Вывод динамического уравнения движения математического маятника на основе второго закона ньютона

«Физика — 11 класс»

Колебания тела можно описать, используя законы Ньютона.

Уравнение движения тела, колеблющегося под действием силы упругости.

Согласно второму закону Ньютона произведение массы тела на ускорение его равно равнодействующей всех сил, приложенных к телу:

Запишем уравнение движения для шарика, движущегося прямолинейно вдоль горизонтали под действием силы упругости F_упр пружины.
Направим ось ОХ вправо. Пусть начало отсчета координат соответствует положению равновесия шарика.

В проекции на ось ОХ уравнение движения можно записать так:

где а_х и F_{x упр} — проекции ускорения и силы упругости пружины на эту ось.

Согласно закону Гука проекция F_{x ynp} прямо пропорциональна смещению шарика из положения равновесия.
Смещение же равно координате х шарика, причем проекция силы и координата имеют противоположные знаки. Следовательно,

F_{x yпp} = -kх

Разделив левую и правую части уравнения на массу, получим уравнение, описывающее колебания тела под действием силы упругости:

Проекция ускорения тела прямо пропорциональна его координате, взятой с противоположным знаком.

Так как масса и жесткость пружины — постоянные величины, то их отношение также постоянная величина.

Уравнение движения математического маятника

При колебаниях маятника на нерастяжимой нити он все время движется по дуге окружности, радиус которой равен длине нити l.
Положение маятника в любой момент времени определяется одной величиной — углом альфа (α) отклонения нити от вертикали.
Пусть угол α>0, если маятник отклонен вправо от положения равновесия,
и α 0) составляющая силы тяжести F_t направлена влево и ее проекция отрицательна: F_t 0.

Проекция ускорения маятника на касательную к его траектории а_t характеризует быстроту изменения модуля скорости маятника.

Поступая налогично выводу форулы для маятника, колеблющегося под действием силы упругости,
получим уравнение движения для математического маятника (нитяного маятника):

Проекция ускорения тела прямо пропорциональна его координате, взятой с противоположным знаком.

где
l — длина нити маятника,
g — ускорение свободного падения,
х — смещение маятника.

Вывод:

Движение маятника на пружине и колебания маятника на нити происходят одинаковым образом, хотя силы, вызывающие колебания, имеют различную физическую природу.
Ускорение прямо пропорционально координате (смещению от положения равновесия).
Колебания в этих двух случаях совершаются под действием сил, равнодействующая которых прямо пропорциональна смещению колеблющегося тела от положения равновесия и направлена в сторону, противоположную этому смещению.

Источник: «Физика — 11 класс», учебник Мякишев, Буховцев, Чаругин

Механические колебания. Физика, учебник для 11 класса — Класс!ная физика

Видео:Классические уравнения | математический маятник | вывод через второй закон НьютонаСкачать

Второй закон Ньютона. Динамические уравнения движения

Второй закон Ньютона – основной закон динамики. Этот закон выполняется только в инерциальных системах отсчета.

Приступая к формулировке второго закона, следует вспомнить, что в динамике вводятся две новые физические величины – масса тела m и сила а также способы их измерения. Первая из этих величин – масса – является количественной характеристикой инертных свойств тела. Она показывает, как тело реагирует на внешнее воздействие. Вторая – сила – является количественной мерой действия одного тела на другое.

Второй закон Ньютона – это фундаментальный закон природы; он является обобщением опытных фактов, которые можно разделить на две категории:

1. Если на тела разной массы подействовать одинаковой силой, то ускорения, приобретаемые телами, оказываются обратно пропорциональны массам:

при F = const.

1. Если силами разной величины подействовать на одно и то же тело, то ускорения тела оказываются прямо пропорциональными приложенн силам:

при m = const.

Обобщая подобные наблюдения, Ньютон сформулировал основной закон динамики:

Сила, действующая на тело, равна произведению массы тела на сообщаемое этой силой ускорение:

Это и есть второй закон Ньютона. Он позволяет вычислить ускорение тела, если известна его масса m и действующая на тело сила :

В Международной системе единиц (СИ) за единицу силы принимается сила, которая сообщает телу массой 1 кг ускорение 1 м/с 2 . Эта единица называется ньютоном (Н). Ее принимают в СИ за эталон силы (см. §1.7):

Если на тело одновременно действуют несколько сил (например, и то под силой в формуле, выражающей второй закон Ньютона, нужно пониматьравнодействующую всех сил:

Рисунок 1.8.1. Сила – равнодействующая силы тяжести и силы нормального давления действующих на лыжницу на гладкой горе. Сила вызывает ускорение лыжника

Если равнодействующая сила то тело будет оставаться в состоянии покоя или равномерного прямолинейного движения. Таким образом, формально второй закон Ньютона включает как частный случай первый закон Ньютона, однако первый закон Ньютона имеет более глубокое физическое содержание – он постулирует существование инерциальных систем отсчета.

Второй закон Ньютона[править | править вики-текст]

Основная статья: Второй закон Ньютона

Второй закон Ньютона — дифференциальный закон движения, описывающий взаимосвязь между приложенной к материальной точке силой и получающимся от этогоускорением этой точки. Фактически, второй закон Ньютона вводит массу как меру проявления инертности материальной точки в выбранной инерциальной системе отсчёта (ИСО).

Масса материальной точки при этом полагается величиной постоянной во времени и независящей от каких-либо особенностей её движения и взаимодействия с другими телами [4][5][6][7] .

Современная формулировка[править | править вики-текст]

При подходящем выборе единиц измерения, этот закон можно записать в виде формулы:

где — ускорение материальной точки;
— равнодействующая всех сил, приложенных к материальной точке;
— масса материальной точки.

Второй закон Ньютона может быть также сформулирован в эквивалентной форме с использованием понятия импульс:

В инерциальной системе отсчета скорость изменения импульса материальной точки равна равнодействующей всех приложенных к ней внешних сил.

где — импульс точки, — её скорость, а — время. При такой формулировке, как и при предшествующей, полагают, что масса материальной точки неизменна во времени [8][9][10] .

Иногда предпринимаются попытки распространить сферу применения уравнения и на случай тел переменной массы. Однако, вместе с таким расширительным толкованием уравнения приходится существенным образом модифицировать принятые ранее определения и изменять смысл таких фундаментальных понятий, как материальная точка, импульс и сила [11][12] .

Замечания[править | править вики-текст]

Когда на материальную точку действуют несколько сил, с учётом принципа суперпозиции, второй закон Ньютона записывается в виде:

Второй закон Ньютона, как и вся классическая механика, справедлив только для движения тел со скоростями, много меньшими скорости света. При движении тел со скоростями, близкими к скорости света, используется релятивистское обобщение второго закона, получаемое в рамках специальной теории относительности.

Следует учитывать, что нельзя рассматривать частный случай (при ) второго закона как эквивалент первого, так как первый закон постулирует существование ИСО, а второй формулируется уже в ИСО.

В уравнении движения динамической системы входит полный набор переменных, определяющий состояние этой системы (например, все координаты и скорости, или все координаты и импульсы), а также их производные по времени, что позволяет, зная такой набор в некий момент времени, вычислить его для момента времени, отстоящего на малый (бесконечно малый) промежуток времени. В принципе, повторяя этот процесс вычисления последовательно большое (бесконечное) количество раз, можно вычислить значение всех этих переменных для момента времени, как угодно далеко [2] отстоящего от начального. С помощью такого процесса можно (выбрав достаточно малым, но конечным) получить приближённое численное решение уравнений движения. Однако чтобы получить точное [3] решение, приходится применять другие математические методы.

В современной квантовой теории термин уравнение движения нередко используется для обозначения именно только классических уравнений движения, то есть как раз для различения классического и квантового случая. В таком употреблении, например, слова «решение уравнений движения» означают именно классическое (неквантовое) приближение, которое может затем так или иначе использоваться при получении квантового результата или для сравнения с ним. В этом смыслеуравнения эволюции волновой функции не называют уравнениями движения, например упомянутые ниже уравнение Шредингера и уравнение Дирака нельзя назвать уравнением движения электрона. Определённую ясность тут вносит дополнение, указывающее на то, об уравнении движения чего идёт речь: так, хотя уравнение Дирака нельзя назвать уравнением движения электрона, его можно, даже в смысле, обсуждаемом в этом абзаце, назвать классическим уравнением движения спинорного поля.

Дата добавления: 2016-01-29 ; просмотров: 4611 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ

Видео:Основное уравнение динамики вращательного движения. 10 класс.Скачать

Пружинные и математические маятники в физике — виды, формулы и определения с примерами

Содержание:

Пружинные и математические маятники:

Тело или система тел, совершающие периодические колебательные движения, называются маятниками. Большинство колебательных движений, встречающихся в природе, напоминают движение пружинных и математических маятников.

Система, состоящая из груза массой

Если немножко растянуть пружину и отпустить, то груз придет в колебательное движение в вертикальном направлении.
С помощью опытов мы определили, что смещение груза в зависимости от времени изменяется следующbм образом:

Если учесть, что ускорение тела, совершающего гармонические колебания , то уравнение (5.10) примет вид:

Из этого уравнения мы имеем:

Значит, частота циклического колебания тела, совершающего гармоническое колебание, зависит от параметров тел, входящих в систему колебания. Формула (5.12) называется формулой для
определения циклической (периодической) частоты пружинного маятника.

Период колебания пружинного маятника прямо пропорционален выведенному из-под квадратного корня значению массы груза и обратно пропорционален выведенному из-под квадратного корня значению упругости пружины.
Рассмотрим обмен энергиями в пружинном маятнике. Кинетическая энергия маятника, если не учитывать массу пружины, равна кинетической энергии груза, . В предыдущих темах было показано, что скорость можно выразить формулой . В таком случае кинетическая энергия маятника равна

Потенциальная энергия пружинного маятника равна энергии деформации пружины, т.е.:

В большинстве случаев важно знать полную энергию системы:

Если учесть, что ,

Обратите внимание, что полная энергия пружинного маятника является постоянной величиной, не зависящей от времени, т.е. соблюдается выполнение закона сохранения механической энергии.
Материальная точка, подвешенная на нерастяжимой и невесомой нити и совершающая периодическое колебательное движение вокруг равновесного состояния, называется математическим маятником.

Когда маятник находится в устойчивом равновесном состоянии, вес материальной точки уравновешивает силу натяжения (рис. 5.4), так как их модули равны и направлены по одной линии в противоположные стороны. Если наклонить маятник на угол , силы и не смогут уравновесить друг друга из-за взаимного расположения под углом. В результате сложения таких сил появится возвращающая сила, которая вернет маятник в равновесное состояние. Если отпустить маятник, то под воздействием возвращающей силы он начинает двигаться в сторону равновесного состояния.

Из рис. 5.4. видим, что:

Согласно второму закону Ньютона, сила придает материальной точке ускорение , поэтому

Из-за того, что угол наклона очень маленький , а сила направлена противоположно смещению, формулу (5.19) можно записать в виде

Если смещение материальной точки (шарика) во время колебательного процесса отметить буквой и учитывать соотношение , получим
Следовательно
Исходя из смысла периода колебания и учитывая, что получаем

Эта формула, определяющая период колебания математического маятника, называется формулой Гюйгенса. Отсюда вытекают следующие законы математического маятника:

1. при маленьких углах наклона (а) математического маятника, его период колебания не зависит от амплитуды колебания.
2. период колебания математического маятника также не зависит от массы подвешенного на него груза;
3. период колебания математического маятника прямо пропорционален выведенному из-под квадратного корня значению длины маятника и обратно пропорционален выведенному из-под квадратного корня значению ускорения свободного падения.

Отсюда колебание математического маятника записывается следующим выражением:

Следует отметить, что когда амплитуда колебания или угол наклона велики, колебания математического маятника не являются гармоническим. В этом случае нельзя считать и для решения уравнения движения не применяется закон синусов или косинусов.

Пример:

Период колебания первого маятника равен 3 сек, второго – 4 сек. Найдите период колебания маятника с длиной, равной сумме длин этих маятников.

Решение:

Ответ: 5 cек.

Видео:Математические и пружинные маятники. 11 класс.Скачать

Пружинный и математический маятники

Второй закон Ньютона (основной закон динамики): ускорение, приобретаемое материальной точкой, прямо пропорционально равнодействующей всех сил, действующих на нее, и обратно пропорционально массе материальной точки:

Закон Гука: модуль силы упругости , возникающей в теле при упругих деформациях, прямо пропорционален его абсолютному удлинению (сжатию) :

где k — жесткость тела, — длина недеформированного тела, l — длина деформированного тела.

Рассмотрим пружинный маятник, представляющий собой колебательную систему, образованную грузом на пружине.

Пусть груз массой т, лежащий на гладкой горизонтальной поверхности, прикреплен к свободному концу невесомой пружины жесткостью k (рис. 3). Второй конец пружины закреплен относительно данной инерциальной системы отсчета (ИСО).

Выведем груз из положения равновесия, сместив его на расстояние х вправо. В пружине возникнет сила упругости направленная влево.

Запишем второй закон Ньютона для движения груза:

В проекции на ось Ох действующих на груз сил с учетом закона Гука получаем

или

Это уравнение аналогично уравнению гармонических колебаний

Сравнивая эти два уравнения, находим циклическую частоту колебаний пружинного маятника:

Тогда период колебаний пружинного маятника можно найти по формуле

Как следует из полученной формулы, период колебаний пружинного маятника не зависит от амплитуды его колебаний (в пределах выполнимости закона Гука).

Свойство независимости периода колебаний маятника от амплитуды называется изохронностью (от греческих слов , — равный и — время). Таким образом, колебания пружинного маятника обладают свойством изохронности.

Изохронность колебаний маятника была открыта Галилео Галилеем в 1583 г. при изучении движения грузика, подвешенного на нити. Моделью данной колебательной системы является математический маятник.

Математическим маятником называется материальная точка массой т, подвешенная на невесомой нерастяжимой нити длиной l в поле каких-либо сил, например силы тяжести Земли (рис. 4).

Математический маятник — это идеализированная модель реального маятника при условии, что длина нити намного больше размеров подвешенного на ней тела и масса нити намного меньше массы тела. Кроме того, деформацией нити можно пренебречь.

Галилео Галилей экспериментально определил, что период малых колебаний (9

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Telegram и логотип telegram являются товарными знаками корпорации Telegram FZ-LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Видео:математический маятник ЕГЭ ФИЗИКА колебания частота периодСкачать

Математический маятник: период, ускорение и формулы

Механическая система, которая состоит из материальной точки (тела), висящей на нерастяжимой невесомой нити (ее масса ничтожно мала по сравнению с весом тела) в однородном поле тяжести, называется математическим маятником (другое название – осциллятор). Бывают и другие виды этого устройства. Вместо нити может быть использован невесомый стержень. Математический маятник может наглядно раскрыть суть многих интересных явлений. При малой амплитуде колебания его движение называется гармоническим.

Видео:Видеоурок по физике "Математический и пружинный маятники"Скачать

Общие сведения о механической системе

Если маятник находится в положении равновесия (висит отвесно), то сила тяжести будет уравновешиваться силой натяжения нити. Плоский маятник на нерастяжимой нити является системой с двумя степенями свободы со связью. При смене всего одного компонента меняются характеристики всех ее частей. Так, если нитку заменить на стержень, то у данной механической системы будет всего 1 степень свободы. Какими же свойствами обладает математический маятник? В этой простейшей системе под воздействием периодического возмущения возникает хаос. В том случае, когда точка подвеса не двигается, а совершает колебания, у маятника появляется новое положение равновесия. При быстрых колебаниях вверх-вниз эта механическая система приобретает устойчивое положение «вверх тормашками». У нее есть и свое название. Ее называют маятником Капицы.

Видео:Урок 92 (осн). Колебательное движение. МаятникиСкачать

Свойства маятника

• Если, сохраняя одинаковую длину маятника, подвешивать различные грузы, то период их колебаний получится одинаковым, хотя их массы будут сильно различаться. Следовательно, период такого маятника не зависит от массы груза.

• Если при запуске системы отклонять маятник на не слишком большие, но разные углы, то он станет колебаться с одинаковым периодом, но по разным амплитудам. Пока отклонения от центра равновесия не слишком велики, колебания по своей форме будут достаточно близки гармоническим. Период такого маятника никак не зависит от колебательной амплитуды. Это свойство данной механической системы называется изохронизмом (в переводе с греческого «хронос» — время, «изос» — равный).

Видео:Урок 93. Основное уравнение динамики вращательного движенияСкачать

Период математического маятника

Этот показатель представляет собой период собственных колебаний. Несмотря на сложную формулировку, сам процесс очень прост. Если длина нити математического маятника L, а ускорение свободного падения g, то эта величина равна:

Период малых собственных колебаний ни в какой мере не зависит от массы маятника и амплитуды колебаний. В этом случае маятник двигается как математический с приведенной длиной.

Видео:Первый, второй, третий закон Ньютона. 10 класс.Скачать

Колебания математического маятника

Математический маятник совершает колебания, которые можно описать простым дифференциальным уравнением:

где х (t) – неизвестная функция (это угол отклонения от нижнего положения равновесия в момент t, выраженный в радианах); ω – положительная константа, которая определяется из параметров маятника (ω = √g/L, где g – это ускорение свободного падения, а L – длина математического маятника (подвес).

Уравнение малых колебаний вблизи положення равновесия (гармоническое уравнение) выглядит так:

Видео:ЛР-10-2-03 Определение коэффициента поверхностного натяжения методом отрыва капельСкачать

Колебательные движения маятника

Математический маятник, который совершает малые колебания, двигается по синусоиде. Дифференциальное уравнение второго порядка отвечает всем требованиям и параметрам такого движения. Для определения траектории необходимо задать скорость и координату, из которых потом определяются независимые константы:

где θ₀ – начальная фаза, A – амплитуда колебания, ω – циклическая частота, определяемая из уравнения движения.

Видео:Алгоритм решения задач на второй закон Ньютона часть 1| Физика TutorOnlineСкачать

Математический маятник (формулы для больших амплитуд)

Данная механическая система, совершающая свои колебания со значительной амплитудой, подчиняется более сложным законам движения. Для такого маятника они рассчитываются по формуле:

sin x/2 = u * sn(ωt/u),

где sn — синус Якоби, который для u 2 августа, 2014

💡 Видео

Уравнения и графики механических гармонических колебаний. 11 класс.Скачать

Колебания математического маятникаСкачать

Лабораторная работа №2 Измерение ускорения свободного падения при помощи математического маятникаСкачать

МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ период колебаний частота колебанийСкачать

Гармонические колебания. Вывод формул. Математический маятник. Пружинный маятник. LC-контурСкачать

Физика 11 класс (Урок№1 - Механические колебания.)Скачать

Математический маятник или откуда формула периодаСкачать

Период колебаний математического маятника 🧬 #shorts #умскул_физика #егэ2023 #егэфизикаСкачать

9. Колебания физического маятникаСкачать

Урок 326. Динамика колебательного движенияСкачать