Вы проводите урок по теме корни квадратного уравнения опишите две типичные ошибки

Как избежать типичных ошибок, возникающих при выполнении заданий ЕГЭ по математике

Дземяшкевич Е.В., преподаватель математики
(Факультет довузовской подготовки ТулГУ)

Чтобы подготовиться к ЕГЭ по математике, необходимо уже сегодня перестать комплексовать и паниковать перед предстоящим единым экзаменом. Уже сейчас можно сказать, что на ЕГЭ можно получить вполне приличное количество баллов: время для форсированной подготовки еще не потеряно. Конечно, ЕГЭ — это не легко и просто, но и не безнадежно. Важно, чтобы школьник сам честно сформулировал для себя планируемый результат обучения. Это вовсе не означает, что выпускник, наметивший себе «3», может получить только «3» и не более, напротив, ориентируясь на намеченный результат, может и должен получить на один балл выше. Ученики, ориентированные на получение «4», должны помнить, что если постараться, то можно получить и «5».

Но не всегда так получается. Возможны ошибки при решении заданий, недостатки при подготовке, которые приводят к низким результатам ЕГЭ.

Для устранения недостатков в подготовке учеников к ЕГЭ по математике, необходимо совершенствовать процесс преподавания: активнее включать в учебный процесс идеи дифференцированного обучения; использовать практические разработки по индивидуализации обучения (создание индивидуальных модулей обучения), учитывать рекомендации психологов по организации усвоения и пр.).

Поговорим подробнее об ошибках, которые возможны при выполнении заданий ЕГЭ. Рассмотрим важные темы, встречающиеся на экзамене по математике.

ТемаОшибкиРекомендации
преобразование иррациональных выраженийПри кажущейся простоте этого задания, решаемость его далека от 100%. Сложно заставить себя при выполнении этих заданий сделать проверку. Казалось бы, все свойства действий с корнями просты. Вроде всё просто. Только не все выпускники могут вычислить или, не обращая внимания на степень корня, извлекают корень квадратный.Не торопясь, выполнить все действия на черновике (обязательно записать все этапы решения).
преобразование показательных выраженийВыполнить проверку показательного выражения сложноНе торопясь, выполнить все действия на черновике (обязательно записать все этапы решения);
можно составить аналогичное задание и попытаться найти закономерность.
преобразование логарифмических выраженийОсобенность темы заключается в том, что большинство одиннадцатиклассников узнают о логарифмах только в ноябре-декабре. Времени на «присвоение знаний» нет. Многие выпускники бояться решать задания с логарифмами, несмотря на то, что все свойства логарифмов они знают. Самое сложное при выполнении этих заданий – выполнить проверку.Не торопясь, выполнить все действия на черновике (обязательно записать все этапы решения).
линейные уравненияРешают все, правда, если a 0. Как только уравнение решается автоматически, возможны ошибки. Например, . Что это? Невнимательность? Досадная ошибка?При решении линейных уравнений никто не застрахован от ошибок. Обязательно выполняем проверку.
квадратные уравненияОчень большой процент ошибок приходится на квадратные уравнения. Ошибки начинаются с вычисления дискриминанта. В формулах для вычисления корней есть ошибки для –b и 2a. Не стоит упоминать про формулу «четного коэффициента» — много ошибок, особенно у сильных учеников. Важно повторить теорему Виета.Не стоит пренебрегать проверкой корней с помощью теоремы Виета или подстановкой: она занимает меньше времени, чем полная проверка всего решения сложного задания.
дробно-рациональные уравненияШкольники решают очень тяжело. Серьезные проблемы возникают при решении такого уравнения: даже записывая такое формальное условие- знаменатель не равен нулю – они о нем тут же забывают.Чтобы избежать многих ошибок, проверка нужна обязательно: подстановка и удовлетворение условию «знаменатель не равен нулю». Обязательно включать в каждую домашнюю работу хотя бы одно задание на решение дробно рационального уравнения
рациональные неравенстваЛинейные: чаще всего при делении на отрицательное число, неравенство вида:

&#169 Факультет довузовской подготовки Тульского государственного университета

300012, город Тула, проспект Ленина, 84, кор. 8, 3-й учебный корпус ТулГУ

(4872) 25-46-83, 25-46-84, 717-535

Тульский государственный университет

300012, город Тула, проспект Ленина, 92

(4872) 33-24-10, 35-34-44

Приемная комиссия ТулГУ: (4872) 332-332

Для того, чтобы мы могли качественно предоставить Вам услуги, мы используем cookies, которые сохраняются на Вашем компьютере (сведения о местоположении; ip-адрес; источник, откуда пришел на сайт пользователь, эта же информация используется для обработки статистических данных использования сайта посредством интернет-сервисов Google Analytics и Яндекс.Метрика). Продолжая использовать сайт, Вы соглашаетесь на использовании cookies. Отключить cookies Вы можете в настройках своего браузера.

