Вывод уравнения сферы в прямоугольной системе координат (6 видео)

Сфера. Уравнение сферы — Сфера — ЦИЛИНДР, КОНУС И ШАР

— ввести понятие сферы, шара и их элементов;

— вывести уравнение сферы в заданной прямоугольной системе координат;

— формировать навык решения задач по данной теме.

I. Организационный момент

II. Самостоятельная работа (см. приложение).

Самостоятельная работа записывается в домашних тетрадях.

Дано: усеченный конус, O1С = 3 см, OD = 6 см, OO1 = 4 см (рис. 1).

Найти: Sсеч., Sбок.

Решение: Осевым сечением усеченного конуса является равнобедренная трапеция. ΔCKD — прямоугольный, по теореме Пифагора (Ответ: Sсеч. = 36 cм2, Sбок. = 45π см2.)

Дано: усеченный конус, OD = 7 см, CD = 5 см, ОО1 = 4 см (рис. 2).

Найти: Sсеч., Sбок.

Решение: Осевым сечением усеченного конуса является равнобедренная трапеция. ΔCKD — прямоугольный, по теореме Пифагора (Ответ: Sсеч. = 44 cм2, Sбок. = 55π см2.)

Дано: усеченный конус, АС = 40 см, AC ⊥ CD, CD = 30 см (рис. 3).

Решение: Сечение усеченного конуса является равнобедренная трапеция ΔADC — прямоугольный, по теореме Пифагора Так как СН — высота прямоугольного треугольника, то СН2 = АН · HD. ΔCHD — прямоугольный.

(Ответ: Sсеч. = 768 см2, Sr = 1634π см2.)

Дано: Усеченный конус, O1С = 1 дм, OD = 7 дм, BD ⊥ AС (рис. 4).

Решение: Осевым сечением усеченного конуса является равнобедренная трапеция. ΔВМС — прямоугольный и равнобедренный: ΔAMD — прямоугольный и равнобедренный: ΔMO1C- прямоугольный: ΔAОМ — прямоугольный: ΔСHD — прямоугольный:

(Ответ: Sсеч.= 64 дм2, Sr = 130π дм2.)

Дано: усеченный конус O1С = 16 см, OD = 25 см. Окружность, вписанная в сечение (осевое) (рис. 5).

Решение: Осевым сечением усеченного конуса является равнобедренная трапеция. Так как в трапецию вписана окружность, то O1С = CF = 16 (см) и OD = DF = 25 (см) (как отрезки касательных к окружности, проведенных из одной точки). ΔCHD — прямоугольный: (Ответ: Sr = 2562π см2.)

Дано: усеченный конус, AF= 35 см, FC = 10 см, CD = 39 см (рис. 6).

Решение: . ΔAOF ∞ ΔAHC (по двум углам): ΔАСН — прямоугольный: по теореме Пифагора ΔCHD — прямоугольный:

(Ответ: Sr = 1530π см2.)

III. Изучение нового материала

Вспомните определение окружности.

Окружность — множество точек плоскости, равноудаленных от данной точки.

Дайте определение сферы.

Сферой называется поверхность, состоящая из всех точек пространства, расположенных на данном расстоянии от данной точки.

Данная точка О называется центром сферы, а данное расстояние — радиусом сферы. Обозначается R. Любой отрезок, соединяющий центр и какую-нибудь точку сферы, также называется радиусом сферы. Отрезок, соединяющий две точки сферы и проходящий через ее центр, называется диаметром сферы. Диаметр сферы равен 2R. Вспомните определение круга.

Круг — это часть плоскости, ограниченная окружностью. Дайте определение шара:

Тело, ограниченное сферой, называется шаром. Существует и другое определение шара:

Шаром радиуса R с центром в точке О называется тело, которое содержит все точки пространства, расположенные от точки О на расстоянии, не превышающем R (включая О), и не содержит других точек.

Сфера может быть получена вращением полуокружности вокруг ее диаметра, а шар — вращением полукруга вокруг его диаметра.

Сфера получена вращением полуокружности АСВ вокруг диаметра АВ.

Прежде чем вывести уравнение сферы познакомимся с понятием уравнения поверхности в пространстве.

Введем прямоугольную систему координат Oxyz и некоторую поверхность F.

Уравнение с тремя переменными х, у, z называется уравнением поверхности F, если этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки поверхности F и не удовлетворяют координаты никакой точки, не лежащей на этой поверхности.

Выведите самостоятельно уравнение сферы радиуса R с центром С(х0, у0, z0), используя формулу для вычисления расстояния между двумя точками с заданными координатами.

Найдите расстояние от произвольной точки М(х, у, z) до С(х0, у0, z0) (рис. 9).

Если точка М лежит на сфере, то MC = R.

так, как любая точка сферы, то уравнение сферы

Если же точка М не лежит на данной сфере, то МС ≠ R, т.е. координаты точки М не удовлетворяют уравнению Следовательно, в прямоугольной системе координат уравнение сферы радиуса R с центром С (х0, у0, z0) имеет вид

IV. Закрепление изученного материала

№ 573 а). Дано: А и В лежат на сфере, О ∉ АВ, АМ = МВ (рис. 10).

Доказать: ОМ ⊥ AB.

Доказательство: ΔAОВ — равнобедренный (АО = ОВ = R), АМ = MB (по условию), значит ОМ — медиана ΔАОВ. Так как медиана в равнобедренном треугольнике, опущенная к основанию, является высотой, то ОМ ⊥ AB.

№ 574 а) (используется тот же чертеж) решить самостоятельно.

Дано: А и В лежат на сфере, R = 50 см, АВ = 40 см. АМ = MB.

Так как ОМ ⊥ AB (смотрите предыдущую задачу), то ΔАМО — прямоугольный. По теореме Пифагора

№ 576 а). Дано: R = 3; A(2; -4; 7).

Найти: уравнение сферы.

Решение:

№ 578 решить устно а) О(0; 0; 0), R = 7; б) А(3; -2; 0), R = √2.

№ 577 а). Дано: А(-2; 2; 0); N(5; 0; -1).

Найти: уравнение сферы с центром в А.

Решение: Так как сфера проходит через точку N, значит, ее координаты удовлетворяют уравнению сферы.

Дополнительная задача № 579 а) г)

(Ответ: О(2; 0; 0), R = 2.)

(Ответ: О(0,5; -1,5; 1), R = √6.)

V. Подведение итогов

Повторить определение сферы, шара.

— Как может быть получена сфера, шар?

— Какой вид имеет уравнение сферы?

П. 58, 59.1 уровень № 573 б), № 576 в); II уровень № 577 в)

Сфера задана уравнением x2 + у2 + z2 + 2у — 4z = 4.

а) Найдите координаты центра и радиус сферы.

б) Найдите значение m, при котором точки А(0; m; 2) н В (1; 1; m-2) принадлежат данной сфере.

Библиотека образовательных материалов для студентов, учителей, учеников и их родителей.

Наш сайт не претендует на авторство размещенных материалов. Мы только конвертируем в удобный формат материалы из сети Интернет, которые находятся в открытом доступе и присланные нашими посетителями.

Если вы являетесь обладателем авторского права на любой размещенный у нас материал и намерены удалить его или получить ссылки на место коммерческого размещения материалов, обратитесь для согласования к администратору сайта.

Разрешается копировать материалы с обязательной гипертекстовой ссылкой на сайт, будьте благодарными мы затратили много усилий чтобы привести информацию в удобный вид.

Видео:Метод координат для ЕГЭ с нуля за 30 минут.Скачать

Геометрия. 11 класс

Конспект урока

Геометрия, 11 класс

Урок №8. Сфера и шар

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

что такое сфера, какие у неё есть элементы (центр, радиус, диаметр сферы);
что такое шар и его элементы;
уравнение сферы;
формула для нахождения площади поверхности сферы;
взаимное расположение сферы и плоскости;
теорема о радиусе сферы, который проведён в точку касания и теорему обратную данной.

Глоссарий по теме:

Окружность – множество точек плоскости, равноудалённых от данной точки. Данная точка называется центром окружности, расстояние от центра до любой точки окружности называется радиусом окружности.

Круг – это часть плоскости, ограниченная окружностью.

Сфера – это поверхность, состоящая из всех точек пространства, расположенных на заданном расстоянии от данной точки, которую называют центром.

Тело, ограниченное сферой, называется шаром.

Шар можно описать и иначе. Шаром радиуса R с центром в точке О называется тело, которое содержит все точки пространства, расположенные от точки О на расстоянии, не превышающем R (включая О), и не содержит других точек.

– уравнение сферы радиуса R и центром С(x₀; y₀; z₀).

Плоскость, имеющая со сферой только одну общую точку, называется касательной плоскостью к сфере, а их общая точка – точкой касания.

Сегмент шара — это часть шара, которая отсекается от шара секущей плоскостью. Основой сегмента называют круг, который образовался в месте сечения. Высотой сегмента h называют длину перпендикуляра проведенного с середины основы сегмента к поверхности сегмента.

Сектором называется часть шара, ограниченная совокупностью всех лучей, исходящих из центра шара О и образующих круг на его поверхности с радиусом r.

Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. и др. Геометрия. 10–11 классы : учеб. для общеобразоват. организаций : базовый и углубл. уровни – М. : Просвещение, 2014. – 255, сс. 136-142.

Шарыгин И.Ф., Геометрия. 10–11 кл. : учеб. для общеобразоват. учреждений– М.: Дрофа, 2009. – 235, : ил., ISBN 978–5–358–05346–5, сс. 77-84.

Открытые электронные ресурсы:

Теоретический материал для самостоятельного изучения

1. Основные теоретические факты

По аналогии с окружностью сферу рассматривают как множество всех точек равноудалённых от заданной точки, но только всех точек не плоскости, а пространства.

Рисунок 1 – Сфера с центром в точке О и радиусом R

Данная точка О называется центром сферы, а заданное расстояние – радиусом сферы (обозначается R). Любой отрезок, соединяющий центр и какую-нибудь точку сферы, также называется радиусом сферы. Отрезок, соединяющий две точки сферы и проходящий через центр, называется диаметром (обозначается D). D=2R.

Сферой называется поверхность, состоящая из всех точек пространства, расположенных на заданном расстоянии от данной точки, которую называют центром.

Тело, ограниченное сферой, называется шаром.

Сферу можно получить ещё одним способом — вращением полуокружности вокруг её диаметра, а шар – вращением полукруга вокруг его диаметра.

2. Уравнение сферы

Прежде чем вывести уравнение сферы введем понятие уравнения поверхности в пространстве. Для этого рассмотрим прямоугольную систему координат Oxyz и некоторую поверхность F. Уравнение с тремя переменными x, y, z называется уравнением поверхности F, если этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки поверхности F и не удовлетворяют координаты никакой другой точки.

Пусть сфера имеет центром точку С (x₀; y₀; z₀) и радиус R. Расстояние от любой точки М (x; y; z) до точки С вычисляется по формуле:

МС=

Исходя из понятия уравнения поверхности, следует, что если точка М лежит на данной сфере, то МС=R, или МС 2 =R 2 , то есть координаты точки М удовлетворяют уравнению:

Это выражение называют уравнением сферы радиуса R и центром С(x₀; y₀; z₀).

3. Взаимное расположение сферы и плоскости

Взаимное расположение сферы и плоскости зависит от соотношения между радиусом сферы R и расстояния от центра сферы до плоскости d.

1. Пусть dR. Если расстояние от центра сферы до плоскости меньше радиуса сферы, тогда сфера и плоскость пересекаются, и сечение сферы плоскостью есть окружность.

2. Пусть d=R. Если расстояние от центра сферы до плоскости равно радиусу сферы тогда сфера и плоскость имеют только одну общую точку, и в этом случае говорят, что плоскость касается сферы.

3. Пусть dR. Если расстояние от центра сферы до плоскости больше радиуса сферы, то сфера и плоскость не имеют общих точек.

Рассмотрим случай касания более подробно.

Плоскость, имеющая со сферой только одну общую точку, называется касательной плоскостью к сфере, а их общая точка – точкой касания.

Теорема (свойство касательной плоскости).

Радиус сферы, проведённый в точку касания сферы и плоскости, перпендикулярен к касательной плоскости.

Теорема (признак касательной плоскости):

Если радиус сферы перпендикулярен к плоскости, проходящей через его конец, лежащей на сфере, то эта плоскость является касательной к сфере.

4. Основные формулы

Соотношение между радиусом сферы, радиусом сечения и расстоянием от центра сферы до плоскости сечения:

Формула для вычисления площади поверхности сферы и ее элементов:

S=4πR 2 – площадь сферы.

S = 2πRh – площадь поверхности сегмента сферы радиуса R с высотой h.

– площадь поверхности сектора с высотой h.

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

1. Площадь сечения шара, проходящего через его центр, равна 9 кв. м. Найдите площадь поверхности шара.

Площадь круга вычисляется по формуле: S_кр=πR 2 .

Площадь поверхности шара вычисляется по формуле: S_сф=4πR 2 . Радиус шара и радиуса сечения, проходящего через центр шара, одинаковые. Поэтому площадь поверхности шара в 4 раза больше площади его диаметрального сечения. То есть площадь поверхности шара равна 36.

2. Вычислите радиус круга, площадь которого равна площади сферы радиуса 5.

Площадь сферы равна S_сф=4πR 2 . То есть S_сф=100π.

По условию площадь круга некоторого радиуса r также равна 100π. Значит, r 2 =100, то есть r=10.

3. Все стороны треугольника АВС касаются сферы радиуса 5. Найти расстояние от центра сферы до плоскости треугольника, если АВ=13, ВС=14, СА=15

Окружность, вписанная в треугольник, является сечением сферы.

Найдем ее радиус.

Площадь треугольника с известными сторонами можно вычислить по формуле Герона:

С другой стороны, S=p·r.

Теперь найдем расстояние от центра шара до секущей плоскости.

4. Вершины прямоугольника лежат на сфере радиуса 10. Найти расстояние от центра сферы до плоскости прямоугольника, если его диагональ равна 16.

Так как вершины прямоугольника лежат на сфере, то окружность, описанная около прямоугольника, является сечением сферы.

Радиус окружности, описанной около прямоугольника, равен половине его диагонали, то есть r=8.

Видео:11 класс, 20 урок, Уравнение сферыСкачать

Урок «Сфера. Уравнение сферы»

Краткое описание документа:

ТЕКСТОВАЯ РАСШИФРОВКА УРОКА:

Продолжаем изучение сферы.

На прошлых занятиях вы познакомились с определением сферы и шара.

Вспомним, что сферой называется поверхность, состоящая из всех точек пространства, расположенных на заданном расстоянии от данной точки.

Данная точка — центр сферы.

Заданное расстояние — радиус сферы.

Прежде чем вывести уравнение сферы, познакомимся с понятием уравнения поверхности в пространстве.

Зададим прямоугольную систему координат Оxyz и некоторую поверхность F.

Уравнением поверхности F называется уравнение с тремя переменными x, y, z, если этому уравнению удовлетворяют координаты всех точек поверхности F и не удовлетворяют координаты точки, не принадлежащей этой поверхности.

1.Рассмотрим сферу радиуса R и с центром С(x0; y0; z0).

2.Найдём расстояние от произвольной точки М(x; y; z) до центра С( x0 ; y0 ; z0) по формуле для вычисления расстояния между двумя точками с заданными координатами.

3. Если точка М лежит на сфере, то отрезок МС равен радиусу R, то есть

4.В случае если точка М не принадлежит данной сфере, то R≠МС, значит, координаты точки М не удовлетворяют уравнению R2=(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2.

5. Таким образом, в прямоугольной системе координат Оxyz уравнение сферы с центром

С (x0 ; y0 ; z0) и радиусом R имеет вид:

Применим полученные знания при решении задач.

Записать уравнение сферы с центром в точке А, которая проходит через точку N, если А(-2;2;0) и N(5;0;-1).

1.Запишем уравнение сферы с центром

А (x0 ; y0 ; z0) и радиусом R:

2.Подставим соответствующие координаты центра сферы А в данное уравнение:

Уравнение сферы с центром в точке А с координатами (-2;2;0) примет вид:

3.Так как сфера проходит через точку N с координатами (5;0;-1), то её координаты удовлетворяют уравнению сферы, подставим координаты этой точки в полученное уравнение:

Таким образом, уравнение сферы с центром в точке А, которая проходит через точку N имеет вид:

Сфера задана уравнением:

1) Найти координаты центра и радиус сферы;

2) Найти значение m, при котором точки

А (0; m;2) и В (1;1; m-2) принадлежат данной сфере.

1. Уравнение данной сферы имеет вид:

x2+ y2+ z2+2y-4z=4 или x2+ y2+2y + z2-4z=4

Выделим полный квадрат для переменных y и z, для этого прибавим и одновременно вычтем 1 и 4 в левой части уравнения:

x2+ y2+2y+1-1 + z2-4z+4-4=4

Уравнение примет вид:

x2+( y+1)2+( z-2)2-5=4 или

Таким образом, центр сферы имеет координаты:

О (0;-1;2), радиус равен R=√9=3

2.Уравнение сферы с центром в точке О (0;-1;2) и радиусом R=3 имеет вид:

Точки А (0; m;2) и В (1;1; m-2) принадлежат данной сфере, значит их координаты удовлетворяют уравнению сферы. Подставим координаты этих точек в уравнение сферы и решим систему уравнений:

Упростим полученные уравнения, раскрывая скобки и приводя подобные слагаемые:

Таким образом, мы получили 4 значения m:

Несложно проверить, что при m=-4 и m=6 координаты точек А и В не удовлетворяют уравнению сферы. Проверьте самостоятельно.

Итак, при m=2 точки А (0; m;2) и В (1;1; m-2) принадлежат сфере, заданной уравнением

x2+ y2+ z2+2y-4z=4 с центром в точке

О (0;-1;2) и радиусом R=3.

—> —>

АвторДата добавленияРазделПодразделПросмотровНомер материала

Инфоурок

07.11.2014

Геометрия

Видеоурок

51417

1003

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено!

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако команда проекта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом на электронную почту службы поддержки сайта.