Вывод уравнения затухающих электрических колебаний (6 видео)

Затухающие колебания в контуре и их уравнение

Существуют колебания в системе без источника энергии, называемые затухающими. Рассмотрим реальный контур с сопротивлением не равным нулю. Для примера используют контур с включенным сопротивлением R , с емкостью конденсатора C , с катушкой индуктивности L , изображенный на рисунке 1 . Колебания, происходящие в нем, — затухающие.

Именно наличие сопротивления становится главной причиной их затухания. Данный процесс возможен посредствам потерь энергии на выделение джоулева тепла. Аналог сопротивления в механике – действие сил трения.

Содержание

Характеристики затухающих колебаний
Уравнения затухающих колебаний
Вывод уравнения затухающих электрических колебаний
Затухающие электрические колебания
Рис. 1
Рис. 2
Ход работы
Рис. 4
Рис. 5
Вывод уравнения затухающих электрических колебаний
🌟 Видео

Видео:Уравнения и графики механических гармонических колебаний. 11 класс.Скачать

Характеристики затухающих колебаний

Затухающие колебания характеризуют коэффициентом затухания β . Применив второй закон Ньютона, получим:

m a = — k x — y v , d 2 x d t 2 + r m d x d t + k m x = 0 , ω 0 2 = k m , β = r 2 m .

Из записи видно, что β действительно является характеристикой контура. Реже вместо β применяют декремент затухания δ ,

Значение a ( t ) является амплитудой заряда, силы тока и так далее, δ равняется количеству колебаний, а N e — период времени уменьшения амплитуды в e раз.

Для R L C контура применима формула с ω частотой.

При небольшой δ ≪ 1 говорят, что β ≪ ω 0 ω 0 = 1 L C — собственная частота, отсюда ω ≈ ω 0 .

При рассмотрении затухающих колебаний последовательного контура колебательный контур характеризуется добротностью Q :

Q = 1 R L C = ω 0 L R , где R , L и C — сопротивление, индуктивность, емкость, а ω 0 — частота резонанса. Выражение L C называют характеристическим или волновым сопротивлением. Для параллельного контура формула примет вид:

Q = R L C = R ω 0 L .

R является входным сопротивлением параллельного контура.

Эквивалентное определение добротности применяется при слабых затуханиях. Его выражают через отношение энергий:

Q = ω 0 W P d = 2 π f 0 W P d , называемое общей формулой.

Видео:Урок 355. Затухающие электромагнитные колебания.Скачать

Уравнения затухающих колебаний

Рассмотрим рисунок 1 . Изменение заряда q на конденсаторе в таком контуре описывается дифференциальным уравнением:

q ( t ) = q 0 e ( — β t ) cos ω t + a ‘ 0 = q 0 e — β t cos ( ω t ) .

Если t = 0 , то заряд конденсатора становится равным q 0 , и ток в цепи отсутствует.

Если R > 2 L C изменения заряда не относят к колебаниям, разряд называют апериодическим.

Значение сопротивления, при котором колебания превращаются в апериодический разряд конденсатора, критическое R k .

Функция изображается аналогично рисунку 2 .

Записать закон убывания энергии, запасенной в контуре W ( t ) при W ( t = 0 ) = W 0 с затухающими колебаниями. Обозначить коэффициент затухания в контуре β , а собственную частоту — ω 0 .

Решение

Отправная точка решения – это применение формулы изменения заряда на конденсаторе в R L C — контуре:

q ( t ) = q 0 e ( — β t ) cos ω t + a ‘ 0 = q 0 e — β t cos ( ω t ) .

Предположим, что при t = 0 , a ‘ 0 = 0 . Тогда применим выражение

Для нахождения I ( t ) :

I ( t ) = — ω 0 q 0 e ( — 2 β t ) sin ( ω t + α ) , где t g α = β ω .

Очевидно, что электрическая энергия W q запишется как:

W q = q 2 2 C = q 0 2 2 C e ( — 2 β t ) cos 2 ( ω t ) = W 0 e ( — 2 β t ) cos 2 ( ω t ) .

Тогда значение магнитной энергии контура W m равняется:

W m = L 2 ω 0 2 q 0 2 e ( — 2 β t ) sin 2 ω t + a = W 0 e — 2 β t sin 2 ω t + a .

Запись полной энергии будет иметь вид:

W = W q + W m = W 0 e ( — 2 β t ) ( cos 2 ( ω t ) + sin 2 ( ω t + a ) ) = = W 0 e ( — 2 β t ) 1 + β ω 0 sin ( 2 ω t + α ) .

Где sin α = β ω 0 .

Ответ: W ( t ) = W 0 e ( — 2 β t ) 1 + β ω 0 sin ( 2 ω t + a ) .

Применив результат предыдущего примера, записать выражение для энергии, запасенной в контуре W ( t ) , при медленно затухающих колебаниях. Начертить график убывания энергии.

Решение

Если колебания в контуре затухают медленно, то:

Очевидно, выражение энергии, запасенной в контуре, вычислим из

W ( t ) = W 0 e ( — 2 β t ) 1 + β ω 0 sin ( 2 ω t + a ) , предварительно преобразовав до W ( t ) = W 0 e ( — 2 β t ) .

Такое упрощение возможно по причине выполнения условия β ω 0 ≪ 1 , sin ( 2 ω t + a ) ≤ 1 , что означает β ω 0 sin ( 2 ω t + a ) ≪ 1 .

Ответ: W ( t ) = W 0 e ( — 2 β t ) . Энергия в контуре убывает по экспоненте.

Видео:Урок 343. Затухающие колебания (часть 1)Скачать

Вывод уравнения затухающих электрических колебаний

Цель работы — наблюдение и изучение затухающих электрических колебаний с помощью осциллографа: определение периода колебаний, влияние параметров колебательного контура L , C , R на характер затухающих колебаний.

Приборы и принадлежности : осциллограф, набор колебательных контуров с изменяемыми параметрами L , C , R ; генератор прямоугольных импульсов.

Видео:ЧК_МИФ ВЫВОД УРАВНЕНИЯ ВЫНУЖДЕННЫХ КОЛЕБАНИЙСкачать

Затухающие электрические колебания

Замкнутая цепь, состоящая из катушки индуктивностью L и конденсатора емкостью C , представляет собой колебательный контур (рис. 1).

Предложим, что мы, разомкнув контур, зарядили конденсатор. Между пластинами конденсатора появится электрическое поле, которое будет обладать энергией (рис. 1, а). Замкнем теперь кон —

денсатор на катушку с индуктивностью. Конденсатор начнет разряжаться, и его электрическое поле будет уменьшаться. При этом в контуре возникнет электрический ток разряда конденсатора, а в цепи потечет ток, отчего в катушке появится магнитное поле. Но за счет явления самоиндукции, наблюдаемой в катушке L , ток в цепи нарастает медленно. Через время, равное четверти периода колебаний, конденсатор разрядится полностью и электрическое поле исчезнет, в этот момент времени ток в цепи будет максимальный. Но магнитное поле в катушке при этом достигнет максимума, а следовательно, энергия электрического поля переходит в энергию магнитного поля, определяемую формулой (рис.1 б).

Рис. 1

В дальнейшие моменты времени магнитное поле будет исчезать, т.к. ток в цепи уменьшится до нуля. Это исчезающее поле вызовет экстраток самоиндукции, который в соответствии с законом Ленца будет стремиться поддерживать ток разряда. Поэтому конденсатор по отношению к первичному направлению тока будет перезаряжаться и между его пластинами появится электрическое поле противоположного направления. Через время, равное половине периода колебаний, магнитное поле исчезнет, ток в цепи равен нулю электрическое поле достигнет максимума, а энергия магнитного поля вновь превратится в энергию электрического поля (рис. 1в). В дальнейшем конденсатор будет снова разряжаться, и в контуре возникнет ток, направленный противоположно току в предыдущей стадии процесса. Через время 3/4 Т конденсатор вновь окажется разряженным, а энергия электрического поля превратится в энергию магнитного поля (рис. 1, г ) и ток в цепи станет максимальным. Через промежутки времени, равные полному периоду колебаний Т, электрическое состояние контура будет таким же, как и в начале колебаний (рис. 1, а).

Если сопротивление контура равно нулю, то указанный процесс периодического превращения энергии электрического поля в энергию магнитного поля и обратно будет продолжаться неограниченно долго, и мы получим собственные незатухающие электрические колебания.

Всякий реальный контур обладает активным сопротивлением, вследствие этого энергия, первоначально запасенная в конденсаторе, непрерывно расходуется на выделение джоулева тепла, так что амплитуда колебаний постепенно уменьшается и в конце концов колебания в контуре прекращаются. В этом случае в контуре наблюдаются свободные затухающие электрические колебания. Найдем закон изменения силы тока и напряжения.

Запишем для контура (рис. 2) второй закон Кирхгофа:

где U_R = I R – падение потенциала на сопротивлении R ; – падение потенциала на обкладках конденсатора; C – емкость конденсатора; – ЭДС самоиндукции, возникающая в катушке;

L – индуктивность катушки.

Подставляя выражения U_R , U_C и ε в (1), получим

так как , а , , то получим

. (2)

Рис. 2

Уравнение (2) – дифференциальное уравнение затухающих колебаний.

; , (2а)

где – коэффициент затухания; – частота собственных коле

баний контура. Уравнение (2) с учетом (2а) можно записать в виде

= 0. (3)

Найдем решение уравнения (3):

, (4)

где – частота затухающих колебаний; U ₀ ,

₀ – амплитуда и начальная фаза затухающих колебаний.

Величина U ₀ выражает амплитуду затухающих колебаний.

Затухание колебаний происходит тем быстрее, чем больше омическое сопротивление контура R и чем меньше индуктивность.

Период затухающих колебаний T определяется формулой

T = .

Подставляя сюда вместо w ₀ и (2а), получим

T ₁ = . (5)

В случае свободных незатухающих колебаний активное сопротивление контура равно нулю. Отсюда получим известную формулу Томсона

T ₂ = 2 . (6)

Амплитуда затухающих колебаний падения потенциала на конденсаторе

U _с = , (7)

которая меняется во времени по экспоненциальному закону (рис. 3), где U_o – значение амплитуды напряжения в момент времени t =0.

Отношение соседних амплитуд, отстоящих друг от друга на время, равное одному периоду, называется декрементом затухания :

а логарифм этого отношения – логарифмическим декрементом затухания :

. (8)

Из формулы (8) получим

T ₂ = . (9)

При медленных затухающих колебаниях R мало по сравнению с L , и для периода колебаний справедлива формула (6). В этом случае формулу (8) с учетом (6) можно записать в виде

. (10)

Видео:Свободные электромагнитные колебания. 11 класс.Скачать

Ход работы

Осциллограммы затухающих колебаний можно получить с помощью установок, схемы которых приведены на рис. 4 и 5.
Рис. 4 – схема установки с генератором прямоугольных импульсов. Рис. 5 – схема установки с осциллографом, имеющим генератор прямоугольных импульсов (рис. 5).

Рис. 4

Рис. 5

1. Включить установку, собранную по одной из схем, приведенных на рис. 4 и 5.

1. Выбрать в соответствии с таблицей (или по указанию преподавателя) фиксированные параметры L , R и, меняя параметр C колебательного контура, изучить зависимость периода колебаний T от величины емкости колебательного контура.

3. В графу «Т» занести значение периода колебаний, измеренное с помощью электронного осциллографа. В графу «Т₁» — значение периода затухающих колебаний, рассчитанное по формуле (5), а в графу «Т₂» — значение периода колебаний, рассчитанное по формуле (6).

4. Точно так же выбрать фиксированные значения C и R , меняя параметр L колебательного контура изучить зависимость периода колебаний от величины индуктивности контура.

5. Выбрав фиксированные значения C и L , меняя значение R изучить зависимость периода колебаний от сопротивления контура.

6. Зарисовать на кальку осциллограммы затухающих колебаний для тех же значений параметров L , C , R колебательного контура, затем перенести их на миллиметровую бумагу.

7. Измерить в миллиметрах величины соседних амплитуд , отстоящих друг от друга на время равное одному периоду колебаний.

(11)

рассчитать измеренное значение логарифмического декремента затухания.

9. По формуле (8) рассчитать значение логарифмического декремента затухания, исходя из параметров колебательного контура, и сравнить со значением (11).

Видео:70. Затухающие колебанияСкачать

Вывод уравнения затухающих электрических колебаний

§6 Затухающие колебания

Декремент затухания. Логарифмический декремент затухания.

Добротность

Свободные колебания технических систем в реальных условиях протекают, когда на них действуют силы сопротивления. Действие этих сил приводит к уменьшению амплитуды колеблющейся величины.

Колебания, амплитуда которых из-за потерь энергии реальной колебательной системы уменьшается с течением времени, называются затухающими.

Наиболее часто встречается случаи, когда сила сопротивления пропорциональна скорости движения

где r — коэффициент сопротивления среды. Знак минус показывает, что F_C направлена в сторону противоположную скорости.

Запишем уравнение колебаний в точке, колеблющийся в среде, коэффициент сопротивлений которой r . По второму закону Ньютона

где β — коэффициент затухания. Этот коэффициент характеризует скорость затухания колебаний, При наличии сил сопротивления энергия колеблющейся системы будет постепенно убывать, колебания будут затухать.

