Выборочное уравнение прямой линии регрессии x на y имеет вид y 12 5

Видео:Математика #1 | Корреляция и регрессияСкачать

Математика #1 | Корреляция и регрессия

Корреляционная таблица

Пример 1 . По данной корреляционной таблице построить прямые регрессии с X на Y и с Y на X . Найти соответствующие коэффициенты регрессии и коэффициент корреляции между X и Y .

y/x152025303540
10022
12043103
140250710
160143
18011

Решение:
Уравнение линейной регрессии с y на x будем искать по формуле
Выборочное уравнение прямой линии регрессии x на y имеет вид y 12 5
а уравнение регрессии с x на y, использовав формулу:
Выборочное уравнение прямой линии регрессии x на y имеет вид y 12 5
где x x , y — выборочные средние величин x и y, σx, σy — выборочные среднеквадратические отклонения.
Находим выборочные средние:
x = (15(1 + 1) + 20(2 + 4 + 1) + 25(4 + 50) + 30(3 + 7 + 3) + 35(2 + 10 + 10) + 40(2 + 3))/103 = 27.961
y = (100(2 + 2) + 120(4 + 3 + 10 + 3) + 140(2 + 50 + 7 + 10) + 160(1 + 4 + 3) + 180(1 + 1))/103 = 136.893
Выборочные дисперсии:
σ 2 x = (15 2 (1 + 1) + 20 2 (2 + 4 + 1) + 25 2 (4 + 50) + 30 2 (3 + 7 + 3) + 35 2 (2 + 10 + 10) + 40 2 (2 + 3))/103 — 27.961 2 = 30.31
σ 2 y = (100 2 (2 + 2) + 120 2 (4 + 3 + 10 + 3) + 140 2 (2 + 50 + 7 + 10) + 160 2 (1 + 4 + 3) + 180 2 (1 + 1))/103 — 136.893 2 = 192.29
Откуда получаем среднеквадратические отклонения:
Выборочное уравнение прямой линии регрессии x на y имеет вид y 12 5и Выборочное уравнение прямой линии регрессии x на y имеет вид y 12 5
Определим коэффициент корреляции:
Выборочное уравнение прямой линии регрессии x на y имеет вид y 12 5
где ковариация равна:
Cov(x,y) = (35•100•2 + 40•100•2 + 25•120•4 + 30•120•3 + 35•120•10 + 40•120•3 + 20•140•2 + 25•140•50 + 30•140•7 + 35•140•10 + 15•160•1 + 20•160•4 + 30•160•3 + 15•180•1 + 20•180•1)/103 — 27.961 • 136.893 = -50.02
Запишем уравнение линий регрессии y(x):
Выборочное уравнение прямой линии регрессии x на y имеет вид y 12 5
и уравнение x(y):
Выборочное уравнение прямой линии регрессии x на y имеет вид y 12 5
Построим найденные уравнения регрессии на чертеже, из которого сделаем следующие вывод:
1) обе линии проходят через точку с координатами (27.961; 136.893)
2) все точки расположены близко к линиям регрессии.

Выборочное уравнение прямой линии регрессии x на y имеет вид y 12 5

Пример 2 . По данным корреляционной таблицы найти условные средние y и x . Оценить тесноту линейной связи между признаками x и y и составить уравнения линейной регрессии y по x и x по y . Сделать чертеж, нанеся его на него условные средние и найденные прямые регрессии. Оценить силу связи между признаками с помощью корреляционного отношения.
Корреляционная таблица:

