки. Пусть дано общее уравнение прямой Ах + Ву + С = 0, которая проходит через две известные точки Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениямиТак как точки Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениямилежат на прямой, то их координаты удовлетворяют общему уравнению прямой, т.е. выполняются равенства Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениямиВычтем первое из этих равенств из общего уравнения прямой и из второго равенства:

Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями

Пусть Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениямитогда полученные равенства можно преобразовать к виду Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениямиОтсюда находим, что Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениямиили Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениямиПолученное уравнение называется уравнением прямой, проходящей через две заданные точки Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениямии Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями

4. Уравнение прямой, проходящей через заданную точку Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениямипараллельно заданному вектору Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями(каноническое уравнение прямой). Пусть прямая проходит через заданную точку Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениямипараллельно вектору Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями

Определение: Вектор Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравненияминазывается направляющим вектором прямой. Возьмем на прямой произвольную точку Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениямии создадим вектор Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями(Рис. 25):

Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями

Рис. 25. Прямая, проходящая через данную точку параллельно направляющему вектору.

В силу того, что вектора Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениямиколлинеарны, то воспользуемся первым условием коллинеарности: отношения соответствующих проекций равны между собой Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями

Определение: Полученное уравнение называется либо уравнением, проходящим через заданную точку параллельно направляющему вектору, либо каноническим уравнением прямой.

5. Параметрическое уравнение прямой. Если каждую дробь в каноническом уравнении прямой приравнять некоторому параметру t, то получим параметрическое уравнение прямой Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями

Основные задачи о прямой на плоскости

1. Координаты точки пересечения двух прямых. Пусть две прямые заданы общими уравнениями Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениямиТребуется найти координаты точки пересечения этих прямых. Для того чтобы вычислить координаты точки пересечения М(х; у), необходимо решить вышеприведенную систему линейных алгебраических уравнений, так как координаты точки М(х; у) должны одновременно удовлетворять уравнениям прямых Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями

2. Угол между двумя пересекающимися прямыми. Пусть даны две пересекающиеся прямые, заданные уравнениями с угловыми коэффициентами

Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями

Требуется найти угол между этими прямыми (Рис. 26):

Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями

Рис. 26. Угол между двумя прямыми.

Из рисунка видно, что Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениямиВычислимВзаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями

Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями

Наименьший угол между пересекающимися прямыми определим формулой Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениямиИз полученной формулы видно:

  • а) если прямые Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениямипараллельны или совпадаютВзаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениямито Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениямиОтсюда следует условие параллельности прямых: угловые коэффициенты прямых равны между собой Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями
  • б) если прямые Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениямиперпендикулярныВзаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениямито Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениямине существует.

Отсюда следует условие перпендикулярности прямых: угловые коэффициенты прямых связаны между собой соотношением Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями

Пример:

Определить угол между прямыми Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями

Решение:

В силу того, что Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениямичто прямые параллельны, следовательно, Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями

Пример:

Выяснить взаимное расположение прямых Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями

Решение:

Так как угловые коэффициенты Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениямии связаны между собой соотношением Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениямито прямые взаимно перпендикулярны.

3. Расстояние от точки до прямой. Расстояние от точки до прямой определятся вдоль перпендикуляра, опущенного из точки Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениямина прямую Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениямиЕсли прямая Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениямизадана общим уравнением, то расстояние от точки до прямой определяется формулой: Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями

Если прямая Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениямизадана уравнением прямой с угловым коэффициентом, то расстояние от точки до прямой определяется формулой: Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями

Видео:Математика без Ху!ни. Уравнения прямой. Часть 1. Уравнение с угловым коэффициентом.Скачать

Математика без Ху!ни. Уравнения прямой. Часть 1. Уравнение с угловым коэффициентом.

Прямая линия на плоскости и в пространстве. Системы координат на плоскости

Рассмотрим произвольную прямую. Выберем на этой прямой начальную точку, обозначаемую буквой О, определим положительное направление, выберем некоторый отрезок в качестве линейной единицы, благодаря чему прямая станет осью. После этого условимся называть координатой любой точки М на этой оси величину отрезка Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями. Точку О будем называть началом координат; ее собственная координата равна нулю. Так вводятся координаты на прямой.

Декартова прямоугольная система координат определяется заданием линейной единицы для измерения длин и двух взаимно перпендикулярных осей, занумерованных в каком-нибудь порядке, т.е. указано, какая из них считается первой, а какая — второй. Точка пересечения осей называется началом координат и обозначается через О, а сами оси — координатными осями, причем первую из них называют также осью абсцисс и обозначают через Ох, а вторую — осью ординат, обозначаемую Оу.

Пусть М- произвольная точка плоскости. Спроектируем точку M на координатные оси, т.е., проведем через М перпендикуляры к осям Ох и Оу; основания этих перпендикуляров обозначим соответственно Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями.

Координатами точки М в заданной системе называются числа Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями, обозначающие величину отрезка Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениямиоси абсцисс и величину отрезка Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениямиоси ординат, где х — первая координата, а у- вторая координата точки М (рис.7.1). Символически это записывается в виде М(х, у). Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями

Если задана декартова прямоугольная система координат, то каждая точка М плоскости в этой системе имеет одну вполне определенную пару координат х, у — М(х, у). И обратно, для любых х и у на плоскости найдется одна вполне определенная точка с абсциссой х и ординатой у.

На рис. 7.2 положение точки Р полностью определяется ее координатами (2;3). Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями

Две координатные оси разделяют всю плоскость на четыре части, называемыми координатными плоскостями, определяемыми соответственно:

  • первая координатная четверть: х>0, у>0;
  • вторая координатная четверть: хВзаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями0, у>0;
  • третья координатная четверть: хВзаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями0, уВзаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями0;
  • четвертая координатная четверть: х>0, уВзаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями0.

Декартова прямоугольная система координат является наиболее употребительной. Однако, в отдельных случаях могут оказаться более удобными или косоугольная декартова или полярная системы координат.

Косоугольная система координат от прямоугольной декартовой системы координат отличается только произвольным углом между осями координат.

Полярная система координат определяется заданием некоторой точки О, называемой полюсом, исходящего из этой точки луча OA, называемого полярной осью, масштаба для измерения длин и направления- вращения в плоскости, считаемого положительным (рис. 7.3). Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями

Каждая точка М в полярной системе координат задается парой координат Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями.

Декартова прямоугольная система координат связана с полярной системой формулами: Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями

Основным инструментом аналитической геометрии служит формула для вычисления расстояния между двумя точкамиВзаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениямии Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями. Числа Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениямимогут быть любыми действительными числами, положительными, отрицательными или 0. На рис. 7.4 все числа выбраны положительными. Проведем через точку Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениямигоризонтальную прямую, а через точку Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями— вертикальную. Пусть R -точка их пересечения. Тогда по теореме Пифагора

Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениямиили Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями(7.1.1)

Это и есть формула для вычисления расстояния между двумя точками. Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями

Важно иметь в виду, что эта формула остается в силе независимо от того, как расположены точки Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями. Например, если точка Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениямирасположена ниже точки Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениямии справа от нес, как на рис. 7.5, то отрезок Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениямиможно считать равныму Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями.

Расстояние между точками, вычисляемое по формуле (7.1.1), от этого не изменится, так как Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями. Заметим, что, так как величина Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениямив этом случае отрицательна, то разность Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениямибольше, чемВзаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями

Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями

Если обозначить через Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениямиугол, образованный положительным направлением оси абсцисс и отрезком Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями, то формулы

Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями

выражают проекции произвольного отрезка на координатные оси через его длину и полярный угол. Из формул (7.1.2) получаем формулы:

Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями

позволяющие определить полярный угол отрезка по координатам его конца и начала. Кроме того, если u — произвольная ось, а Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями— угол наклона отрезка Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениямик этой оси, то проекция отрезка на ось равна его длине, умноженной на косинус угла наклона к этой оси:

Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями.

Пусть на плоскости даны две произвольные точки, из которых одна считается первой, другая — второй. Обозначим их в заданном порядке через Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями. Проведем через данные точки ось u. Пусть М- еще одна точка оси и, расположенная на ней как угодно, но не совпадает с точкой Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями.

Определение 7.1.1. Число Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениямиопределяемое равенством Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениямигде Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями— величины направленных отрезков Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениямиоси u, называется отношением, в котором точка М делит направленный отрезок Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями.

Число Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениямине зависит от направления оси и от масштаба, т.к. при изменении этих параметров будут одновременно меняться величины Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями. Кроме того, Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениямибудет положительно, если Мнаходится между точками Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениямиесли же М вне отрезка Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями, то Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями-отрицательное.

Задача о делении отрезка в данном отношении формулируется следующим образом:

Считая известными координаты двух точек Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениямии Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениямии отношение Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениямив котором некоторая неизвестная точка М делит отрезок Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями, найти координаты точки М.

Решение задачи определяется следующей теоремой.

Теорема 7.1.1. Если точка М(х, у) делит направленный отрезок Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениямив отношении Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениямито координаты этой точки выражаются формулами:

Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями

Доказательство:

Спроектируем точки Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениямина ось Ох и обозначим их проекции соответственно через Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями(рис. 7.6). На основании теоремы о пропорциональности отрезков прямых, заключенных между параллельными прямыми (Если две прямые пересечь тремя параллельными прямыми, то отношение двух отрезков, получившихся на одной прямой, равно отношению двух соответствующих отрезков другой прямой), имеем:

Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями

Подставив в (7.1.4) величины отрезков Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениямии

Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями, получимВзаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями

Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями

Разрешая это уравнение относительно х, находим: Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями

Вторая формула (7.1.3) получается аналогично. Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями

Если Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями— две произвольные точки и М(х,y) —

середина отрезка Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями, то Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями. Эти формулы

получаются из (7.1.3) при Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями.

Основная теорема о прямой линии на плоскости

Предположим, что в данной плоскости задана прямоугольная система координат и некоторая прямая l.

Всякий ненулевой вектор, коллинеарный данной прямой, называется её направляющим вектором. Всякие два направляющих вектора Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениямиодной и той же прямой коллинеарны между собой, т.е.

Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями, .

Для всех направляющих векторов Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениямиданной прямой, не параллельной оси ординат, отношение Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениямиординаты вектора к его абсциссе имеет одно и то же постоянное значение k, называемое угловым коэффициентом данной прямой.

Действительно, если Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями— два направляющих вектора данной прямой /, то векторы коллинеарны, т.е.

Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениямиих координаты пропорциональны: Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениямиа значит Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями

Угловой коэффициент прямой можно определить и по-другому: как тангенс угла, образованного положительным направлением оси абсцисс и заданной прямой.

Справедлива следующая теорема.

Теорема 7.3,1. Всякая прямая на плоскости определяется уравнением первой степени с двумя переменными х и у; и обратно, всякое уравнение первой степени с двумя переменными х и у определяет некоторую прямую на плоскости.

Доказательство: Пусть В = (О,b>- точка пересечения прямой L с осью у, а Р = (х,у) — любая другая точка на этой прямой. Проведем через точку В прямую, параллельную оси х, а через точку Р — прямую, параллельную оси у; проведем также прямую х = 1. Пусть k -угловой коэффициент прямой L (см. рис. 7.7). Случай к =0 не исключается.

Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями

Так как треугольники BSQ и BRP подобны, то Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениямиили после упрощения

Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями

Следовательно, если точка Р принадлежит прямой L, то ее координаты удовлетворяют уравнению (7.2.1). Обратно, нетрудно показать, что если х и у связаны уравнением (7.2.1), то точка Р принадлежит прямой L, проходящей через точку (0;b) и имеющей угловой коэффициент k.

Таким образом, уравнение любой прямой можно записать в виде:

Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями(не вертикальная прямая) Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями, (7.2.2), х = а (вертикальная прямая) (7.2.3).

В обоих случаях мы получаем уравнение первой степени. Кроме того, каждое уравнение первой степени ио х и у можно привести к виду (7.2.2) либо (7.2.3).

Докажем обратное утверждение. Предположим, что задано произвольное уравнение первой степени:

Если Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями, мы можем записать уравнение (7.2.4) в виде

Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями

т.е. в виде (7.2.2). При В = 0 уравнение (7.2.3) сводится к уравнению

или Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями, т.е. к уравнению вида (7.2.3).

Таким образом, любая прямая описывается уравнением первой степени с неизвестными х и у, и обратно, каждое уравнение первой степени с неизвестными х и v определяет некоторую прямую. Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями

Уравнение (7.2.4) называется общим уравнением прямой. Так

как Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями, то вектор Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениямиявляется направляющим вектором прямой (7.2.4). Вектор Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениямиперпендикулярен прямой (7.2.4) и называется нормальным вектором. Возможны частные случаи:

1. Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениямиили у =b, где Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями, -это уравнсние прямой, параллельной оси Ох.

2. Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениямиили х = а, где Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями, — это уравнение прямой, параллельной оси Оу.

3. Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями— это уравнение прямой, проходящей через начало координат.

4. А=0; С=0; Ву-0 или у = 0 — это уравнение оси абсцисс Ох.

5. В=0;С=0; Ах=0 или х = 0 — это уравнение оси ординат Оу.

Различные виды уравнений прямой на плоскости

Положение прямой на плоскости относительно системы координат можно задать различными способами. Например, прямая однозначно определяется: двумя различными точками; точкой и направляющим вектором; отрезками, отсекаемыми прямой на осях координат и др. Однако, обязательно, должна быть точка, лежащая на этой прямой.

Пусть в уравнении (7.2.4) ни один из коэффициентов А, В, С не равен нулю. Перенесем свободные члены вправо и разделим на (-С). Получим уравнение прямой в отрезках:

Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями

где Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями-длины отрезков, отсекаемых прямой l на осях координат, взятые с соответствующими знаками (в зависимости от того, положительные или отрицательные полуоси координат пересекает прямая l).

Рассмотрим прямую l на плоскости и выберем на этой прямой какие-нибудь точки Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями. Тогда вектор Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениямиявляется направляющим вектором этой прямой l.

Геометрическое место концов всевозможных векторов вида Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениямигде Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениямипробегает все вещественные числовые значения, определяет прямую l. Уравнение (7.3.2) называется уравнением прямой в векторной форме (векторным уравнением прямой). Записав векторное уравнение (7.3.2) в координатной форме Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениямии воспользовавшись определением равенства векторов, получим параметрические уравнения прямой:

Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями

где Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями— координаты направляющего вектора.

Система (7.3.3) равносильна уравнению

Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями

называемым каноническим уравнением прямой на плоскости. Из системы (7.3.3) можно получить уравнение

Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениямикоторое называется уравнением прямой, проходящей через две данные точки Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями

Если абсциссы точек Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениямиодинаковы, т. е. Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениямито прямая Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениямипараллельна оси ординат и ее уравнение имеет вид: х=а.

Если ординаты точек Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениямиодинаковы, т. е. Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями, то прямая Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениямипараллельна оси абсцисс и ее уравнение имеет вид: у=b. Уравнение (7.3.5) можно преобразовать к виду:

Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями

Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями

Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями

угловой коэффициент прямой.

Уравнение (7.3.6) называется уравнением прямой, проходящей через точку Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениямии имеющей угловой коэффициент k.

Пример:

Составить уравнение прямой, проходящей через две точки Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями

Решение:

I способ. Воспользуемся уравнением (7.3.5). Подставив известные координаты точек Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями, получим искомое уравнение прямой:

Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями

II способ. Зная координаты точек Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениямипо формуле (7.3.7) можно найти угловой коэффициент искомой прямой:

Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями

Тогда, воспользовавшись уравнением (7.3.6), найдём искомое уравнение прямой: Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями.

Заметим, что составленное уравнение можно записать как уравнение прямой в отрезках, разделив все члены уравнения

Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями.

Взаимное расположение двух прямых на плоскости

Пусть на плоскости заданы две прямые общими уравнениями Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями. Угол между ними можно вычислить как угол между направляющими векторами

Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениямиэтих прямых:

Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями

Если прямые параллельныВзаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями, то их нормальные векторы Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениямиколлинеарны, а это значит, что их соответствующих координаты пропорциональны:

Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями

И обратно, если координаты при неизвестных х и у пропорциональны, то прямые параллельны. Следовательно, можно сформулировать следующую теорему:

Теорема 7.4.1. Две прямые Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениямипараллельны тогда и только тогда, когда в их уравнениях коэффициенты при соответствующих переменных х и у пропорциональны.

Например, прямые Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениямипараллельны,

т. к.Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями.

Если прямые перпендикулярны Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями, то их нормальные векторы Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениямитоже перпендикулярны, а это значит, что скалярное произведение этих векторов равно нулю: Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями, или в координатной форме

Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями

Справедливо и обратное утверждение: если скалярное произведение нормальных векторов равно нулю, то прямые /, и /2 перпендикулярны.

Теорема 7.4.2. Две прямые Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениямиперпендикулярны тогда и только тогда, когда коэффициенты при переменных х и у удовлетворяют равенству Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями.

Например, прямые Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениямиперпендикулярны, так как

Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями.

Если прямые заданы уравнениями вида Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениямии Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями, то угол между ними находится по формуле:

Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями

Для того чтобы прямые были параллельны, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство

Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями(7.4.5)

а для их перпендикулярности необходимо и достаточно, чтобы

Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями(7.4.6)

Пример:

Найти проекцию точки Р (2, 3) на прямую, проходящую через точки А (4, 3) и В (6, 5).

Решение:

Проекция точки Р на прямую АВ — это точка пересечения перпендикуляра, проведенного к этой прямой из точки Р.

Вначале составим уравнение прямой АВ. Воспользовавшись уравнением (7.3.5), последовательно получаем:

Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями

Для того, чтобы составить уравнение перпендикуляра, проведенного из точки Р на прямую АВ, воспользуемся уравнением (7.3.6). Угловой коэффициент k определим из условия перпендикулярности двух прямых, т. е. из формулы (7.4.6). Поскольку Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями,то из равенства Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравненияминаходим угловой коэффициент перпендикуляра Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями. Подставляя найденное значение углового коэффициента Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениямии координаты точки Р (2, 3) в уравнение (7.3.6), получаем:

Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями.

Решая систему уравнений, составленную из уравнений прямой АВ и перпендикуляра

Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями

найдём координаты проекции точки Р на прямую АВ: х=3 у=2, т.е.

Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями

Пример:

Издержки на производство шести автомобилей составляют 1000 млн. ден. ед., а на производство двадцати автомобилей- 15000 млн. ден. ед. Определить издержки на производство 22 автомобилей при условии, что функция К(х) издержек производства линейна, т.е. имеет вид у = ах + b .

Решение:

Обозначим через х количество автомобилей, а через y- издержки производства. Тогда из условия задачи следует, что заданы координаты двух точек- А(6; 1000) и В(20; 15000), принадлежащих линейной функции у = ах +b. Воспользовавшись уравнением (7.3.6 ), найдём искомое уравнение:

Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями

Подставив в найденную функцию х = 22, определим издержки на производство 22 автомобилей:

Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями(млн. дсн. ед)

Пример:

Фирма продаёт свои изделия по 10 ден. ед. за единицу. Затраты на изготовление одного изделия составляют 6 ден. ед. Непроизводственные расходы фирмы равны 300 ден. ед. в год. Определить годовой выпуск продукции, необходимой для того, чтобы фирма работала с прибылью.

Решение:

Обозначим через х объём произведенной продукции. Тогда доход фирмы равен D = 10x. Затраты на производство определяются уравнением: Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями. Найдём точку безубыточности. т.е. значение x, при котором доход фирмы равен затратам: D=K, т.е. 10x = 6x + 300. Решив это уравнение, получим значение объёма производства, при котором фирма работает без убытка: х=75. Следовательно, если объём производства Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениямито фирма будет работать с прибылью.

Прямая линия в пространстве

Системы координат в пространстве

В трехмерном пространстве система координат определяется тремя взаимно перпендикулярными осями, проходящими через начало координат О. Снабдив каждую ось единицей измерения длин, можно задать тремя упорядоченными числами (называемыми координатами) положение точки в пространстве. Например, точка Р задается упорядоченной тройкой чисел Р( 1,2,3).

Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями

Пусть задано пространствоВзаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями. Важнейшим понятием пространственной аналитической геометрии является понятие уравнения поверхности. Всякая же линия рассматривается как пересечение двух поверхностей. Мы остановимся на изучении поверхности первого порядка — плоскости и прямой линии.

Положение прямой в пространстве вполне определяется заданием какой-либо сё фиксированной точки Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениямии вектора Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениямипараллельного этой прямой.

Вектор Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями, параллельный прямой, называется направляющим вектором этой прямой.

Итак, пусть прямая L проходит через точку Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями, лежащую на прямой, параллельно вектору Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениямиВзаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями(см. рис. 7.9).

Рассмотрим произвольную точку M(x,y,z) на этой прямой. Из рисунка видно, что вектор Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениямипараллельный (коллинеарный) вектору Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями. Поскольку векторы Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениямиколлинеарны, то найдётся такое число t, что Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями, где множитель t может принимать любое числовое значение в зависимости от положения точки М на прямой.

Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями

Уравнение Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями(7.5.1) называется векторным уравнением прямой. Оно показывает, что каждому значению параметра t соответствует радиус-вектор некоторой точки M, лежащей на прямой. Это уравнение можно записать в виде: Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями(см. рис. 7.9). Запишем это уравнение в координатной форме. Подставив координаты векторов Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениямив уравнение (7.5.1) и воспользовавшись определением алгебраических операций над векторами и равенством векторов, получим уравнения:

Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями

Полученные уравнения называются параметрическими уравнениями прямой.

При изменении параметра t изменяются координаты х, у и z и точка М перемещается по прямой.

Разрешив уравнения (7.5.2) относительно t

Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями

и приравняв найденные значенияt получим канонические уравнения прямой:

Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями

Если прямая L в пространстве задается двумя своими точками Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями,то вектор

Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями

можно взять в качестве направляющего вектора и тогда уравнения (7.5.3) преобразуются в уравнения

Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями

где Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями. (7.5.4)- это уравнение прямой, проходящей через две заданные точки Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями

Пример:

Составить параметрические уравнения прямой, проходящей через точкуВзаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями, перпендикулярно плоскости Oxz.

Решение:

В качестве направляющего вектора Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениямиискомой прямой можно взять единичный вектор оси Оу: Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями• Подставив значения координат точки Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениямии значения координат направляющего вектора в уравнения (7.5.2), получаем: Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями.

Пример:

Записать уравнения прямой Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениямив параметрическом виде.

ОбозначимВзаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями. Тогда Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями,

Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями, откуда следует, что Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями.

Замечание. Пусть прямая перпендикулярна одной из координатных осей, например, оси Ох. Тогда направляющий вектор Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями

прямой перпендикулярный оси Ох, имеет координаты (о; n; р) и параметрические уравнения прямой примут вид Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями

Исключая из уравнений параметр t, получим уравнения прямой в виде

Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями

Однако и в этом случае формально можно записывать канонические уравнения прямой в виде Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями. Таким образом, если в знаменателе одной из дробей стоит нуль, то это означает, что прямая перпендикулярна соответствующей координатной оси.

Аналогично, канонические уравнения

Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениямиопределяют прямую перпендикулярную осям О х и О у или параллельную оси О z.

Пример:

Составить канонические и параметрические уравнения прямой, проходящей через точку Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениямипараллельно вектору Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями

Решение:

Подставив координаты точки Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями, и вектора Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениямив (7.5.2) и (7.5.3), находим искомые канонические уравнения:

.Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениямии параметрические уравнения:

Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями

Пример:

Составить канонические уравнения прямой, проходящей через точку М(2, -1,4) параллельно

а) прямой Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями;

Решение:

а) Поскольку направляющий вектор заданной прямой

Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениямиявляется направляющим вектором искомой прямой, то

подставив координаты точки М(2; -1; 4) и вектора Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениямив (7.5.3) получим уравнение искомой прямой: Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями

б) Поскольку единичный вектор оси О х: Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениямибудет направляющим вектором искомой прямой, то подставив в уравнение

(7.5.3) координаты точки М(2; -1; 4 ) и вектора Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями, получаем:

Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями

в) В качестве направляющего вектора Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениямиискомой прямой можно взять единичный вектор оси Оу: Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями. В соответствии с уравнением (7.5.3), получаем Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениямиили Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями.

г) Единичный вектор оси Oz : Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениямибудет направляющим вектором искомой прямой. В соответствии с уравнением (7.5.3), получаем

Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями

Пример:

Составить уравнение прямой, проходящей через две заданные точки Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями

Решение:

Подставив координаты точек Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениямив уравнение

(7.5.4), получим:Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями

Взаимное расположение двух прямых в пространстве

Углом между прямыми в пространстве будем называть любой из смежных углов, образованных двумя прямыми, проведенными через произвольную точку параллельно данным. Пусть в пространстве заданы две прямые:

Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями

Очевидно, что за угол Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениямимежду прямыми можно принять угол между их направляющими векторами Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениямии

Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями, косинус которого находится по формуле:

Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями

Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых равносильны условиям параллельности и перпендикулярности их направляющих векторовВзаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями:

Две прямые параллельны тогда и только тогда, когда пропорциональны соответствующие координаты направляющих векторов:

Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями

т.е. Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениямипараллельна Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениямитогда и только тогда, когда Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениямипараллелен

Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями.

Две прямые перпендикулярны тогда и только тогда, когда сумма произведений соответствующих координат направляющих векторов равна нулю: Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями

Пример:

Найти угол между прямыми Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениямии

Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями

Решение:

Воспользуемся формулой (7.6.1), в которую подставим координаты направляющих векторов Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениямии

Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями. Тогда Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями, откуда Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениямиилиВзаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями.

Видео:Лекция 2. Взаимное расположение прямых линий.Скачать

Лекция 2. Взаимное расположение прямых линий.

Вычисление уравнения прямой

Пусть PQ — некоторая прямая на плоскости Оху (рис. 22). Через произвольную точку М0 (х0, у0) этой прямой (условно называемую «начальной точкой») проведем прямую М0х параллельную оси Ох и имеющую с ней одинаковое направление. Тогда наименьший неотрицательный угол Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями, образованный полупрямой M0Q, лежащей выше оси М0х’ или совпадающей с ней, называется углом между данной прямой и осью Ох.

Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями

Очевидно, этот угол не зависит от выбора точки М0. Если прямая PQ пересекает ось Ох в некоторой точке А (а, 0), то ф есть обычный угол между направленными прямыми. Если PQ || Ох, то, очевидно, Ф = 0. Начальная точка М0 прямой и угол ф («направление прямой») однозначно определяют положение этой прямой на плоскости.

1) Пусть сначала Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями. Тогда прямая PQ пересекает ось Оу в некоторой точке В (0, b), которую можно принять за начальную.

Ордината у = NM текущей точки М (х, у) прямой (рис. 23) состоит из двух частей:

Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями

из них первая постоянна, а вторая переменна. Введя угловой коэффициент tg ф = k9 из рис. 23 будем иметь

Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями

Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями

Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями

Нетрудно проверить, что формула (3) остается справедливой также и при х

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Telegram и логотип telegram являются товарными знаками корпорации Telegram FZ-LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Видео:Матан за час. Шпаргалка для первокурсника. Высшая математикаСкачать

Матан за час. Шпаргалка для первокурсника. Высшая математика

Взаимное расположение прямых на плоскости. Угол между прямыми на плоскости. Расстояние от точки до прямой на плоскости

Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями

ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ

Взаимное расположение прямых на плоскости. Угол между прямыми на плоскости. Расстояние от точки до прямой на плоскости

Показать, при каких условиях прямые на плоскости параллельны, пересекаются, совпадают. Рассмотреть случаи, когда прямые заданы каноническими, общими или уравнениями с угловым коэффициентом. Научить находить косинус угла между пересекающимися прямыми и координаты точки их пересечения. Научить находить расстояние от точки до прямой на плоскости и расстояние между параллельными прямыми.

1) Школьники должны знать:

− условия, при которых прямые пересекаются, параллельны, совпадают, в случаях, если прямые заданы общими уравнениями, каноническими, уравнениями с угловым коэффициентом;

− условия, при которых прямые перпендикулярны;

− формулу для нахождения расстояния от точки до прямой на плоскости;

− формулу для нахождения косинуса угла между пересекающимися прямыми в случаях, если прямые заданы общими уравнениями, каноническими, уравнениями с угловым коэффициентом.

2) Школьники должны уметь:

− выяснять взаимное расположение прямых на плоскости;

− находить угол между прямыми на плоскости;

− находить расстояние от точки до прямой на плоскости;

− находить расстояние между параллельными прямыми на плоскости.

Взаимное расположение прямых на плоскости

Прямые на плоскости могут совпадать, пересекаться или быть параллельными.

1.Пусть на плоскости заданы общими уравнениями две прямые L1 и L2:

где Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениямии Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями– нормальные векторы прямых L1 и L2, соответственно.

а) совпадают, если

− нормальные векторы прямых коллинеарны, а значит, их координаты пропорциональны;

− точка, лежащая на первой прямой, лежит также и на второй прямой

Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями.

б) параллельны, если

− нормальные векторы прямых коллинеарны, а значит, их координаты пропорциональны;

− точка, лежащая на первой прямой, не лежит на второй прямой.

Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями

Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями.

в) пересекаются, если нормальные векторы прямых не коллинеарны, а значит, их координаты не пропорциональны, т. е.

Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями.

Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями

2.Пусть на плоскости заданы прямые L1 и L2 каноническими уравнениями:

Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями

Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями

а) совпадают, если

− направляющие векторы прямых коллинеарны, а значит, их координаты пропорциональны;

− точка, лежащая на первой прямой, лежит также и на второй прямой

Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениямии Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями.

б) параллельны, если

− направляющие векторы прямых коллинеарны, а значит, их координаты пропорциональны;

− точка, лежащая на первой прямой, не лежит на второй прямой.

Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениямиВзаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями

Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениямии Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями.

в) пересекаются, если направляющие векторы прямых не коллинеарны, а значит, их координаты не пропорциональны, т. е.

Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями

Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениямиВзаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями

3.Если прямые L1 и L2 заданы уравнениями с угловым коэффициентом

а) совпадают, если k1 = k2 и b1 = b2;

б) параллельны, если k1 = k2 и b1 ¹ b2;

Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениямиВзаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями

в) пересекаются, если k1 ¹ k2.

Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениямиВзаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями

Угол между прямыми на плоскости

Углом между двумя пересекающимися прямыми называется наименьший из углов, образованных при пересечении прямых.

1.Пусть на плоскости заданы прямые L1 и L2 общими уравнениями:

Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениямиВзаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями

Тогда косинус наименьшего угла между прямыми L1 и L2 на плоскости равен модулю косинуса угла между нормальными векторами этих прямых:

Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями

В случае если прямые L1 и L2 перпендикулярны, их нормальные векторы также перпендикулярны, а значит, скалярное произведение нормальных векторов должно быть равно нулю, т. е. Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями.

2.Пусть прямые L1 и L2 заданы каноническими уравнениями:

Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями

Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями

Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениямиВзаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями

Тогда косинус наименьшего угла между прямыми L1 и L2 равен модулю косинуса угла между направляющими векторами этих прямых:

Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями

2. Пусть прямые L1 и L2 заданы уравнениями с угловым коэффициентом

Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениямиВзаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями

Тогда тангенс наименьшего угла между прямыми L1 и L2 можно найти по формуле:

Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями,

где k1 и k2 – угловые коэффициенты прямых L1 и L2.

Очевидно, что две прямые будут параллельны, если их угловые коэффициенты будут равны.

Итак, условие параллельности двух прямых:

Если две прямые перпендикулярны, т. е. угол φ = p/2, мы получим

Это будет иметь место, когда

Итак, условие перпендикулярности двух прямых:

Расстояние от точки до прямой на плоскости

Расстояние от точки до прямой, не содержащей эту точку, есть длина перпендикуляра, проведенного из этой точки на прямую.

Расстояние от точки до прямой можно вычислить:

1) Как длину отрезка перпендикуляра, если удается включить этот отрезок в некоторый треугольник в качестве одной из высот;

2) Используя координатно – векторный метод.

Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями

Пусть на плоскости заданы прямая L и точка M, не принадлежащая этой прямой

Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями

расстояние от точки М0(x0, y0) до прямой L.

Замечание. Расстояние между двумя параллельными прямыми на плоскости можно найти по последней формуле, если находить расстояние от любой точки, принадлежащей одной прямой, до другой прямой.

Даны координаты точек A(4, 1), B(2, −1), C(−3, 5). Найти угол между медианой и высотой, проведенными из вершины A.

Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениямиВзаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями

Напишем уравнение высоты AH. Для любой точки M(x, y), лежащей на прямой AH, вектор Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениямиперпендикулярен вектору Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями, а значит, скалярное произведение этих векторов должно быть равно нулю, т. е. Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями.

Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениямии Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями,

Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями

Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями

Итак, уравнение высоты AH:

Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями

Напишем уравнение медианы, проведенной из вершины A. Найдем координаты точки D. Точка D − середина отрезка BC, значит, ее координаты можно найти как среднее арифметическое координат точек B и C. Координаты точек B(2, −1) и C(−3, 5), тогда координаты точки D:

Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями

Для любой точки N(x, y), лежащей на медиане AD, вектор Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениямиколлинеарен вектору Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями, а значит, координаты этих векторов должны быть пропорциональны. Найдем координаты векторов Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениямии Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями:

Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями

Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями

Запишем условие пропорциональности координат:

Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями(умножим на (1/2));

Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями

По свойству пропорций получим:

Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями.

Получили общее уравнение медианы AD:

Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями.

Косинус наименьшего угла между прямыми равен модулю косинуса угла между нормальными векторами этих прямых.

Уравнение прямой AH: Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениямиТогда нормальный вектор этой прямой − Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями. Уравнение прямой AD: Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями. Тогда нормальный вектор этой прямой − Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями.

Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями

Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями.

Ответ: Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями.

Даны координаты точек A(4, 1), B(2, −1), C(−3, 5). Найти расстояние от точки A до прямой BC.

Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениямиВзаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями

Напишем уравнение прямой BC. Для любой точки N(x, y), лежащей на прямой BC, вектор Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениямиколлинеарен вектору Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями, а значит, координаты этих векторов должны быть пропорциональны:

Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями.

Перемножив по свойству пропорций, перейдем к общему уравнению прямой:

Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями

Тогда общее уравнение прямой BC:

Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями.

Точка A(4, 1) Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениямиBC. Расстояние от точки до прямой на плоскости можно найти по формуле:

Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениямигде Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями.

Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями.

Ответ: расстояние от точки A до прямой BC равно Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями.

Выяснить взаимное расположение прямых L1 и L2. Если прямые пересекаются, то найти угол между ними и координаты точки их пересечения, а если параллельны, то найти расстояние между ними:

L1: Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями;

L2: Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями;

Запишем координаты нормальных векторов прямых L1 и L2:

L1: Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями, тогда Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями– нормальный вектор прямой L1;

L2: Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями, тогда Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями– нормальный вектор прямой L2.

Найдем отношение координат нормальных векторов прямых:

Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями.

Так как координаты нормальных векторов пропорциональны, то векторы Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениямии Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениямиколлинеарны, а значит, прямые L1, и L2 либо параллельны, либо совпадают.

Прямые параллельны так как

Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями.

Расстояние между прямыми найдем, как расстояние от точки М1, лежащей на прямой L1, до прямой L2 по формуле:

Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениямигде Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями.

Найдем координаты точки M1, принадлежащей прямой L1. Для этого одну из координат, например y0, примем равной нулю, тогда x0 = 4, значит, точка Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями.

Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями

Ответ: прямые параллельны, расстояние между ними равно Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями.

Выяснить взаимное расположение прямых L1 и L2. Если прямые пересекаются, то найти угол между ними и координаты точки их пересечения, а если параллельны, то найти расстояние между ними:

Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями

Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями

Найдем направляющие векторы прямых L1 и L2:

Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями

Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями,

то координаты направляющих векторов не пропорциональны. Следовательно, прямые L1 и L2 пересекаются.

Косинус наименьшего угла между прямыми равен модулю косинуса угла между направляющими векторами этих прямых.

Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениямиВзаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями

Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями

Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями

Найдем координаты точки пересечения прямых L1 и L2. Для этого получим общие уравнения этих прямых.

Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями

Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями

Пусть точка М (x0, y0) − точка пересечения прямых L1 и L2. Тогда координаты точки М должны удовлетворять обоим уравнениям. Решим систему уравнений:

Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениямиВзаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями

Следовательно, точка Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями− точка пересечения прямых L1 и L2.

Ответ: прямые пересекаются, Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями, точка пересечения прямых − точка Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями.

Задачи для усвоения пройденного материала.

1. Найти расстояние от точки А(−4, 1) до прямой, проходящей через точки B(1, −1), C(1, 5).

2. Выяснить взаимное расположение прямых Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениямии Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями.

3. Найти точку пересечения медиан треугольника, вершинами которого являются точки Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями

4. Найти точку пересечения высот треугольника, вершинами которого являются точки Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями

5. Написать уравнение прямой, проходящей через точку Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениямии составляющей угол 450 с прямой Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями.

6. Найти угол между прямыми Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениямииВзаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениями

1. При каких значениях параметров прямые Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениямии Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениямипараллельны? совпадают? пересекаются?

2. При каких значениях параметров прямые Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениямии Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениямипараллельны? совпадают? пересекаются?

3. При каких значениях параметров прямые Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениямии Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениямипараллельны? совпадают? пересекаются?

4. Как найти угол между пересекающимися прямыми,?

5. Как найти координаты точки пересечения прямых?

6. Как найти расстояние между параллельными прямыми?

7. При каких значениях параметров прямые Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениямии Взаимное расположение прямых на плоскости две прямые заданные общими уравнениямипараллельны? совпадают? пересекаются?

🎬 Видео

5. Нормальное уравнение плоскости выводСкачать

5. Нормальное уравнение плоскости вывод

✓ Расстояние между скрещивающимися прямыми | ЕГЭ-2018. Задание 13. Математика | Борис ТрушинСкачать

✓ Расстояние между скрещивающимися прямыми | ЕГЭ-2018. Задание 13. Математика | Борис Трушин

Взаимное расположение прямых на плоскости. Практическая часть. 7 класс.Скачать

Взаимное расположение прямых на плоскости. Практическая часть. 7 класс.

Уравнение прямой на плоскости. Решение задачСкачать

Уравнение прямой на плоскости. Решение задач

10 класс, 7 урок, Скрещивающиеся прямыеСкачать

10 класс, 7 урок, Скрещивающиеся прямые

Взаимное расположение прямых в пространстве. Видеоурок 3. Геометрия 10 классСкачать

Взаимное расположение прямых в пространстве. Видеоурок 3. Геометрия 10 класс

22. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространствеСкачать

22. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве

Геометрия 10 класс (Урок№5 - Взаимное расположение прямых в пространстве.)Скачать

Геометрия 10 класс (Урок№5 - Взаимное расположение прямых в пространстве.)
Поделиться или сохранить к себе: