Вывод уравнений лагранжа второго рода из принципа даламбера лагранжа

Видео:Уравнения Лагранжа второго рода. Задача 1Скачать

Уравнения Лагранжа второго рода. Задача 1

Вывод уравнений лагранжа второго рода из принципа даламбера лагранжа

Вывод уравнений Лагранжа 2-го рода.

Уравнения Лагранжа второго рода представляют собой дифференциальные уравнения движения несвободной механической системы, составленные в обобщенных координатах. Рассмотрим движение системы, состоящей из N материальных точек, относительно ииерциальной системы отсчета. Наложенные на систему связи — голономные, удерживающие, идеальные. Если некоторые связи не идеальные, то соответствующие им реакции следует добавить к действующим на систему активным силам.

Видео:Вывод уравнения Лагранжа 2-го родаСкачать

Вывод уравнения Лагранжа 2-го рода

ОБОБЩЕННЫЕ КООРДИНАТЫ, СКОРОСТИ И СИЛЫ. УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА ВТОРОГО РОДА

Определение обобщенных координат дано в предыдущей главе. По существу, не употребляя этого термина, мы уже неоднократно пользовались обобщенными координатами. Например, положение математического маятника определялось углом отклонения его от вертикали (q = ф 0 и 5ф2 = 0 (рис. 6.2, б). Работу силы Р1 вычислим по тому же правилу: 8Д,(Р,) = sin ф,5ф|.

Вывод уравнений лагранжа второго рода из принципа даламбера лагранжа

Рис. 6.2, б. К примеру 1: вариация перемещения системы по первой обобщенной координате

Перемещения точек Л/, и М2 одинаковы (так как при неизменном угле ф2 второй стержень движется поступательно). Поэтому виртуальная работа силы Р2 получится из предыдущего выражения заменой масс, т.е. ЪЛ<2) = -т$1х sin ф,5ф|. Откуда

Вывод уравнений лагранжа второго рода из принципа даламбера лагранжа

Коэффициент при вариации 5ф, равен обобщенной силе Q] = — (m, + + m2)gl] sin ф,.

3-й способ. Активные силы Р12 консервативны. Найдем потенциальную энергию П, вычислив ее как работу активных сил при перемещении изданного положения в горизонтальное:

Вывод уравнений лагранжа второго рода из принципа даламбера лагранжа

Вывод уравнений лагранжа второго рода из принципа даламбера лагранжа

Из рассмотренных способов наиболее универсален 2-й.

Из самого определения видно, что обобщенные силы зависят не только от структуры системы и приложенных к ней активных сил, но также и от выбора обобщенных координат.

? Общее уравнение динамики и условия равновесия системы в обобщенных силах

Если преобразовать общее уравнение динамики (5.5) — принцип Лагранжа, учитывая зависимость (6.1) радиусов-векторов точек от обобщенных координат, то получим

Вывод уравнений лагранжа второго рода из принципа даламбера лагранжа

или, меняя порядок суммирования,

Вывод уравнений лагранжа второго рода из принципа даламбера лагранжа

что по определению обобщенных сил (6.6) дает

Вывод уравнений лагранжа второго рода из принципа даламбера лагранжа

Уравнение (6.7) и является общим уравнением динамики/прин- ципом д’Аламбера — Лагранжа, выраженным через обобщенные силы.

Поскольку приращения обобщенных координат 8^ в (6.7) произвольны и независимы друг от друга, то коэффициенты Q, + QJ перед приращениями в полученных уравнениях должны равняться нулю. Если система находится в покое, то все ее точки находятся в покое, т.е. все силы инерции системы, в том числе и обобщенные QJ, равны нулю. Следовательно, условия равновесия системы под действием обобщенных сил принимают вид

Вывод уравнений лагранжа второго рода из принципа даламбера лагранжа

В частности, для консервативных сил в целях равновесия системы достаточно потребовать выполнения условий:

Вывод уравнений лагранжа второго рода из принципа даламбера лагранжа

? Уравнения Лагранжа второго рода

Общее уравнение динамики в виде (5.6) или (6.7) дает возможность составлять дифференциальные уравнения движения, не содержащие реакции идеальных связей. Для простых систем их применение в такой форме не вызывает затруднений. Но в сложных случаях использование этого уравнения приводит к тяжелым преобразованиям. Поэтому значительно удобнее пользоваться вытекающими из них уравнениями Лагранжа второго рода, в которых трудности преобразований преодолены в общем виде.

Выведем уравнения Лагранжа второго рода из общего уравнения динамики:

Вывод уравнений лагранжа второго рода из принципа даламбера лагранжа

или, учитывая (6Л),

Вывод уравнений лагранжа второго рода из принципа даламбера лагранжа

Умножим это на (—1) и изменим порядок суммирования:

Вывод уравнений лагранжа второго рода из принципа даламбера лагранжа

Разобьем сумму на две части:

Вывод уравнений лагранжа второго рода из принципа даламбера лагранжа

или по определению обобщенных сил (6.6):

Вывод уравнений лагранжа второго рода из принципа даламбера лагранжа

Далее займемся преобразованиями первого члена под знаком суммы в (*):

Вывод уравнений лагранжа второго рода из принципа даламбера лагранжа

Используя определение обобщенных скоростей (6.3), составим частную производную по обобщенной координате:

Вывод уравнений лагранжа второго рода из принципа даламбера лагранжа

и полную производную по времени от Вывод уравнений лагранжа второго рода из принципа даламбера лагранжа:

Вывод уравнений лагранжа второго рода из принципа даламбера лагранжа

или, учитывая, что смешанные частные производные не зависят от порядка дифференцирования:

Вывод уравнений лагранжа второго рода из принципа даламбера лагранжа

Подставляя это выражение в (**) и учитывая (6.4), получим Вывод уравнений лагранжа второго рода из принципа даламбера лагранжа

или по правилам дифференцирования Вывод уравнений лагранжа второго рода из принципа даламбера лагранжаили окончательно

Вывод уравнений лагранжа второго рода из принципа даламбера лагранжа

Теперь подставим равенство (***) в уравнение (*):

Вывод уравнений лагранжа второго рода из принципа даламбера лагранжа

или, разбивая сумму по к на две части и вынося знак производной за знак суммы:

Вывод уравнений лагранжа второго рода из принципа даламбера лагранжа

или по определению кинетической энергии системы

Вывод уравнений лагранжа второго рода из принципа даламбера лагранжа

Полученное требование ввиду произвольности и независимости друг от друга вариаций 8^ означает, что квадратные скобки во всех уравнениях должны быть равны нулю, т.е.

Вывод уравнений лагранжа второго рода из принципа даламбера лагранжа

Полученная система из s обыкновенных ДУ второго порядка и является уравнениями движения системы в обобщенных координатах, или, как их принято называть, уравнениями Лагранжа второго рода. Число уравнений равно числу СтСв системы.

Если силы, действующие на систему потенциальны, то

Вывод уравнений лагранжа второго рода из принципа даламбера лагранжа

И если ввести в рассмотрение функцию Лагранжа/кинетический потенциал L-T— Пи учесть, что Вывод уравнений лагранжа второго рода из принципа даламбера лагранжа, то получим уравнения Лагранжа второго рода для потенциальных сил:

Вывод уравнений лагранжа второго рода из принципа даламбера лагранжа

? Задачи на составление уравнений Лагранжа второго рода Методика решений таких задач хорошо разработана. Последовательность рекомендуемых действий такова:

  • 1) изобразить на чертеже все активные силы, действующие на систему, реакции идеальных связей изображать не следует; если имеются силы трения, то их надо включить в число активных сил;
  • 2) определить число СтСв системы и ввести обобщенные координаты qx_s;
  • 3) вычислить кинетическую Т и потенциальную П энергию системы, выразив их через обобщенные координаты и скорости — Т =
  • •••) Qsi д >Ql’ «•) Qs ) ^ П П( и учтем, что Вывод уравнений лагранжа второго рода из принципа даламбера лагранжа

Вывод уравнений лагранжа второго рода из принципа даламбера лагранжаТогда Вывод уравнений лагранжа второго рода из принципа даламбера лагранжаИнтегрируя это уравнение, найдем общий интеграл Вывод уравнений лагранжа второго рода из принципа даламбера лагранжаПусть

н. у. движения таковы, что ф(0) = ф0, ф(0) = 0. Тогда Вывод уравнений лагранжа второго рода из принципа даламбера лагранжаи окончательно имеем: Вывод уравнений лагранжа второго рода из принципа даламбера лагранжа

Это соотношение можно было получить более простым способом из закона сохранения механической энергии.

? Выражение кинетической энергии через обобщенные координаты и скорости

Кинетическая энергия материальной системы выражается как

Вывод уравнений лагранжа второго рода из принципа даламбера лагранжа

Возведем скобку в квадрат и сгруппируем отдельно члены второй степени относительно обобщенных скоростей — квадратичную форму Т2,

члены первой степени — линейную форму Г, и не содержащие их — нулевую форму Т0:

Вывод уравнений лагранжа второго рода из принципа даламбера лагранжа

Вывод уравнений лагранжа второго рода из принципа даламбера лагранжа

где ац = a>i называются коэффициентами инерции. Как видно, коэффициенты а, b зависят от обобщенных координат и времени, но не зависят от обобщенных скоростей. В таких обозначениях

Вывод уравнений лагранжа второго рода из принципа даламбера лагранжа

При стационарных связях для движения в инерциальных осях время явно не входит в выражения радиуса-вектора гр поэтому все частные производные по времени будут равны нулю, и, следовательно, Г, = Т2, т.е. вся кинетическая энергия системы представляет собой квадратичную форму обобщенных скоростей:

Вывод уравнений лагранжа второго рода из принципа даламбера лагранжа

Пример 3. Составить ДУ движения двойного математического маятника в обобщенных координатах (см. пример 1, рис. 6.1).

Решение. Двойной математический маятник имеет две СтСв. За обобщенные координаты возьмем углы q< = ср, и q2 ср2. Система состоит из двух материальных точек, поэтому ее кинетическая энергия равна

Вывод уравнений лагранжа второго рода из принципа даламбера лагранжа

Найдем скорости точек, для чего выразим координаты точек из рис. 6.1: х, = /, cos (р,, у, = /, sin (р,, х2 = /, cos ср, + /2 cos ср2, у, = /, sin ср, + +/2 sin ф2. Дифференцируя по времени, получим: х, = /, ф, sin 2 = i 2 + у, 2 = /,ф 2 , V 2 = х 2 + у 2 = / 2 ф 2 + 2/,/2 С05(ф2 — ф, )ф,ф, + / 2 ф 2

и кинетическая энергия системы примет вид Вывод уравнений лагранжа второго рода из принципа даламбера лагранжа

Обобщенные силы были найдены в примере 1, поэтому можно перейти к составлению уравнений Лагранжа второго рода.

Для первой обобщенной координаты:

Вывод уравнений лагранжа второго рода из принципа даламбера лагранжа

Разделим обе части уравнения на /, и приведем подобные члены, в результате окончательно получим

Вывод уравнений лагранжа второго рода из принципа даламбера лагранжа

Для второй координаты уравнение получается аналогичным способом. Интегрирование этих ДУ движения двойного математического маятника связано с большими трудностями, однако если считать углы отклонения малыми, то решение упрощается (см. пример 5 в гл. Д. 7).

Видео:Уравнения Лагранжа второго родаСкачать

Уравнения Лагранжа второго рода

iSopromat.ru

Вывод уравнений лагранжа второго рода из принципа даламбера лагранжа

Уравнения Лагранжа второго рода, которые представляют собой дифференциальные уравнения второго порядка относительно обобщенных координат.

Вывод уравнений лагранжа второго рода из принципа даламбера лагранжа

Вывод уравнений лагранжа второго рода из принципа даламбера лагранжа

Для такой системы можно записать s уравнений, которые называются уравнениями Лагранжа второго рода или дифференциальными уравнениями движения в обобщенных координатах:

Вывод уравнений лагранжа второго рода из принципа даламбера лагранжа

Уравнения Лагранжа второго рода могут быть обобщены на случай связей, осуществляемых с трением, хотя они и не являются идеальными. Для этого следует силу трения перенести из группы сил реакции в группу активных сил, тогда связь с трением можно формально считать идеальной.

Уравнения Лагранжа второго рода представляют собой дифференциальные уравнения второго порядка относительно обобщенных координат q1, q2,…qs.

Дважды интегрируя эти уравнения и определяя по начальным условиям постоянные интегрирования, получим систему уравнений движения в обобщенных координатах:

Уважаемые студенты!
На нашем сайте можно получить помощь по техническим и другим предметам:
✔ Решение задач и контрольных
✔ Выполнение учебных работ
✔ Помощь на экзаменах

📽️ Видео

Халилов В. Р. - Теоретическая механика - Принцип Даламбера. Уравнение ЛагранжаСкачать

Халилов В. Р. - Теоретическая механика - Принцип Даламбера. Уравнение Лагранжа

Дифференциальное уравнение Лагранжа II рода. Расчет механической системы.Скачать

Дифференциальное уравнение Лагранжа II рода. Расчет механической системы.

Принцип наименьшего действия #2 - Уравнение Эйлера-ЛагранжаСкачать

Принцип наименьшего действия #2 - Уравнение Эйлера-Лагранжа

Принцип ДаламбераСкачать

Принцип Даламбера

Т. Уравнения Лагранжа 2 рода. Теория.Скачать

Т. Уравнения Лагранжа 2 рода. Теория.

Теоретическая механика 2 Принцип Даламбера Уравнение ЛагранжаСкачать

Теоретическая механика 2 Принцип Даламбера  Уравнение Лагранжа

§5.5. Уравнения Лагранжа второго родаСкачать

§5.5. Уравнения Лагранжа второго рода

Уравнение Лагранжа 2-го рода. Линейная координатаСкачать

Уравнение Лагранжа 2-го рода. Линейная координата

Уравнение Лагранжа 2-го рода для механизма с одной степенью свободыСкачать

Уравнение Лагранжа 2-го рода для механизма с одной степенью свободы

Уравнение ЛагранжаСкачать

Уравнение Лагранжа

Уравнения Лагранжа #1Скачать

Уравнения Лагранжа #1

Система с двумя степенями свободыСкачать

Система с двумя  степенями свободы

Функция Лагранжа. Уравнения Лагранжа. Интегралы движения.Скачать

Функция Лагранжа. Уравнения Лагранжа. Интегралы движения.

№1. Уравнения Лагранжа 2 рода. Задача 1.Скачать

№1. Уравнения Лагранжа 2 рода. Задача 1.

19. Метод вариации произвольных постоянных. Линейные неоднородные диф уравнения 2-го порядкаСкачать

19. Метод вариации произвольных постоянных. Линейные неоднородные диф уравнения 2-го порядка

Зобова А. А. - Теоретическая механика. Часть 1 - Принцип Даламбера-ЛагранжаСкачать

Зобова А. А. - Теоретическая механика. Часть 1 - Принцип Даламбера-Лагранжа

№10. Уравнения Лагранжа первого и второго рода. Общее уравнение динамики.Скачать

№10. Уравнения Лагранжа первого и второго рода. Общее уравнение динамики.
Поделиться или сохранить к себе: