Вычислить объем тела заданного представленными уравнениями используя его поперечные сечения примеры (7 видео)

Вычислить объем тела заданного представленными уравнениями используя его поперечные сечения примеры

Запрошуємо усіх хто любить цікаві задачі та головоломки відвідати групу! Зараз діє акція — підтримай студента! Знижки на роботи + безкоштовні консультації.

Содержание

Контакты
Задача 57553 Помогите пжл с решением двух задач по.
Условие
Решение
Вычисление объема тела по известным поперечным сечениям
📸 Видео

Контакты

Администратор, решение задач
Роман

Tel. +380685083397
[email protected]
skype, facebook:
roman.yukhym

Решение задач
Андрей

facebook:
dniprovets25

Видео:11 класс, 33 урок, Вычисление объемов тел с помощью определённого интегралаСкачать

Задача 57553 Помогите пжл с решением двух задач по.

Условие

Помогите пжл с решением двух задач по математике под цифрой 2

Задача 1. Вычислить объём тела, заданного представленными уравнениями, используя его поперечные сечения

Задача 2. Вычислить объём тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, заданной представленными линиями

Решение

Возводим в квадрат:

[m](z+4)^2+y^2=32[/m] — это уравнение эллипса в пл уOz, а значит цилиндрической поверхности в пространстве

Это бесконечная поверхность, вдоль оси Ох. См. рис.
По условию ограничена пл. х=5 Получается с одной стороны.

А значит тело неограниченное.

Поэтому я думаю, что в условии [b]опечатка.[/b]

[b]Наверное[/b] ( что не почетно, гадать, что должно быть )
так:

Возводим в квадрат и получаем:

[m](x-4)^2=y^2+2z^2[/m] — это коническая поверхность.

Эллиптический конус в с вершиной в точке (4;0;0) cм скрин 3.

Но уравнение в условии задачи [m]x=4+ sqrt[/m] означает, что дана только та часть, которая выше точки (4;0;0) по направлению оси Ох.

И тогда все замечательно, потому как есть ограниченный слой на участке от 4 до 5

Рассекаем этой слой плоскостью x=h

Видео:Вычисление площадей и объемов с помощью определённого интегралаСкачать

Вычисление объема тела по известным поперечным сечениям

Задача

Зная закон изменения площади поперечного сечения тела, найти объем этого тела

Вычислить объем тела заданного представленными уравнениями используя его поперечные сечения примеры

Пусть ОХ некоторое выбранное направление и S(x) – площадь поперечного сечения плоскостью перпендикулярной оси ОХ в точке с абсциссой х. Функцию S(x) будем предполагать известной и непрерывно меняющейся при изменении х. Проектируя тело на ось ОХ, получим некоторый отрезок [a,b], дающий линейные размеры тела в направлении оси ОХ.

Разобьем данное тело на элементарные слои плоскостями, перпендикулярными оси ОХ. Точки пересечения этих плоскостей с осью ОХ соответственно . Каждый элементарный слой, ограниченный плоскостями, пересекающимися в точках заменяем цилиндром с высотой и площадью основания . Объем данного цилиндра выражается формулой . Составим сумму всех таких произведений . Эта сумма является интегральной для данной функции S=S(x) на отрезке [a,b]. Она выражает объем ступенчатого тела, состоящего их элементарных цилиндров и приближенно заменяющего данное тело.

Объемом тела называют предел объема указанного ступенчатого тела, приближенно заменяющего данное тело, при — длина наибольшего из элементарных отрезков .

По определению с другой стороны . Из двух последних равенств получаем формулу вычисления объема тела по заданным поперечным сечениям.

(1)

Пример

Найти объем пирамиды с основанием В и высотой Н

Решение

Ось ОХ перпендикулярна поверхности В и направлена из точки О. S – площадь сечения пирамиды плоскостью, находящейся на расстоянии х от вершины. Так как площади поперечных сечений пирамиды относятся как квадраты расстояний их от вершины, то имеем

(известная формула)

Объем тела вращения

Задача

Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси ОХ криволинейной трапеции aABb, ограниченной данной непрерывной линией , отрезком оси ОХ и двумя вертикалями x=a, x=b

Эта задача – частный случай задачи, рассмотренной выше. Здесь площадь переменного поперечного сечения S=S(x), соответствующего абсциссе х, есть круг радиуса у, поэтому и формула (1) примет вид (2)

Задача

Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси ОУ криволинейной трапеции cCDd, ограниченной данной непрерывной линией , отрезком оси ОУ и двумя горизонталями y=c, y=d

По аналогии с формулой (2) (3)

Примеры

Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси ОХ криволинейной трапеции, ограниченной линиями

Пределы интегрирования a=1,b=6, функция

Вычислить объем тела, полученного в результате вращения вокруг оси ОХ криволинейной трапеции, ограниченной линией , осями координат и прямой х=1

Пределы интегрирования a=0,b=1, функция

Определить объем тела, ограниченного поверхностью, полученной от вращения эллипса вокруг оси ОХ (и ОУ)

Так ка эллипс симметричен относительно осей координат, то достаточно найти объем, образованный вращением вокруг оси ОХ площади ОАВ, равной ¼ площади эллипса, и полученный результат удвоить.

. Окончательно и соответственно

Несобственные интегралы

При определении интеграла (1) предполагалось, что:

1) Отрезок интегрирования [a,b] – конечен;

2) f(x) определена и непрерывна на отрезке [a,b].

Такой определенный интеграл называется собственным (название опускается).

Если нарушается по крайней мере одно из двух условий 1) или 2), то (1) называется несобственным определенным интегралом.

Рассмотрим смысл этого понятия для двух простейших случаев

I. Пусть f(x) непрерывна при . Тогда по определению полагают

(2)

Если предел (2) существует, то несобственный интеграл с бесконечным пределом интегрирования, стоящий в левой части равенства (2), называется сходящимся и его значение определяется формулой (2); в противном случае равенство (2) теряет смысл, несобственный интеграл, стоящий слева, называется расходящимся и ему не приписывается никакого числового значения.

Геометрически для неотрицательной на функции f(x) несобственный интеграл (2) представляет собой площадь криволинейной фигуры, ограниченной данной линией y=f(x), осью ОХ и вертикалью х=а.

Пусть F(x) первообразная для f(x). На основании формулы (2) имеем

. Если ввести условное обозначение

, то получим для сходящегося несобственного интеграла с бесконечным верхним пределом обобщенную формулы Ньютона-Лейбница

(3), где F’(x)=f(x).

2) Установить, при каких значениях интеграл сходится и при каких расходится

Решение Так как при , то

. Следовательно , можно сделать следующие выводы:

Если , то — интеграл сходится;

Если , то — интеграл расходится;

3.Вычислить (второй интеграл равен (см. Пример 1)).

Вычислим следовательно

Во многих случаях бывает достаточно установить, сходится данный интеграл или расходится, оценить его значение. Для этого могут быть полезны следующие теоремы.

Теорема 1

Если для любого х выполняется неравенство и если сходится, то также сходится , при этом