— дифференциальное уравнение затухающих колебаний.

— у равнение затухающих колебаний.

ω – частота затухающих колебаний:

Период затухающих колебаний:

Затухающие колебания при строгом рассмотрении не являются периодическими. Поэтому о периоде затухаюших колебаний можно говорить, когда β мало.

Если затухания выражены слабо (β→0), то . Затухающие колебания можно

рассматривать как гармонические колебания, амплитуда которых меняется по экспоненциальному закону

В уравнении (1) А₀ и φ₀ — произвольные константы, зависящие от выбора момента времени, начиная е которого мы рассматриваем колебания

Рассмотрим колебание в течение, некоторого времени τ, за которое амплитуда уменьшится в е раз

τ — время релаксации.

Коэффициент затихания β обратно пропорционален времени, в течение которого амплитуда уменьшается в е раз. Однако коэффициента затухания недостаточна для характеристики затуханий колебаний. Поэтому необходимо ввести такую характеристику для затухания колебаний, в которую входит время одного колебаний. Такой характеристикой является декремент (по-русски: уменьшение) затухания D , который равен отношению амплитуд, отстоящих по времени на период:

Логарифмический декремент затухания равен логарифму D :

Логарифмический декремент затухания обратно пропорционален числу колебаний, в результате которых амплитуда колебаний уменьшилась в е раз. Логарифмический декремент затухания — постоянная для данной системы величина.

Еще одной характеристикой колебательной система является добротность Q .

Добротность пропорциональна числу колебаний, совершаемых системой, за время релаксации τ.

Добротность Q колебательной системы является мерой относительной диссипации (рассеивания) энергии.

Добротность Q колебательной системы называется число, показывающее во сколько раз сила упругости больше силы сопротивления.

Чем больше добротность, тем медленнее происходит затухание, тем затухающие колебания ближе к свободным гармоническим.

§7 Вынужденные колебания.

Резонанс

В целом ряде случаев возникает необходимость создания систем, совершающих незатухающие колебания. Получить незатухающие колебания в системе можно, если компенсировать потери энергии, воздействуя на систему периодически изменяющейся силой.

Запишем выражение для уравнения движения материальной точки, совершающей гармоническое колебательное движение под действием вынуждающей силы.

По второму закону Ньютона:

(1)

— дифференциальное уравнение вынужденных колебаний.

Это дифференциальное уравнение является линейным неоднородным.

Его решение равно сумме общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения:

Найдем частное решение неоднородного уравнения. Для этого перепишем уравнение (1) в следующем виде:

(2)

Частное решение этого уравнения будем искать в виде:

т.к. выполняется для любого t , то должно выполняться равенство γ = ω , следовательно,

Это комплексное число удобно представить в виде

где А определяется по формуле (3 ниже), а φ — по формуле (4), следовательно, решение (2),в комплексной форме имеет вид

Его вещественная часть, являвшаяся решением уравнения (1) равна:

(3)

(4)

Слагаемое Х_о.о. играет существенную роль только в начальной стадии при установлении колебаний до тех пор, пока амплитуда вынужденных колебаний не достигнет значения определяемого равенством (3). В установившемся режиме вынужденные колебания происходят с частотой ω и являются гармоническими. Амплитуда (3) и фаза (4) вынужденных колебаний зависят от частоты вынуждающей силы. При определенной частоте вынуждающей силы амплитуда может достигнуть очень больших значений. Резкое возрастание амплитуды вынужденных колебаний при приближении частоты вынуждающей силы к собственной частоте механической системы, называется резонансом.

Частота ω вынуждающей силы, при которой наблюдается резонанс, называется резонансной. Для того чтобы найти значение ω_рез, необходимо найти условие максимума амплитуды. Для этого нужно определить условие минимума знаменателя в (3) (т.е. исследовать (3) на экстремум).

Зависимость амплитуды колеблющейся величины от частоты вынуждающей силы называется резонансной кривой. Резонансная кривая будет тем выше, чем меньше коэффициент затухания β и с уменьшением β, максимум резонансных кривых смешается вправо. Если β = 0, то

При ω→0 все кривые приходят к значению — статическое отклонение.

Параметрический резонанс возникает в том случае, когда периодическое изменение одного из параметров система приводит к резкому увеличению амплитуды колеблющейся системы. Например, кабины, делающие «солнышко» за счет изменения положения центра тяжести система.(То же в «лодочках».) См. §61 .т. 1 Савельев И.В.