Выяснить равносильны ли уравнения x2 4 и x 2

Видео:Дробно-рациональные уравнения. 8 класс.Скачать

Равносильные уравнения, преобразование уравнений

Некоторые преобразования позволяют нам перейти от решаемого уравнения к равносильным, а также к уравнениям-следствиям, благодаря чему упрощается решение первоначального уравнения. В данном материале мы расскажем, что из себя представляют эти уравнения, сформулируем основные определения, проиллюстрируем их наглядными примерами и поясним, как именно осуществляется вычисление корней исходного уравнения по корням уравнения-следствия или равносильного уравнения.

Видео:Алгебра 7 класс (Урок№47 - Равносильность уравнений и систем уравнений.)Скачать

Понятие равносильных уравнений

Равносильными называются такие уравнения, имеющие одни и те же корни, или же те, в которых корней нет.

Определения такого типа часто встречаются в различных учебниках. Приведем несколько примеров.

Уравнение f ( x ) = g ( x ) считается равносильным уравнению r ( x ) = s ( x ) , если у них одинаковые корни или у них обоих нет корней.

Уравнения с одинаковыми корнями считаются равносильными. Также ими считаются два уравнения, одинаково не имеющие корней.

Если уравнение f ( x ) = g ( x ) имеет то же множество корней, что и уравнение p ( x ) = h ( x ) , то они считаются равносильными по отношению друг к другу.

Когда мы говорим о совпадающем множестве корней, то имеем в виду, что если определенное число будет корнем одного уравнения, то оно подойдет в качестве решения и другому уравнению. Ни одно из уравнений, являющихся равносильными, не может иметь такого корня, который не подходит для другого.

Приведем несколько примеров таких уравнений.

Например, равносильными будут 4 · x = 8 , 2 · x = 4 и x = 2 , поскольку каждое из них имеет только один корень – двойку. Также равносильными будут x · 0 = 0 и 2 + x = x + 2 , поскольку их корнями могут быть любые числа, то есть множества их решений совпадают. Также равносильными будут уравнения x = x + 5 и x 4 = − 1 , каждое из которых не имеет ни одного решения.

Для наглядности рассмотрим несколько примеров неравносильных уравнений.

К примеру, таковыми будут x = 2 и x 2 = 4 , поскольку их корни отличаются. То же относится и к уравнениям x x = 1 и x 2 + 5 x 2 + 5 , потому что во втором решением может быть любое число, а во втором корнем не может быть 0 .

Определения, данные выше, подойдут и для уравнений с несколькими переменными, однако в том случае, когда мы говорим о двух, трех и более корнях, более уместно выражение «решение уравнения». Таким образом, подытожим: равносильные уравнения – это те уравнения, у которых одни и те же решения или их совсем нет.

Возьмем примеры уравнений, которые содержат несколько переменных и являются равносильными друг другу. Так, x 2 + y 2 + z 2 = 0 и 5 · x 2 + x 2 · y 4 · z 8 = 0 включают в себя по три переменных и имеют только одно решение, равное 0 , во всех трех случаях. А пара уравнений x + y = 5 и x · y = 1 равносильной по отношению друг к другу не будет, поскольку, например, значения 5 и 3 подойдут для первого, но не будут решением второго: при подстановке их в первое уравнение мы получим верное равенство, а во второе – неверное.

Видео:Равносильность уравнений и неравенств. Видеоурок 7. Алгебра 10 классСкачать

Понятие уравнений-следствий

Процитируем несколько примеров определений уравнений-следствий, взятых из учебных пособий.

Следствием уравнения f ( x ) = g ( x ) будет уравнение p ( x ) = h ( x ) при условии, что каждый корень первого уравнения будет в то же время корнем второго.

Видео:§8 Равносильные уравнения и неравенстваСкачать

Равносильные уравнения. Равносильные преобразования уравнений

Равносильными называют уравнения, имеющие одни и те же корни. Равносильными считаются также уравнения, каждое из которых не имеет корней.

• Уравнения (x+2=7) и (2x+1=11) равносильны, так как каждое из них имеет единственный корень – число (5).
• Равносильны и уравнения (x^2+1=0) и (2x^2+3=1) — ни одно из них не имеет корней.
• А вот уравнения (x-6=0) и (x^2=36) неравносильны, поскольку первое имеет только один корень (6), второе имеет два корня: (6) и (-6).

Равносильные преобразования уравнений — это такие преобразования, которые приводят нас к равносильным уравнениям.

Видео:СУПЕР ЛАЙФХАК — Как решать Иррациональные УравненияСкачать

Основные равносильные преобразования уравнений:

1. Перенос слагаемых из одной части уравнения в другую со сменой знака слагаемого на противоположный.

Умножение или деление обеих частей уравнения на одно число или выражение не равное нулю.

Применение всех формул и свойств, которые есть в математике.

Возведение в нечетную степень обеих частей уравнения.

Извлечение корня нечетной степени из обеих частей уравнения.

Видео:Алгебра 10 класс (Урок№19 - Равносильные уравнения и неравенства.)Скачать

Равносильные уравнения и уравнения следствия

Равносильные преобразования уравнений можно назвать «правильными» или «безошибочными» преобразованиями, потому что, сделав их, вы не нарушите математических законов. Почему тогда математики так их и не назвали: «правильные преобразования уравнений»? Потому что есть еще «полу-правильные» преобразования уравнений. В них уравнение при преобразовании приобретает дополнительные корни по ходу решения, но лишние корни мы при записи ответа не учитываем. Строгие математики их называют уравнениями следствиями:

Если каждый корень первого уравнения является корнем второго уравнения, но при этом у второго также есть корни не подходящие первому, то второе уравнение является следствием второго.

Пример (ОГЭ). Решите уравнение (x^2-2x+sqrt=sqrt+3)

Перенесем оба слагаемых из правой части в левую.

Взаимно уничтожим подобные слагаемые. Это и есть «полу-правильное преобразование», так как после него у уравнения становится два корня вместо изначального одного.

Это уравнение следствие из предыдущего. Найдем корни уравнения по теореме Виета .

Сверяем корни с ОДЗ и исключаем неподходящие.

(↑) не подходит под ОДЗ

Запишем ответ.

Переходить к уравнению следствию не запрещено, но при работе с ними нужно быть осторожным и не забывать про ОДЗ .

Пример. В каких пунктах применялись равносильные преобразования, а в каких был переход к уравнению следствию? Укажите какие виды равносильных преобразований применялись.

Решение:

В пункте a) применялось равносильное преобразование 1.

В пункте b) перешли к уравнению следствию, так как (sqrt) «ушло», то ОДЗ расширилось;

В пункте с) тоже перешли к уравнению следствию, из-за того что умножили на знаменатель;

В пункте d) применялось равносильное преобразование: «Извлечения корня нечетной степени из обеих частей уравнения»;

В пункте e) умножили обе части уравнения на (2) т.е. равносильно преобразовали;

В пункте f) перешли от вида (a^=a^) к виду (f(x) =g(x)), что тоже является равносильным преобразованием.

Видео:11 класс, 26 урок, Равносильность уравненийСкачать

Равносильные уравнения, правила преобразований

п.1. Понятие равносильных уравнений

Равносильными называют уравнения, имеющие одни и те же корни.

Равносильными считаются также уравнения, каждое из которых не имеет корней.

Каждое из уравнений имеет один и тот же корень x=1

$implies$ уравнения равносильны

$x_1 = 3 и x_2 = -2$

Первое уравнение имеет два корня, а второе – только один корень

$implies$ уравнения неравносильны

Оба уравнения не имеют решений

$implies$ уравнения равносильны

п.2. Правила преобразования уравнений

При решении уравнения его стараются заменить более простым равносильным уравнением. При этом используют следующие правила.

Правила преобразования уравнений

• 1. В любой части уравнения можно раскрывать скобки и приводить подобные.
• 2. Любое слагаемое в уравнении можно перенести из одной части в другую, изменив его знак.
• 3. Обе части уравнения можно умножать или делить на одно и то же число, отличное от нуля.

В результате этих преобразований всегда получаем уравнение, равносильное данному.

п.3. Примеры

Пример 1. Решите уравнение $ frac x = 12 — 7x$

$ frac x = 12 — 7x iff frac x + 7x = 12 iff 7 frac x = 12 iff x = 12:7 frac iff$

$ x = 12 cdot frac = frac =1 frac $

Пример 2. Решите уравнение $ frac — frac = 10$

$ frac — frac = 10 | times 14 iff 6x — x = 140 iff 5x = 140 iff x = 140 : 5 = 28$

Пример 3. Решите уравнение $7x — frac =frac 15 (3x+14)$

$7x — frac 25 = frac 15 (3x + 14) | times 5 iff 35x — 2 = 3x + 14 iff 35x — 3x = 14 + 2 iff$

$ iff 32x = 16 iff x = frac = frac 12$

Ответ: x = frac 12

Пример 4. Решите уравнение $frac — frac = frac $

$frac — frac = frac | times 8 iff 4(5x-1)-(3x+4)=2(x-3) iff $

$ iff 15x=2 iff x= frac $

Пример 5. При каких значениях a равносильны уравнения

Найдём корень первого уравнения

$3(x-1)=5-x iff 3x-3=5-x iff 3x+x=5+3 iff 4x=8 iff x=2$

Подставим во второе

$a cdot 2=2+a iff 2a-a=2 iff a=2$

При a=2 оба уравнения имеют один корень x=2.

🎦 Видео

Равносильные уравнения. Рациональные уравнения - 8 класс алгебраСкачать

Как решать уравнения? уравнение 7 класс. Линейное уравнениеСкачать

РАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. §7 алгебра 8 классСкачать

§19 Логарифмические уравненияСкачать

Как решать дробно-рациональные уравнения? | МатематикаСкачать

Алгебра 8 класс (Урок№19 - Уравнение х² = а.)Скачать

Cистемы уравнений. Разбор задания 6 и 21 из ОГЭ. | МатематикаСкачать

Решение неравенства методом интерваловСкачать

ДВА БЫСТРЫХ СПОСОБА решения уравнения |x-2|=|x+5| ★ Как решать?Скачать

Как решают уравнения в России и СШАСкачать

Равносильность уравнений. Уравнение – следствие | Алгебра 11 класс #24 | ИнфоурокСкачать

Рациональные уравнения. Равносильные уравнения. Алгебра 8клСкачать

Линейное уравнение с двумя переменными. 7 класс.Скачать