Вывод основного уравнения динамики вращательного движения для изолированной материальной точки (2 видео)

Содержание

§ 7.7. Основное уравнение динамики вращательного движения твердого тела
Уравнение движения
Момент инерции тела
Моменты инерции обруча и цилиндра
Конспект по физике «Динамика вращательного движения» (10 класс)
Лабораторная работа 1-05 проверка основного уравнения динамики вращательного движения при вращении тел вокруг неподвижной оси
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 1-05
ВВЕДЕНИЕ
📽️ Видео

Видео:Физика. 10 класс. Основное уравнение динамики вращательного движенияСкачать

§ 7.7. Основное уравнение динамики вращательного движения твердого тела

Уравнение движения

Для вывода основного уравнения динамики вращательного движения можно поступить следующим образом. Разделить мысленно тело на отдельные, достаточно малые элементы, которые можно было бы рассматривать как материальные точки (рис. 7.33). Записать для каждого элемента уравнение (7.6.13), и все эти уравнения почленно сложить. При этом внутренние силы, действующие между отдельными элементами, в уравнение движения тела не войдут. Сумма их моментов в результате сложения уравнений окажется равной нулю, так как по третьему закону Ньютона силы взаимодействия равны по модулю и направлены вдоль одной прямой в противоположные стороны. Учитывая далее, что при вращении твердого тела все его точки совершают одинаковые угловые перемещения с одинаковыми скоростями и ускорениями, можно таким образом получить уравнение вращательного движения всего тела.

Однако вывод этого уравнения довольно громоздок, поэтому мы на нем останавливаться не будем. Тем более что это уравнение имеет такую же форму, что и уравнение (7.6.13) для материальной точки, движущейся по окружности:

В этом уравнении Jω = L — момент импульса тела, а — суммарный момент всех внешних сил, действующих на тело относительно оси вращения.

Читается уравнение (7.7.1) так: производная по времени от момента импульса равна суммарному моменту внешних сил.

Следует иметь в виду, что вращение тела вокруг оси могут вызывать лишь силы i, лежащие в плоскости, перпендикулярной оси вращения (рис. 7.34). Силы же k, направленные параллельно оси вращения, очевидно, способны вызвать лишь перемещение тела вдоль оси. Момент каждой силы _i равен взятому со знаком плюс или минус произведению модуля этой силы на плечо d, т. е. на длину отрезка перпендикуляра, опущенного из точки С оси на линию действия силы _i:

Момент силы, вращающий тело вокруг данной оси против часовой стрелки, считается положительным, а по часовой стрелке — отрицательным.

Момент инерции тела

В формулу (7.7.1) входит момент инерции тела J. Момент инерции тела J равен сумме моментов инерции AJ₁ отдельных малых элементов, на которые можно разбить все тело:

Так как момент инерции материальной точки

где Δm₁; — масса элемента тела, a r₁ — его расстояние до оси вращения (см. рис. 7.33), то

Момент инерции тела зависит не только от массы тела, но и от характера распределения этой массы. Чем больше вытянуто тело вдоль оси вращения, тем меньше его момент инерции, так как тем ближе к оси вращения расположены отдельные элементы тела. Очевидно также, что, изменив ось вращения тела, мы тем самым изменим и его момент инерции. У твердых тел момент инерции относительно данной оси — постоянная величина. Поэтому изменение момента импульса может происходить лишь за счет изменения угловой скорости. Соответственно уравнение (7.7.1) можно записать в виде:

Читается это уравнение так: произведение момента инерции тела относительно оси вращения на угловое ускорение тела равно сумме моментов (относительно той же оси) всех внешних сил, приложенных к телу.

Уравнение (7.7.6) показывает, что при вращении тела момент инерции играет роль массы, момент силы — роль силы, а угловое ускорение — роль линейного ускорения при движении материальной точки или центра масс.

В том, что угловое ускорение определяется действительно моментом силы, т. е. силой и плечом, а не просто силой, убедиться нетрудно. Так, раскрутить велосипедное колесо до одной и той же угловой скорости одной и той же силой (например, усилием пальца) можно гораздо быстрее, если прикладывать силу к ободу колеса (это создает больший момент), а не к спицам вблизи втулки (рис. 7.35).

Для того чтобы убедиться в том, что угловое ускорение определяется именно моментом инерции, а не массой тела, нужно иметь в распоряжении тело, форму которого можно легко изменять, не меняя массы. Велосипедное колесо здесь непригодно. Но можно воспользоваться своим собственным телом. Попробуйте закрутиться на пятке, оттолкнувшись от пола другой ногой. Если вы при этом прижмете руки к груди, то угловая скорость окажется большей, чем если вы раскинете руки в стороны. Эффект будет особенно заметным, если в обе руки взять по толстой книге.

Моменты инерции обруча и цилиндра

Найти момент инерции тела произвольной несимметричной формы довольно сложно. Проще его измерить опытным путем, чем вычислить.

Мы ограничимся вычислением момента инерции тонкого обруча, вращающегося вокруг оси, проходящей через его центр. Если масса колеса сосредоточена главным образом в его ободе (как, например, у велосипедного колеса), то такое колесо приближенно можно рассматривать как обруч, пренебрегая массой спиц и втулки.

Разобьем обруч на N одинаковых элементов. Если m — масса всего обруча, то масса каждого элемента . Толщину обруча будем считать много меньшей ее радиуса (рис. 7.36). Если число элементов выбрать достаточно большим, то каждый элемент можно рассматривать как материальную точку. Поэтому момент инерции произвольного элемента с номером i будет равен:

Подставляя выражение (7.7.7) в формулу (7.7.5) для полного момента инерции, получим:

Здесь мы учли, что расстояние R для всех элементов одинаково и что сумма масс элементов равна массе m обруча.

Получился очень простой результат: момент инерции обруча равен произведению его массы на квадрат радиуса. Момент инерции обруча данной массы тем больше, чем больше его радиус. Формула (7.7.8) определяет также момент инерции полого тонкостенного цилиндра при его вращении вокруг оси симметрии.

Вычисление момента инерции сплошного однородного цилиндра массой m и радиусом R относительно его оси симметрии представляет более сложную задачу. Мы приведем лишь результат расчета:

Следовательно, если сравнить моменты инерции двух цилиндров одинакового размера и массы, один из которых полый, а другой сплошной, то у второго цилиндра момент инерции будет в два раза меньше. Это связано с тем, что у сплошного цилиндра масса расположена в среднем ближе к оси вращения.

Мы познакомились с уравнением вращательного движения твердого тела. По форме оно похоже на уравнение для поступательного движения твердого тела. Дано определение новых физических величин, характеризующих твердое тело: момента инерции и момента импульса.

Видео:Урок 93. Основное уравнение динамики вращательного движенияСкачать

Конспект по физике «Динамика вращательного движения» (10 класс)

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Рабочие листы и материалы для учителей и воспитателей

Более 300 дидактических материалов для школьного и домашнего обучения

Основное уравнение динамики вращательного движения .

Абсолютно твердое тело – тело, расстояние между двумя любыми точками которого остается неизменным при любых движениях и деформациях.

Следовательно, форма и размеры абсолютно твердого тела не изменяются при действии на него любых сил.

Абсолютно твердое тело – физическая модель (в природе не существует). Тело можно считать абсолютно твердым, если деформации малы.

Вращательное движение абсолютно твердого тела вокруг неподвижной оси – движение, при котором все точки тела описывают окружности, центры которых находятся на одной прямой, перпендикулярной плоскостям этих окружностей. Сама эта прямая есть ось вращения ( OO ’).

Примеры вращательного движения: вращение валов двигателей, колес, турбин, пропеллеров самолетов, вращение Земли вокруг совей оси.

Динамика вращательного движения абсолютно твердого тела изучает причины появления углового ускорения у тела, которое может вращаться вокруг оси и позволяет вычислить его величину.

При вращательном движении твердого тела вокруг закрепленной оси масса уже не является мерой его инертности, а сила недостаточна для характеристики внешнего воздействия. Таким образом, для описания вращательного движения твердого тела необходимо ввести новые характеристики:

1) При вращательном движении силовое воздействие характеризуется не силой, а

Момент силы (М) – векторная физическая величина, модуль которой равен произведению модуля силы на ее плечо.

Плечо силы ( d ) – длина перпендикуляра, опущенного из оси вращения на линию действия силы.

1Н∙м — момент силы в 1Н, линия действия которой отстоит от оси вращения на 1м.

Если линия действия силы проходит через ось вращения, то момент силы относительно этой оси равен нулю. Эта сила не вызывает вращения.

Вектор момента силы направлен вдоль оси вращения. Направление момента силы определяется по правилу правой руки . Для этого необходимо изобразить вектор силы и радиус вектор точки приложения этой силы исходящими из одной точки. За направление вращения выберем направление поворота от к . Расположим правую руку таким образом, чтобы направление кончиков четырех согнутых пальцев показывало направление поворота от к , тогда направление отогнутого большого пальца укажет направление момента силы.

2) Мерой инерции при вращательном движении является

Момент инерции материальной точки относительно оси вращения – физическая величина, равная , где — кратчайшее расстояние от оси вращения до точки.

1 кг∙м 2 – момент инерции тела, при котором под действием момента силы в 1Н∙м тело приобретает угловое ускорение в .

Момент инерции тела равен сумме моментов инерции отдельных его частей:

где — масса элемента абсолютно твердого тела; – кратчайшее расстояние от элемента тела до оси вращения.

Если масса тела является инвариантной величиной (одинаковой в различных системах отсчета) и не зависит от того, как тело движется, то момент инерции абсолютно твердого тела зависит :

1) От массы тела;

2) От формы и размеров тела;

3) От распределения массы относительно оси вращения (при переносе оси вращения, изменении ее направления, а также переносе отдельных частей тела его момент инерции изменяется) .

У твердых тел момент инерции относительно данной оси – постоянная величина. Момент инерции тел относительно оси вращения, проходящей через центр масс у многих тел известен:

Ось вращения проходит

через центр обруча, перпендикулярно его плоскости

через центр цилиндра, перпендикулярно плоскости его основания

через центр диска вдоль его диаметра

через центр шара

Стержень длиной l

через середину тонкого стержня, перпендикулярно ему

При переносе оси вращения или отдельных частей тела относительно этой оси его момент инерции изменяется. Соотношение между моментами инерции тела относительно некоторой оси вращения, проходящей через центр масс, относительно произвольной параллельной ей оси устанавливается с помощью теоремы Штейнера : момент инерции тела относительно произвольной оси вращения равен сумме момента инерции этого тела, взятого относительно параллельной ей оси, проходящей через центр масс, и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями.

Проведем некоторую ось вращения О, проходящую через центр масс абсолютно твердого тела. Выберем другую произвольную ось О’, параллельную оси О и отстоящую от нее на расстоянии d . Пусть момент инерции относительно центра масс известен и равен I_o . Тогда, согласно Тереме Штейнера момент инерции относительно оси O ’ равен:

Выведем основное уравнение динамики вращательного движения. Рассмотрим частицу массы m , вращающуюся вокруг оси по окружности радиуса R , под действием результирующей силы , лежащей в плоскости оси вращения. В инерциальной системе отсчета справедлив II закон Ньютона. Запишем его применительно к произвольному моменту времени: .

Разложим силу на две составляющие: нормальную и тангенциальную . Нормальная составляющая силы не способна вызвать вращение частицы с угловым ускорением, поэтому рассмотрим только действие ее тангенциальной составляющей. В проекции на тангенциальное направление II закон Ньютона примет вид: .

Но

– основное уравнение динамики вращательного движения материальной точки.

Этому уравнению можно придать векторный характер, учитывая, что наличие момента сил вызывает появление параллельного ему вектора углового ускорения, направленного вдоль оси вращения:

— произведение момента инерции материальной точки на угловое ускорение равно результирующему моменту сил, действующих на материальную точку.

Т.к. то

Для вывода основного уравнения динамики абсолютно твердого тела необходимо разделить это тело на достаточно малые элементы m_i , каждый из которых можно считать материальной точкой. Записать для каждой материальной точки основное уравнение динамики вращательного движения материальной точки и все эти уравнения почленно сложить:

— основное уравнение динамики вращательного движения абсолютно твердого тела.

Произведение момента инерции тела относительно оси вращения на угловое ускорение тела равно сумме моментов (относительно той же оси)всех внешних сил, приложенных к телу.

Основное уравнение динамики вращательного движения тела устанавливает зависимость углового ускорения от момента силы и момента инерции.

Ускорение при вращательном движении зависит :

1) Не только от массы, но и от ее распределения относительно оси вращения;

2) Не только от силы, но и от точки ее приложения и направления действия.

Видео:Основное уравнение динамики вращательного движения. 10 класс.Скачать

Лабораторная работа 1-05 проверка основного уравнения динамики вращательного движения при вращении тел вокруг неподвижной оси

Видео:Вращательное движение. 10 класс.Скачать

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 1-05

ПРОВЕРКА ОСНОВНОГО УРАВНЕНИЯ ДИНАМИКИ ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ ПРИ ВРАЩЕНИИ ТЕЛ ВОКРУГ НЕПОДВИЖНОЙ ОСИ

Цель работы: изучение динамики вращательного движения, экспериментальное подтверждение основного уравнения динамики вращательного движения вокруг неподвижной оси и справедливости теоремы Гюйгенса–Штейнера.

Приборы и принадлежности: крестообразный маятник Обербека, снабженный электронным секундомером, набор грузов определенной массы, прибор для измерения длины.

Видео:Основное уравнение динамики вращательного движенияСкачать

ВВЕДЕНИЕ

Основное уравнение динамики вращательного движения имеет следующий вид:

, (1)

где L = Jw — момент импульса вращающегося тела; J – момент его инерции относительно оси вращения; w — угловая скорость вращения и М = [r,F] – момент силы. Дифференцируя последнее равенство, получим

. (2)

Если вращение осуществляется вокруг неподвижной оси и если момент инерции остается постоянным, то уравнение (2) примет вид

. (3)

Здесь Jz и Мz – момент инерции и момент силы относительно неподвижной оси z. Угловое ускорение e связано с линейным ускорением точек, расположенных на расстоянии r от оси вращения, уравнением

Линейное ускорение, в свою очередь, связано с перемещением h и временем перемещения t, при условии, что начальная скорость перемещения равна нулю

. (5)

Моменты инерции простых тел относительно оси, проходящей через центр масс, известны. Теорема Гюйгенса–Штейнера позволяет определить момент инерции относительно любой другой оси, если она параллельна оси, проходящей через центр масс

, (6)

где J0 – момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс; m – масса тел; R – расстояние между осями.

Приведенные зависимости позволяют решить поставленную задачу.

Схема маятника Обербека приведена на рис. 1. Два шкива различных диаметров 1 и 2 могут легко вращаться вокруг неподвижной оси 3. Шкивы соединены плотной шайбой, в боковой поверхности которой закреплены симметрично четыре спицы 4, расположенные под прямым углом друг к другу. На спицы можно надевать грузы (mгр), которые могут перемещаться вдоль спиц 4. При этом изменяется момент инерции маятника, который зависит от расстояния R между центрами грузов и осью вращения. На один из шкивов 1 или 2 намотана нить, к концу которой привязана платформа 6 известной массы m0. На эту платформу можно помещать грузы различной массы mi 7. В зависимости от массы этого груза изменяется вращающий момент. Нить перекинута через блок 8 с указателем 9. Расстояние между указателем 9 и основанием прибора определяет высоту h падения платформы с соответствующим грузом mi. Выключатель 10 служит для освобождения груза с платформой и для запуска (остановки) секундомера.

МЕТОДИКА ПРОВЕРКИ ОСНОВНОГО ЗАКОНА

Возможны два способа проверки основного закона динамики вращательного движения тел вокруг неподвижной оси:

а) установить линейную зависимость

б) установить линейную зависимость

а) Первый способ.

Груз mi, помещенный на платформу 6, создает вращающий момент Mi = = T × r, где Т – сила натяжения нити и r – радиус шкива, на который намотана нить. По второму закону Ньютона

где а – ускорение падающего груза с платформой. Момент силы натяжения равен

Сумма моментов сил, действующих на шкив:

Mi – Mтр = m(g – a)r – Mтр.= J×,

где Мтр – момент силы трения

Здесь m = m0 + mi – масса платформы 6 с грузом 7.

В соответствии с теоремой Гюйгенса–Штейнера момент инерции крестовины с надетыми на спицы грузами mгр, равен

Суммарная масса крестовины со стержнями и надетыми на них грузами много больше массы груза с платформой. Кроме того, r mmin. Результаты внесите в табл. 1. Внизу таблицы запишите значение радиуса r того шкива, на котором намотана нить.

3. Установите на платформе груз mi > mmin. Не меняйте этот груз в течение всего опыта (M = const). В опыте изменяют момент инерции перемещением грузов mгр по спицам, изменяя расстояние R. При каждом значении R определите три раза время падения груза с платформой с высоты h. Результаты внесите в табл. 2.