Вывод уравнения колебаний физического маятника и его периода

Видео:9. Колебания физического маятникаСкачать

9.  Колебания физического маятника

Вывод уравнения колебаний физического маятника и его периода

Простейшими из колебаний являются гармонические. Это колебания, при которых колеблющаяся величина изменяется со временем по закону синуса или косинуса.

Рассмотрим пружинный маятник (Рис. 1.7.1).

Вывод уравнения колебаний физического маятника и его периода
Рис. 1.7.1. Пружинный маятник

В состоянии покоя сила тяжести уравновешивается упругой силой:

Вывод уравнения колебаний физического маятника и его периода(1.7.1)

Если сместить шарик от положения равновесия на расстояние х, то удлинение пружины станет равным Δl0 + х. Тогда результирующая сила примет значение:

Вывод уравнения колебаний физического маятника и его периода(1.7.2)

Учитывая условие равновесия (1.7.1), получим:

Вывод уравнения колебаний физического маятника и его периода(1.7.3)

Знак «минус» показывает, что смещение и сила имеют противоположные направления.

Упругая сила f обладает следующими свойствами:

  1. Она пропорциональна смещению шарика из положения равновесия;
  2. Она всегда направлена к положению равновесия.

Для того, чтобы сообщить системе смещение х, нужно совершить против упругой силы работу:

Вывод уравнения колебаний физического маятника и его периода(1.7.4)

Эта работа идет на создание запаса потенциальной энергии системы:

Вывод уравнения колебаний физического маятника и его периода(1.7.5)

Под действием упругой силы шарик будет двигаться к положению равновесия со все возрастающей скоростью Вывод уравнения колебаний физического маятника и его периода. Поэтому потенциальная энергия системы будет убывать, зато возрастает кинетическая энергия Вывод уравнения колебаний физического маятника и его периода(массой пружины пренебрегаем). Придя в положение равновесия, шарик будет продолжать двигаться по инерции. Это — замедленное движение и прекратится тогда, когда кинетическая энергия полностью перейдет в потенциальную. Затем такой же процесс будет протекать при движении шарика в обратном направлении. Если трение в системе отсутствует, шарик будет колебаться неограниченно долго.

Уравнение второго закона Ньютона в этом случае имеет вид:

Вывод уравнения колебаний физического маятника и его периода(1.7.6)

Преобразуем уравнение так:

Вывод уравнения колебаний физического маятника и его периода(1.7.7)

Вводя обозначение Вывод уравнения колебаний физического маятника и его периода, получим линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка:

Вывод уравнения колебаний физического маятника и его периода(1.7.8)

Прямой подстановкой легко убедиться, что общее решение уравнения (1.7.8) имеет вид:

Вывод уравнения колебаний физического маятника и его периода(1.7.9)

где а — амплитуда и φ — начальная фаза колебания — постоянные величины. Следовательно, колебание пружинного маятника является гармоническим (Рис. 1.7.2).

Вывод уравнения колебаний физического маятника и его периода
Рис. 1.7.2. Гармоническое колебание

Вследствие периодичности косинуса различные состояния колебательной системы повторяются через определенный промежуток времени (период колебаний) Т, за который фаза колебания получает приращение 2π. Рассчитать период можно с помощью равенства:

Вывод уравнения колебаний физического маятника и его периода(1.7.10)

Вывод уравнения колебаний физического маятника и его периода(1.7.11)

Число колебаний в единицу времени называется частотой:

Вывод уравнения колебаний физического маятника и его периода(1.7.12)

За единицу частоты принимается частота такого колебания, период которого равен 1 с. Такую единицу называют 1 Гц.

Из (1.7.11) следует, что:

Вывод уравнения колебаний физического маятника и его периода(1.7.13)

Следовательно, ω0 — это число колебаний, совершаемое за 2π секунд. Величину ω0 называют круговой или циклической частотой. Используя (1.7.12) и (1.7.13), запишем:

Вывод уравнения колебаний физического маятника и его периода(1.7.14)

Дифференцируя (1.7.9) по времени, получим выражение для скорости шарика:

Вывод уравнения колебаний физического маятника и его периода(1.7.15)

Из (1.7.15) следует, что скорость также изменяется по гармоническому закону и опережает смещение по фазе на ½π. Дифференцируя (1.7.15), получим ускорение:

Вывод уравнения колебаний физического маятника и его периода(1.7.16)

1.7.2. Математический маятник

Математическим маятником называют идеализированную систему, состоящую из нерастяжимой невесомой нити, на которой подвешено тело, вся масса которого сосредоточена в одной точке.

Отклонение маятника от положения равновесия характеризуют углом φ, образованным нитью с вертикалью (Рис. 1.7.3).

Вывод уравнения колебаний физического маятника и его периода
Рис. 1.7.3. Математический маятник

При отклонении маятника от положения равновесия возникает вращательный момент, который стремится вернуть маятник в положение равновесия:

Вывод уравнения колебаний физического маятника и его периода(1.7.17)

Напишем для маятника уравнение динамики вращательного движения, учитывая, что момент его инерции равен ml 2 :

Вывод уравнения колебаний физического маятника и его периода(1.7.18)

Это уравнение можно привести к виду:

Вывод уравнения колебаний физического маятника и его периода(1.7.19)

Ограничиваясь случаем малых колебаний sinφ ≈ φ и вводя обозначение:

Вывод уравнения колебаний физического маятника и его периода(1.7.20)

уравнение (1.7.19) может быть представлено так:

Вывод уравнения колебаний физического маятника и его периода(1.7.21)

что совпадает по форме с уравнением колебаний пружинного маятника. Следовательно, его решением будет гармоническое колебание:

Вывод уравнения колебаний физического маятника и его периода(1.7.22)

Из (1.7.20) следует, что циклическая частота колебаний математического маятника зависит от его длины и ускорения свободного падения. Используя формулу для периода колебаний (1.7.11) и (1.7.20), получим известное соотношение:

Вывод уравнения колебаний физического маятника и его периода(1.7.23)

1.7.3. Физический маятник

Физическим маятником называется твердое тело, способное совершать колебания вокруг неподвижной точки, не совпадающей с центром инерции. В положении равновесия центр инерции маятника С находится под точкой подвеса О на одной с ней вертикали (Рис. 1.7.4).

Вывод уравнения колебаний физического маятника и его периода
Рис. 1.7.4. Физический маятник

При отклонении маятника от положения равновесия на угол φ возникает вращательный момент, который стремится вернуть маятник в положение равновесия:

Вывод уравнения колебаний физического маятника и его периода(1.7.24)

где m — масса маятника, l — расстояние между точкой подвеса и центром инерции маятника.

Напишем для маятника уравнение динамики вращательного движения, учитывая, что момент его инерции равен I:

Вывод уравнения колебаний физического маятника и его периода(1.7.25)

Для малых колебаний sinφ ≈ φ. Тогда, вводя обозначение:

Вывод уравнения колебаний физического маятника и его периода(1.7.26)

Вывод уравнения колебаний физического маятника и его периода(1.7.27)

что также совпадает по форме с уравнением колебаний пружинного маятника. Из уравнений (1.7.27) и (1.7.26) следует, что при малых отклонениях физического маятника от положения равновесия он совершает гармоническое колебание, частота которого зависит от массы маятника, момента инерции и расстояния между осью вращения и центром инерции. С помощью (1.7.26) можно вычислить период колебаний:

Вывод уравнения колебаний физического маятника и его периода(1.7.28)

Сравнивая формулы (1.7.28) и (1.7.23) получим, что математический маятник с длиной:

Вывод уравнения колебаний физического маятника и его периода(1.7.29)

будет иметь такой же период колебаний, что и рассмотренный физический маятник. Величину (1.7.29) называют приведенной длиной физического маятника. Следовательно, приведенная длина физического маятника — это длина такого математического маятника, период колебаний которого равен периоду колебаний данного физического маятника.

Точка на прямой, соединяющей точку подвеса с центром инерции, лежащая на расстоянии приведенной длины от оси вращения, называется центром качания физического маятника. По теореме Штайнера момент инерции физического маятника равен:

Вывод уравнения колебаний физического маятника и его периода(1.7.30)

где I0 — момент инерции относительно центра инерции. Подставляя (1.7.30) в (1.7.29), получим:

Вывод уравнения колебаний физического маятника и его периода(1.7.31)

Следовательно, приведенная длина всегда больше расстояния между точкой подвеса и центром инерции маятника, так что точка подвеса и центр качания лежат по разные стороны от центра инерции.

1.7.4. Энергия гармонических колебаний

При гармоническом колебании происходит периодическое взаимное превращение кинетической энергии колеблющегося тела Ек и потенциальной энергии Еп, обусловленной действием квазиупругой силы. Из этих энергий слагается полная энергия Е колебательной системы:

Вывод уравнения колебаний физического маятника и его периода(1.7.32)

Распишем последнее выражение

Вывод уравнения колебаний физического маятника и его периода(1.7.33)

Но к = mω 2 , поэтому получим выражение для полной энергии колеблющегося тела

Вывод уравнения колебаний физического маятника и его периода(1.7.34)

Таким образом полная энергия гармонического колебания постоянна и пропорциональна квадрату амплитуды и квадрату круговой частоты колебания.

1.7.5. Затухающие колебания .

При изучении гармонических колебаний не учитывались силы трения и сопротивления, которые существуют в реальных системах. Действие этих сил существенно изменяет характер движения, колебание становится затухающим .

Если в системе кроме квазиупругой силы действуют силы сопротивления среды (силы трения), то второй закон Ньютона можно записать так:

Вывод уравнения колебаний физического маятника и его периода.(1.7.34.а)

Для решения этого дифференциального уравнения необходимо знать, от каких параметров зависит сила трения. Обычно предполагают, что при не очень больших амплитудах и частотах сила трения пропорциональна скорости движения и, естественно, направлена противоположно ей:

Вывод уравнения колебаний физического маятника и его периода,(1.7.34.б)

где r – коэффициент трения, характеризующий свойства среды оказывать сопротивление движению. Подставим (1.7.34б) в (1.7.34а):

Вывод уравнения колебаний физического маятника и его периода

Вывод уравнения колебаний физического маятника и его периода,(1.7.34.в)

где Вывод уравнения колебаний физического маятника и его периодаβ – коэффициент затухания; ω 0 – круговая частота собственных колебаний системы.

Решение уравнения(1.7.34.в) существенно зависит от знака разности: Вывод уравнения колебаний физического маятника и его периода, где ω – круговая частота затухающих колебаний. При Вывод уравнения колебаний физического маятника и его периодакруговая частота ω является действительной величиной и решение (1.7.34.в) будет следующим:

Вывод уравнения колебаний физического маятника и его периода.(1.7.35)

График этой функции показан на рис.1.7.5 сплошной кривой 1, а штриховой линией 2 изображено изменение амплитуды:

Вывод уравнения колебаний физического маятника и его периода.(1.7.35.а)

Период затухающих колебаний зависит от коэффициента трения и определяется формулой

Вывод уравнения колебаний физического маятника и его периода.(1.7.35.б)

При очень малом трении Вывод уравнения колебаний физического маятника и его периодапериод затухающего колебания близок к периоду незатухающего свободного колебания (1.7.35.б)

Вывод уравнения колебаний физического маятника и его периодаВывод уравнения колебаний физического маятника и его периода
Рис.1.7.5. Затухающее колебаниеРис.1.7.6. Апериодический процесс

Быстрота убывания амплитуды колебаний определяется коэффициентом затухания : чем больше β, тем сильнее тормозящее действие среды и тем быстрее уменьшается амплитуда. На практике, степень затухания часто характеризуют логарифмическим декрементом затухания , понимая под этим величину, равную натуральному логарифму отношения двух последовательных амплитуд колебаний, разделенных интервалом времени, равным периоду колебаний:

Вывод уравнения колебаний физического маятника и его периода;

Следовательно, коэффициент затухания и логарифмический декремент затухания связаны достаточно простой зависимостью:

λ=βT .(1.7.37)

При сильном затухании Вывод уравнения колебаний физического маятника и его периодаиз формулы (1.7.37) видно, что период колебания является мнимой величиной. Движение в этом случае уже называется апериодическим . График апериодического движения в виде показан на рис. 1.7.6. Незатухающие и затухающие колебания называют собственными или свободными . Они возникают вследствие начального смещения или начальной скорости и совершаются при отсутствии внешнего воздействия за счет первоначально накопленной энергии.

1.7.6. Вынужденные колебания. Резонанс .

Вынужденными колебаниями называются такие, которые возникают в системе при участии внешней силы, изменяющейся по периодическому закону.

Предположим, что на материальную точку кроме квазиупругой силы и силы трения действует внешняя вынуждающая сила

Вывод уравнения колебаний физического маятника и его периода,

где F 0 – амплитуда; ω – круговая частота колебаний вынуждающей силы. Составим дифференциальное уравнение (второй закон Ньютона):

Вывод уравнения колебаний физического маятника и его периода,

Вывод уравнения колебаний физического маятника и его периода,(1.7.38)

где Вывод уравнения колебаний физического маятника и его периода.

Решение дифференциального уравнения (3.19) является суммой двух колебаний: затухающих и незатухающих с амплитудой

Вывод уравнения колебаний физического маятника и его периода,(1.7.39)

Амплитуда вынужденного колебания (1.7.39) прямо пропорциональна амплитуде вынуждающей силы и имеет сложную зависимость от коэффициента затухания среды и круговых частот собственного и вынужденного колебания. Если ω 0 и β для системы заданы, то амплитуда вынужденных колебаний имеет максимальное значение при некоторой определенной частоте вынуждающей силы, называемой резонансной .

Само явление – достижение максимальной амплитуды для заданных ω 0 и β – называют резонансом.

Вывод уравнения колебаний физического маятника и его периода
Рис. 1.7.7. Резонанс

При отсутствии сопротивления Вывод уравнения колебаний физического маятника и его периодаамплитуда вынужденных колебаний при резонансе бесконечно большая. При этом из ω рез =ω 0 , т.е. резонанс в системе без затухания наступает тогда, когда частота вынуждающей силы совпадает с частотой собственных колебаний. Графическая зависимость амплитуды вынужденных колебаний от круговой частоты вынуждающей силы при разных значениях коэффициента затухания показана на рис. 5.

Механический резонанс может быть как полезным, так и вредным явлением. Вредное действие резонанса связано главным образом с разрушением, которое он может вызвать. Так, в технике, учитывая разные вибрации, необходимо предусматривать возможные возникновения резонансных условий, в противном случае могут быть разрушения и катастрофы. Тела обычно имеют несколько собственных частот колебаний и соответственно несколько резонансных частот.

Если коэффициент затухания внутренних органов человека был бы не велик, то резонансные явления, возникшие в этих органах под воздействием внешних вибраций или звуковых волн, могли бы привести к трагическим последствиям: разрыву органов, повреждению связок и т.п. Однако такие явления при умеренных внешних воздействиях практически не наблюдаются, так как коэффициент затухания биологических систем достаточно велик. Тем не менее резонансные явления при действии внешних механических колебаний происходят во внутренних органах. В этом, видимо, одна из причин отрицательного воздействия инфразвуковых колебаний и вибраций на организм человека.

1.7.7. Автоколебания

Существуют и такие колебательные системы, которые сами регулируют периодическое восполнение растраченной энергии и поэтому могут колебаться длительное время.

Незатухающие колебания, существующие в какой-либо системе при отсутствии переменного внешнего воздействия, называются автоколебаниями , а сами системы – автоколебательными.

Амплитуда и частота автоколебаний зависят от свойств в самой автоколебательной системе, в отличие от вынужденных колебаний они не определяются внешними воздействиями.

Вывод уравнения колебаний физического маятника и его периода
Рис. 1.7.8. Блок-схема автоколебаний

Во многих случаях автоколебательные системы можно представить тремя основными элементами (рис.1.7.8): 1) собственно колебательная система; 2) источник энергии; 3) регулятор поступления энергии в собственно колебательную систему. Колебательная система каналом обратной связи (рис. 6) воздействует на регулятор, информирую регулятор о состоянии этой системы.

Классическим примером механической автоколебательной системы являются часы, в которых маятник или баланс являются колебательной системой, пружина или поднятая гиря – источником энергии, а анкер – регулятором поступления энергии от источника в колебательную систему.

Многие биологические системы (сердце, легкие и др.) являются автоколебательными. Характерный пример электромагнитной автоколебательной системы – генераторы автоколебательных колебаний.

1.7.8. Сложение колебаний одного направления

Рассмотрим сложение двух гармонических колебаний одинакового направления и одинаковой частоты:

x 1 =a 1 cos(ω 0 t + α 1 ), x 2 =a 2 cos(ω 0 t + α 2 ).

Гармоническое колебание можно задать с помощью вектора, длина которого равна амплитуде колебаний, а направление образует с некоторой осью угол, равный начальной фазе колебаний. Если этот вектор вращается с угловой скоростью ω 0 , то его проекция на выбранную ось будет изменяться по гармоническому закону. Исходя из этого, выберем некоторую ось Х и представим колебания с помощью векторов а 1 и а 2 (рис.1.7.9).

Вывод уравнения колебаний физического маятника и его периода
Рис.1.7.9

Вектор а является суммой векторов а 1 и а 2 . Проекция вектора а на ось Х равна сумме проекций векторов а 1 и а 2 :

Следовательно, вектор а представляет собой результирующее колебание. Этот вектор вращается с той же угловой скоростью, что и векторы а 1 и а 2 . Таким образом, результирующее движение представляет собой гармоническое колебание с частотой ω 0 , амплитудой а и начальной фазой α. Используя теорему косинусов, находим значение амплитуды результирующего колебания:

Вывод уравнения колебаний физического маятника и его периода(1.7.40)

Из рис.1.7.6 следует, что

Вывод уравнения колебаний физического маятника и его периода.

Схемы, в которых колебания изображаются графически в виде векторов на плоскости, называются векторными диаграммами.

Из формулы 1.7.40 следует. Что если разность фаз обоих колебаний равна нулю, амплитуда результирующего колебания равна сумме амплитуд складываемых колебаний. Если разность фаз складываемых колебаний равна Вывод уравнения колебаний физического маятника и его периода, то амплитуда результирующего колебания равна Вывод уравнения колебаний физического маятника и его периода. Если частоты складываемых колебаний не одинаковы, то векторы, соответствующие этим колебаниям будут вращаться с разной скоростью. В этом случае результирующий вектор пульсирует по величине и вращается с непостоянной скоростью. Следовательно, в результате сложения получается не гармоническое колебание, а сложный колебательный процесс.

1.7.9. Биения

Рассмотрим сложение двух гармонических колебаний одинакового направления мало отличающихся по частоте. Пусть частота одного из них равна ω , а второго ω+∆ω, причем ∆ω 1 =a cos ωt, x 2 =a cos(ω+∆ω)t.

Сложив эти выражения и используя формулу для суммы косинусов, получаем:

Вывод уравнения колебаний физического маятника и его периода(1.7.41)

(во втором множителе пренебрегаем членом Вывод уравнения колебаний физического маятника и его периодапо сравнению с ω). График функции (1.7.41) изображен на рис. 1.7.10.

Вывод уравнения колебаний физического маятника и его периода
Рис.1.7.10

Колебания (1.7.41) можно рассматривать как гармоническое колебание частотой ω, амплитуда которого изменяется по закону Вывод уравнения колебаний физического маятника и его периода. Эта функция является периодической с частотой в два раза превышающей частоту выражения, стоящего под знаком модуля, т.е. с частотой ∆ω. Таким образом, частота пульсаций амплитуды, называемая частотой биений, равна разности частот складываемых колебаний.

1.7.10. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний (фигуры Лиссажу)

Если материальная точка совершает колебания как вдоль оси х, так и вдоль оси у, то она будет двигаться по некоторой криволинейной траектории. Пусть частота колебаний одинакова и начальная фаза первого колебания равна нулю, тогда уравнения колебаний запишем в виде:

х=а cos ωt, y=b cos(ωt+α),(1.7.42)

где α – разность фаз обоих колебаний.

Выражение (1.7.42) представляет заданное в параметрическом виде уравнение траектории, по которой движется точка, участвующая в обоих колебаниях. Если исключить из уравнений (1.7.42) параметр t, то получим уравнение траектории в обычном виде:

Вывод уравнения колебаний физического маятника и его периода(1.7.43)

Уравнение (1.7.43) представляет собой уравнение эллипса, оси которого ориентированы произвольно относительно координатных осей х и у. Ориентация эллипса и величина его полуосей зависят от амплитуд а и b и разности фаз α. Рассмотрим некоторые частные случаи:

α=mπ (m=0, ±1, ±2, …). В этом случае эллипс вырождается в отрезок прямой

Вывод уравнения колебаний физического маятника и его периода,(1.7.44)

где знак плюс соответствует нулю и четным значениям m (рис 1.7.8.а), а знак минус – нечетным значениям m (рис.1.7.8.б). Результирующее колебание является гармоническим с частотой ω, амплитудой Вывод уравнения колебаний физического маятника и его периода, совершающимся вдоль прямой (1.7.44), составляющей с осью х угол Вывод уравнения колебаний физического маятника и его периодаВывод уравнения колебаний физического маятника и его периода(рис.1.7.11).

Вывод уравнения колебаний физического маятника и его периода
Рис.1.7.11.а

Вывод уравнения колебаний физического маятника и его периода
Рис.1.7.11. б

  • α=(2m+1)Вывод уравнения колебаний физического маятника и его периода

  • (m=0, ±1, ±2, …). В этом случае уравнение имеет вид

    Вывод уравнения колебаний физического маятника и его периода

    Это уравнение эллипса, оси которого совпадают с осями координат, а его полуоси равны амплитудам (рис. 1.7.12). Если амплитуды равны, то эллипс становится окружностью.

    Вывод уравнения колебаний физического маятника и его периода
    Рис.1.7.12

    Если частоты взаимно перпендикулярных колебаний отличаются на малую величину ∆ω, их можно рассматривать как колебания одинаковой частоты, но с медленно изменяющейся разностью фаз. В этом случае уравнения колебаний можно записать

    x=a cos ωt, y=b cos[ωt+(∆ωt+α)]

    и выражение ∆ωt+α рассматривать как разность фаз, медленно изменяющуюся со временем по линейному закону. Результирующее движение в этом случае происходит по медленно изменяющейся кривой, которая будет последовательно принимать форму, отвечающую всем значениям разности фаз от -π до+π.

    Если частоты взаимно перпендикулярных колебаний не одинаковы, то траектория результирующего движения имеет вид довольно сложных кривых, называемых фигурами Лиссажу . Пусть, например, частоты складываемых колебаний относятся как 1 : 2 и разность фаз π/2. Тогда уравнения колебаний имеют вид

    x=a cos ωt, y=b cos[2ωt+π/2].

    За то время, пока вдоль оси х точка успевает переместиться из одного крайнего положения в другое, вдоль оси у, выйдя из нулевого положения, она успевает достигнуть одного крайнего положения, затем другого и вернуться. Вид кривой показан на рис. 1.7.13. Кривая при таком же соотношении частот, но разности фаз равной нулю показана на рис.1.7.14. Отношение частот складываемых колебаний обратно отношению числа точек пересечения фигур Лиссажу с прямыми, параллельными осям координат. Следовательно, по виду фигур Лиссажу можно определить соотношение частот складываемых колебаний или неизвестную частоту. Если одна из частот известна.

    Вывод уравнения колебаний физического маятника и его периода
    Рис.1.7.13

    Вывод уравнения колебаний физического маятника и его периода
    Рис.1.7.14

    Чем ближе к единице рациональная дробь, выражающая отношение частот колебаний, тем сложнее получающиеся фигуры Лиссажу.

    1.7.11. Распространение волн в упругой среде

    Если в каком-либо месте упругой (твёрдой жидкой или газообразной) среды возбудить колебания её частиц, то вследствие взаимодействия между частицами это колебание будет распространяться в среде от частицы к частице с некоторой скоростью υ. процесс распространения колебаний в пространстве называется волной .

    Частицы среды, в которой распространяется волна, не вовлекаются волной в поступательное движение, они лишь совершают колебания около своих положений равновесия.

    В зависимости от направлений колебаний частиц по отношению к направлению, в котором распространяется волна, различают продольные и поперечные волны. В продольной волне частицы среды колеблются вдоль распространения волны. В поперечной волне частицы среды колеблются в направлениях, перпендикулярных к направлению распространения волн. Упругие поперечные волны могут возникнуть лишь в среде, обладающей сопротивлением сдвигу. Поэтому в жидкой и газообразной средах возможно возникновения только продольных волн. В твёрдой среде возможно возникновение как продольных, так и поперечных волн.

    На рис. 1.7.12 показано движение частиц при распространении в среде поперечной волны. Номерами 1,2 и т. д. обозначены частицы отстающие друг от друга на расстояние, равное (¼ υT), т.е. на расстояние, проходимое волной за четверть периода колебаний, совершаемых частицами. В момент, времени принятый за нулевой, волна, распространяясь вдоль оси слева направо, достигла частицы 1, вследствие чего частица начала смещаться из положения равновесия вверх, увлекая за собой следующие частицы. Спустя четверть периода частица 1 достигает крайнего верхнего положения равновесия частица 2. По пришествие ещё четверти периода первая часть будет проходить положение равновесия, двигаясь в направлении сверху вниз, вторая частица достигнет крайнего верхнего положения, а третья частица начнёт смещаться вверх из положения равновесия. В момент времени равный T, первая частица закончит полный цикл колебания и будет находиться в таком же состоянии движения, как чальный момент. Волна к моменту времени T, пройдя путь (υT), достигнет частицы 5.

    На Рис. 1.7.13 показано движение частиц при распространении в среде продольной волны. Все рассуждения, касающиеся поведения частиц в поперечной волне, могут быть отнесены и к данному случаю с заменой смещений вверх и вниз смещениями вправо и влево.

    Из рисунка видно, что при распространении продольной волны в среде создаются чередующиеся сгущения и разряжения частиц (места сгущения обведены на рисунке пунктиром), перемещающиеся в направлении распространения волны со скоростью υ.