Видео:Формула корней квадратного уравнения. Алгебра, 8 классСкачать

Формула корней квадратного уравнения. Алгебра, 8 класс

Лист продвижения по отработке типичных ошибок при подготовке к ОГЭ по математике в 9 классе по теме «Решение квадратных уравнений».

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Рабочие листы и материалы для учителей и воспитателей

Более 300 дидактических материалов для школьного и домашнего обучения

Лист продвижения по теме «Решение квадратных уравнений»

Отработка типичных ошибок допускаемых при решении квадратных уравнений

Кодификаторы проверяемых элементов содержания и требований к уровню подготовки обучающихся.

Проверяемые элементы содержания

Код проверяемого элемента

Проверяемые элементы содержания

Квадратное уравнение. Формула корней квадратного уравнения. Теорема Виета

Решение уравнений, сводящихся к квадратным алгебраическими преобразованиями и подстановкой

Проверяемые требования к уровню подготовки

Проверяемые элементы содержания

Метапред метный результат

Код проверяемого требования

Проверяемые предметные требования к результатам обучения

Овладение символьным языком алгебры, приемами выполнения тождественных преобразований выражений, решения уравнений, систем уравнений, неравенств и систем неравенств; умения моделировать реальные ситуации на языке алгебры, исследовать построенные модели с использованием аппарата алгебры, интерпретировать полученный результат

Решать линейные, квадратные уравнения и рациональные уравнения, сводящиеся к ним, системы двух линейных

уравнений и несложные нелинейные системы

Планируемые результаты освоения раздела «Квадратные уравнения»

определение квадратного уравнения (полного, неполного, приведенного), биквадратного уравнения

определять вид квадратного уравнения

формулу корней квадратного уравнения

записать квадратное уравнение в общем виде

вторую формула корней квадратного уравнения

определять коэффициенты квадратного уравнения

определение и формулу нахождения дискриминанта

находить дискриминант, определять число корней квадратного уравнения в зависимости от дискриминанта

теорему Виета и обратную ей теорему

не приведённое квадратное уравнение преобразовывать в приведённое

алгоритмы решения неполных квадратных уравнений и полных квадратных уравнений

решать квадратные уравнения по формуле корней квадратного уравнения

формулу разложения квадратного трехчлена

распознавать неполные квадратные уравнения и решать их, используя соответствующие приёмы

алгоритм решения биквадратных уравнений

использовать теорему Виета и обратную ей теорему для отыскания корней (подбором) и для проверки корней

выполнять разложение на множители квадратного трехчлена

составлять квадратное уравнение по условию задачи и решать текстовые задачи

решать биквадратные уравнения

свободно владеть соответствующей терминологией

осознанно выбирать наиболее эффективные способы решения учебных и познавательных задач

использовать знаково-символические средства и модели при решении учебно-практических задач

Лист продвижения по теме «Решение квадратных уравнений»

9 класс (отработка типичных ошибок)

определять вид квадратного уравнения (полное, неполное, приведенное)

определять коэффициенты квадратного уравнения

находить дискриминант, определять число корней квадратного уравнения в зависимости от дискриминанта

решать квадратные уравнения по формуле корней квадратного уравнения

распознавать неполные квадратные уравнения и решать их, используя соответствующие приёмы

не приведённое квадратное уравнение преобразовывать в приведённое

использовать теорему Виета и обратную ей теорему

свободно владеть соответствующей терминологией

осознанно выбирать наиболее эффективные способы решения учебных и познавательных задач

«-» — не усвоил, не могу выполнить

«!» — сомневаюсь, нужна тренировка

Вы проводите урок по теме корни квадратного уравнения опишите две типичные ошибки

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

  • Сейчас обучается 696 человек из 76 регионов

Вы проводите урок по теме корни квадратного уравнения опишите две типичные ошибки

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

  • Сейчас обучается 858 человек из 78 регионов

Вы проводите урок по теме корни квадратного уравнения опишите две типичные ошибки

Курс повышения квалификации

Педагогическая деятельность в контексте профессионального стандарта педагога и ФГОС

  • Сейчас обучается 46 человек из 20 регионов

«Мотивация здорового образа жизни. Организация секций»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

  • Для всех учеников 1-11 классов
    и дошкольников
  • Интересные задания
    по 16 предметам

Вы проводите урок по теме корни квадратного уравнения опишите две типичные ошибки Вы проводите урок по теме корни квадратного уравнения опишите две типичные ошибки

«Как закрыть гештальт: практики и упражнения»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Видео:Как разобраться в корнях ? Квадратный корень 8 класс | Математика TutorOnlineСкачать

Как разобраться в корнях ? Квадратный корень 8 класс | Математика TutorOnline

Дистанционные курсы для педагогов

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 843 580 материалов в базе

Материал подходит для УМК

Вы проводите урок по теме корни квадратного уравнения опишите две типичные ошибки

«Алгебра», Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др.

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Другие материалы

  • 09.12.2020
  • 173
  • 12

Вы проводите урок по теме корни квадратного уравнения опишите две типичные ошибки

  • 09.12.2020
  • 137
  • 0
  • 09.12.2020
  • 111
  • 0

Вы проводите урок по теме корни квадратного уравнения опишите две типичные ошибки

  • 09.12.2020
  • 123
  • 0

Вы проводите урок по теме корни квадратного уравнения опишите две типичные ошибки

  • 09.12.2020
  • 165
  • 2

Вы проводите урок по теме корни квадратного уравнения опишите две типичные ошибки

  • 09.12.2020
  • 88
  • 2

Вы проводите урок по теме корни квадратного уравнения опишите две типичные ошибки

  • 09.12.2020
  • 109
  • 3

Вы проводите урок по теме корни квадратного уравнения опишите две типичные ошибки

  • 09.12.2020
  • 170
  • 9

«Учись, играя: эффективное обучение иностранным языкам дошкольников»

Свидетельство и скидка на обучение
каждому участнику

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

  • 09.12.2020 265
  • DOCX 21.9 кбайт
  • 27 скачиваний
  • Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Караваева Юлия Геннадьевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

Вы проводите урок по теме корни квадратного уравнения опишите две типичные ошибки

  • На сайте: 6 лет и 9 месяцев
  • Подписчики: 0
  • Всего просмотров: 2646
  • Всего материалов: 4

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Видео:Решение квадратных уравнений. Дискриминант. 8 класс.Скачать

Решение квадратных уравнений. Дискриминант. 8 класс.

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Вы проводите урок по теме корни квадратного уравнения опишите две типичные ошибки

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Вы проводите урок по теме корни квадратного уравнения опишите две типичные ошибки

Инфофорум о буллинге в школе: итоги и ключевые идеи

Время чтения: 6 минут

Вы проводите урок по теме корни квадратного уравнения опишите две типичные ошибки

Минпросвещения рекомендует школьникам сдавать телефоны перед входом в школу

Время чтения: 1 минута

Вы проводите урок по теме корни квадратного уравнения опишите две типичные ошибки

С 1 сентября в российских школах будут исполнять гимн России

Время чтения: 1 минута

Вы проводите урок по теме корни квадратного уравнения опишите две типичные ошибки

Госдума рассматривает проект о регулировании «продленок» в школах

Время чтения: 1 минута

Вы проводите урок по теме корни квадратного уравнения опишите две типичные ошибки

Эвакуированные в Россию из ДНР и ЛНР дети смогут поступить в вузы по квоте

Время чтения: 1 минута

Вы проводите урок по теме корни квадратного уравнения опишите две типичные ошибки

Российские школьники начнут изучать историю с первого класса

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Видео:5 способов решения квадратного уравнения ➜ Как решать квадратные уравнения?Скачать

5 способов решения квадратного уравнения ➜ Как решать квадратные уравнения?

Трудности при изучении темы « Квадратные уравнения» в 8 классе.

Вы проводите урок по теме корни квадратного уравнения опишите две типичные ошибки

Трудности при изучении темы « Квадратные уравнения» в 8 классе. Традиционные ошибки, допускаемые учащимися при изучении этой темы.

Акулова О.Н., учитель математики высшей категории МАОУ «СОШ №7» г. Гая Оренбургской области

Прежде, чем приступить к изучению данной темы, мы должны знать трудности изучения темы и те традиционные ошибки, которые допускают учащиеся при изучении данной темы.

Во первых, ученики часто применяют нерациональные приемы решения и излишне подробно записывают процесс преобразования данного уравнения к простейшему виду. Выучив формулу решения полного квадратного уравнения, учащиеся, нередко, применяют ее и в случае решения квадратных уравнений с четным коэффициентом при неизвестном в первой степени. Таким образом, большее внимание в процессе обучения следует уделять рациональным способам вычисления корней.

Наиболее часто встречающиеся ошибки в работах учеников 8-го класса при решении квадратных уравнений, относятся к операциям с буквенными коэффициентами. На вопрос, что называется коэффициентом, получаем один ответ: числовой множитель, стоящий перед буквенным выражением. Этот факт подтверждает, что при оперировании с буквами ученики 8-го класса не всегда видят их конкретный смысл. Если бы ученики были приучены контролировать свою работу, они придавали (хотя бы мысленно) численные значения буквам и сами вскрывали свои ошибки. Следовательно, при обучении большее внимание следует обращать на нахождение числовых значений алгебраических выражений и на аналогию в выполнении алгебраических и арифметических действий; тем самым, учащиеся будут привыкать смотреть на буквенное выражение не только как на объект для тождественных преобразований, но и как на функцию входящих в него букв.

Теорема Виета при изучении квадратных урав­ нений является наиболее сложной темой. Нередко ее смысл учащиеся усваивают формально и не мо­ гут применить теорему на практике. Для проверки понимания теоремы и знаний по данной теме, ре­ комендуется предлагать следующие обучающие- воп­ росы.

Известно, что сумма двух искомых чисел и их произведение — целые числа. Могут ли эти искомые числа быть дробными? Объясните на примерах.

Известно, что сумма и произведение корней квадратного уравнения — целые числа. Могут ли корни этого уравнения быть дробными числами?
Объясните на примерах.

Известно, что сумма корней квадратного урав нения (или сумма двух чисел) — число дробное, а произведение этих чисел — число целое. Могут ли
корни этого уравнения быть целыми числами?

Известно, что сумма корней и их произведе ние — числа дробные. Могут ли корни данного урав­ нения быть целыми числами. Приведите примеры для различных случаев.

Дано полное квадратное уравнение неприведенного вида, свободный член и коэффициенты которого не имеют общего множителя. Какими числами мо­жет выражаться сумма и произведение его корней? Приведите примеры неприведенных полных квадрат­ ных уравнений для случая:

а)когда и сумма, и произведение их корней выра­ жаются дробными числами;

б)когда только сумма или только произведение выражается дробным числом.

Могут ли в указанных случаях оба корня быть целыми?

Изучая ошибки по рассматриваемой теме, мы пришли к выводу, что теорему Виета целесообразно изучать индуктивным путем, исходя из рассмотрения приведен­ ного квадратного уравнения вида x 2 +рх+ q = 0. Затем перейти к рассмотрению этого вопроса для неприве денного квадратного уравнения вида ах 2 + b х + с = 0 и установить соотношение (- b / a )= p и ( c / a )= q

Исследование корней квадратного уравнения по его дискриминанту и коэффициентам, исследование вопроса, будут ли корни данного квадратного уравне­ ния действительными, различными или равными или среди действительных чисел нет корня данного урав­ нения, не затрудняет учащихся. Обычно, допускае­ мая ошибка состоит в том, что за дискриминант при­ нимают не подкоренное выражение, а квадратный корень из дискриминанта, то есть считают, что D =√( b 2 -4 ac ) или D 1 =√(( b /2) 2 q ) при исследовании корней уравнения школьники часто применяют не­ рациональный прием, который состоит в том, что для ответа на вопросы: будут ли корни данного квадратного уравнения действительными числами, будут ли они различны или равны, учащиеся вычисляют дис­криминант, хотя достаточно только установить его
знак. Заметим еще, что не всегда учащиеся умеют самостоятельно указать квадратное уравнение, заве­ домо имеющее действительные корни без нахождения числовой величины его дискриминанта. Только после приведения нескольких аналогичных примеров квадратных уравнений с отрицательным свободным членом и наводящего вопроса, учащиеся могут сделать вывод, что в этих случаях всегда D > 0 (сказыва­ется недостаточный навык вычитания отрицательного числа). При определении знаков корней квадратного уравнения не всегда можно получить полное, последова­ тельное, доведенное до логического конца объясне­ ние процесса исследования без наводящих (и даже подсказывающих) вопросов учителя.

Четкость речи, как известно, связана с осознанно­ стью соответствующей мысли. Поэтому при объясне­нии данного вопроса учитель должен дать четкий об­ разец рассуждений. Прежде всего надо указать, что о знаках корней можно говорить лишь тогда, когда они существуют (во множестве действительных чисел).

Надо убедиться в неотрицательности дискриминан­та, причем для этого не следует доводить до конца вычисления, достаточно убедиться, что он не отрица­ телен (в случае, когда свободный член квадратного уравнения отрицателен, а коэффициент при х 2 поло­ жителен, не надо вычислять дискриминант — он по­ложителен). Затем рассмотреть на примерах все че­тыре возможных случая: оба корня уравнения отри­цательные, положительные, один из корней отрица­ тельный, положительный. Выводы следует оформить таблицей.

Вопрос об оперировании с абсолютными величи­ нами остается слабым местом в знаниях учащихся 8-го класса. Особое внимание надо обратить на тот факт, что сравнение абсолютных величин корней не легко усваивается школьниками. Следует лишний раз подчеркнуть, что, например, число может быть запи­сано в виде | + 6 |; + 6; | — 6 |; 6. Для достижения хо­ роших результатов можно рекомендовать систему уп­ ражнений с использованием наглядности.

Расположите в порядке возрастания (убывания) ряд чисел, среди которых имеются положительные, отрицательные числа и нуль. Покажите на числовой прямой числа : — 2,5; 4; — 3; + 2; — 0,1; 1/2; -3/4; — 1/3.

Расположите в порядке возрастания или убы­ вания абсолютные величины тех же чисел. Сделайте выводы.

Найдите сумму, разность, произведение, част ное абсолютных величин двух чисел, если компонен­ тами действий служат различные действительные числа в различных комбинациях, не исключая и нуля.

Составление квадратного уравнения по формуле х 1 )(хх 2 )=0 подготавливает учеников к даль­ нейшему изучению теории алгебраических уравнений. Уже первые примеры на квадратные уравнения- уча­щиеся решают разложением левой его части на ли­нейные множители, делают необходимые выводы и устанавливают связи между различными вопросами одной и той же темы.

К изучению данного учебного материала учащихся следует готовить, начиная с 5-го класса:

При изучении квадрата числа, натуральной степени учащиеся выполняли такие задания: Найти значение выражения D = b 2 -4 ac , если a =2, b =5, c =4. При изучении десятичных дробей, обыкновенных дробей, отрицательных чисел – a , b , c меняются.

Знание квадратов натуральных чисел от 1 до 20 нужно проверять на протяжении всех лет обучения математики.

К работе по схеме учащиеся готовятся, начиная с устного счета, по цепочке, с указанием порядка действий, с помощью стрелок, по элементарным программам при работе с микрокалькулятором, при прохождении многих тем учащиеся учатся выполнять те, или другие преобразования по алгоритму. У учащихся должны быть отработаны навыки решения линейных уравнений.

🔥 Видео

ТЕОРЕМА ВИЕТА ЗА 2 МИНУТЫСкачать

ТЕОРЕМА ВИЕТА ЗА 2 МИНУТЫ

Квадратные уравнения от «А» до «Я». Классификация, решение и теорема Виета | МатематикаСкачать

Квадратные уравнения от «А» до «Я». Классификация, решение и теорема Виета | Математика

Решение биквадратных уравнений. 8 класс.Скачать

Решение биквадратных уравнений. 8 класс.

8 класс, 25 урок, Формула корней квадратного уравненияСкачать

8 класс, 25 урок, Формула корней квадратного уравнения

Решение квадратных уравнений. Метод разложения на множители. 8 класс.Скачать

Решение квадратных уравнений. Метод разложения на множители. 8 класс.

Математика| Разложение квадратного трехчлена на множители.Скачать

Математика| Разложение квадратного трехчлена на множители.

Неполные квадратные уравнения. Алгебра, 8 классСкачать

Неполные квадратные уравнения. Алгебра, 8 класс

Быстрый способ решения квадратного уравненияСкачать

Быстрый способ решения квадратного уравнения

Алгебра 8. Урок 9 - Квадратные уравнения. Полные и неполныеСкачать

Алгебра 8. Урок 9 - Квадратные уравнения. Полные и неполные

Решение задач с помощью квадратных уравнений. Алгебра, 8 классСкачать

Решение задач с помощью квадратных уравнений. Алгебра, 8 класс

Корни приведённого квадратного уравнения.Урок 5.Скачать

Корни приведённого квадратного уравнения.Урок 5.

8 класс. Квадратное уравнение и его корни. Алгебра.Скачать

8 класс. Квадратное уравнение и его корни. Алгебра.

Квадратное уравнение. 8 класс.Скачать

Квадратное уравнение. 8 класс.

Как решать квадратные уравнения. 8 класс. Вебинар | МатематикаСкачать

Как решать квадратные уравнения. 8 класс. Вебинар | Математика

Урок 95 Формулы корней квадратного уравнения (8 класс)Скачать

Урок 95  Формулы корней квадратного уравнения (8 класс)

Алгебра 8 класс (Урок№30 - Решение приведённых квадратных уравнений. Теорема Виета.)Скачать

Алгебра 8 класс (Урок№30 - Решение приведённых квадратных уравнений. Теорема Виета.)
Поделиться или сохранить к себе: