Вывести уравнение движения материальной точки в поле силы тяжести без учета сопротивления воздуха

Видео:Свободное падение тел. 10 класс.Скачать

Свободное падение тел. 10 класс.

Движение в поле силы тяжести

Кинематика

Механика – раздел физики, изучающий механическое движение.

Механическое движение – это изменение положения тела в пространстве относительно других тел с течением времени.

Кинематика – раздел механики, изучающий геометрические характеристики механического движения.

Вывести уравнение движения материальной точки в поле силы тяжести без учета сопротивления воздухаОсновные понятия механического движения

Траектория – линия, которую описывает тело при своем движении.

Путь,S – длина траектории.

Перемещение, Вывести уравнение движения материальной точки в поле силы тяжести без учета сопротивления воздуха– направленный отрезок (вектор), соединяющий начальное и конечное положения тела при его движении.

Если размеры тела намного меньше проходимого им пути, то размерами тела можно пренебречь и рассматривать его как материальную точку.

Механическое движение всегда рассматривают относительно некоторой системы отчета, которая позволяет определить характеристики этого движения.

Систему отсчета образуют тело отсчета, связанная с ним прямоугольная система координат и прибор для измерения времени (часы).

Виды механического движения
по виду траекториипо характеру движения
прямолинейноекриволинейноеравномерное (с постоянной скоростью)равнопеременное (с постоянным ускорением)

Физические величины, характеризующие механическое движение

Прямолинейное равномерное движение

Физическая величинаФормулаГрафик зависимости от времениФизическая величинаФормулаГрафик зависимости от времени
Ускорение, Вывести уравнение движения материальной точки в поле силы тяжести без учета сопротивления воздуха, (м/с 2 ) Вывести уравнение движения материальной точки в поле силы тяжести без учета сопротивления воздуха, Вывести уравнение движения материальной точки в поле силы тяжести без учета сопротивления воздуха Вывести уравнение движения материальной точки в поле силы тяжести без учета сопротивления воздухаПеремещение (путь), Вывести уравнение движения материальной точки в поле силы тяжести без учета сопротивления воздуха, (м) Вывести уравнение движения материальной точки в поле силы тяжести без учета сопротивления воздуха, Вывести уравнение движения материальной точки в поле силы тяжести без учета сопротивления воздуха Вывести уравнение движения материальной точки в поле силы тяжести без учета сопротивления воздуха
Скорость, Вывести уравнение движения материальной точки в поле силы тяжести без учета сопротивления воздуха, (м/с) Вывести уравнение движения материальной точки в поле силы тяжести без учета сопротивления воздуха, Вывести уравнение движения материальной точки в поле силы тяжести без учета сопротивления воздуха, Вывести уравнение движения материальной точки в поле силы тяжести без учета сопротивления воздуха Вывести уравнение движения материальной точки в поле силы тяжести без учета сопротивления воздухаКоордината, х, (м) Вывести уравнение движения материальной точки в поле силы тяжести без учета сопротивления воздуха, закон движения Вывести уравнение движения материальной точки в поле силы тяжести без учета сопротивления воздуха

Прямолинейное равнопеременное движение

Физическая величинаФормулаГрафик зависимости от времениФизическая величинаФормулаГрафик зависимости от времени
Ускорение, Вывести уравнение движения материальной точки в поле силы тяжести без учета сопротивления воздуха, (м/с 2 ) Вывести уравнение движения материальной точки в поле силы тяжести без учета сопротивления воздуха, Вывести уравнение движения материальной точки в поле силы тяжести без учета сопротивления воздуха, Вывести уравнение движения материальной точки в поле силы тяжести без учета сопротивления воздуха Вывести уравнение движения материальной точки в поле силы тяжести без учета сопротивления воздухаПеремещение (путь), Вывести уравнение движения материальной точки в поле силы тяжести без учета сопротивления воздуха, (м) Вывести уравнение движения материальной точки в поле силы тяжести без учета сопротивления воздуха, Вывести уравнение движения материальной точки в поле силы тяжести без учета сопротивления воздуха, Вывести уравнение движения материальной точки в поле силы тяжести без учета сопротивления воздуха, Вывести уравнение движения материальной точки в поле силы тяжести без учета сопротивления воздуха Вывести уравнение движения материальной точки в поле силы тяжести без учета сопротивления воздуха
Скорость, Вывести уравнение движения материальной точки в поле силы тяжести без учета сопротивления воздуха, (м/с) Вывести уравнение движения материальной точки в поле силы тяжести без учета сопротивления воздуха, Вывести уравнение движения материальной точки в поле силы тяжести без учета сопротивления воздуха Вывести уравнение движения материальной точки в поле силы тяжести без учета сопротивления воздухаКоордината, х, (м) Вывести уравнение движения материальной точки в поле силы тяжести без учета сопротивления воздуха, закон движения Вывести уравнение движения материальной точки в поле силы тяжести без учета сопротивления воздуха

Средняя скорость движения: Вывести уравнение движения материальной точки в поле силы тяжести без учета сопротивления воздуха

Движение в поле силы тяжести

Свободным падением называется движение, которое совершило бы тело только под действием силы тяжести без учета сопротивления воздуха.

Видео:Урок 37. Движение тела, брошенного под углом к горизонту (начало)Скачать

Урок 37. Движение тела, брошенного под углом к горизонту (начало)

Составление дифференциальных уравнений.

Исследование движения материальной точки

Под действием силы тяжести в сопротивляющейся среде

В данной задаче проводится исследование движения материальной точки, находящейся под действием силы тяжести и силы сопротивления, целью которого является определение всех кинематических параметров, характеризующих это движение.

Задача относится к классу основных задач теоретической механики, и ее решение проводится на основе дифференциальных уравнений, описывающих движение материальной точки.

Решение задачи состоит из следующих операций:

1. составление дифференциальных уравнений,

2. определение начальных условий,

3. решение дифференциальных уравнений.

Составление дифференциальных уравнений.

Дифференциальные уравнения движения точки имеют вид

Вывести уравнение движения материальной точки в поле силы тяжести без учета сопротивления воздуха,

где m – масса материальной точки, x, y, z – ее координаты в произвольный момент времени, Fkx, Fky, Fkz проекции приложенных к этой точке сил на оси координат.

Поскольку правые части этих уравнений не зависят от содержания конкретной задачи, составление дифференциальных уравнений сводится к определению суммы проекций всех приложенных к точке сил на выбранные оси координат. Для того, чтобы оформить правую часть каждого дифференциального уравнения, необходимо выполнить следующие действия

1. Выбрать систему координат, начало которой следует совместить с известным по условию задачи положением точки, а оси координат направить так, чтобы координаты движущейся точки вблизи начального положения были положительными.

2. Провести анализ каждой действующей на точку силы: определить ее направление и закономерности изменения, изобразить на чертеже и определить проекции на каждую координатную ось. Сложив проекции всех сил на каждую координатную ось, получим соответствующие правые части дифференциальных уравнений.

Составим дифференциальные уравнения точки, движущейся под действием силы тяжести в сопротивляющейся среде.

Выберем неподвижную систему координат Оxyz так (рис. 1)

чтобы относительно нее было удобно определять положение движущейся точки М. Совместим начало координат с начальным положением точки, ось z направим вертикально вверх, горизонтальные оси координат Ох и Оу направим так, чтобы при небольшом отклонении точки от начального положения ее координаты х и у были положительными.

1.2. Проведем анализ действующих на точку сил. В выбранной системе координат (рис.1) изобразим материальную точку и покажем действующие на нее силу тяжести Вывести уравнение движения материальной точки в поле силы тяжести без учета сопротивления воздуха, силу сопротивления Вывести уравнение движения материальной точки в поле силы тяжести без учета сопротивления воздухаи определим их проекции на выбранные оси координат.

Вывести уравнение движения материальной точки в поле силы тяжести без учета сопротивления воздухаСила тяжести направлена вертикально вниз, поэтому ее проекции на горизонтальные оси Ох и Оу равны нулю, проекция на ось z равна Вывести уравнение движения материальной точки в поле силы тяжести без учета сопротивления воздуха.

Силы сопротивления появляются в том случае, когда тело движется в какой-либо среде. Так, например, на тело, движущееся в воздухе или воде, действует со стороны этих сред сила, препятствующая движению. Действующая на тело сила сопротивления всегда направлена противоположно скорости движения. Когда относительная скорость обращается в ноль, сила сопротивления исчезает. Зависимость силы сопротивления от скорости движения носит в общем случае сложный характер. Многочисленными экспериментами установлено, что при медленном движении тела в газообразной или жидкой среде силы сопротивления пропорциональны первой степени скорости.

При более высоких скоростях имеет место так называемый квадратный или гидравлический закон сопротивления.

Наконец, при очень больших скоростях движения зависимость оказывается более сложной, однако, как в предыдущих вариантах с достаточной степенью точности можно считать, что сила сопротивления зависит только от скорости и всегда направлена против скорости.

Определим проекции сил сопротивления на оси координат для первых двух случаев.

Пусть сила сопротивления прямо пропорциональна величине скорости точки. Такая сила может быть представлена в виде векторной формулы Вывести уравнение движения материальной точки в поле силы тяжести без учета сопротивления воздуха, где k — коэффициент пропорциональности; Вывести уравнение движения материальной точки в поле силы тяжести без учета сопротивления воздуха— вектор скорости точки.

Проекции силы сопротивления на оси координат равны:

Вывести уравнение движения материальной точки в поле силы тяжести без учета сопротивления воздуха; Вывести уравнение движения материальной точки в поле силы тяжести без учета сопротивления воздуха; Вывести уравнение движения материальной точки в поле силы тяжести без учета сопротивления воздуха.

Дифференциальные уравнения движения точки принимают вид

Вывести уравнение движения материальной точки в поле силы тяжести без учета сопротивления воздуха Вывести уравнение движения материальной точки в поле силы тяжести без учета сопротивления воздухаВывести уравнение движения материальной точки в поле силы тяжести без учета сопротивления воздуха

Пусть величина силы сопротивления, действующей на точку, пропорциональна квадрату скорости точки: R = kV 2. . Векторы Вывести уравнение движения материальной точки в поле силы тяжести без учета сопротивления воздухаи Вывести уравнение движения материальной точки в поле силы тяжести без учета сопротивления воздуханаправлены по касательной к траектории точки в противоположные стороны, единичный вектор Вывести уравнение движения материальной точки в поле силы тяжести без учета сопротивления воздуха— в сторону скорости движения точки.

Тогда Вывести уравнение движения материальной точки в поле силы тяжести без учета сопротивления воздуха, где R = kV 2.

Значит Вывести уравнение движения материальной точки в поле силы тяжести без учета сопротивления воздуха,

Заменим Вывести уравнение движения материальной точки в поле силы тяжести без учета сопротивления воздуха,

Следовательно, вектор силы сопротивления равен

Вывести уравнение движения материальной точки в поле силы тяжести без учета сопротивления воздуха.

Проекции этого векторного равенства на оси координат будут равны

Вывести уравнение движения материальной точки в поле силы тяжести без учета сопротивления воздуха Вывести уравнение движения материальной точки в поле силы тяжести без учета сопротивления воздухаВывести уравнение движения материальной точки в поле силы тяжести без учета сопротивления воздуха

Модуль вектора скорости Вывести уравнение движения материальной точки в поле силы тяжести без учета сопротивления воздуха, проекции скорости на оси координат Вывести уравнение движения материальной точки в поле силы тяжести без учета сопротивления воздуха.

Тогда, проекции силы сопротивления на оси координат будут равны

Вывести уравнение движения материальной точки в поле силы тяжести без учета сопротивления воздуха

Вывести уравнение движения материальной точки в поле силы тяжести без учета сопротивления воздуха

Вывести уравнение движения материальной точки в поле силы тяжести без учета сопротивления воздуха

Дифференциальные уравнения в данном случае будут записаны в виде

Вывести уравнение движения материальной точки в поле силы тяжести без учета сопротивления воздуха

Вывести уравнение движения материальной точки в поле силы тяжести без учета сопротивления воздуха

Вывести уравнение движения материальной точки в поле силы тяжести без учета сопротивления воздуха

Если точка движется в вертикальной плоскости Оху, проекции силы сопротивления на оси координат будут равны

Вывести уравнение движения материальной точки в поле силы тяжести без учета сопротивления воздуха

Вывести уравнение движения материальной точки в поле силы тяжести без учета сопротивления воздуха

В этом случае будет два дифференциальных уравнения

Вывести уравнение движения материальной точки в поле силы тяжести без учета сопротивления воздуха

Вывести уравнение движения материальной точки в поле силы тяжести без учета сопротивления воздуха

В том случае, когда начальная скорость точки направлена вертикально по оси Оу, движение точки окажется прямолинейным. Такому движению будет соответствовать одно дифференциальное уравнение

Вывести уравнение движения материальной точки в поле силы тяжести без учета сопротивления воздухаВывести уравнение движения материальной точки в поле силы тяжести без учета сопротивления воздуха

2.Определение начальных условий заключается в том, чтобыв выбранной системе координат определить координаты точки и проекции ее скорости на оси координат в начальный момент времени. Значения указанных характеристик зависят от условия задачи и выбранной системы координат. В результате необходимо записать полученные значения при t = 0: x = x0, y = y0, z = z0,

Vx= Вывести уравнение движения материальной точки в поле силы тяжести без учета сопротивления воздуха, Vy = Вывести уравнение движения материальной точки в поле силы тяжести без учета сопротивления воздуха, Vz = Вывести уравнение движения материальной точки в поле силы тяжести без учета сопротивления воздуха.

Если движение точки является плоским относительно системы координат Оху, то соответствующие начальные условия должны быть записаны в виде:

Vx= Вывести уравнение движения материальной точки в поле силы тяжести без учета сопротивления воздуха, Vy = Вывести уравнение движения материальной точки в поле силы тяжести без учета сопротивления воздуха.

3.Решение дифференциальных уравнений. В данной работе предлагается графическое решение дифференциальных уравнений, описывающих движение материальной точки на основе компьютерной программы Mathcad.

Задание Д -2.

Тело массой m движется из точки А по участку АВ = l наклонной плоскости, составляющей угол α с горизонтом, в течение τ секунд. Его начальная скорость VA, коэффициент трения скольжения тела по плоскости равен f. Силой сопротивления на данном участке пренебречь.

В точке В тело покидает плоскость со скоростью VВ и падает со скоростью VС в точку С на наклонную или горизонтальную плоскость (варианты 20 – 21, 25-30) или ударяется о вертикальную плоскость(варианты 22-24), находясь в воздухе Т секунд. Положение плоскости определяется углом наклона (β или γ) или параметрами точек D и D1, через которые она проходит.

При движении в воздухе на тело действует сила сопротивления, пропорциональная скорости (варианты 1-24) или пропорциональная квадрату скорости (варианты (24-30), коэффициент пропорциональности равен k.

1. Определить все характеристики движения тела по наклонной плоскости АВ: уравнение движения, зависимость скорости и ускорения от времени, время движения по наклонной плоскости, если задана ее длина l, или ее длину, если задано время τ, значение скорости VВ в точке В.

2. Принимая во внимание силу сопротивления, составить дифференциальные уравнения движения тела в воздухе, определить траекторию этого движения, построить графики зависимости скорости и ускорения от времени, определить время движения в воздухе, установить место падения тела на заданную плоскость, определив координаты точки падения, вычислить конечную скорость .

3. Определить движение тела в воздухе без учета силы сопротивления, найти траекторию, скорость и ускорение этого движения, установить место удара тела о наклонную плоскость и его скорость в этот момент.

4. Сравнить движение тела в воздухе при наличии силы сопротивления и без нее.

Варианты 1-3.

Вывести уравнение движения материальной точки в поле силы тяжести без учета сопротивления воздухаВариант 1. Дано: m = 2 кг,

α = 15 0 ; f = 0,1; VA = 25 м/c;

l = 5 м; β = 40 0 ; k =0,4.

Вариант 2.Дано: m = 0,5 кг,

α = 20 0 ; f = 0,12; VA = 20 м/c;

τ = 3 с; γ = 45 0 ; k =2.

Вариант 3.Дано: m = 3 кг,

α = 18 0 ; f = 0,1; VA = 16 м/c;

Вывести уравнение движения материальной точки в поле силы тяжести без учета сопротивления воздуха

Вариант 4.Дано: m = 1,5 кг;

Вариант 5. Дано: m = 2 кг;

τ = 3 c; β = 60 0 ; yD = — 30 м;

Вариант 6. Дано: m = 1,5 кг;

Варианты 6-9

Вывести уравнение движения материальной точки в поле силы тяжести без учета сопротивления воздухаВариант 7. Дано: m = 2 кг, α = 15 0 ; VA = 20 м/c; f = 0,1; l = 5 м; k =0,4; β = 30 0 ;

Вариант 8.Дано: m = 1 кг, α = 20 0 ; f = 0,12; τ = 3 с;

Вариант 9.Дано: m = 3 кг, α = 18 0 ;VA = 16 м/c; f = 0,1; τ = 4 с; γ =120 0 ; yD =-20 м.

Варианты 10 – 12

Вывести уравнение движения материальной точки в поле силы тяжести без учета сопротивления воздухаВариант 10. Дано: m = 60 кг; α = 15 0 ; VA = 18 м/c; f = 0; l = 6 м; β = 40 0 ; yD = -15 м;

Вариант 11. m = 60 кг;

Вариант 12. Дано: m = 50 кг; α =20 0 ; VA = 20 м/c; τ = 2 с;

f = 0,2; β = 60 0 ; yD = -2,5 м; k = 12;

Варианты 13-15

Вывести уравнение движения материальной точки в поле силы тяжести без учета сопротивления воздуха Вариант 13. Дано: m = 2 кг;

l =10 м; β = 40 0 ; k = 0,3.

Вариант 14. Дано: m = 2 кг;

τ = 3 с; γ = 34 0 ; xD= 20 м;

Вариант 15. Дано: m = 2 кг;

α =15 0 ; VA = 3 м/c; τ = 2 с

Варианты 16-18

Вывести уравнение движения материальной точки в поле силы тяжести без учета сопротивления воздухаВариант 16. Дано: m = 2 кг;

τ = 5 c; f =0,18; β= 15 0 ;

Вариант 17. Дано: m = 2 кг;

l = 8 м; yD = 38 м; k = 0,36;

Вариант 18. Дано: m = 2 кг;

l = 12 м; β = 40 0 ; yD =50 м;

Вывести уравнение движения материальной точки в поле силы тяжести без учета сопротивления воздухаВарианты 19-21 Вариант 19. Дано: m = 2 кг, α = 15 0 ; f = 0,1; VA = 25 м/c; l = 5м, м; γ = 35 0 ; k =0,4.

Вариант 20.Дано: m = 0,5 кг,

α = 20 0 ; f = 0,12; τ = 3 с;

Вариант 21.Дано: m = 3 кг,

α = 18 0 ; f = 0,1; VA = 16 м/c; τ = 3 с; k =0,15; γ = 40 0 .

Варианты 22-24

Вывести уравнение движения материальной точки в поле силы тяжести без учета сопротивления воздуха Вариант 22. Дано: m = 4 кг;

α =25 0 , VA = 12 м/c; l = 8 м;

Вариант 23. Дано: m = 4 кг;

l = 8 м; h=38 м; k =0,36.

Вариант 24. Дано: m = 4 кг;

τ = 3 c; h =40 м; k = 0, 4.

Варианты 25-27

Вывести уравнение движения материальной точки в поле силы тяжести без учета сопротивления воздуха Вариант 25. Дано: m =0,3 кг;

τ = 5 c; d =30 м; k = 0,2.

Вариант 26. Дано: m =0,3 кг;

f = 0,12; α = 15 0 ; τ = 6 c;

Вариант 27. Дано: m =0,3 кг; f = 0,12; α = 15 0 ; VA = 12 м/c; l = 12 м; d =40 м, k = 0,18.

Варианты 28-30

Вывести уравнение движения материальной точки в поле силы тяжести без учета сопротивления воздуха Вариант 28. Дано: m = 6 кг;

α =15 0 ; f = 0,1; VA = 25 м/c;

τ= 2 сек; h = 24 м; k =0,09.

Вариант 29. Дано:m = 4 кг;

α = 20 0 ; f =0,1; VA = 25 м/c;

l =2 5 м; h = 40 м; k =0,06.

Вариант 30. Дано: m = 4 кг;

α = 20 0 ; f = 0,1; VA = 18 м/c;

Видео:Движение тела, брошенного под углом к горизонтуСкачать

Движение тела, брошенного под углом к горизонту

Дифференциальные уравнения движения точки

С помощью дифференциальных уравнений движения решается вторая задача динамики. Правила составления таких уравнений зависят от того, каким способом хотим определить движение точки.

1) Определение движения точки координатным способом.

Рассмотрим свободную материальную точку, движущуюся под действием сил Вывести уравнение движения материальной точки в поле силы тяжести без учета сопротивления воздуха. Проведем неподвижные координатные оси Oxyz (рис.20). Про­ектируя обе части равенства Вывести уравнение движения материальной точки в поле силы тяжести без учета сопротивления воздухана эти оси и учитывая, что Вывести уравнение движения материальной точки в поле силы тяжести без учета сопротивления воздухаи т.д., получим дифферен­циальные уравнения криволинейного дви­жения точки в проекциях на оси прямо­угольной декартовой системы координат:

Вывести уравнение движения материальной точки в поле силы тяжести без учета сопротивления воздуха

Вывести уравнение движения материальной точки в поле силы тяжести без учета сопротивления воздуха

Рис.20

Так как действующие на точку силы мо­гут зависеть от времени, от положения точки и от ее скорости, то правые части уравнений могут содержать время t, координаты точки х, у, z и проекции ее скорости Вывести уравнение движения материальной точки в поле силы тяжести без учета сопротивления воздуха. При этом в правую часть каждого из уравнений могут входить все эти переменные.

Чтобы с помощью этих уравнений решить основную задачу динамики, надо, кроме действующих сил, знать еще начальные условия, т.е. положение и скорость точки в начальный момент. В координатных осях Oxyz начальные условия задаются в виде: при t=0

Вывести уравнение движения материальной точки в поле силы тяжести без учета сопротивления воздуха

Зная действующие силы, после интегрирования уравнений найдем координаты х, y, z движущейся точки, как функции времени t, т.е. найдем закон движения точки.

Пример 17. Найти закон движения материальной точки массы m, движущейся вдоль оси х под действием постоянной по модулю силы F (рис. 20.1) при начальных условиях: Вывести уравнение движения материальной точки в поле силы тяжести без учета сопротивления воздухапри t=0.

Вывести уравнение движения материальной точки в поле силы тяжести без учета сопротивления воздуха

Рис.20.1

Решение. Составим дифференциальное уравнение движения точки в проекции на ось х: Вывести уравнение движения материальной точки в поле силы тяжести без учета сопротивления воздуха. Интегрируя это уравнение, находим: Вывести уравнение движения материальной точки в поле силы тяжести без учета сопротивления воздуха. Постоянная C1 определяется из начального условия для скорости и равна Вывести уравнение движения материальной точки в поле силы тяжести без учета сопротивления воздуха. Окончательно

Вывести уравнение движения материальной точки в поле силы тяжести без учета сопротивления воздуха

Далее, учитывая, что v = dx/dt, приходим к дифференциальному уравнению: Вывести уравнение движения материальной точки в поле силы тяжести без учета сопротивления воздуха, интегрируя которое получаем

Вывести уравнение движения материальной точки в поле силы тяжести без учета сопротивления воздуха

Постоянную C2 определяем из начального условия для координаты точки. Она равна Вывести уравнение движения материальной точки в поле силы тяжести без учета сопротивления воздуха. Следовательно, закон движения точки имеет вид

Вывести уравнение движения материальной точки в поле силы тяжести без учета сопротивления воздуха

Пример 18. Груз веса Р (рис.20.2) начинает двигаться из состояния покоя вдоль гладкой горизонтальной плоскости под действием силы F = kt. Найти закон движения груза.

Вывести уравнение движения материальной точки в поле силы тяжести без учета сопротивления воздуха

Рис.20.2

Решение. Выберем начало отсчета системы координат О в начальном положении груза и направим ось х в сторону движения (рис. 20.2). Тогда начальные условия имеют вид: x(t = 0) = 0, v(t = 0) = 0. На груз действуют силы F, P и сила реакции плоскости N. Проекции этих сил на ось х имеют значения Fx = F = kt, Рx = 0, Nx = 0, поэтому соответствующее уравнение движения можно записать так: Вывести уравнение движения материальной точки в поле силы тяжести без учета сопротивления воздуха. Разделяя переменные в этом дифференциальном уравнении и затем интегрируя, получим: v = gkt 2 /2P + C1. Подставляя начальные данные (v(0) = 0), находим, что C1 = 0, и получаем закон изменения скорости Вывести уравнение движения материальной точки в поле силы тяжести без учета сопротивления воздуха.

Последнее выражение, в свою очередь, является дифференциальным уравнением, интегрируя которое найдем закон движения материальной точки: Вывести уравнение движения материальной точки в поле силы тяжести без учета сопротивления воздуха. Входящую сюда постоянную определяем из второго начального условия х(0) = 0. Легко убедиться, что C2=0. Окончательно

Вывести уравнение движения материальной точки в поле силы тяжести без учета сопротивления воздуха

Пример 19. На груз, находящийся в покое на горизонтальной гладкой плоскости (см. рис. 20.2) на расстоянии a от начала координат, начинает действовать в положительном направлении оси x сила F = k 2 (P/g)x, где Р – вес груза. Найти закон движения груза.

Решение. Уравнение движения рассматриваемого груза (материальной точки) в проекции на ось х

Вывести уравнение движения материальной точки в поле силы тяжести без учета сопротивления воздуха

Начальные условия уравнения (1) имеют вид: x(t = 0) = a, v(t = 0) = 0.

Входящую в уравнение (1) производную по времени от скорости представим так

Вывести уравнение движения материальной точки в поле силы тяжести без учета сопротивления воздуха

Подставляя это выражение в уравнение (1) и сокращая на (P/g), получим

Вывести уравнение движения материальной точки в поле силы тяжести без учета сопротивления воздуха

Разделяя переменные в последнем уравнении, находим, что Вывести уравнение движения материальной точки в поле силы тяжести без учета сопротивления воздуха. Интегрируя последнее, имеем: Вывести уравнение движения материальной точки в поле силы тяжести без учета сопротивления воздуха. Используя начальные условия Вывести уравнение движения материальной точки в поле силы тяжести без учета сопротивления воздуха, получаем Вывести уравнение движения материальной точки в поле силы тяжести без учета сопротивления воздуха, и, следовательно,

Вывести уравнение движения материальной точки в поле силы тяжести без учета сопротивления воздуха

Поскольку сила действует на груз в положительном направлении оси х, то ясно, что в том же направлении он должен и двигаться. Поэтому в решении (2) следует выбрать знак «плюс». Заменяя дальше во втором выражении (2) v на dx/dt, получаем дифференциальное уравнение для определения закона движения груза. Откуда, разделяя переменные, имеем

Вывести уравнение движения материальной точки в поле силы тяжести без учета сопротивления воздуха

Интегрируя последнее, находим: arch x/a=kt+C2. После нахождения постоянной C2 окончательно получаем

arch x/a=kt или Вывести уравнение движения материальной точки в поле силы тяжести без учета сопротивления воздуха.

Пример 20. Шар M массы m (рис.20.3) падает без начальной скорости под действием силы тяжести. При падении шар испытывает сопротивление Вывести уравнение движения материальной точки в поле силы тяжести без учета сопротивления воздуха, где Вывести уравнение движения материальной точки в поле силы тяжести без учета сопротивления воздуха– постоянный коэффициент сопротивления. Найти закон движения шара.

Вывести уравнение движения материальной точки в поле силы тяжести без учета сопротивления воздуха

Рис.20.3

Решение. Введем систему координат с началом в точке местоположения шара при t = 0, направив ось у вертикально вниз (рис. 20.3). Дифференциальное уравнение движения шара в проекции на ось у имеет тогда вид

Вывести уравнение движения материальной точки в поле силы тяжести без учета сопротивления воздуха. (1)

Начальные условия для шара записываются так: y(t = 0) = 0, v(t = 0) = 0.

Разделяя переменные в уравнении (1)

Вывести уравнение движения материальной точки в поле силы тяжести без учета сопротивления воздуха

и интегрируя, находим: Вывести уравнение движения материальной точки в поле силы тяжести без учета сопротивления воздуха, где Вывести уравнение движения материальной точки в поле силы тяжести без учета сопротивления воздуха. Или после нахождения постоянной

Вывести уравнение движения материальной точки в поле силы тяжести без учета сопротивления воздуха

Отсюда следует, что предельная скорость, т.е. скорость при Вывести уравнение движения материальной точки в поле силы тяжести без учета сопротивления воздуха, равна Вывести уравнение движения материальной точки в поле силы тяжести без учета сопротивления воздуха.

Чтобы найти закон движения, заменим в уравнении (2) v на dy/dt. Тогда, интегрируя полученное уравнение с учетом начального условия, окончательно находим

Вывести уравнение движения материальной точки в поле силы тяжести без учета сопротивления воздуха

Пример 21. Изучим движение тела, брошенного с начальной скоростью v0 под углом Вывести уравнение движения материальной точки в поле силы тяжести без учета сопротивления воздухак горизонту, рассматривая его как материальную точку массы т (рис.21). При этом сопротивлением воздуха пренебрежём, а поле тяжести будем считать однородным (Р=const), полагая, что дальность полёта и высота траектории малы по сравнению с радиусом Земли.

Вывести уравнение движения материальной точки в поле силы тяжести без учета сопротивления воздуха

Рис.21

Поместим начало координат О в начальном положении точки. Направим ось Oy вертикально вверх; горизонтальную ось Ox расположим в плоскости, проходящей через Оy и вектор v0, а ось Oz проведём перпендикулярно первым двум осям (рис.21). Тогда угол между вектором v0 и осью Ox будет равен Вывести уравнение движения материальной точки в поле силы тяжести без учета сопротивления воздуха.

Изобразим движущуюся точку М где-нибудь на траектории. На точку действует одна только сила тяжести Вывести уравнение движения материальной точки в поле силы тяжести без учета сопротивления воздуха, проекции которой на оси координат равны: Px=0, Py=-P=-mg, Pz=0.

Подставляя эти величины в дифференциальные уравнения и замечая, что Вывести уравнение движения материальной точки в поле силы тяжести без учета сопротивления воздуха/dt = Вывести уравнение движения материальной точки в поле силы тяжести без учета сопротивления воздухаи т.д. мы после сокращения на m получим:

Вывести уравнение движения материальной точки в поле силы тяжести без учета сопротивления воздуха

Умножая обе части этих уравнений на dt и интегрируя, находим:

Начальные условия в нашей задаче имеют вид:

Вывести уравнение движения материальной точки в поле силы тяжести без учета сопротивления воздуха

Вывести уравнение движения материальной точки в поле силы тяжести без учета сопротивления воздуха

Вывести уравнение движения материальной точки в поле силы тяжести без учета сопротивления воздуха

Удовлетворяя начальным условиям, будем иметь:

Вывести уравнение движения материальной точки в поле силы тяжести без учета сопротивления воздуха

Подставляя эти значения С1, С2 и С3 в найденное выше решение и заменяя vx, vy, vz на Вывести уравнение движения материальной точки в поле силы тяжести без учета сопротивления воздухапридём к уравнениям:

Вывести уравнение движения материальной точки в поле силы тяжести без учета сопротивления воздуха

Вывести уравнение движения материальной точки в поле силы тяжести без учета сопротивления воздуха

Вывести уравнение движения материальной точки в поле силы тяжести без учета сопротивления воздуха

Интегрируя эти уравнения, получим:

Вывести уравнение движения материальной точки в поле силы тяжести без учета сопротивления воздуха

Вывести уравнение движения материальной точки в поле силы тяжести без учета сопротивления воздуха

Вывести уравнение движения материальной точки в поле силы тяжести без учета сопротивления воздуха

Подстановка начальных данных даёт С4=С5=С6=0, и мы окончательно находим уравнения движения точки М в виде:

Вывести уравнение движения материальной точки в поле силы тяжести без учета сопротивления воздуха

Из последнего уравнения следует, что движение происходит в плоскости Оxy.

Имея уравнение движения точки, можно методами кинематики определить все характеристики данного движения.

1. Траектория точки. Исключая из первых двух уравнений (1) время t, получим уравнение траектории точки:

Вывести уравнение движения материальной точки в поле силы тяжести без учета сопротивления воздуха

Это — уравнение параболы с осью, параллельной оси Оy. Таким образом, брошенная под углом к горизонту тяжёлая точка движется в безвоздушном пространстве по параболе (Галилей).

2. Горизонтальная дальность. Определим горизонтальную дальность, т.е. измеренное вдоль оси Оx расстояние ОС=Х. Полагая в равенстве (2) y=0, найдём точки пересечения траектории с осью Ох. Из уравнения:

Вывести уравнение движения материальной точки в поле силы тяжести без учета сопротивления воздуха

получаем Вывести уравнение движения материальной точки в поле силы тяжести без учета сопротивления воздуха

Первое решение дает точку О, второе точку С. Следовательно, Х=Х2 и окончательно

Вывести уравнение движения материальной точки в поле силы тяжести без учета сопротивления воздуха

Из формулы (3) видно, что такая же горизонтальная дальность X будет получена при угле Вывести уравнение движения материальной точки в поле силы тяжести без учета сопротивления воздуха, для которого Вывести уравнение движения материальной точки в поле силы тяжести без учета сопротивления воздуха, т.е. если угол Вывести уравнение движения материальной точки в поле силы тяжести без учета сопротивления воздуха. Следовательно, при данной начальной скорости Вывести уравнение движения материальной точки в поле силы тяжести без учета сопротивления воздухав одну и ту же точку С можно попасть двумя траекториями: на­стильной ( Вывести уравнение движения материальной точки в поле силы тяжести без учета сопротивления воздуха) и навесной ( Вывести уравнение движения материальной точки в поле силы тяжести без учета сопротивления воздуха).

При заданной начальной скорости V0 наибольшая горизонтальная дальность в безвоздушном пространстве получается, когда Вывести уравнение движения материальной точки в поле силы тяжести без учета сопротивления воздуха, т.е. при угле Вывести уравнение движения материальной точки в поле силы тяжести без учета сопротивления воздуха.

3. Высота траектории. Если положить в уравнении (2)

Вывести уравнение движения материальной точки в поле силы тяжести без учета сопротивления воздуха, то найдется высота траектории Н:

Вывести уравнение движения материальной точки в поле силы тяжести без учета сопротивления воздуха. (4)

4. Время полета. Из первого уравнения системы (1) следует, что полное время полета Т определяется равенством Вывести уравнение движения материальной точки в поле силы тяжести без учета сопротивления воздуха. Заменяя здесь Х его значением, получим

Вывести уравнение движения материальной точки в поле силы тяжести без учета сопротивления воздуха

При угле наибольшей дальности Вывести уравнение движения материальной точки в поле силы тяжести без учета сопротивления воздухавсе найденные вели­чины равны:

Вывести уравнение движения материальной точки в поле силы тяжести без учета сопротивления воздуха

Полученные результаты практически вполне приложимы для ориен­тировочного определения характеристик полета снарядов (ракет), имеющих дальности порядка 200…600 км, так как при этих дальностях (и при Вывести уравнение движения материальной точки в поле силы тяжести без учета сопротивления воздуха) снаряд основную часть своего пути проходит в стратосфере, где сопротивлением воздуха можно пренебречь. При меньших дальностях на результат будет сильно влиять сопротивле­ние воздуха, а при дальностях свыше 600 км силу тяжести уже нельзя считать постоянной.

Пример 22. Из пушки, установленной на высоте h, произвели выстрел под углом Вывести уравнение движения материальной точки в поле силы тяжести без учета сопротивления воздухак горизонту (рис. 22). Ядро вылетело из ствола орудия со скоростью u. Определим уравнения движения ядра.

Вывести уравнение движения материальной точки в поле силы тяжести без учета сопротивления воздуха

Рис.22

Чтобы правильно составить дифференциальные уравнения движения, надо решать подобные задачи по определённой схеме.

а) Назначить систему координат (количество осей, их направление и начало координат). Удачно выбранные оси упрощают решение.

б) Показать точку в промежуточном положении. При этом надо проследить за тем, чтобы координаты такого положения обязательно были положительными (рис.22).

в) Показать силы, действующие на точку в этом промежуточном положении (силы инерции не показывать!).

В этом примере – это только сила Вывести уравнение движения материальной точки в поле силы тяжести без учета сопротивления воздуха, вес ядра. Сопротивление воздуха учитывать не будем.

г) Составить дифференциальные уравнения по формулам: Вывести уравнение движения материальной точки в поле силы тяжести без учета сопротивления воздуха. Отсюда получим два уравнения: Вывести уравнение движения материальной точки в поле силы тяжести без учета сопротивления воздухаи Вывести уравнение движения материальной точки в поле силы тяжести без учета сопротивления воздуха.

д) Решить дифференциальные уравнения.

Полученные здесь уравнения – линейные уравнения второго порядка, в правой части – постоянные. Решение этих уравнений элементарно.

Вывести уравнение движения материальной точки в поле силы тяжести без учета сопротивления воздуха

Осталось найти постоянные интегрирования. Подставляем начальные условия (при t = 0 x = 0, y = h, Вывести уравнение движения материальной точки в поле силы тяжести без учета сопротивления воздуха) в эти четыре уравнения: Вывести уравнение движения материальной точки в поле силы тяжести без учета сопротивления воздуха.

Подставляем в уравнения значения постоянных и записываем уравнения движения точки в окончательном виде

Вывести уравнение движения материальной точки в поле силы тяжести без учета сопротивления воздуха

Имея эти уравнения, как известно из раздела кинематики, можно определить и траекторию движения ядра, и скорость, и ускорение, и положение ядра в любой момент времени.

Как видно из этого примера, схема решения задач довольно проста. Сложности могут возникнуть только при решении дифференциальных уравнений, которые могут оказаться непростыми.

🎬 Видео

Дифференциальные уравнения движения материальной точкиСкачать

Дифференциальные уравнения движения материальной точки

Методика решения задач по динамике материальной точки. Часть 1Скачать

Методика решения задач по динамике материальной точки. Часть 1

Д1 Дифференциальные уравнения движения материальной точкиСкачать

Д1 Дифференциальные уравнения движения материальной точки

Движение тела под действием силы тяжести. 1 часть. 9 класс.Скачать

Движение тела под действием силы тяжести. 1 часть. 9 класс.

Траектория и уравнения движения точки. Задача 1Скачать

Траектория и уравнения движения точки. Задача 1

Уравнение движения тела дано в виде x=2−3t. ВычислиСкачать

Уравнение движения тела дано в виде x=2−3t. Вычисли

Дифференциальные уравнения движения материальной точки. Часть 1Скачать

Дифференциальные уравнения движения материальной точки. Часть 1

СВОБОДНОЕ ПАДЕНИЕ ТЕЛ 9 класс ускорение свободного падения формулаСкачать

СВОБОДНОЕ ПАДЕНИЕ ТЕЛ 9 класс ускорение свободного падения формула

Урок 34. Свободное падение. Ускорение свободного паденияСкачать

Урок 34. Свободное падение. Ускорение свободного падения

Как решать задачи по динамике материальной точки.Скачать

Как решать задачи по динамике материальной точки.

Криволинейное, равномерное движение материальной точки по окружности. 9 класс.Скачать

Криволинейное, равномерное движение материальной точки по окружности. 9 класс.

Уравнение Мещерского, формула ЦиолковскогоСкачать

Уравнение Мещерского, формула Циолковского

Задача на движение материальной точки - bezbotvyСкачать

Задача на движение материальной точки - bezbotvy

7.1. Свободное падение тела без начальной скоростиСкачать

7.1. Свободное падение тела без начальной скорости

Уравнение движенияСкачать

Уравнение движения

Урок 104. Импульс. Закон сохранения импульсаСкачать

Урок 104. Импульс. Закон сохранения импульса

Дифференциальные уравнения движения точкиСкачать

Дифференциальные уравнения движения точки
Поделиться или сохранить к себе: