Вычислить площади фигур ограниченных линиями заданными уравнениями параметрически онлайн

Видео:Найти площадь фигуры, ограниченной линиями. Пример 1.Скачать

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями. Пример 1.

Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми онлайн

Вычисление площадей плоских фигур является одним из приложений определенного интеграла.

Вычислить площади фигур ограниченных линиями заданными уравнениями параметрически онлайн

Для того, чтобы получить площадь фигуры изображенной на рисунке, необходимо вычислить определенный интеграл вида:

Функции и как правило, известны из условия задачи, а вот абсциссы их точек пересечения и придется дополнительно найти. Для этого необходимо решить уравнение:

Описанным выше способом, можно также найти площадь криволинейной трапеции в случае, если графики функций и не пересекаются, но точки и заданы по условию задачи:

Вычислить площади фигур ограниченных линиями заданными уравнениями параметрически онлайн

В этом случае криволинейная трапеция (фигура площадь которой мы вычисляем) образована графиками функций , и прямыми , .

Онлайн калькулятор, построенный на основе системы Wolfram Alpha, автоматически вычислит площадь фигуры, образованной пересечением двух графиков функций.

Видео:Математика без Ху!ни. Определенные интегралы, часть 3. Площадь фигуры.Скачать

Математика без Ху!ни. Определенные интегралы, часть 3. Площадь фигуры.

Вычисление площади фигуры, ограниченной параметрически заданной кривой

Когда мы выясняли геометрический смысл определенного интеграла, у нас получилась формула, с помощью которой можно найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной осью абсцисс, прямыми x = a , x = b , а также непрерывной (неотрицательной или неположительной) функцией y = f ( x ) . Иногда удобнее задавать функцию, ограничивающую фигуру, в параметрическом виде, т.е. выражать функциональную зависимость через параметр t . В рамках данного материала мы покажем, как можно найти площадь фигуры, если она ограничена параметрически заданной кривой.

После объяснения теории и выведения формулы мы разберем несколько характерных примеров на нахождение площади таких фигур.

Видео:Площадь фигуры, ограниченной линией, заданной параметрически. Площадь, ограниченная эллипсомСкачать

Площадь фигуры, ограниченной  линией, заданной параметрически. Площадь, ограниченная  эллипсом

Основная формула для вычисления

Допустим, что у нас имеется криволинейная трапеция, границами которой являются прямые x = a , x = b , ось O x и параметрически заданная кривая x = φ ( t ) y = ψ ( t ) , а функции x = φ ( t ) и y = ψ ( t ) являются непрерывными на интервале α ; β , α β , x = φ ( t ) будет непрерывно возрастать на нем и φ ( α ) = a , φ ( β ) = b .

Чтобы вычислить площадь трапеции при таких условиях, нужно использовать формулу S ( G ) = ∫ α β ψ ( t ) · φ ‘ ( t ) d t .

Мы вывели ее из формулы площади криволинейной трапеции S ( G ) = ∫ a b f ( x ) d x методом подстановки x = φ ( t ) y = ψ ( t ) :

S ( G ) = ∫ a b f ( x ) d x = ∫ α β ψ ( t ) d ( φ ( t ) ) = ∫ α β ψ ( t ) · φ ‘ ( t ) d t

Учитывая монотонное убывание функции x = φ ( t ) на интервале β ; α , β α , нужная формула принимает вид S ( G ) = — ∫ β α ψ ( t ) · φ ‘ ( t ) d t .

Если функция x = φ ( t ) не относится к основным элементарным, то нам понадобится вспомнить основные правила возрастания и убывания функции на интервале, чтобы определить, будет ли она возрастающей или убывающей.

Видео:Применение определенного интеграла при решении геометр. и физических задач. Практ. часть. 11 класс.Скачать

Применение определенного интеграла при решении геометр. и физических задач. Практ. часть. 11 класс.

Решение задач на вычисление площади фигуры, которая ограничена параметрически заданной кривой

В этом пункте мы разберем несколько задач на применение формулы, выведенной выше.

Условие: найдите площадь фигуры, которую образует линия, заданная уравнениями вида x = 2 cos t y = 3 sin t .

Решение

У нас есть параметрически заданная линия. Графически ее можно отобразить в виде эллипса с двумя полуосями 2 и 3 . См на иллюстрацию:

Вычислить площади фигур ограниченных линиями заданными уравнениями параметрически онлайн

Попробуем найти площадь 1 4 полученной фигуры, которая занимает первый квадрант. Область находится в интервале x ∈ a ; b = 0 ; 2 . Далее умножим полученное значение на 4 и найдем площадь целой фигуры.

Вот ход наших вычислений:

x = φ ( t ) = 2 cos t y = ψ ( t ) = 3 sin t φ α = a ⇔ 2 cos α = 0 ⇔ α = π 2 + πk , k ∈ Z , φ β = b ⇔ 2 cos β = 2 ⇔ β = 2 πk , k ∈ Z

При k , равном 0 , мы получим интервал β ; α = 0 ; π 2 . Функция x = φ ( t ) = 2 cos t на нем будет монотонно убывать (подробнее см. статью об основных элементарных функциях и их свойствах). Значит, можно применить формулу вычисления площади и найти определенный интеграл, используя формулу Ньютона-Лейбница:

— ∫ 0 π 2 3 sin t · 2 cos t ‘ d t = 6 ∫ 0 π 2 sin 2 t d t = 3 ∫ 0 π 2 ( 1 — cos ( 2 t ) d t = = 3 · t — sin ( 2 t ) 2 0 π 2 = 3 · π 2 — sin 2 · π 2 2 — 0 — sin 2 · 0 2 = 3 π 2

Значит, площадь фигуры, заданной исходной кривой, будет равна S ( G ) = 4 · 3 π 2 = 6 π .

Ответ: S ( G ) = 6 π

Уточним, что при решении задачи выше можно было взять не только четверть эллипса, но и его половину – верхнюю или нижнюю. Одна половина будет расположена на интервале x ∈ a ; b = — 2 ; 2 . В этом случае у нас бы получилось:

φ ( α ) = a ⇔ 2 cos α = — 2 ⇔ α = π + π k , k ∈ Z , φ ( β ) = b ⇔ 2 cos β = 2 ⇔ β = 2 π k , k ∈ Z

Таким образом, при k равном 0 , мы получили β ; α = 0 ; π . Функция x = φ ( t ) = 2 cos t на этом интервале будет монотонно убывать.

После этого вычисляем площадь половины эллипса:

— ∫ 0 π 3 sin t · 2 cos t ‘ d t = 6 ∫ 0 π sin 2 t d t = 3 ∫ 0 π ( 1 — cos ( 2 t ) d t = = 3 · t — sin ( 2 t ) 2 0 π = 3 · π — sin 2 · π 2 — 0 — sin 2 · 0 2 = 3 π

Важно отметить, что можно взять только верхнюю или нижнюю часть, а правую или левую нельзя.

Можно составить параметрическое уравнение данного эллипса, центр которого будет расположен в начале координат. Оно будет иметь вид x = a · cos t y = b · sin t . Действуя так же, как и в примере выше, получим формулу для вычисления площади эллипса S э л и п с а = πab .

Задать окружность, центр которой расположен в начале координат, можно с помощью уравнения x = R · cos t y = R · sin t , где t является параметром, а R – радиусом данной окружности. Если мы сразу воспользуемся формулой площади эллипса, то то у нас получится формула, с помощью которой можно вычислить площадь круга с радиусом R : S к р у г а = πR 2 .

Разберем еще одну задачу.

Условие: найдите, чему будет равна площадь фигуры, которая ограничена параметрически заданной кривой x = 3 cos 3 t y = 2 sin 3 t .

Решение

Сразу уточним, что данная кривая имеет вид вытянутой астроиды. Обычно астроида выражается с помощью уравнения вида x = a · cos 3 t y = a · sin 3 t .

Теперь разберем подробно, как построить такую кривую. Выполним построение по отдельным точкам. Это самый распространенный метод, который применим для большинства задач. Более сложные примеры требуют проведения дифференциального исчисления, чтобы выявить параметрически заданную функцию.

У нас x = φ ( t ) = 3 cos 3 t , y = ψ ( t ) = 2 sin 3 t .

Данные функции являются определенными для всех действительных значений t . Для sin и cos известно, что они являются периодическими и их период составляет 2 пи. Вычислив значения функций x = φ ( t ) = 3 cos 3 t , y = ψ ( t ) = 2 sin 3 t для некоторых t = t 0 ∈ 0 ; 2 π π 8 , π 4 , 3 π 8 , π 2 , . . . , 15 π 8 , получим точки x 0 ; y 0 = ( φ ( t 0 ) ; ψ ( t 0 ) ) .

Составим таблицу итоговых значений:

t 00π 8π 43 π 8π 25 π 83 π 47 π 8π
x 0 = φ ( t 0 )32 . 361 . 060 . 160— 0 . 16— 1 . 06— 2 . 36— 3
y 0 = ψ ( t 0 )00 . 110 . 701 . 5721 . 570 . 700 . 110
t 09 π 85 π 411 π 83 π 213 π 87 π 415 π 82 π
x 0 = φ ( t 0 )— 2 . 36— 1 . 06— 0 . 1600 . 161 . 062 . 363
y 0 = ψ ( t 0 )— 0 . 11— 0 . 70— 1 . 57— 2— 1 . 57— 0 . 70— 0 . 110

После этого отметим нужные точки на плоскости и соединим их одной линией.

Вычислить площади фигур ограниченных линиями заданными уравнениями параметрически онлайн

Теперь нам надо найти площадь той части фигуры, что находится в первой координатной четверти. Для нее x ∈ a ; b = 0 ; 3 :

φ ( α ) = a ⇔ 3 cos 3 t = 0 ⇔ α = π 2 + πk , k ∈ Z , φ ( β ) = b ⇔ 3 cos 3 t = 3 ⇔ β = 2 πk , k ∈ Z

Если k равен 0 , то у нас получится интервал β ; α = 0 ; π 2 , и функция x = φ ( t ) = 3 cos 3 t на нем будет монотонно убывать. Теперь берем формулу площади и считаем:

— ∫ 0 π 2 2 sin 3 t · 3 cos 3 t ‘ d t = 18 ∫ 0 π 2 sin 4 t · cos 2 t d t = = 18 ∫ 0 π 2 sin 4 t · ( 1 — sin 2 t ) d t = 18 ∫ 0 π 2 sin 4 t d t — ∫ 0 π 2 sin 6 t d t

У нас получились определенные интегралы, которые можно вычислить с помощью формулы Ньютона-Лейбница. Первообразные для этой формулы можно найти, используя рекуррентную формулу J n ( x ) = — cos x · sin n — 1 ( x ) n + n — 1 n J n — 2 ( x ) , где J n ( x ) = ∫ sin n x d x .

∫ sin 4 t d t = — cos t · sin 3 t 4 + 3 4 ∫ sin 2 t d t = = — cos t · sin 3 t 4 + 3 4 — cos t · sin t 2 + 1 2 ∫ sin 0 t d t = = — cos t · sin 3 t 4 — 3 cos t · sin t 8 + 3 8 t + C ⇒ ∫ 0 π 2 sin 4 t d t = — cos t · sin 3 t 4 — 3 cos t · sin t 8 + 3 8 t 0 π 2 = 3 π 16 ∫ sin 6 t d t = — cos t · sin 5 t 6 + 5 6 ∫ sin 4 t d t ⇒ ∫ 0 π 2 sin 6 t d t = — cos t · sin 5 t 6 0 π 2 + 5 6 ∫ 0 π 2 sin 4 t d t = 5 6 · 3 π 16 = 15 π 96

Мы вычислили площадь четверти фигуры. Она равна 18 ∫ 0 π 2 sin 4 t d t — ∫ 0 π 2 sin 6 t d t = 18 3 π 16 — 15 π 96 = 9 π 16 .

Если мы умножим это значение на 4 , получим площадь всей фигуры – 9 π 4 .

Точно таким же образом мы можем доказать, что площадь астроиды, заданной уравнениями x = a · cos 3 t y = a · sin 3 t , можно найти по формуле S а с т р о и д ы = 3 πa 2 8 , а площадь фигуры, которая ограничена линией x = a · cos 3 t y = b · sin 3 t , считается по формуле S = 3 πab 8 .

Видео:14. Что такое параметрически заданная функция, производная параметрически заданной функции.Скачать

14. Что такое параметрически заданная функция, производная параметрически заданной функции.

Вычислить площади фигур ограниченных линиями заданными уравнениями параметрически онлайн

Вычислить площади фигур ограниченных линиями заданными уравнениями параметрически онлайн

Построим график параметрической функции x=x(t) и y=y(t), которая задаёт прямую или кривую линию,
где параметр t лежит в промежутке [a, b],
и вы можете указать свои границы.
Задайте также функции x и y, зависящих от параметра.

Видео:Интегралы №12 Вычисление площадейСкачать

Интегралы №12 Вычисление площадей

Примеры кривых

Название кривойУравнение
Окружность
Спираль
Дельтоида
Астроида
Гипоциклоиды
Кардиоида
Нефроида
Эпициклоиды
Бабочка
Фигуры Лиссажу
Сердце

Правила ввода выражений и функций

3.14159.. e Число e — основание натурального логарифма, примерно равно

2,7183.. i Комплексная единица oo Символ бесконечности — знак для бесконечности

© Контрольная работа РУ — калькуляторы онлайн

Видео:Найти площадь фигуры, ограниченной линиями. Пример 5.Скачать

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями. Пример 5.

Где учитесь?

Для правильного составления решения, укажите:

🌟 Видео

Криволинейная трапеция и ее площадь. 11 класс.Скачать

Криволинейная трапеция и ее площадь. 11 класс.

Геометрический смысл определенного интеграла (2)Скачать

Геометрический смысл определенного интеграла (2)

Площади фигур. Сохраняй и запоминай!#shortsСкачать

Площади фигур. Сохраняй и запоминай!#shorts

Вычисление площади фигуры, ограниченной заданными линиямиСкачать

Вычисление площади фигуры, ограниченной заданными линиями

Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиямиСкачать

Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями

Математика Без Ху!ни. Полярные координаты. Построение графика функции.Скачать

Математика Без Ху!ни. Полярные координаты. Построение графика функции.

Площадь фигуры, ограниченной линиямиСкачать

Площадь фигуры, ограниченной линиями

Вычисление площадей и объемов с помощью определённого интегралаСкачать

Вычисление площадей и объемов с помощью определённого интеграла

Площадь фигуры через двойной интеграл в полярных координатахСкачать

Площадь фигуры через двойной интеграл в полярных координатах

Площадь фигуры, заданной в полярной системе координатСкачать

Площадь фигуры, заданной в полярной системе координат

Найти площадь фигуры, ограниченной линиямиСкачать

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями

Определённый интеграл. ПлощадьСкачать

Определённый интеграл.  Площадь

Площади 12Скачать

Площади 12
Поделиться или сохранить к себе: