Выведите уравнение сферы данного радиуса с центром в данной точке с данными координатами

Урок «Сфера. Уравнение сферы»

Краткое описание документа:

ТЕКСТОВАЯ РАСШИФРОВКА УРОКА:

Продолжаем изучение сферы.

На прошлых занятиях вы познакомились с определением сферы и шара.

Вспомним, что сферой называется поверхность, состоящая из всех точек пространства, расположенных на заданном расстоянии от данной точки.

Данная точка — центр сферы.

Заданное расстояние — радиус сферы.

Прежде чем вывести уравнение сферы, познакомимся с понятием уравнения поверхности в пространстве.

Зададим прямоугольную систему координат Оxyz и некоторую поверхность F.

Уравнением поверхности F называется уравнение с тремя переменными x, y, z, если этому уравнению удовлетворяют координаты всех точек поверхности F и не удовлетворяют координаты точки, не принадлежащей этой поверхности.

1.Рассмотрим сферу радиуса R и с центром С(x0; y0; z0).

2.Найдём расстояние от произвольной точки М(x; y; z) до центра С( x0 ; y0 ; z0) по формуле для вычисления расстояния между двумя точками с заданными координатами.

3. Если точка М лежит на сфере, то отрезок МС равен радиусу R, то есть

4.В случае если точка М не принадлежит данной сфере, то R≠МС, значит, координаты точки М не удовлетворяют уравнению R2=(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2.

5. Таким образом, в прямоугольной системе координат Оxyz уравнение сферы с центром

С (x0 ; y0 ; z0) и радиусом R имеет вид:

Применим полученные знания при решении задач.

Записать уравнение сферы с центром в точке А, которая проходит через точку N, если А(-2;2;0) и N(5;0;-1).

1.Запишем уравнение сферы с центром

А (x0 ; y0 ; z0) и радиусом R:

2.Подставим соответствующие координаты центра сферы А в данное уравнение:

Уравнение сферы с центром в точке А с координатами (-2;2;0) примет вид:

3.Так как сфера проходит через точку N с координатами (5;0;-1), то её координаты удовлетворяют уравнению сферы, подставим координаты этой точки в полученное уравнение:

Таким образом, уравнение сферы с центром в точке А, которая проходит через точку N имеет вид:

Сфера задана уравнением:

1) Найти координаты центра и радиус сферы;

2) Найти значение m, при котором точки

А (0; m;2) и В (1;1; m-2) принадлежат данной сфере.

1. Уравнение данной сферы имеет вид:

x2+ y2+ z2+2y-4z=4 или x2+ y2+2y + z2-4z=4

Выделим полный квадрат для переменных y и z, для этого прибавим и одновременно вычтем 1 и 4 в левой части уравнения:

x2+ y2+2y+1-1 + z2-4z+4-4=4

Уравнение примет вид:

x2+( y+1)2+( z-2)2-5=4 или

Таким образом, центр сферы имеет координаты:

О (0;-1;2), радиус равен R=√9=3

2.Уравнение сферы с центром в точке О (0;-1;2) и радиусом R=3 имеет вид:

Точки А (0; m;2) и В (1;1; m-2) принадлежат данной сфере, значит их координаты удовлетворяют уравнению сферы. Подставим координаты этих точек в уравнение сферы и решим систему уравнений:

Упростим полученные уравнения, раскрывая скобки и приводя подобные слагаемые:

Таким образом, мы получили 4 значения m:

Несложно проверить, что при m=-4 и m=6 координаты точек А и В не удовлетворяют уравнению сферы. Проверьте самостоятельно.

Итак, при m=2 точки А (0; m;2) и В (1;1; m-2) принадлежат сфере, заданной уравнением

x2+ y2+ z2+2y-4z=4 с центром в точке

О (0;-1;2) и радиусом R=3.

—> —>

АвторДата добавленияРазделПодразделПросмотровНомер материала

Инфоурок

07.11.2014

Геометрия

Видеоурок

53777

1003

© 2022 Проект «Уроки математики»

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено!

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако команда проекта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом на электронную почту службы поддержки сайта.

Урок по теме «Сфера. Уравнение сферы»

Разделы: Математика

Класс: 11

Ключевые слова: сфера , уравнение сферы

Цель урока: Сформировать на уроке понятие и определение сферы, шара и их элементов, вывести уравнение сферы в заданной прямоугольной системе координат, формировать навык решения задач по данной теме.

Цели урока:

• Образовательные: Сформировать на уроке понятие и определение сферы, шара и их элементов, вывести уравнение сферы в заданной прямоугольной системе координат, формировать навык решения задач по данной теме.
• Развивающие: развивать способности к самостоятельному планированию и организации работы, к самоанализу и способности коррекции собственной деятельности.
• Воспитательные:
  • воспитывать познавательный интерес к математике;
  • воспитывать информационную культуру и культуру общения;
  • воспитывать наблюдательность, самостоятельность, способность к коллективной работе.

Оборудование: циркуль; рисунки; компьютер, проекционный экран, проектор.

Формы работы: самостоятельная работа.

Тип урока: урок получения новых знаний.

Ход урока

1. Организационный момент

2. Актуализация

а) на доске изображена окружность

• Как называется линия изображенная на плоскости?
• Вспомните определение окружности. – Окружность-множество точек плоскости, равноудаленных от данной точки.
• Как называются элементы окружности? – Данная точка центр, отрезок, соединяющий центр с любой точкой окружности радиус, отрезок, соединяющий любые две точки окружности и проходящий через центр называется диаметр.
• Как называется часть плоскости ограниченная окружностью? – Круг.
• Дайте определение круга. – Круг – это часть плоскости, ограниченная окружностью.

б) Вспомните название уравнений, записанных на доске

Общий вид уравнения окружности.

в) докажите, что данное уравнение является уравнением окружности:

Чему равен радиус и назовите координаты центра.

г) Принадлежит ли точка М(2;2) данной окружности?

• Что изучает стереометрия? – Стереометрия изучает свойства фигур в пространстве
• Как вы думаете, существует ли поверхность, состоящая из точек пространства, равноудаленных от данной точки? – Да
• Такая поверхность называется сферой.

3. Формирование знаний, умений и навыков

Итак, тема сегодняшнего урока «Сфера».

Запишите тему сегодняшнего урока в тетрадях.

Цели: Я уверена, что вы неоднократно встречались в жизни не только со сферой, но и с шаром. Сегодня на уроке мы с вами сформулируем определения этих пространственных фигур, их элементов и выведем уравнение сферы.

1. Какая геометрическая фигура у вас ассоциируется со сферой? (окружность).
2. Как бы вы сформулировали определение сферы? – Сферой называется поверхность, состоящая из всех точек пространства, расположенных на данном расстоянии от данной точки.
3. Привести примеры окружающей обстановки, дающей представление о сфере.
4. Как называется данная точка? – центр сферы
5. Как называется данное расстояние? – радиус сферы. Любой отрезок, соединяющий центр и какую-нибудь точку сферы, также называется радиусом сферы.
   Отрезок, соединяющий две точки сферы и проходящий через центр, называется диаметром.
6. А что такое шар? – Тело, ограниченное сферой, называется шаром.
7. Чем он отличается от сферы? Давайте разберемся в этом вопросе, а для этого воспользуемся презентацией. – Шар содержит все точки пространства, которые расположены от точки О на расстоянии, не превышающемR, и не содержит других точек.
8. Можно ли сферу и шар отнести к телам вращения? — Сфера может быть получена вращением полуокружности вокруг ее диаметра, а шар – вращением полукруга вокруг его диаметра.

4. Первичное закрепление

5. Уравнение сферы

Задание: Вывести уравнение сферы с центром в точке С(x₀;y₀;z₀) радиуса R, используя формулу расстояния между двумя точками с заданными координатами.

• Найдите расстояние от произвольной точки М (x;y;z) до С(x₀;y₀;z₀)
• Почему мы находим именно это расстояние? – так как этоR
• Формула для нахождения расстояния между двумя точками в пространстве?
• Если точка М лежит на сфере, то МС = R.
  Вывод: уравнение сферы .

6. Закрепление изученного материала

Устно (слайд) № 577(а), 579 (а,г)

7. Самостоятельная работа

8. Рефлексия

Итак, что сегодня нового мы узнали на уроке?

• Определение сферы
• Определение шара
• Определение элементов сферы и шара
• Как можно получить сферу и шар вращением
• Уравнение сферы

Конспект занятия по теме «Уравнение окружности и сферы» (1 курс СПО)

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Рабочие листы и материалы для учителей и воспитателей

Более 2 500 дидактических материалов для школьного и домашнего обучения

Видеолекции для
профессионалов

• Свидетельства для портфолио
• Вечный доступ за 120 рублей
• 311 видеолекции для каждого

Занятие № 88. Уравнение окружности и сферы.

Окружностью называется множество всех точек плоскости, равноудаленных от данной точки этой плоскости, называемой центром.

Уравнение окружности с центром в точке О( a ; b ) и радиусом r имеет вид .

Пример. Составить уравнение окружности с центром в точке (5; -7) и проходящей через точку (2; -3).

Решение. Найдем радиус окружности как расстояние от центра до данной ее точки: . Значит, уравнение окружности имеет вид: .

1. Составьте уравнение окружности: 1) с центром в точке (-1; 4) и проходящей через точку (3; 5); 2) с центром в точке (-3; 0) и проходящей через точку (2; 4).

2. Составьте уравнение окружности, проходящей через начало координат и имеющей центр в точке: 1) (-2; 3); 2) (3; -5).

Сферой называется поверхность, состоящая из всех точек пространства, расположенных на данном расстоянии от данной точки – центра сферы. Данное расстояние называется радиусом сферы.

Любой отрезок, соединяющий центр сферы и какую-нибудь точку сферы, также называют радиусом сферы. Отрезок, соединяющий две точки сферы, называется диаметром сферы. Тело, ограниченное сферой, называется шаром.

Выведем уравнение сферы радиуса R с центром C ( x ₀ ; y ₀ ; z ₀ ) . Расстояние от произвольной точки М( x ; y ; z ) до точки С вычисляется по формуле .

Если точка М лежит на данной сфере, то МС= R , или МС 2 = R 2 , то есть координаты точки М удовлетворяют уравнению .

Если же точка М( x ; y ; z ) не лежит на данной сфере, то МС 2 ¹ R 2 , то есть координаты точки М не удовлетворяют уравнению. Следовательно, в прямоугольной системе координат уравнение сферы радиуса R с центром C ( x ₀ ; y ₀ ; z ₀ ) имеет вид .

Пример. Напишите уравнение сферы с центром А, проходящей через точку N , если А(0; 0; 0), N (5; 3; 1).

Решение. Уравнение сферы имеет вид . Найдем . Так как , то R 2 =35 .

Следовательно, уравнение сферы: или .

1. Напишите уравнение сферы радиуса R с центром А, если: а) А(2; -4; 7), R =3; б) А(0; 0; 0), ; в) А(2; 0; 0), R =4.

2. Напишите уравнение сферы с центром А, проходящей через точку N , если:

Геометрия

Помощь студентам в решении контрольных и курсовых работ

Подготовка к дипломной, повышение уникальности

Помощь студентам в решении контрольных и курсовых работ

Консультация, сбор материала, повышение уникальности

Помощь в подготовке дипломной. Сопровождение до защиты!

План урока:

Понятие сферы и шара

Люди постоянно сталкиваются с предметами, имеющими форму шара. В большинстве спортивных игр (баскетболе, большом и настольном теннисе, футболе) используются мячи, которые по форме как раз являются шарами. Такую же форму имеют многие фрукты – яблоки, апельсины, мандарины. Более того, известно, что Земля, другие планеты и звезды, большинство крупных спутников также представляют собой шары.

Важно отличать шар от сферы. Сферой называют только поверхность шара. Сам же шар является объемной фигурой, к нему относят всю часть пространства, ограниченную сферой.

Дадим строгие определения сферы и шара:

Отрезок, соединяющий точку на сфере с ее центром, именуется радиусом сферы. Он же называется и радиусом шара, заключенного внутри этой сферы.

Проходящий через центр сферы отрезок, чьи концы принадлежат сфере, именуется диаметром сферы. Сама сфера считается частью шара, также как и окружность считается частью круга.Показывают шар или сферу на рисунке так:

Из определения сферы явно вытекает тот факт, что все ее радиусы одинаковы. Это в свою очередь означает, что центр сферы – это середина диаметра, и диаметр вдвое длиннее радиуса.

Заметим, что сфера является телом вращения. Она получается при повороте полуокружности вокруг ее диаметра:

Уравнение сферы

В планиметрии мы уже изучали уравнения линии. Так назывались ур-ния с двумя переменными, каждое решение которых соответствовало точке на координатной плос-ти, принадлежавшей заданной линии. Если же точка не принадлежала линии, то ее координаты решением соответствующего ур-ния не являлись. В частности, нам удалось получить уравнения прямой и окружности.

Аналогично в стереометрии вводится понятие уравнения поверхности. Так как в пространстве используются уже три координаты (х, у и z), то ур-ния поверхности содержат три переменных. Координаты всякой точки, принадлежащей поверхности, будут являться решениями ур-ния этой поверхности. И наоборот, координаты точки, не принадлежащей поверхности, будут обращать ур-ние поверхности в неверное равенство.

Выведем ур-ние сферы. Пусть ее центр располагается в точке С с координатами (х₀, у₀, z₀), а радиус обозначен как R. Возьмем произвольную точку А на сфере. По определению сферы расстояние между А и С должно составлять R:

Точки, координаты которых удовлетворяют этому неравенству, находятся от центра сферы на расстоянии меньше ее радиуса. Это значит, что они находятся внутри сферы, то есть принадлежат шару, чьей поверхностью является рассматриваемая сфера. Если же координаты точки удовлетворяют неравенству

то можно утверждать, что точка находится вне пределов сферы, то есть она не принадлежит ни сфере, ни шару.

Задание. Напишите уравнение сферы, центр которой располагается в точке (2; – 4; 7) и чей радиус равен 3.

Решение. Здесь мы просто подставляем координаты центра сферы и ее радиус в ур-ние сферы:

Задание. Есть сфера с радиусом 9, чей центр располагается в точке О(2; 3; 4). Определите, какие из следующих точек будут принадлежать этой сфере: А(1; 7; – 4), В(0; 6; 10), С(– 2; – 1; 11), D(5; 6; 8).

Решение. Сначала составляем уравнение сферы, описанной в условии:

Равенство неверное, значит, В не располагается на сфере (более того, раз 49 2 .

Задание. Некоторое тело представляет собой шар, внутри которого есть полость, также имеющая форму шара, причем центры этих шаров совпадают. Докажите, что площадь сечения этого тела, проходящего через центр шаров, совпадает с площадью сечения, являющегося касательной к внутреннему шару.

Решение. Обозначим радиус большей сферы как R, а радиус меньшей (внутренней сферы) как r. Площадь центрального сечения в виде кольца (показано синим цветом) представляет собой разницу между площадью большого круга с радиусом R и малого с радиусом r:

Задание. Сфера радиусом 5 см касается каждой стороны треугольника со сторонами 13, 14 и 15 см. Каково расстояние между центром этой сферы и плос-тью треугольника?

Решение. Обозначим вершины треугольника точками А, В и С. Пусть

Заметим, что плос-ть АВС – секущая, а само сечение имеет форму окруж-ти. Эта окруж-ть будет касаться сторон ∆АВС, то есть она является вписанной окруж-тью. Как вычислить ее радиус НK?

Площадь ∆АВС можно найти по формуле Герона. Предварительно найдем полупериметр ∆АВС:

Пересечение двух сфер

Пусть есть две пересекающиеся сферы с центрами в точках О₁ и О₂ с радиусами R₁ и R₂ соответственно. Какую форму будет иметь линия L, по которой они пересекаются?

Эта линия является множеством точек, которые принадлежат как первой, так и второй сфере. Обозначим две произвольные точки этой линии буквами А и В:

Проведем радиусы О₁А, О₁В, О₂А и О₂В. Теперь сравним ∆АО₁О₂ и ∆ВО₁О₂. Сторона О₁О₂ у них общая, а другие стороны попарно равны как радиусы сфер:

Получается, что ∆АО₁О₂ и ∆ВО₁О₂ равны. Теперь из точек А и В опустим высоты на прямую О₁О₂. Из равенства ∆АО₁О₂ и ∆ВО₁О₂ вытекает два факта:

• эти высоты упадут в одну точку Н;
• эти высоты будут одинаковы, то есть АН = НВ.

Другими словами, А и В равноудалены от Н. Получается, что точки А и В находятся на окруж-ти, центр которой – точка Н. Заметим, что О₁О₂ – перпендикуляр к плоскости окружности, ведь О₁О₂⊥АН и О₁О₂⊥ВН.

Точки А и В были выбраны произвольно, поэтому можно утверждать, что любые точки линии L будут находиться на одной окруж-ти. Докажем и обратное утверждение – любая точка, лежащая на этой окруж-ти, будет принадлежать линии L. Возьмем на окруж-ти какую-нибудь точку С и построим радиус НС:

Теперь сравним ∆О₁НС и ∆О₁НА. Они прямоугольные, ведь О₁Н – перпендикуляр к плос-ти окружности. Катет О₁Н у них общий, а катеты АН и НС одинаковы как радиусы окруж-ти. Значит, ∆О₁НС и ∆О₁НА равны, и потому

Это равенство означает, что С принадлежит сфере с центром в О₁. Аналогично рассмотрев ∆О₂НС и ∆О₂НА, можно показать, что С также принадлежит и второй сфере. Тогда С принадлежит пересечению этих сфер.

Итак, всякая точка линии L лежит на окруж-ти с центром Н, и наоборот, каждая точка этой окруж-ти лежит на линии L. Это означает, что L как раз и является этой окружностью.

Отметим ещё один факт: по неравенству треугольника отрезок О₁О₂ должен быть меньше суммы отрезков О₁А и О₂А, то есть суммы радиусов сфер.

Задание. Сферы имеют радиусы 25 см и 29 см, а расстояние между их центрами составляет 36 см. Вычислите радиус окруж-ти, по которой они пересекаются.

Решение. Пусть А – одна их точек сечения. Искомый радиус обозначим как АН. В итоге получим такую картинку:

Площадь сферы

Сферическая поверхность, как и всякая другая ограниченная поверхность, имеет какую-то площадь. Напомним, что для вычисления площадей цилиндрической и конической поверхности мы строили их плоские развертки и находили площади уже этих разверток, используя формулы из планиметрии. Оказывается, что для сферы построить такую развертку невозможно. Мы не будем доказывать строго этот факт, но он известен из географии – любая карта Земли, которая как раз и должна быть разверткой сферической поверхности нашей планеты, является неточной и сильно искажает форму и размеры континентов. Если бы существовал способ построить точную развертку, то и географические карты не имели бы таких искажений.

Однако вычислить площадь сферы всё же можно по известной формуле:

Сейчас мы не будем доказывать эту формулу. Отметим лишь, что для ее получения необходимо использовать интегралы.

Задание. Какова площадь сферы с радиусом 5 см?

Решение. Просто используем формулу:

Ответ: 100π см 2 .

Вписанные и описанные сферы

Если каждая точка многогранника лежит на поверхности сферы, то говорят, что многогранник вписан в сферу. Тогда сферу именуют описанной, а многогранник – вписанным.

Если же сфера касается каждой грани многогранника, то уже наоборот, сфера вписана в многогранник. Тогда уже сфера будет вписанной фигурой, а многогранник – описанной.

Заметим, что не в каждый многогранник может быть вписанным или описанным. Например, в куб вписать сферу можно, а в прямоугольный параллелепипед, измерения которого отличаются, уже вписать сферу не получится.

Надо отметить, что в сферу можно вписать не только в многогранник, но и другие геометрические фигуры, в частности конус и цилиндр. Здесь нужно уточнить (без доказательства), что если касание плос-ти и сферы происходит только в одной точке, то цилиндрическая и коническая поверхности касаются сферы уже по окруж-ти.

Задание. Правильная пирамида вписана в сферу. Докажите, высота этой пирамиды проходит через центр сферы.

Решение. Опустим из центра сферы О перпендикуляр ОН на основание пирамиды. Далее возьмем произвольную вершину Х основания пирамиды, и соединим ее с Н отрезком ХН. По теореме Пифагора можно вычислить длину ХН (радиус сферы ОХ обозначим, буквой R):

Получилось, что расстояние ХН не зависит от самой точки Х. То есть все вершины основания равноудалены от точки, то есть Н – центр описанной около основания окруж-ти. Это означает, что перпендикуляр ОН одновременно является высотой правильной пирамиды, ч. т. д.

Задание. Вычислите радиус описанной сферы, в которую вписан правильный тетраэдр со стороной а.

Решение. Правильный тетраэдр можно считать правильной треугольной пирамидой, поэтому (согласно предыдущей задаче) из центра сферы О можно опустить перпендикуляр на основание АВС, который упадет в точку Н – центр основания. Так как тетраэдр правильный, то ∆АВС – равносторонний, то есть Н – эта точка пересечения и медиан, и высот. Опустим из А высоту АК, она пройдет через Н. Так как АК – ещё и медиана, то

Далее найдем длину АН. Вспомним, что АН – медиана, а точка пересечения медиан Н делит их в отношении 2:1. Это значит, что

Буквой R здесь обозначен радиус описанной сферы. Осталось применить теорему Пифагора к ∆АНD:

Задание. Докажите что вокруг любого тетраэдра можно описать сферу.

Решение. Обозначим вершины произвольного тетраэдра буквами А, В, С и D. Далее на грани АВС отметим точку К – центр окруж-ти, описанной около ∆АВС. Аналогично на грани АВD отметим Н – центр окруж-ти, описанной около ∆АВD:

Напомним, что центры описанных окружностей располагаются в той точке, где пересекаются серединные перпендикуляры. Это значит, что если мы из К и Н опустим перпендикуляры на ребро АВ, то эти перпендикуляры будут серединными, то есть они попадут в одну точку М, являющуюся серединой ребра АВ.

Мы получили плос-ть НМК. Заметим, что НМК⊥АВ по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, так как АВ⊥МН и АВ⊥МК. Но тогда АВС⊥МНК уже по признаку перпендикулярности плоскостей, ведь АВС проходит через АВ, являющийся перпендикуляром к НМК. По той же причине и АВD⊥НМК.

Далее проведем через К перпендикуляр m к АВС. Он должен будет принадлежать НМК, ведь НМК⊥АВD. Аналогично и через Н проведем перпендикуляр n к АВD, который также будет принадлежать НМК.

В плос-ти НМК есть две прямые, mи n. Они либо параллельны, либо пересекаются. Но перпендикуляры к двум плос-тям могут быть параллельны только в случае, если сами эти плос-ти параллельны (или совпадают). Но АВС и АВD непараллельны и не совпадают, поэтому m и n непаралелльны, то есть они пересекаются в какой-то точке О.

Покажем, что точка О равноудалена от всех вершин тетраэдра. Сравним ∆АОК и ∆СОК. Они прямоугольные, ведь ОК – перпендикуляр к АВС. ОК – общий катет, а катеты АК и СК одинаковы как радиусы описанной окруж-ти. Значит, ∆АОК и ∆СОК равны, ОА = ОС. Аналогично рассмотрев ∆АОК и ∆ВОК, приходим к выводу, что ОА = ОВ. Далее рассматриваем ∆ОНD и ∆ОНА и получаем, что ОА = ОD. Эти три равенства все вместе означают, что О равноудалена от точек А, В, С и D. А это значит, что на сфере с центром О и радиусом ОА будут лежать все вершины тетраэдра, то есть такая сфера окажется описанной, ч. т. д.

Примечание. Несложно доказать, что описанная сфера будет единственной. Действительно, если бы около тетраэдра можно было описать две различных сферы, то они пересекались бы в точках А, В, С и D. Сферы пересекаются по окруж-ти, то есть А, В, С и D должны лежать на одной окруж-ти, но это невозможно, ведь они не располагаются в одной плос-ти. Значит, двух описанных сфер существовать не может.

Доказанное в задаче утверждение можно сформулировать несколько иначе:

Сегодня мы изучили сферу – одну из важнейших геометрических фигур. Именно сферическую форму имеют звезды и планеты. Жидкость, оказавшаяся в невесомости, также принимает форму шара. Важно запомнить, что сечение сферы имеет форму окруж-ти, и касательные к сфере обладают почти такими ми же свойствами, как и касательные к окруж-ти в планиметрии.

📸 Видео