    Вывод уравнения колебаний физического маятника и его периода
    Рис. 1.7.15

    Вывод уравнения колебаний физического маятника и его периода
    Рис. 1.7.16

    На рис. 1.7.15 и 1.7.16 показаны колебания частиц, положения, равновесия которых лежат на оси x. В действительности колеблются не только частицы, расположенные вдоль оси x, а совокупность частиц, заключённых в некотором объёме. Распространяясь от источников колебаний, волновой процесс охватывает всё новые и новые части пространства, геометрическое место точек, до которых доходят колебания к моменту времени t, называется фронтом волны (или волновым фронтом). Фронт волны представляет собой ту поверхность, которая отделяет часть пространства, уже вовлеченную в волновой процесс, от области, в которой колебания ещё не возникли.

    Геометрическое место точек, колеблющихся в одинаковой фазе, называется волновой поверхностью . Волновую поверхность можно провести через любую точку пространства, охваченного волновым процессом. Следовательно, волновых поверхностей существует бесконечное множество, в то время как волновой фронт каждый момент времени только один. Волновые поверхности остаются не подвижными (они проходят через положения равновесия частиц, колеблющихся в одной фазе ). Волновой фронт всё время перемещается.

    Волновые поверхности могут быть любой формы. В простейших случаях они имеют форму плоскости или сферы. Соответственно волна в этих случаях называется плоской или сферической. В плоской волне волновые поверхности представляют собой множество параллельных друг другу плоскостей, в сферической волне – множество концентрических сфер.

    Вывод уравнения колебаний физического маятника и его периода
    Рис. 1.7.17

    Пусть плоская волна распространяется вдоль оси x . Тогда все точки сферы, положения, равновесия которых имеет одинаковую координату x (но различие значения координат y и z), колеблются в одинаковой фазе.

    На Рис. 1.7.17 изображена кривая, которая даёт смещение ξ из положения равновесия точек с различными x в некоторый момент времени. Не следует воспринимать этот рисунок как зримое изображение волны. На рисунке показан график функций ξ ( x, t) для некоторого фиксированного момента времени t. Такой график можно строить как для продольной так и для поперечной волны.

    Расстояние λ, на короткое распространяется волна за время, равное периоду колебаний частиц среды, называется длиной волны . Очевидно, что

    λ=υT(1.7.45 )

    где υ – скорость волны, T – период колебаний. Длину волны можно определить также как расстояние между ближайшими точками среды, колеблющимися с разностью фаз, равной 2π (см. рис. 1.7.14)

    Заменив в соотношении(1.7.45) T через 1/ν (ν – частота колебаний), получим

    λν=υ .(1.7.46)

    К этой формуле можно придти также из следующих соображений. За одну секунду источник волн совершает ν колебаний, порождая в среде при каждом колебании один «гребень» и одну «впадину» волны. К тому моменту, когда источник будет завершать ν — е колебание, первый «гребень» успеет пройти путь υ. Следовательно, ν «гребней» и «впадин» волны должны уложиться в длине υ.

    1.7.12. Уравнение плоской волны

    Уравнением волны называется выражение, которое дает смещение колеблющейся частицы как функцию ее координат x, y, z и времени t :

    (имеются в виду координаты равновесного положения частицы). Эта функция должна быть периодической относительно времени t , и относительно координат x, y, z. . Периодичность по времени вытекает из того, что точки, отстоящие друг от друга на расстоянии λ , колеблются одинаковым образом.

    Найдем вид функции ξ в случае плоской волны, предполагая, что колебания носят гармонический характер. Для упрощения направим оси координат так, чтобы ось x совпадала с направлением распространения волны. Тогда волновые поверхности будут перпендикулярными к оси x и, поскольку все точки волновой поверхности колеблются одинаково, смещение ξ будет зависеть только от x и t :

    Вывод уравнения колебаний физического маятника и его периода
    Рис.1.7.18

    Пусть колебания точек, лежащих в плоскости x = 0 (рис. 1.7.18), имеют вид

    Вывод уравнения колебаний физического маятника и его периода

    Найдем вид колебания точек в плоскости, соответствующей произвольному значению x . Для того, чтобы пройти путь от плоскости x =0 до этой плоскости, волне требуется время Вывод уравнения колебаний физического маятника и его периода( υ – cкорость распространения волны). Следовательно, колебания частиц, лежащих в плоскости x , будут отставать по времени на τ от колебаний частиц в плоскости x = 0 , т.е. будут иметь вид

    Вывод уравнения колебаний физического маятника и его периода

    Итак, уравнение плоской волны (продольной, и поперечной), распространяющейся в направлении оси x , выглядит следующим образом:

    Вывод уравнения колебаний физического маятника и его периода(1.7.47)

    Величина а представляет собой амплитуду волны. Начальная фаза волны α определяется выбором начала отсчета x и t . При рассмотрении одной волны начало отсчета времени и координаты обычно выбирают так, чтобы α была равной нулю. При совместном рассмотрении нескольких волн сделать так, чтобы для всех них начальные фазы равнялись нулю, как правило, не удается.

    Зафиксируем какое – либо значение фазы, стоящей в уравнении (1.7.47), положив

    Вывод уравнения колебаний физического маятника и его периода(1.7.48)

    Это выражение определяет связь между временем t и тем местом x , в котором фаза имеет зафиксированное значение. Вытекающее из него значение dx/dt дает скорость, с которой перемещается данное значение фазы. Продифференцировав выражение (1.7.48), получим

    Вывод уравнения колебаний физического маятника и его периода

    Вывод уравнения колебаний физического маятника и его периода.(1.7.49)

    Таким образом, скорость распространения волны υ уравнении (1.7.47) есть скорость перемещения фазы, в связи с чем, ее называют фазовой скоростью.

    Согласно (1.7.49) dx/dt> 0, следовательно, уравнение (1.7.47) описывает волну, распространяющуюся в сторону возрастания x .

    Волна, распространяющаяся в противоположном направлении, описывается уравнением

    Вывод уравнения колебаний физического маятника и его периода(1.7.50)

    Действительно, приравняв константе фазу волны (1.7.50) и продифференцировав получившееся равенство, придем к соотношению

    Вывод уравнения колебаний физического маятника и его периода,

    из которого следует, что волна (1.7.50) распространяется в сторону убывания x .

    Уравнению плоской волны можно придать симметричный относительно x и t вид. Для этого введем величину

    Вывод уравнения колебаний физического маятника и его периода,(1.7.51)

    которая называется волновым числом. Умножив числитель и знаменатель последнего выражения на частоту ν, и вспомнив, что Вывод уравнения колебаний физического маятника и его периода, можно представить волновое число в виде

    Вывод уравнения колебаний физического маятника и его периода.(1.7.52)

    Раскрыв в уравнении волны

    Вывод уравнения колебаний физического маятника и его периода

    круглые скобки и используя волновое число, придем к следующему уравнению плоской волны, распространяющейся вдоль оси :

    Вывод уравнения колебаний физического маятника и его периода(1.7.53)

    Уравнение волны, распространяющейся в сторону убывания x :

    Вывод уравнения колебаний физического маятника и его периода

    При выводе формулы (1.7.53) мы предполагали, что амплитуда колебаний не зависит от x . Для плоской волны это наблюдается в том случае, когда энергия волны не поглощается средой. При распространении в поглощающей энергию среде интенсивность волны с удалением от источника колебаний постепенно уменьшается – наблюдается затухание волны. Опыт показывает, что в однородной среде такое затухание происходит по экспоненциальному закону:

    Вывод уравнения колебаний физического маятника и его периода

    Соответственно уравнение плоской волны, с учетом затухания , имеет следующий вид:

    Вывод уравнения колебаний физического маятника и его периода(1.7.54)

    (a 0 – амплитуда в точках плоскости x = 0).

    © ФГОУ ВПО Красноярский государственный аграрный университет, 2013

    Видео:Математические и пружинные маятники. 11 класс.Скачать

    Математические и пружинные маятники. 11 класс.

    Физический маятник

    Как выглядят колебания и период физического маятника. Узнайте про период колебаний, уравнение и формулу физического маятника, вращательный момент и инерцию.

    Период у физического маятника находится в зависимости от момента инерции точки поворота и дистанции к центру масс.

    Видео:Колебания. Физический маятник. Период и частота колебаний физического маятника.Скачать

    Колебания. Физический маятник. Период и частота колебаний физического маятника.

    Задача обучения

    • Вычислить параметры, воздействующие на период физического маятника.

    Видео:математический маятник ЕГЭ ФИЗИКА колебания частота периодСкачать

    математический маятник ЕГЭ ФИЗИКА колебания частота период

    Основные пункты

    • Физический маятник – обобщенный случай простого. Представлен любым твердым телом, осуществляющим колебания вокруг точки поворота.
    • В случае небольших амплитуд период основывается исключительно на моменте инерции вокруг точки поворота и дистанции от оси вращения к центру масс: Вывод уравнения колебаний физического маятника и его периода
    • На период колебания маятника не влияет общая масса твердого объекта и массовое распределение. Изменение формы, размера и распределения массы повлияет на момент инерции и период.

    Видео:Математический маятник или откуда формула периодаСкачать

    Математический маятник или откуда формула периода

    Термины

    • Физический маятник – стержень или нить не лишены массы и способны увеличивать свой размер.
    • Массовое распределение – пространственное распределение и вычисление центра масс в объекте.

    Видео:физический маятникСкачать

    физический маятник

    Физический маятник

    Простой маятник представлен подвешенным грузом к безмассовой нити или стержню, лишенным трения. Здесь можно не учитывать эффекты от нити. А вот в физическом маятнике нить приобретает вес и способна растягиваться. Тогда период зависит от момента инерции вокруг точки поворота.

    Вывод уравнения колебаний физического маятника и его периода

    Мы видим, как силы влияют сквозь центр масс. Можно вычислить период маятника, выявив момент инерции вокруг точки поворота

    Гравитация влияет сквозь центр масс твердого тела. Тогда длина маятника приравнивается к линейной дистанции между осью вращения и центром массы (h).

    Уравнение вращательного момента:

    τ = Iα (α – угловое ускорение, τ – вращательный момент, I – момент инерции).

    Гравитация создает вращательный момент:

    τ = mghsinθ (h – дистанция от центра масс к точке поворота, а θ – угол от вертикали).

    То есть при небольшом угловом приближении:

    Вывод уравнения колебаний физического маятника и его периода

    Та же форма, что и у обычного простого маятника, где период:

    Вывод уравнения колебаний физического маятника и его периода

    И частота физического маятника:

    Вывод уравнения колебаний физического маятника и его периода

    Если мы располагаем моментом инерции, то можем вычислить период у физического маятника. Рассмотрим однородный стержень, повернутый из рамы. Центр масс расположен на дистанции L/2 от точки подвеса:

    Вывод уравнения колебаний физического маятника и его периода

    Жесткий стержень с равномерным распределением массы свисает с точки поворота. Это пример физического маятника

    Момент инерции жесткого стержня вокруг его центра:

    Вывод уравнения колебаний физического маятника и его периода

    Также нужно выявить момент инерции относительно точки поворота, а не центра масс, поэтому применим теорему о параллельной оси:

    Вывод уравнения колебаний физического маятника и его периода

    Добавим результат к уравнению за период:

    Вывод уравнения колебаний физического маятника и его периода

    Только отметьте, что период физического маятника все еще зависит от массы. Зато лишен влияния массового распределения твердого тела. Перемены в форме, размере или распределении массы повлияют и на момент инерции, а это изменит период.

    Видео:ЛР 1.05 Изучение колебаний физического маятникаСкачать

    ЛР 1.05 Изучение колебаний физического маятника

    Уравнение колебаний маятника

    Рис.1

    Исследуем выражение (2) в зависимости от разности фаз (φ2 — φ1):

    1) φ2 — φ1 = ±2mπ (m = 0, 1, 2, . ), тогда A=A1+A2, т. е. амплитуда результирующего колебания А будет равна сумме амплитуд складываемых колебаний;

    2) φ2 — φ1 = ±(2m+1)π (m = 0, 1, 2, . ), тогда A=|A1–A2|, т. е. амплитуда результирующего колебания будет равна разности амплитуд складываемых колебаний.

    Для практики представляет особый интерес случай, когда два складываемых гармонических колебания одинакового направления мало отличаются по частоте. После сложения этих колебаний получаются колебания с периодически изменяющейся амплитудой. Периодические изменения амплитуды колебания, которые возникают при сложении двух гармонических колебаний с близкими частотами, называются биениями.

    Пусть амплитуды складываемых колебаний равны А, а частоты равны ω и ω+Δω, причем Δω

    При исследовании сложного колебательного процесса нужно знать, что любые сложные периодические колебания s=f(t) можно представить в виде суперпозиции (наложения) одновременно совершающихся гармонических колебаний с различными амплитудами, начальными фазами, а также частотами, которые кратны циклической частоте ω0 :

    Вывод уравнения колебаний физического маятника и его периода
    Вывод уравнения колебаний физического маятника и его периода(5)

    Представление в виде (5) любой периодической функции связывают с понятием гармонического анализа сложного периодического колебания, или разложения Фурье. Слагаемые ряда Фурье, которые определяют гармонические колебания с частотами ω0, 2ω0, 3ω0, . называются первой (или основной), второй, третьей и т. д. гармониками сложного периодического колебания.

    23 Колебания физического маятника.

    Физический маятник — осциллятор, представляющий собой твёрдое тело, совершающее колебания в поле каких-либо сил относительно точки, не являющейся центром масс этого тела, или неподвижной оси, перпендикулярной направлению действия сил и не проходящей через центр масс этого тела.

    Определения

    • Вывод уравнения колебаний физического маятника и его периода— угол отклонения маятника от равновесия;
    • Вывод уравнения колебаний физического маятника и его периода— начальный угол отклонения маятника;
    • Вывод уравнения колебаний физического маятника и его периода— масса маятника;
    • Вывод уравнения колебаний физического маятника и его периода— расстояние от точки подвеса до центра тяжести маятника;
    • Вывод уравнения колебаний физического маятника и его периода— радиус инерции относительно оси, проходящей через центр тяжести.
    • Вывод уравнения колебаний физического маятника и его периода— ускорение свободного падения.

    Момент инерции относительно оси, проходящей через точку подвеса:

    Вывод уравнения колебаний физического маятника и его периода.

    [править] Дифференциальное уравнение движения физического маятника

    Основная статья: Приведённая длина

    Пренебрегая сопротивлением среды, дифференциальное уравнение колебаний физического маятника в поле силы тяжести записывается следующим образом:

    Вывод уравнения колебаний физического маятника и его периода.

    Полагая Вывод уравнения колебаний физического маятника и его периода, предыдущее уравнение можно переписать в виде:

    Вывод уравнения колебаний физического маятника и его периода.

    Последнее уравнение аналогично уравнению колебаний математического маятника длиной Вывод уравнения колебаний физического маятника и его периода. Величина Вывод уравнения колебаний физического маятника и его периоданазывается приведённой длиной физического маятника.

    [править] Центр качания физического маятника

    Центр качания — точка, в которой надо сосредоточить всю массу физического маятника, чтобы его период колебаний не изменился.

    Поместим на луче, проходящем от точки подвеса через центр тяжести точку на расстоянии Вывод уравнения колебаний физического маятника и его периодаот точки подвеса. Эта точка и будет центром качания маятника.

    Действительно, если всю массу сосредоточить в центре качания, то центр качания будет совпадать с центром масс. Тогда момент инерции относительно оси подвеса будет равен Вывод уравнения колебаний физического маятника и его периода, а момент силы тяжести относительно той же оси Вывод уравнения колебаний физического маятника и его периода. Легко заметить, что уравнение движения не изменится.

    [править] Теорема Гюйгенса

    [править] Формулировка

    Если физический маятник подвесить за центр качания, то его период колебаний не изменится, а прежняя точка подвеса сделается новым центром качания.

    [править] Доказательство

    Вычислим приведенную длину для нового маятника:

    Вывод уравнения колебаний физического маятника и его периода.

    Совпадение приведённых длин для двух случаев и доказывает утверждение, сделанное в теореме.

    [править] Период колебаний физического маятника

    Для того, чтобы найти период колебаний физического маятника, необходимо решить уравнение качания. Для этого умножим левую часть этого уравнения на Вывод уравнения колебаний физического маятника и его периода, а правую часть на Вывод уравнения колебаний физического маятника и его периода. Тогда:

    Вывод уравнения колебаний физического маятника и его периода.

    Интегрируя это уравнение, получаем.

    Вывод уравнения колебаний физического маятника и его периода,

    где Вывод уравнения колебаний физического маятника и его периодапроизвольная постоянная. Её можно найти из граничного условия, что в моменты Вывод уравнения колебаний физического маятника и его периода. Получаем: Вывод уравнения колебаний физического маятника и его периода. Подставляем и преобразовываем получившееся уравнение:

    Вывод уравнения колебаний физического маятника и его периода.

    Отделяем переменные и интегрируем это уравнение:

    Вывод уравнения колебаний физического маятника и его периода.

    Удобно сделать замену переменной, полагая Вывод уравнения колебаний физического маятника и его периода. Тогда искомое уравнение принимает вид:

    Вывод уравнения колебаний физического маятника и его периода.

    Здесь Вывод уравнения колебаний физического маятника и его периода— нормальный эллиптический интеграл Лежандра 1-го рода. Для периода колебаний получаем формулу:

    Вывод уравнения колебаний физического маятника и его периода.

    Здесь Вывод уравнения колебаний физического маятника и его периода— полный нормальный эллиптический интеграл Лежандра 1-го рода.

    [править] Период малых колебаний физического маятника

    Если амплитуда колебаний Вывод уравнения колебаний физического маятника и его периодамала, то корень в знаменателе эллиптического интеграла приближенно равен единице. Такой интеграл легко берется, и получается хорошо известная формула малых колебаний:

    Вывод уравнения колебаний физического маятника и его периода.

    24 Колебания математического маятника

    Математи́ческий ма́ятник — осциллятор, представляющий собой механическую систему, состоящую из материальной точки, находящейся на невесомой нерастяжимой нити или на невесомом стержне в однородном поле сил тяготения. Период малых собственных колебаний математического маятника длины l неподвижно подвешенного в однородном поле тяжести с ускорением свободного падения g равен

    Вывод уравнения колебаний физического маятника и его периода

    и не зависит [1] от амплитуды и массы маятника.

    Плоский математический маятник со стержнем — система с одной степенью свободы. Если же стержень заменить на растяжимую нить, то это система с двумя степенями свободы со связью. Пример школьной задачи, в которой важен переход от одной к двум степеням свободы.

    При малых колебаниях физический маятник колеблется так же, как математический с приведённой длиной.

    Уравнение колебаний маятника

    Колебания математического маятника описываются обыкновенным дифференциальным уравнением вида

    Вывод уравнения колебаний физического маятника и его периода

    где ω ― положительная константа, определяемая исключительно из параметров маятника. Неизвестная функция x(t) ― это угол отклонения маятника в момент t от нижнего положения равновесия, выраженный в радианах; Вывод уравнения колебаний физического маятника и его периода, где L ― длина подвеса, g ― ускорение свободного падения. Уравнение малых колебаний маятника около нижнего положения равновесия (т. н. гармоническое уравнение) имеет вид:

    Вывод уравнения колебаний физического маятника и его периода.

    [править] Решения уравнения движения

    [править] Гармонические колебания

    Маятник, совершающий малые колебания, движется по синусоиде. Поскольку уравнение движения является обыкновенным ДУ второго порядка, для определения закона движения маятника необходимо задать два начальных условия — координату и скорость, из которых определяются две независимых константы:

    Вывод уравнения колебаний физического маятника и его периода

    где A — амплитуда колебаний маятника, θ0 — начальная фаза колебаний, ω — циклическая частота, которая определяется из уравнения движения. Движение, совершаемое маятником, называется гармоническими колебаниями

    [править] Нелинейный маятник

    Для маятника, совершающего колебания с большой амплитудой, закон движения более сложен:

    Вывод уравнения колебаний физического маятника и его периода

    где Вывод уравнения колебаний физического маятника и его периода— это синус Якоби. Для Вывод уравнения колебаний физического маятника и его периодаон является периодической функцией, при малых Вывод уравнения колебаний физического маятника и его периодасовпадает с обычным тригонометрическим синусом.

    Параметр Вывод уравнения колебаний физического маятника и его периодаопределяется выражением

    Вывод уравнения колебаний физического маятника и его периода

    где Вывод уравнения колебаний физического маятника и его периода— энергия маятника в единицах t −2 .

    Период колебаний нелинейного маятника

    Вывод уравнения колебаний физического маятника и его периода

    где K — эллиптический интеграл первого рода.

    [править] Движение по сепаратрисе

    Движение маятника по сепаратрисе является непериодическим. В бесконечно далёкий момент времени он начинает падать из крайнего верхнего положения в какую-то сторону с нулевой скоростью, постепенно набирает её, и останавливается, возвратившись в исходное положение.

    25 Затухающие колебания. Зависимость амплитуды от времени.

    Затухающие колебания — колебания, энергия которых уменьшается с течением времени. Бесконечно длящийся процесс вида Вывод уравнения колебаний физического маятника и его периодав природе невозможен. Свободные колебания любого осциллятора рано или поздно затухают и прекращаются. Поэтому на практике обычно имеют дело с затухающими колебаниями. Они характеризуются тем, что амплитуда колебаний A является убывающей функцией. Обычно затухание происходит под действием сил сопротивления среды, наиболее часто выражаемых линейной зависимостью от скорости колебаний Вывод уравнения колебаний физического маятника и его периодаили её квадрата.

    Пускай имеется система, состоящая из пружины (подчиняющейся закону Гука), один конец которой жёстко закреплён, а на другом находится тело массой m. Колебания совершаются в среде, где сила сопротивления пропорциональна скорости с коэффициентом c (см. вязкое трение).

    Тогда второй закон Ньютона для рассматриваемой системы запишется так:

    Вывод уравнения колебаний физического маятника и его периода

    где Fc — сила сопротивления, Fy — сила упругости

    или в дифференциальной форме

    Вывод уравнения колебаний физического маятника и его периода

    где k — коэффициент упругости в законе Гука, c — коэффициент сопротивления, устанавливающий соотношение между скоростью движения грузика и возникающей при этом силой сопротивления.

    Для упрощения вводятся следующие обозначения: Вывод уравнения колебаний физического маятника и его периода

    Величину ω называют собственной частотой системы, ζ — коэффициентом затухания.

    Тогда дифференциальное уравнение принимает вид

    Вывод уравнения колебаний физического маятника и его периода

    Сделав замену x = e λt , получают характеристическое уравнение

    Вывод уравнения колебаний физического маятника и его периода

    Корни которого вычисляются по следующей формуле

    Вывод уравнения колебаний физического маятника и его периода

    [править] Решения

    Вывод уравнения колебаний физического маятника и его периода

    Вывод уравнения колебаний физического маятника и его периода

    Зависимость графиков колебаний от значения ζ.

    В зависимости от величины коэффициента затухания решение разделяется на три возможных варианта.

    Если Вывод уравнения колебаний физического маятника и его периода, то имеется два действительных корня, и решение дифференциального уравнения принимает вид:

    Вывод уравнения колебаний физического маятника и его периода

    В этом случае колебания с самого начала экспоненциально затухают.

    • Граница апериодичности

    Если Вывод уравнения колебаний физического маятника и его периода, два действительных корня совпадают Вывод уравнения колебаний физического маятника и его периода, и решением уравнения является:

    Вывод уравнения колебаний физического маятника и его периода

    В данном случае может иметь место вре́менный рост, но потом — экспоненциальное затухание.

    Если Вывод уравнения колебаний физического маятника и его периода, то решением характеристического уравнения являются два комплексно сопряжённых корня

    Вывод уравнения колебаний физического маятника и его периода

    Тогда решением исходного дифференциального уравнения является

    Вывод уравнения колебаний физического маятника и его периода

    Где Вывод уравнения колебаний физического маятника и его периода— собственная частота затухающих колебаний.

    Константы c1 и c2 в каждом из случаев определяются из начальных условий: Вывод уравнения колебаний физического маятника и его периода

    26 Вынужденные колебания. Понятие резонанса.

    Вынужденные колебания — колебания, происходящие под воздействием внешних сил, меняющихся во времени.

    Автоколебания отличаются от вынужденных колебаний тем, что последние вызваны периодическим внешним воздействием и происходят с частотой этого воздействия, в то время как возникновение автоколебаний и их частота определяются внутренними свойствами самой автоколебательной системы.

    Наиболее простой и содержательный пример вынужденных колебаний можно получить из рассмотрения гармонического осциллятора и вынуждающей силы, которая изменяется по закону: Вывод уравнения колебаний физического маятника и его периода.

    📽️ Видео

    Физический маятникСкачать

    Физический маятник

    Физический маятник.Скачать

    Физический маятник.

    Почти всё о маятникеСкачать

    Почти всё о маятнике

    Колебания математического и пружинного маятников. 9 класс.Скачать

    Колебания математического и пружинного маятников. 9 класс.

    Видеоурок по физике "Математический и пружинный маятники"Скачать

    Видеоурок по физике "Математический и пружинный маятники"

    Урок 92 (осн). Колебательное движение. МаятникиСкачать

    Урок 92 (осн). Колебательное движение. Маятники

    Физика 9 класс (Урок№10 - Маятник. Характеристики колебательного движения.)Скачать

    Физика 9 класс (Урок№10 - Маятник. Характеристики колебательного движения.)

    Физический маятникСкачать

    Физический маятник

    Классические уравнения | физический маятник | вывод при помощи уравнения Эйлера - ЛагранжаСкачать

    Классические уравнения | физический маятник | вывод при помощи уравнения Эйлера - Лагранжа

    УРАВНЕНИЕ ГАРМОНИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ ДЛЯ ФИЗИЧЕСКОГО МАЯТНИКАСкачать

    УРАВНЕНИЕ ГАРМОНИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ ДЛЯ ФИЗИЧЕСКОГО МАЯТНИКА

    Теормех. 2021-окт-18. Группа ПМФ. Двойной маятникСкачать

    Теормех. 2021-окт-18. Группа ПМФ. Двойной маятник

    Опыты по физике. Независимость периода колебаний нитяного маятника от массы грузаСкачать

    Опыты по физике. Независимость периода колебаний нитяного маятника от массы груза

    Колебания математического маятникаСкачать

    Колебания математического маятника
    Поделиться или сохранить к себе: