Вывод уравнения колебания струны краевые и начальные условия и их физический смысл

Рассмотрим струну длины l

Струной будем называть тонкую туго натянутую упругую нить.

При построени математической модели колебаний струны будем рассматривать малые колебания, происходящие в одной и той же плоскости. Пусть в состояниии покоя струна расположена вдоль оси Ox на отрезке [0,l] и при колебании каждая точка перемещается перпендикулярно оси (поперечные колебания). Тогда отклонение любой точки струны в произвольный момент времени U есть функция U(x,t) (см. рис.2).

Предположим, что натяжение столь велико, что силой тяжести и сопротивлением при изгибе можно пренебречь. Кроме того, в силу малости колебаний, будем пренебрегать также величинами высшего порядка малости по сравнению с производной U_x.

Рис. 3

Выделим малый участок струны (см. рис.3) и рассмотрим силы, действующие на него. Так как струна не сопротивляется изгибу, то ее натяжение направлено по касательной к струне в точке x. Более того, в рамках наших предположений можно считать величину силы натяжения постоянной. В самом деле, длина любого участка струны (величиной U_x 2 можно пренебречь). С ледовательно, в соответствии с законом Гука _.

Пусть ρ ( x )- линейная плотность в точке x , а γ ( x , t )- плотность внешних сил, действующих на струну в момент времени t, и направленных перпендикулярно Ox .

Результирующая сила, действующая на участок струны [ x , x +∆ x ] в направлении перпендикулярном оси OX , равна (см. рис. 3)

.

При выводе этой формулы учитываем, что при малых колебаниях

По второму закону Ньютона произведение массы на ускорение равно действующей силе mw = F , где w=U_tt, поэтому

ρ ∆ xU_tt = T ₀[ U_x ( x + ∆ x , t )- U_x ( x , t )]+ γ ( x , t ) ∆ x .

Разделим обе части равенства на Δx и устремим Δx к нулю:

ρ ( x ) U_tt = T ₀[ U_x ( x + ∆ x , t )- U_x ( x , t )]/ ∆ x + γ ( x , t ) .

Это уравнение называется уравнением вынужденных колебаний струны. Если струна однородная, то есть ρ ( x )= const , то уравнение (3) обычно записывают в виде

U_tt = a 2 U_xx + f ( x , t ),где a 2 = T ₀/ ρ ; f ( x , t )= γ ( x , t ) / ρ .

В том случае, когда на струну не действуют внешние силы, получается уравнение свободных колебаний струны

Уравнения (3) и (4) являются одномерными волновыми уравнениями (соответственно, неоднородным и однородным).

Волновыми эти уравнения называются потому, что они описывают распространение слабых возмущений в упругой среде (т.е. механические колебания с малыми амплитудами), которые в физике называют волнами. Волновые уравнения возникают также в задачах об электрических колебаниях, в гидродинамике и акустике, в теории упругости, при изучении электромагнитных полей.

Начальные условия и граничные условия.

Дифференциальные уравнения с частными производными, вообще говоря, имеют бесчисленное множество решений. Чтобы из этого множества выбрать то единственное решение, которое соответствует реальному физическому процессу (например, колебанию данной струны), надо задать некоторые дополнительные условия. В теории уравнений с частными производными, как и в обыкновенных дифференциальных уравнениях, задаются условия, называемые начальными и краевыми (граничными) условиями. Начальные условия в математической физике соответствуют состоянию физического процесса в начальный момент времени, который обычно принимают за t=0. В результате возникает задача Коши. Однако здесь есть некоторые отличия. Во-первых, начальные условия задаются для нестационарных уравнений, то есть таких уравнений, которые описывают нестационарные (зависящие от времени) процессы. Такими уравнениями являются, к примеру, волновые уравнения и уравнения теплопроводности. Во-вторых, задача Коши для уравнений с частными производными имеет единственное решение только в том случае, когда соответствующее уравнение рассматривается или на всей прямой, или на всей плоскости, или во всем пространстве. Например, это может быть задача о колебании бесконечной струны или о распространении тепла в бесконечном стержне. На практике к таким задачам приходят в том случае, когда имеется очень длинная струна или очень длинный стержень и интересуются процессами, происходящими далеко от концов, а влиянием концов пренебрегают. Если взять, допустим, длинный провод и слегка качнуть его в середине, то по нему влево и вправо побегут волны. Картина начнет искажаться только тогда, когда волны дойдут до концов провода и, отразившись, пойдут обратно. Следовательно, не учитывая влияния концов, мы тем самым не будем учитывать влияния отраженных волн.

Для волнового уравнения U_tt = a 2 U_xx задаются два начальных условия U | _{t =0} = φ ( x ), U_t | _{t =0} = ψ ( x ). Иногда их записывают иначе: U ( x , 0) = φ (х), U_t ( x , 0) = ψ (х). Первое условие физически задает начальную форму струны (начальные отклонения точек струны), а второе условие — начальные скорости точек струны. В случае волнового уравнения U_tt = a 2 Δ U на плоскости или в пространстве задаются те же два начальных условия, только функции φ и ψ , соответственно, будут зависеть от двух или трех переменных.

Если размеры струны или стержня не очень велики и влиянием концов нельзя пренебречь, то в этих случаях одни начальные условия уже не обеспечивают единственность решения задачи. Тогда необходимо задавать условия на концах. Они называются граничными условиями или краевыми условиями.Для уравнения колебаний струны часто задаются условия U | _{x =0} = 0, U | _{x = l} = 0. Иначе их записывают еще и гак: U (0, t )=0, U ( l , t ) = 0. Эти условия физически означают, что концы струны закреплены (то есть отклонения при х = 0 и при х = l в любой момент времени равны нулю). Можно задавать и другие условия на концах струны, например, U_x |_х=0= 0 , U_x |_{х= l} = 0. Такие условия возникают в следующей задаче.

Пусть концы сруны перемещаются вдоль вертикальных направляющих без трения (см. рис.4).

рис.4

Так как вертикальные силы, действующие на левый и правый концы струны, определяютя выражениями T ₀ U_x ( O , t ) и T ₀ U_x (l, t ) (см рис. 2), то записанные выше условия означают, что на концы струны не действуют никакие силы(поэтому такие условия называют еще условиями свободных концов).

Как было уже сказано, волновое уравнение U_tt = a 2 U_xx описывает не только колебания струны, но и другие волновые процессы, к примеру, продольные колебания пружины, продольные колебания стержня, крутильные колебания вала. В этих задачах возникают граничные условия и других видов. Подробно такие задачи мы изучать не будем. Однако приведем основные типы граничных условий. Обычно рассматривают три типа:

Граничные условия (5), (6) и (7) называются однородными, если правые части g₁(t) и g₂(t) тождественно равны нулю при всех значениях t. Если хотя бы одна из функций в правых частях не равна нулю, то граничные условия называются неоднородными.

Аналогично формулируются граничные условия и в случае трех или четырех переменных при условии, что одна из этих переменных — время. Г раницей в этих случаях будет или замкнутая кривая Г, ограничивающая некоторую плоскую область, или замкнутая поверхность Ω, ограничивающая область в пространстве. Соответственно изменится и производная от функции, фигурирующая в граничных условиях второго и третьего рода. Это будет производная по нормали n к кривой Г на плоскости или к поверхности Ω в пространстве, причем, как правило, рассматривают нормаль, внешнюю по отношению к области(см.рис. 5 ) .

К примеру, граничное условие (однородное) первого рода на плоскости записывается в виде U|_Γ=О, в пространстве U|_Ω=0. Граничное условие второго рода на плоскости имеет вид ,а в пространстве . Конечно, физический смысл этих условий разный для различных задач.

При постановке начальных и граничных условий возникает задача об отыскании решения дифференциального уравнения, удолетворяющего заданным начальным и граничным (краевым) условиям. Для волнового уравнения (3) или (4), начальных условий U(x,0)= φ(x), U_t (x,0)=ψ(x) и в случае граничных условий первого рода (5), задача называется первой начально-краевой задачей для волнового уравнения. Если вместо граничных условий первого рода задавать условия второго рода (6) или третьего рода (7), то задача будет называться, соответственно, второй и третьей начально-краевой задачей. Если граничные условия на разных участках границы имеют различные типы, то такие начально-краевые задачи называют смешанными.

Видео:Уравнение колебания струны. Решение методом ДаламбераСкачать

Уравнение колебаний струны

ГЛ А В А 1

УРАВНЕНИЯ КОЛЕБАНИЙ

Уравнение колебаний струны

4. Вывод уравнения колебаний струны. Пусть конеч­ные точки струны закреплены, а сама струна туго натянута. Если вывести струну из положения равновесия (например, оттянуть ее или ударить по ней), то струна начнет коле­баться. Будем предполагать, что все точки струны движутся перпендикулярно ее положению равновесия (поперечные коле­бания), причем в каждый момент времени струна лежит в одной и той же плоскости.

Возьмем в этой плоскости систему прямоугольных коор­динат хОи. Тогда, если в начальный момент времени струна располагалась вдоль оси Ох, то и будет означать отклонение струны от положения равновесия. В процессе колебания ве­личина отклонения u бу­дет означать отклонение струны от положения равновесия. В процессе колебания величина отклонения u будет зависеть от абсциссы точки струны x и от вре­мени t. Таким образом, чтобы знать положение любой точки струны в произвольный момент времени, нам надо найти зависимость u от х и t, т. е. найти функцию u(x, t). При каждом фиксированном значении t график функции u(x, t) представляет форму колеблющейся струны в момент времени t (рис. 1), частная производная

дает при этом угловой коэффициент касательной в точке с абсциссой х. При изменении t форма струны, очевидно, изменяется, и, чтобы представить себе процесс колебаний, мы должны построить несколько гра­фиков функции u(x_, t) при различных значениях t, т. е. сделать несколько мгновенных снимков колеблющейся струны. При постоянном значении x функция u(x, t) дает закон дви­жения точки с абсциссой х вдоль прямой, параллельной оси Оu, производная — скорость этого движения, а вторая производная -ускорение.

Наша задача состоит в том, чтобы составить уравнение, которому должна удовлетворять функция u (х, t). Для этого сделаем предварительно несколько упрощающих предположе­ний. Будем считать струну абсолютно гибкой, т. е. не сопротивляющейся изгибу; это означает, что если удалить часть струны, лежащую по одну сторону от какой-либо ее точки, то сила натяжения Т, заменяющая действие удалённый части, всегда будет направлена по касательной к струне (рис. 1). Струна предполагается упругой и подчиняющейся закону Гука; изменение величины силы натяжения при этом пропорционально изменению длины струны. Примем, что струна однородна; линейную плотность ее обозначим бук­вой ( — масса единицы длины cтруны ).

Предположим, далее, что па струну в плоскости колеба­ния действуют силы, параллельные оси Ои, которые могут меняться вдоль струны и со временем. Силы эти будем счи­тать непрерывно распределенными вдоль струны; величину силы, направленной вверх, условимся считать положительной, а вниз — отрицательной. Плотность распределения этих сил вдоль струны 1 `) является функцией абсциссы х и времени t; обозначим ее через (g x, t). Если, в частности, единствен­ной внешней силой является вес струны, то q(x, t)=—pg, где р—плотность струны, a g — ускорение силы тяжести.

Силами сопротивления среды, в которой колеблется струна, мы пока пренебрегаем.

1) Плотность распределения параллельных сил, изменяющихся вдоль линии, определяется как предел отношения величины равно­действующей этих сил, приложенных к малому участку, к длине участка при условии, что участок стягивается в точку. Это опре­деление совершенно аналогично определению обычной плотности.

Мы будем изучать только малые колебания струны. Если обозначить через α(x,t) острый угол между осью абсцисс и касательной к струне в точке с абсциссой х в момент времени t, то условие малости колебаний заключается в том, что величиной α 2 (x,t)можно пренебрегать:

Поскольку разложение функции sin α в ряд Маклорена имеет вид

то в силу условия (1.1) можно считать, что

Далее, и, следовательно,

И наконец, tg α — sin α =

= tg α (1—Cos α) ≈0 и

Так как ,то в си­лу полученных условий заклю­чаем, что 1 )

(1.5)

Отсюда сразу следует, что в процессе колебания мы можем пренебречь изменением длины любого участка струны. Действительно, длина участка М1M2 в момент времени t (рис. 2) равна

[1.6]

1) Подобного рода предположения встречаются и в различных других задачах. Так, при изучении движения кругового маятника максимальный угол отклонения маятника считают настолько малым, что его можно принять равным синусу; при рассмотрении изгиба балки (в курсе сопротивления материалов) кривизну нейтральной линии считают равной второй производной от неизвестной функции (уравнения этой линии), пренебрегая квадратом первой производ­ной и т.д.

Согласно (1.5) заключаем, что

[1,7]

Покажем теперь, что при наших предположениях вели­чину силы натяжения Т можно считать постоянной, не зависящей ни от точки ее приложения, ни от вре­мени t. Возьмем для этого какой-либо участок струны

[1.8]

(рис. 3) в момент времени t и заменим действие отброшен­ных участков силами натяжений T₁ и T₂. Так как по усло­вию все точки струны движутся параллельно оси Ои и внешние силы также параллельны этой оси, то сумма проек­ций сил натяжения на ось Ох должна равняться нулю:

Отсюда в силу (1.3) заключаем, что T₁= T₂. Так как точки M₁ и M₂ выбраны произвольно, то это и доказывает, что в данный момент времени силы натяжения во всех точках равны между собой.

Поскольку мы пренебрегаем изменением длины любого участка струны, то в силу закона Гука неизменным остается и натяжение струны. Итак, мы показали, что в пределах выбранной точности Т есть величина постоянная:

Перейдем теперь к выводу уравнения колебаний струны. Выделим бесконечно малый участок струны проекти­рующийся в интервал оси абсцисс (рис. 4). На него действуют силы натяжения T₁иT₂ , заменяющие влияние

Отброшенных частей струны. Как уже отмечалось выше, силыT₁ и T₂ направлены по касательным к струне в точках M₁ и M₂ ;величина этих сил постоянно равна T₀ .Согласно равенству (1.8) сумма проекций сил Т1и Т₂ на ось Ox равна нулю. Вычислим сумму проекций этих же сил на ось Ou:

В силу (1.4)можно записать, что

[1.10]

Здесь мы заменили частное приращение производной при переходе от аргументов (x, t) к аргументам (x+dx, t) ее частным дифференциалом, т. е.

Примечание. Если бы участок струны M1М2 располагался, как на рис. 2, то сумма проекций сил Т1 и Т2 равнялась бы Т0 (— sin α₂ — sinα₁ ); но теперь sin α₂ = — u_x (х +dx, t), и в резуль-тате мы снова получили бы формулу (1.10).

Равнодействующую внешних cил, приложенных к участку M₁M₂ в момент времени t, обозначим через F. Согласно определению функции g(x,t) и приближенному равенству (1.7) можно считать, что

Направление равнодействующей F определится знаком функции g(x, t) (направление F на рис. 4 соответствует случаю g(x, t) 1 ). Однако наиболее существенные черты процесса все-таки часто удается уловить, и дальнейшая задача проектировщика в том и состоит, чтобы увязать на­блюденные на модели факты с теми, которые встретятся в натуре.

Подобную же роль в физике играет и изучение дифферен­циальных уравнений математической физики. Учитывая основ­ные закономерности физического процесса, мы создаем его ма­тематическую модель. Изучение этой модели и позво­ляет делать определенные суждения о характере процесса. Образно говоря, в настоящей книге мы знакомим читателя только с основными методами изучения математических моделей, оставаясь, так сказать, в «лабораторных усло­виях математики-».

5. Постановка начальных и краевых условий. Как уже отмечалось во введении, дифференциальные уравнения с част­ными производными второго порядка имеют бесчисленное мно­жество решений, зависящих от двух произвольных функций. Чтобы определить эти произвольные функции, или, иначе говоря, выделить необходимое нам частное решение, нужно на искомую функцию u(x,t) наложить дополнительные усло­вия. С аналогичным явлением читатель встречался уже при решении обыкновенных дифференциальных уравнений, когда выделение частого решения из общего заключалось в процессе отыскания произвольных постоянных по начальным условиям.

1) Вопросу о подобии явлений, протекающих в модели и в натуре, посвящена обширная литература.

При рассмотрении задачи о колебаниях струны дополни­тельные условия могут быть двух видов: начальные и кра­евые (или граничные).

Начальные условия показывают, в каком состоянии нахо­дилась струна в момент начала колебания. Удобнее всего считать, что струна начала колебаться в момент времени t=0. Начальное положение точек струны задается условием

,

а начальная скорость

,

где f (х) и F(x) — заданные функции.

Запись означает, что функция u(х, t) взята при произвольном значении х и при t=0, т. е. u |_t=0 = u(x> 0);

Аналогично . Такая форма записи постоянно применяется в дальнейшем; так, например , ) и т.д. ­

Условия (1.13) и (1.14) аналогичны начальным условиям в простейшей задаче динамики материальной точки. Там для определения закона движения точки, помимо дифференциаль­ного уравнения, нужно знать начальное положение точки и ее начальную скорость.

Иной характер имеют краевые условия. Они показывают, что происходит на концах струны во все время колебаний. В простейшем случае, когда концы струны закреплены (начало струны— в начале координат, а конец — в точке (l, 0)), функция и(х,t) будет подчиняться условиям

С такими же точно условиями читатель встречался в курсе сопротивления материалов при изучении изгиба балки, лежа­щей на двух опорах, под действием статической нагрузки.

Физический смысл того факта, что задание начальных и краевых условий полностью определяет процесс, проще всего проследить для случая свободных колебаний струны.

Пусть, например, струпу, закрепленную на концах, как-то оттянули, т. е. задали функцию f(x) — уравнение начальной формы струны, и отпустили без начальной скорости (это значит, что F(x)≡0). Ясно, что этим самым дальнейший ха­рактер колебаний будет полностью определен и мы найдем единственную функцию и(х,t ) решая однородное уравнение при соответствующих условиях. Можно заставить струну ко­лебаться и иначе, а именно придав точкам струны некоторую начальную скорость. Физически ясно, что и в этом случае дальнейший процесс колебаний будет вполне определен. При­дание точкам струны начальной скорости может быть осущест­влено при помощи удара по струне (как это имеет место при игре на рояле); первый способ возбуждения струны применяется при игре на щипковых инструментах (например, гитаре).

Сформулируем теперь окончательно математическую за­дачу, к которой приводит изучение свободных колебаний струны, закрепленной на обоих концах.

Требуется решить однородное линейное дифферен­циальное уравнение с частными производными второго порядка с постоянными коэффициентами

при начальных условиях

U|_t=0=f(x),

и краевых условиях

Функции f(x) и F(x) определены па интервале [0, l] и, как это следует из первого условия (1.17) и условий (1.18), f(0)=f(l)=0.

Можно доказать, не опираясь на физические представле­ния, что при некоторых ограничениях, наложенных на функ­ции f(x) и F(x), эта задача имеет единственное решение.

Примечание. Решение поставленной математической задачи будет отражать реальный характер процесса колебании лишь в том случае, когда начальное смещение и начальные скорости точек струны настолько малы, что соблюдаются нее высказанные ранее предположения. Имея а виду в дальнейшем главным образом мате­матическою сторону вопроса, мы при решении конкретных приме­ров обращать на это внимания не будем.

Дата добавления: 2015-04-11 ; просмотров: 25 | Нарушение авторских прав

Видео:УМФ, 22.12, вывод уравнения колебаний струныСкачать

Уравнение колебаний струны

Рассмотрим процесс колебаний тонкой упругой нити, которая может свободно изгибаться, не оказывая сопротивления изменению ее формы. В этом случае напряжения, возникающие в упругой нити, направлены по касательной к ее мгновенному профилю. Такую нить будем называть струной.

Пусть в положении равновесия струна расположена вдоль оси Ox. Будем рассматривать только поперечные колебания струны, считая, что перемещение частиц струны происходит в одной плоскости и все точки струны движутся перпендикулярно оси Ox. Обозначим через u(x, t) отклонение от положения равновесия точки струны с абсциссой x в момент времени t. При фиксированном значении t график функции u(x, t) представляет собой форму струны в момент времени t. А при фиксированном x функция u=u(x, t) определяет закон движения точки с абсциссой x. Эта точка движется по прямой, параллельной оси Ou. Скорость и ускорение точки:

Рассматриваются только малые поперечные колебания струны, когда смещения u и производные ∂ u/∂ x столь малы, что их квадратами и произведениями можно пренебречь по сравнению со значениями самих величин. Тогда

т.е. длина любого участка струны остается постоянной.

Обозначим через T натяжение струны. В случае малых натяжение в каждой точке струны не будет изменяться, то есть T=T₀=const. Силы натяжения в точках M₁ и M₂ направлены по касательной (обозначим через и ). Спроектируем эти силы на ось Ou:

Применяя теорему Лагранжа о конечном приращении дифференцируемой функции, найдем

Через ρ(x) обозначим линейную плотность, которая характеризует распределение масс в струне. Масса участка струны будет равна m=ρ(x)δx.

Если на струну действуют также внешние силы, параллельные оси Ou, то величина равнодействующей этих сил, приложенных к участку приблизительно равна F(x, t)Δx, где F(x, t) — плотность распределения этих сил.

Тогда из второго закона Ньютона (ma=F) после сокращения на величину Δx получим, что процесс малых поперечных колебаний струны описывается дифференциальным уравнением второго порядка относительно искомой функции u(x, t):

Это дифференциальное уравнение называется неоднородным одномерным волновым уравнением, или уравнением плоских волн. Это уравнение гиперболического типа. В случае постоянной линейной плотности ρ=ρ₀=const уравнение колебаний однородной струны принимает вид

где , f(x, t)=F(x, t)/ρ₀.

Если f(x, t) ≡ 0, то однородное уравнение

описывает свободные колебания струны без воздействия вынуждающей силы.

Замечание. Волновое уравнение описывает не только колебание струны, но и ряд физических процессов, которые называют волновыми. В частности, продолные колебания стержня постоянного поперечного сечения; плоские акустические волны в жидкостях и газах; распространение электрических возмущений в линии приотсутствии потерь; плоские электромагнитные волны в непроводящих средах.

Видео:Уравнение колебаний струны. Метод разделения переменных. Метод ФурьеСкачать

Начальные и краевые условия

Чтобы из множества решений уравнения с частными производными второго порядка выбрать определенное решение, необходимо задать дополнительные условия.

Во-первых, нужно задать отклонение и скорость движения в начальный момент времени t₀ (обычно полагают t₀=0):

где f(x) и g(x) — заданные функции. Данные условия называются начальными условиями.

Во-вторых, зафиксировать отклонения концов струны. Если концы закреплены, то

где l — длина струны. Эти условия называются краевыми или граничными условиями.

Таким образом, задача о колебаниях струны ставится следующим образом: Найти решение u=u(x, t) линейного уравнения с частными производными

🌟 Видео

Урок 376. Колебания струн, стержней и воздушных столбовСкачать

Неоднородное уравнение колебания струныСкачать

Вывод волнового уравненияСкачать

Колебания струныСкачать

4.1 Колебания полуограниченной струны с закрепленным и свободным концомСкачать

Колыбасова В.В. - Методы математической физики. Семинары - 1. Малые поперечные колебания струныСкачать

Неоднородное уравнение колебаний струныСкачать

Честный вывод уравнения колебанийСкачать

Уравнения и графики механических гармонических колебаний. 11 класс.Скачать

Шапошникова Т. А. - Уравнения с частными производными. Часть 1. Семинары - Семинар 5Скачать

5.4 Уравнение гармонических колебанийСкачать

Метод Фурье для волнового уравненияСкачать

3.1 Формула Даламбера, решение волнового уравнения на бесконечной прямойСкачать

4.3 Решение неоднородного волнового уравнения на бесконечной прямойСкачать

Эксперимент с колебаниями струны. Возбуждение четных и нечетных мод | 1курсСкачать

Горицкий А. Ю. - Уравнения математической физики - Уравнение струныСкачать

Колыбасова В.В. - Методы математической физики. Семинары - 2. Задача Штурма-ЛиувилляСкачать