Выбор начального приближения на сходимость метода зейделя при решении систем линейных уравнений (4 видео)

1.2.3. Метод Зейделя (метод Гаусса-Зейделя, метод последовательных замещений)

Метод Зейделя представляет собой некоторую модификацию метода простой итерации. Основная его идея заключается в том, что при вычислении (k+1)-го приближения неизвестной xi учитываются уже вычисленные ранее (k+1) – е приближения неизвестных x1, х2, .

В этом методе, как и в методе простой итерации, необходимо привести систему к виду (3), чтобы диагональные коэффициенты были максимальными по модулю, и проверить условия сходимости. Если условия сходимости не выполняются, то нужно произвести элементарные преобразования (см. п. 4). Пусть дана система из трех линейных уравнений. Приведем ее к виду (3). Выберем произвольно начальные приближения корней: х1(0), х2(0), х3(0), стараясь, чтобы они в какой-то мере соответствовали искомым неизвестным. За нулевое приближение можно принять столбец свободных членов, т. е. х(0) = b

(т. е. x1(0)=b1, x2(0)=b2, x3(0)=b3). Найдем Первое приближение х(1) по формулам:

Следует обратить внимание на особенность метода Зейделя, которая состоит в том, что полученное в первом уравнении значение х1(l) сразу же используется во втором уравнении, а значения х1(1), х2(1) – в третьем уравнении и т. д. То есть все найденные значения х1(1) подставляются в уравнения для нахождения хi+1(1) [6, 8].

Рабочие формулы для метода Зейделя для системы трех уравнений имеют следующий вид:

Запишем в общем виде для системы n-уравнений рабочие формулы:

Заметим, что теорема сходимости для метода простой итерации справедлива и для метода Зейделя.

Зададим определенную точность решения e, по достижении которой итерационный процесс завершается, т. е. решение продолжается до тех пор, пока не будет выполнено условие для всех уравнений: где i=1,2,3,…,n.

Пример №2. Методом Зейделя решить систему с точностью e = 10-3:

1. Приведем систему к виду:

2. В качестве начального вектора х(0) возьмем элементы столбца свободных членов, округлив их значения до двух знаков после запятой:

3. Проведем итерации методом Зейделя. При k = 1

При вычислении х2(1) используем уже полученное значение х1(1) =

При вычислении х3(1) используем значения х1(1) и х2(1):

Наконец, используя значения х1(1), х2(1), х3(1), получаем:

Аналогичным образом ведем вычисления при k=2 и k=3. При k= 2:

Найдем модули разностей значений при k = 2:

Они меньше заданного числа e, поэтому в качестве решения возьмем: x1 = 0,80006, x2 = 1,00002, x3 = 1,19999, x4 = 1,40000.

Содержание

Итерационные методы решения системы линейных алгебраических уравнений
Общие сведения об итерационных методах или методе простой итерации
Метод Якоби
Метод Зейделя
Метод простой итерации
Методы Зейделя и простой итерации
Методы решения систем линейных алгебраических уравнений
Метод простых итераций
Готовые работы на аналогичную тему
Метод Зейделя
📽️ Видео

Видео:Метод Зейделя Пример РешенияСкачать

Итерационные методы решения системы линейных алгебраических уравнений

В данной статье мы расскажем общие сведения об итерационных методах решения СЛАУ, познакомим с методом Зейделя и Якоби, а также приведем примеры решения систем линейных уравнений при помощи данных методов.

Видео:Решение систем линейных уравнений, урок 5/5. Итерационные методыСкачать

Общие сведения об итерационных методах или методе простой итерации

Метод итерации — это численный и приближенный метод решения СЛАУ.

Суть: нахождение по приближённому значению величины следующего приближения, которое является более точным. Метод позволяет получить значения корней системы с заданной точностью в виде предела последовательности некоторых векторов (итерационный процесс). Характер сходимости и сам факт сходимости метода зависит от выбора начального приближения корня x 0 .

Рассмотрим систему A x = b .

Чтобы применить итерационный метод, необходимо привести систему к эквивалентному виду x = B x + d . Затем выбираем начальное приближение к решению СЛАУ x ( 0 ) = ( x 1 0 , x 2 0 , . . . x m 0 ) и находим последовательность приближений к корню.

Для сходимости итерационного процесса является достаточным заданное условие В 1 . Окончание итерации зависит от того, какой итерационный метод применили.

Видео:Метод простой итерации Пример РешенияСкачать

Метод Якоби

Метод Якоби — один из наиболее простых методов приведения системы матрицы к виду, удобному для итерации: из 1-го уравнения матрицы выражаем неизвестное x 1 , из 2-го выражаем неизвестное x 2 и т.д.

Результатом служит матрица В , в которой на главной диагонали находятся нулевые элементы, а все остальные вычисляются по формуле:

b i j = — a i j / a i i , i , j = 1 , 2 . . . , n

Элементы (компоненты) вектора d вычисляются по следующей формуле:

d i = b i / a i i , i = 1 , 2 , . . . , n

Расчетная формула метода простой итерации:

x ( n + 1 ) = B x ( x ) + d

Матричная запись (координатная):

x i ( n + 1 ) = b i 1 x n 1 + b i 2 x ( n ) 2 + . . . + b

Критерий окончания в методе Якоби:

x ( n + 1 ) — x ( n ) ε 1 , где ε 1 = 1 — B B ε

В случае если B 1 / 2 , то можно применить более простой критерий окончания итераций:

x ( n + 1 ) — x ( n ) ε

Решить СЛАУ методом Якоби:

10 x 1 + x 2 — x 3 = 11 x 1 + 10 x 2 — x 3 = 10 — x 1 + x 2 + 10 x 3 = 10

Необходимо решить систему с показателем точности ε = 10 — 3 .

Приводим СЛАУ к удобному виду для итерации:

x 1 = — 0 , 1 x 2 + 0 , 1 x 3 + 1 , 1 x 2 = — 0 , 1 x 1 + 0 , 1 x 3 + 1 x 3 = 0 , 1 x 1 — 0 , 1 x 2 + 1

Выбираем начальное приближение, например: x ( 0 ) = 1 , 1 1 1 — вектор правой части.

В таком случае, первая итерация имеет следующий внешний вид:

x 1 ( 1 ) = — 0 , 1 × 1 + 0 , 1 × 1 + 1 , 1 = 1 , 1 x 2 ( 1 ) = — 0 , 1 × 1 , 1 + 0 , 1 + 1 = 0 , 99 x 3 ( 1 ) = 0 , 1 × 1 , 1 — 0 , 1 × 1 + 1 = 1 , 01

Аналогичным способом вычисляются приближения к решению:

x ( 2 ) = 1 , 102 0 , 991 1 , 011 , x ( 3 ) = 1 , 102 0 , 9909 1 , 0111 , x ( 4 ) = 1 , 10202 0 , 99091 1 , 01111

Находим норму матрицы В , для этого используем норму B ∞ .

Поскольку сумма модулей элементов в каждой строке равна 0,2, то B ∞ = 0 , 2 1 / 2 , поэтому можно вычислить критерий окончания итерации:

x ( n + 1 ) — x ( n ) ε

Далее вычисляем нормы разности векторов:

x ( 3 ) — x ( 2 ) ∞ = 0 , 002 , x ( 4 ) — x ( 3 ) ∞ = 0 , 00002 .

Поскольку x ( 4 ) — x ( 3 ) ∞ ε , то можно считать, что мы достигли заданной точности на 4-ой итерации.

x 1 = 1 , 102 ; x 2 = 0 , 991 ; x 3 = 1 ,01 1 .

Видео:10 Численные методы решения нелинейных уравненийСкачать

Метод Зейделя

Метод Зейделя — метод является модификацией метода Якоби.

Суть: при вычислении очередного ( n + 1 ) — г о приближения к неизвестному x i при i > 1 используют уже найденные ( n + 1 ) — е приближения к неизвестным x 1 , x 2 , . . . , x i — 1 , а не n — о е приближение, как в методе Якоби.

x i ( n + 1 ) = b i 1 x 1 ( n + 1 ) + b i 2 x 2 ( n + 1 ) + . . . + b i , i — 1 x i — 2 ( n + 1 ) + b i , i + 1 x i + 1 ( n ) +

+ . . . + b i m x m ( n ) + d i

За условия сходимости и критерий окончания итераций можно принять такие же значения, как и в методе Якоби.

Решить СЛАУ методом Зейделя. Пусть матрица системы уравнений А — симметричная и положительно определенная. Следовательно, если выбрать начальное приближение, метод Зейделя сойдется. Дополнительных условий на малость нормы некоторой матрицы не накладывается.

Решим 3 системы уравнений:

2 x 1 + x 2 = 3 x 1 — 2 x 2 = 1 , x 1 + 2 x 2 = 3 2 x 1 — x 2 = 1 , 2 x 1 — 0 , 5 x 2 = 3 2 x 1 + 0 , 5 x 2 = 1

Приведем системы к удобному для итерации виду:

x 1 ( n + 1 ) = — 0 , 5 x 2 ( n ) + 1 , 5 x 2 ( n + 1 ) = 0 , 5 x 1 ( n + 1 ) + 0 , 5 , x 1 ( n + 1 ) = — 2 x 2 ( n ) + 3 x 2 ( n + 1 ) = 2 x 1 ( n + 1 ) — 1 , 2 x 1 — 0 , 5 x 2 = 3 2 x 1 + 0 , 5 x 2 = 1 .

Отличительная особенность, условие сходимости выполнено только для первой системы:

Вычисляем 3 первых приближения к каждому решению:

1-ая система: x ( 0 ) = 1 , 5 — 0 , 5 , x ( 1 ) = 1 , 75 0 , 375 , x ( 2 ) = 1 , 3125 0 , 1563 , x ( 3 ) = 1 , 4219 0 , 2109

Решение: x 1 = 1 , 4 , x 2 = 0 , 2 . Итерационный процесс сходится.

2-ая система: x ( 0 ) = 3 — 1 , x ( 1 ) = 5 9 , x ( 2 ) = — 15 — 31 , x ( 3 ) = 65 129

Итерационный процесс разошелся.

Решение: x 1 = 1 , x 2 = 2

3-я система: x ( 0 ) = 1 , 5 2 , x ( 1 ) = 2 — 6 , x ( 2 ) = 0 2 , x ( 3 ) = 0 2

Итерационный процесс зациклился.

Решение: x 1 = 1 , x 1 = 2

Видео:9 Метод Зейделя Ручной счет Решение системы линейных уравнений СЛАУСкачать

Метод простой итерации

Если А — симметричная и положительно определенная, то СЛАУ приводят к эквивалентному виду:

x = x — τ ( A x — b ) , τ — итерационный параметр.

Расчетная формула имеет следующий внешний вид:

x ( n + 1 ) = x ( n ) — τ ( A x n — b ) .

Здесь B = E — τ A и параметр τ > 0 выбирают таким образом, чтобы по возможности сделать максимальной величину B 2 .

Пусть λ m i n и λ m a x — максимальные и минимальные собственные значения матрицы А .

τ = 2 / ( λ m i n + λ m a x ) — оптимальный выбор параметра. В этом случае B 2 принимает минимальное значение, которое равняется ( λ m i n + λ m a x ) / ( λ m i n — λ m a x ) .

Видео:2.2 Итерационные методы решения СЛАУ (Якоби, Зейделя, релаксации)Скачать

Методы Зейделя и простой итерации

Вы будете перенаправлены на Автор24

Методы Зейделя и простой итерации — это методы решения систем линейных алгебраических уравнений при помощи итераций.

Видео:Лекция 5, Итерационные методы решения систем линейных уравненийСкачать

Методы решения систем линейных алгебраических уравнений

Методы решения систем линейных алгебраических уравнений подразделяются на прямые, являющиеся точными, и итерационные, которые являются приближёнными. Прямые методы базируются на исполнении не бесконечного количества арифметических действий. В качестве примера таких методов можно привести метод обратной матрицы, метод Гаусса, метод Гаусса-Жордана, метод прогонки для трех диагональных матриц и так далее. Сущность итерационных методов состоит в том, чтобы путём последовательных приближений найти решение системы с требуемой точностью. Наиболее распространёнными итерационными методами считаются метод простых итераций и метод Зейделя. Они фактически являются эквивалентными, но конечно имеют и отличия.

Данные предполагают наличие больших расчетных объемов, однако это не мешает им обладать достаточно простой структурой. Как отмечалось выше, в итерационных методах за счет предыдущих приближений могут быть получены новые приближения, и, в случае удовлетворения системой условию сходимости, эти приближения имеют всё меньше отличий от аналитического решения.

В итерационных методах обычно присутствуют следующие основные этапы:

Приведение исходной системы вида $ ¯A * ¯x = ¯b $ к итерационной форме.
Осуществление проверки условия сходимости.
Реализация решения системы выбранным методом.

Видео:Решение слау методом итераций. Метод простых итераций c++.Скачать

Метод простых итераций

Для систем общего вида должно выполняться тождество m = n, где m — это число уравнений в системе, а n — это количество неизвестных.

То есть, нет смысла в решении не доопределенных (m меньше n) и переопределенных (m больше n) систем уравнений, так как их можно свести за счёт элементарных алгебраических преобразований к нормальным (m=n) системам линейных уравнений. Иначе говоря, когда присутствует «ненормальная» система уравнений, то перед началом использования метода простых итераций, следует преобразовать её в нормальную.

Готовые работы на аналогичную тему

Систему линейных уравнений можно записать в матричной форме, где:

A является матрицей коэффициентов.
b является вектором свободных членов.
x является вектором неизвестных.

В качестве примера рассмотрим следующую систему:

Рисунок 1. Система уравнений. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Представим её в матричной форме:

Рисунок 2. Система уравнений в матричной форме. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Первый этап итерационного метода заключается в преобразовании исходной системы, то есть матрицы А и вектора b в итерационную форму, где С и d являются итерационными формами исходных данных.

Преобразование в итерационный вид может быть реализована по следующим формулам:

$c_ = -a_ / a_$ $D_i = b_i / a_$ где i, j = 1,2,3…

Необходимо заметить, что диагональные компоненты новой матрицы обнуляются, хотя должны быть равны -1. В результате для рассматриваемой системы получается:

Рисунок 3. Матрица. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Если выполнять преобразование исходной системы к итерационной форме, то она не удовлетворит условию сходимости:

Рисунок 4. Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

То есть отдельные элементы матрицы C оказываются больше единицы. А по условию сходимости, приведённому выше, очевидно, что, если хотя бы один элемент будет больше единицы, то условие не выполнится, и решение системы путем простых итераций найти невозможно. Прежде чем осуществлять этапы итерационных методов, следует привести исходную систему к виду, в котором все диагональные компоненты будут максимальными по модулю в своих строках. Лишь при этом виде матрицы коэффициентов будет выполняться условие сходимости.

Очевидно, что в рассматриваемом примере третий элемент третьей строки по модулю больше других. Его следует оставить неизменным. Необходимо поменять местами первую и вторую строки, а далее умножить строку, ставшую первой, на минус единицу и сложить её с новой второй строкой. В результате получится:

Рисунок 5. Матрица. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Теперь при подстановке в формулы итерационная форма получится верной и второй этап, то есть проверка условия сходимости, может быть успешно пройден. Если же система не проходит эту проверку, то приближения не будут сходиться к реальному решению, и ответ получен не будет. Если же условие сходимости исполняется, то стратегия метода простых итераций может быть применена и можно переходить к третьему этапу. В конечном счете будет получена система линейных алгебраических уравнений в итерационной форме:

Рисунок 6. Система линейных уравнений. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Здесь $x_1, x_2, x_3$ являются приближениями, которые получаются на текущем шаге итерации за счет приближений, найденных на предыдущей итерации — $x^0_1, x^0_2, x^0_3$.

Итерационный процесс по методу простых итераций продолжается до тех пор, пока вектор приближений не придёт к необходимой точности, то есть, пока не исполнится условие выхода:

$Max|x_i – x^0_i|$ ∠ $ε$

Здесь ε является требуемой точностью.

Видео:Система линейных уравнений. Общее решение. Метод ГауссаСкачать

Метод Зейделя

Как уже отмечалось выше, метод простых итераций и метод Зейделя, по своей сути, являются идентичными. Разница заключается в том, что в методе Зейделя вычисление вектора приближений на текущей итерации выполняется с применением данных, которые были получены ни только на предыдущей, но и на исполняемой итерации. Это означает, что элемент x1 определяется через x2 и x3, величины которых были рассчитаны на предыдущей итерации, а последующий элемент x2 уже рассчитывается на основании x1, найденного именно на текущей итерации, и x3, вычисленного на предыдущей. Иначе говоря, данные в методе Зейделя для определения вектора X используются в процессе расчётов по мере их вычисления. А в методе простых итераций применяются данные, которые были получены именно на предыдущей итерации.

На основании этого отличия можно сделать вывод о том, что метод Зейделя имеет лучшую сходимость в сравнении с методом простых итераций, поскольку для него характерна тенденция применения приближений, которые получаются по ходу процесса и являются наиболее близкими к конечному результату.

Ниже представлена программная реализация метода Зейделя:

Procedure Zeidel(C:array of array of real;d:array of real;n:integer);