X / Y246810
154200
206330
300123
500001

Уравнение линейной регрессии с y на x имеет вид:
Выборочное уравнение прямой линии регрессии x на y имеет вид y 12 5
Уравнение линейной регрессии с x на y имеет вид:
Выборочное уравнение прямой линии регрессии x на y имеет вид y 12 5
найдем необходимые числовые характеристики.
Выборочные средние:
x = (2(5) + 4(4 + 6) + 6(2 + 3 + 1) + 8(3 + 2) + 10(3 + 1) + )/30 = 5.53
y = (2(5) + 4(4 + 6) + 6(2 + 3 + 1) + 8(3 + 2) + 10(3 + 1) + )/30 = 1.93
Дисперсии:
σ 2 x = (2 2 (5) + 4 2 (4 + 6) + 6 2 (2 + 3 + 1) + 8 2 (3 + 2) + 10 2 (3 + 1))/30 — 5.53 2 = 6.58
σ 2 y = (1 2 (5 + 4 + 2) + 2 2 (6 + 3 + 3) + 3 2 (1 + 2 + 3) + 5 2 (1))/30 — 1.93 2 = 0.86
Откуда получаем среднеквадратические отклонения:
σx = 2.57 и σy = 0.93
и ковариация:
Cov(x,y) = (2•1•5 + 4•1•4 + 6•1•2 + 4•2•6 + 6•2•3 + 8•2•3 + 6•3•1 + 8•3•2 + 10•3•3 + 10•5•1)/30 — 5.53 • 1.93 = 1.84
Определим коэффициент корреляции:
Выборочное уравнение прямой линии регрессии x на y имеет вид y 12 5
Выборочное уравнение прямой линии регрессии x на y имеет вид y 12 5
Запишем уравнения линий регрессии y(x):
Выборочное уравнение прямой линии регрессии x на y имеет вид y 12 5
и вычисляя, получаем:
yx = 0.28 x + 0.39
Запишем уравнения линий регрессии x(y):
Выборочное уравнение прямой линии регрессии x на y имеет вид y 12 5
и вычисляя, получаем:
xy = 2.13 y + 1.42
Если построить точки, определяемые таблицей и линии регрессии, увидим, что обе линии проходят через точку с координатами (5.53; 1.93) и точки расположены близко к линиям регрессии.
Значимость коэффициента корреляции.
Выборочное уравнение прямой линии регрессии x на y имеет вид y 12 5
По таблице Стьюдента с уровнем значимости α=0.05 и степенями свободы k=30-m-1 = 28 находим tкрит:
tкрит (n-m-1;α/2) = (28;0.025) = 2.048
где m = 1 — количество объясняющих переменных.
Если tнабл > tкритич, то полученное значение коэффициента корреляции признается значимым (нулевая гипотеза, утверждающая равенство нулю коэффициента корреляции, отвергается).
Поскольку tнабл > tкрит, то отклоняем гипотезу о равенстве 0 коэффициента корреляции. Другими словами, коэффициент корреляции статистически — значим.

Пример 3 . Распределение 50 предприятий пищевой промышленности по степени автоматизации производства Х (%) и росту производительности труда Y (%) представлено в таблице. Необходимо:
1. Вычислить групповые средние i и j x y, построить эмпирические линии регрессии.
2. Предполагая, что между переменными Х и Y существует линейная корреляционная зависимость:
а) найти уравнения прямых регрессии, построить их графики на одном чертеже с эмпирическими линиями регрессии и дать экономическую интерпретацию полученных уравнений;
б) вычислить коэффициент корреляции; на уровне значимости α= 0,05 оценить его значимость и сделать вывод о тесноте и направлении связи между переменными Х и Y;
в) используя соответствующее уравнение регрессии, оценить рост производительности труда при степени автоматизации производства 43%.
Скачать решение

Пример . По корреляционной таблице рассчитать ковариацию и коэффициент корреляции, построить прямые регрессии.

Пример 4 . Найти выборочное уравнение прямой Y регрессии Y на X по данной корреляционной таблице.
Решение находим с помощью калькулятора.
Скачать
Пример №4

Пример 5 . С целью анализа взаимного влияния прибыли предприятия и его издержек выборочно были проведены наблюдения за этими показателями в течение ряда месяцев: X — величина месячной прибыли в тыс. руб., Y — месячные издержки в процентах к объему продаж.
Результаты выборки сгруппированы и представлены в виде корреляционной таблицы, где указаны значения признаков X и Y и количество месяцев, за которые наблюдались соответствующие пары значений названных признаков.
Решение.
Пример №5
Пример №6
Пример №7

Пример 6 . Данные наблюдений над двумерной случайной величиной (X, Y) представлены в корреляционной таблице. Методом наименьших квадратов найти выборочное уравнение прямой регрессии Y на X. Построить график уравнения регрессии и показать точки (x;y)б рассчитанные по таблице данных.
Решение.
Скачать решение

Пример 7 . Дана корреляционная таблица для величин X и Y, X- срок службы колеса вагона в годах, а Y — усредненное значение износа по толщине обода колеса в миллиметрах. Определить коэффициент корреляции и уравнения регрессий.

X / Y02712172227323742
03600000000
125108448200000
230506021550000
311133321323100
4055131372000
500121263210
60101002101
70011000100

Решение.
Скачать решение

Пример 8 . По заданной корреляционной таблице определить групповые средние количественных признаков X и Y. Построить эмпирические и теоретические линии регрессии. Предполагая, что между переменными X и Y существует линейная зависимость:

  1. Вычислить выборочный коэффициент корреляции и проанализировать степень тесноты и направления связи между переменными.
  2. Определить линии регрессии и построить их графики.

Скачать

Видео:Математика без Ху!ни. Уравнения прямой. Часть 2. Каноническое, общее и в отрезках.Скачать

Математика без Ху!ни. Уравнения прямой. Часть 2. Каноническое, общее и в отрезках.

Выборочное уравнение прямой линии регрессии

Рассмотрим выборочное уравнение прямой линии среднеквадратичной регрессии Y на X в виде

Выборочное уравнение прямой линии регрессии x на y имеет вид y 12 5, (7.3)

где Выборочное уравнение прямой линии регрессии x на y имеет вид y 12 5– угловой коэффициент прямой линии регрессии, который называют выборочным коэффициентом регрессии Y на X; он является оценкой коэффициента регрессии (раздел 4.4).

Подберём параметры Выборочное уравнение прямой линии регрессии x на y имеет вид y 12 5и b таким образом, чтобы точки Выборочное уравнение прямой линии регрессии x на y имеет вид y 12 5, Выборочное уравнение прямой линии регрессии x на y имеет вид y 12 5,…, Выборочное уравнение прямой линии регрессии x на y имеет вид y 12 5, построенные на плоскости XоY, лежали как можно ближе к прямой (7.3).

При использовании метода наименьших квадратов (МНК) смысл этого требования интерпретируется так: сумма квадратов отклонений должна быть минимальной. Под отклонением понимают разность Выборочное уравнение прямой линии регрессии x на y имеет вид y 12 5, Выборочное уравнение прямой линии регрессии x на y имеет вид y 12 5, где Выборочное уравнение прямой линии регрессии x на y имеет вид y 12 5– вычисленная по уравнению (7.3) ордината наблюдаемого значения Выборочное уравнение прямой линии регрессии x на y имеет вид y 12 5; Выборочное уравнение прямой линии регрессии x на y имеет вид y 12 5– наблюдаемая ордината, соответствующая Выборочное уравнение прямой линии регрессии x на y имеет вид y 12 5.

Запишем это требование в виде функции:

Выборочное уравнение прямой линии регрессии x на y имеет вид y 12 5

Выборочное уравнение прямой линии регрессии x на y имеет вид y 12 5.

Для отыскания минимума функции Выборочное уравнение прямой линии регрессии x на y имеет вид y 12 5приравняем нулю соответствующие частные производные

Выборочное уравнение прямой линии регрессии x на y имеет вид y 12 5;

Выборочное уравнение прямой линии регрессии x на y имеет вид y 12 5.

Выполнив преобразования, получим систему

Выборочное уравнение прямой линии регрессии x на y имеет вид y 12 5

Решив данную систему, найдём искомые параметры

Выборочное уравнение прямой линии регрессии x на y имеет вид y 12 5;

Выборочное уравнение прямой линии регрессии x на y имеет вид y 12 5. (7.4)

Аналогично можно найти выборочное уравнение прямой линии регрессии X на Y.

Выборочное уравнение прямой линии регрессии x на y имеет вид y 12 5. (7.5)

Пример. Найти уравнение прямой линии регрессии по данным наблюдений:

X1,001,503,004,505,00
Y1,251,401,501,752,25

Составляем расчётную таблицу:

Выборочное уравнение прямой линии регрессии x на y имеет вид y 12 5 Выборочное уравнение прямой линии регрессии x на y имеет вид y 12 5 Выборочное уравнение прямой линии регрессии x на y имеет вид y 12 5 Выборочное уравнение прямой линии регрессии x на y имеет вид y 12 5
1,001,251,001,250
1,501,402,252,100
3,001,509,004,500
4,501,7520,254,875
5,002,2525,0011,250
Выборочное уравнение прямой линии регрессии x на y имеет вид y 12 5 Выборочное уравнение прямой линии регрессии x на y имеет вид y 12 5 Выборочное уравнение прямой линии регрессии x на y имеет вид y 12 5 Выборочное уравнение прямой линии регрессии x на y имеет вид y 12 5

Находим неизвестные параметры из уравнения прямой линии регрессии:

Выборочное уравнение прямой линии регрессии x на y имеет вид y 12 5;

Выборочное уравнение прямой линии регрессии x на y имеет вид y 12 5.

Записываем искомое уравнение:

Выборочное уравнение прямой линии регрессии x на y имеет вид y 12 5.

Если данные наблюдений представлены в виде корреляционнной таблицы 6.1, то Выборочное уравнение прямой линии регрессии x на y имеет вид y 12 5можно вычислить по формуле

Выборочное уравнение прямой линии регрессии x на y имеет вид y 12 5. (7.6)

Умножим обе части равенства (7.6) на дробь Выборочное уравнение прямой линии регрессии x на y имеет вид y 12 5, получим формулу (6.3) для вычисления rв.

Выборочное уравнение прямой линии регрессии x на y имеет вид y 12 5. (7.7)

Отсюда уравнение (7.3) можно записать через rв:

Выборочное уравнение прямой линии регрессии x на y имеет вид y 12 5. (7.8)

Аналогично уравнение (7.5) примет вид

Выборочное уравнение прямой линии регрессии x на y имеет вид y 12 5. (7.9)

Выборочное уравнение нелинейной регрессии

Функции регрессии Y на X могут иметь вид, например, параболической корреляции второго порядка

Выборочное уравнение прямой линии регрессии x на y имеет вид y 12 5, (7.10)

параболической корреляции третьего порядка

Выборочное уравнение прямой линии регрессии x на y имеет вид y 12 5,

где A, B, C, D – неизвествные параметры.

Определить неизвестные параметры можно МНК. Для уравнения (7.9) неизвестные параметры A, B, C находят из решения системы линейных уравнений:

Выборочное уравнение прямой линии регрессии x на y имеет вид y 12 5

Пример. В. Е. Гмурман «Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике», стр. 276.

Элементы дисперсионного анализа

Общие сведения

Дисперсионный анализ применяют, чтобы установить:

— оказывает ли существенное влияние некоторый качественный фактор Выборочное уравнение прямой линии регрессии x на y имеет вид y 12 5, который имеет Выборочное уравнение прямой линии регрессии x на y имеет вид y 12 5уровней Выборочное уравнение прямой линии регрессии x на y имеет вид y 12 5на изучаемую величину Выборочное уравнение прямой линии регрессии x на y имеет вид y 12 5;

Выборочное уравнение прямой линии регрессии x на y имеет вид y 12 5

— являются ли однородными несколько совокупностей, т.к. однородные совокупности можно объединить в одну и тем самым получить о ней более полную информацию.

Суть дисперсионного анализасостоит в сравнении «факторной дисперсии» (т.е. межгрупповой), обусловленной воздействием фактора, и «остаточной дисперсии» (т.е. внутригрупповой), порождаемой случайными причинами по критерию Фишера-Снедекора.

Различают дисперсионный анализ:

однофакторный, если исследуется влияние одного фактора на изучаемую СВ;

многофакторный, если исследуется воздействие нескольких факторов.

Рассмотрим случай однофакторного дисперсионного анализа, когда на изучаемую величину Выборочное уравнение прямой линии регрессии x на y имеет вид y 12 5влияет только один фактор, который имеет Выборочное уравнение прямой линии регрессии x на y имеет вид y 12 5постоянных уровней.

Видео:Математика без Ху!ни. Уравнения прямой. Часть 1. Уравнение с угловым коэффициентом.Скачать

Математика без Ху!ни. Уравнения прямой. Часть 1. Уравнение с угловым коэффициентом.

6.7.2. Отыскание параметров выборочного уравнения прямой линии регрессии по сгруппированным данным

При большом числе испытаний одно и то же значение X может встретиться nx раз, одно и то ж значение У может встретиться ny раз и одна и та же пара чисел (x; у) может встретиться nxy раз,

причем обычно— объем выборки.

Поэтому данные наблюденийВыборочное уравнение прямой линии регрессии x на y имеет вид y 12 5Группируют, т. е. подсчитывают nx, ny, nxy. Все сгруппированные данные записывают в виде таблицы, которую называют корреляционной.

Если обе линии регрессии У на X и X на У — прямые, то корреляция является линейной.

Выборочное уравнение прямой линии регрессии У на X имеет вид:

Выборочное уравнение прямой линии регрессии x на y имеет вид y 12 5

Параметры pyx и В, которые определяются методом наименьших квадратов, имеют вид:

где yx — условная средняя; XВ и Ув — выборочные средние признаков X и У; —x и —у — выборочные средние квадратические отклонения; гВ — выборочный коэффициент корреляции.

Выборочное уравнение прямой линии регресии X на У имеет вид:

Выборочное уравнение прямой линии регрессии x на y имеет вид y 12 5

Считаем, что данные наблюдений над признаками X и У заданы в виде корреляционной таблицы с равноотстоящими вариантами.

Тогда переходим к условным вариантам:

Выборочное уравнение прямой линии регрессии x на y имеет вид y 12 5

где С1 — варианта признака X, имеющая наибольшую частоту; С 2 — варианта признака У, имеющая наибольшую частоту; h1 — шаг (разность между двумя соседними вариантами X); h2 — шаг (разность между двумя соседними вариантами У).

Тогда выборочный коэффициент корреляции

Выборочное уравнение прямой линии регрессии x на y имеет вид y 12 5

Величины u, v, su, sv могут быть найдены методом произведений, либо непосредственно по формулам

Выборочное уравнение прямой линии регрессии x на y имеет вид y 12 5

Зная эти величины, найдем параметры, входящие в уравнения регрессии, по формулам

Выборочное уравнение прямой линии регрессии x на y имеет вид y 12 5

12.1. Случайные события

12.1.1. В ящике находятся 6 одинаковых пар перчаток черного цвета и 4 одинаковых пары перчаток бежевого цвета. Найти вероятность того, что две наудачу извлеченные перчатки образуют пару.

Решение. Рассмотрим событие А — две извлеченные наудачу перчатки образуют пару; и гипотезы: B1 — извлечена пара перчаток черного цвета, B2 — извлечена пара перчаток бежевого цвета, B3 — извлеченные перчатки пару не образуют.

Вероятность гипотезы B1 по теореме умножения равна произведению вероятностей того, что первая перчатка черного цвета и вторая перчатка черного цвета, т. е.

Выборочное уравнение прямой линии регрессии x на y имеет вид y 12 5

Аналогично, вероятность гипотезы Bi равна:

Выборочное уравнение прямой линии регрессии x на y имеет вид y 12 5

Так как гипотезы B1, B2 и B3 составляют полную группу событий, то вероятность гипотезы B3 равна:

Выборочное уравнение прямой линии регрессии x на y имеет вид y 12 5

По формуле полной вероятности имеем:

Выборочное уравнение прямой линии регрессии x на y имеет вид y 12 5

где Pb (A) есть вероятность того, что пару образуют две черные перчатки и Pb1 (A) = 1; pB1 (A) — вероятность того, что пару образуют две бежевые перчатки и Pb2 (A) = 1; и, наконец, РВз( A) — вероятность того, что пару образуют перчатки разного цвета и

Выборочное уравнение прямой линии регрессии x на y имеет вид y 12 5

Таким образом, вероятность того, что две наудачу извлеченные перчатки образуют пару равнаВыборочное уравнение прямой линии регрессии x на y имеет вид y 12 5

12.1.2. В урне находятся 3 шара белого цвета и 5 шаров черного цвета. Наудачу по одному извлекают 3 шара и после каждого извлечения возвращают обратно в урну. Найти вероятность того, что среди извлеченных шаров окажется:

а) ровно два белых шара, б) не мене двух белых шаров.

Решение. Имеем схему с возвращением, т. е. каждый раз состав шаров не изменяется:

а) при извлечении трех шаров два из них должны быть белыми, а один черный. При этом черный может оказаться или первым, или вторым, или третьим. Применяя совместно теоремы сложения и умножения вероятностей, имеем:

Выборочное уравнение прямой линии регрессии x на y имеет вид y 12 5

б) вынуть не менее двух белых шаров означает, что белых шаров должно быть или два, или три:

Выборочное уравнение прямой линии регрессии x на y имеет вид y 12 5

12.1.3. В урне находятся 6 белых и 5 черных шаров. Три шара наудачу последовательно извлекаются без возвращения их в урну. Найти вероятность, что третий по счету шар окажется белым.

Решение. Если третий по счету шар должен быть белым, то первые два шара могут быть белыми, или белым и черным, или черным и белым, или черными, т. е. имеются четыре группы не-

совместных событий. Применяя к ним теорему умножения вероятностей, получим:

P = P1(5 • P2(5 • P3(5 + (P1(5 • Р2ч • P3(5 + P14 • P2(5 • P3(5 ) + Р1ч • Р2ч • P3(5 =

= A A 4 A A 5 A A 5 A A 6=540 = A

= П • 10 • 9 + И • 10 • 9 + И • 10 • 9 + И • 10 • 9 = 990 = IT

📽️ Видео

Аналитическая геометрия, 6 урок, Уравнение прямойСкачать

Аналитическая геометрия, 6 урок, Уравнение прямой

Корреляция: коэффициенты Пирсона и Спирмена, линейная регрессияСкачать

Корреляция: коэффициенты Пирсона и Спирмена, линейная регрессия

Видеоурок "Канонические уравнения прямой"Скачать

Видеоурок "Канонические уравнения прямой"

Видеоурок "Параметрические уравнения прямой"Скачать

Видеоурок "Параметрические уравнения прямой"

9 класс, 7 урок, Уравнение прямойСкачать

9 класс, 7 урок, Уравнение прямой

Уравнение линейной регрессии. Интерпретация стандартной табличкиСкачать

Уравнение линейной регрессии. Интерпретация стандартной таблички

Построение уравнения линейной регрессии методом наименьших квадратов.Скачать

Построение уравнения линейной регрессии методом наименьших квадратов.

Метод наименьших квадратов. Линейная аппроксимацияСкачать

Метод наименьших квадратов. Линейная аппроксимация

Как вычислить линейный коэффициент корреляции в MS Excel и построить уравнение регрессии?Скачать

Как вычислить линейный коэффициент корреляции в MS Excel  и построить уравнение регрессии?

Линейная регрессияСкачать

Линейная регрессия

Параметрические уравнения прямойСкачать

Параметрические уравнения прямой

Уравнения прямой на плоскости | Векторная алгебраСкачать

Уравнения прямой на плоскости | Векторная алгебра

Уравнение прямой.Скачать

Уравнение прямой.

ГЕОМЕТРИЯ 9 класс: Уравнение окружности и прямойСкачать

ГЕОМЕТРИЯ 9 класс: Уравнение окружности и прямой

Написать канонические и параметрические уравнения прямой в пространствеСкачать

Написать канонические и параметрические уравнения прямой в пространстве

Коэффициент корреляции, уравнение прямой регрессии, элементы математической статистикиСкачать

Коэффициент корреляции, уравнение прямой регрессии, элементы математической статистики

Как вычислить линейный коэффициент корреляции по таблице? Корреляционное поле и прямая регрессииСкачать

Как вычислить линейный коэффициент корреляции по таблице? Корреляционное поле и прямая регрессии
Поделиться или сохранить к себе: