Второй закон ньютона в общековариантной форме уравнения лагранжа для свободной материальной точки (2 видео)

Второй закон Ньютона как уравнение движения

В инерциальных системах справедлив второй закон Ньютона: ускорение, приобретаемое материальной точкой (телом), прямо пропорционально вызывающей его силе, совпадает с ней по направлению и обратно пропорционально массе материальной точки (тела):

Здесь численное значение силы F определяется свойствами данной материальной точки и окружающих ее тел, а также положениями и скоростями этих тел относительно материальной точки.

Более общая формулировка второго закона Ньютона — основной закон динамики материальной точки: скорость изменения импульса материальной точки в инерциальной системе отсчета равна действующей силе (и по модулю, и по направлению):

Действительно, из формул (3.1) и (3.3) следует, что Уравнение

называют уравнением движения материальной точки. Используя уравнение движения (3.5), можно показать, что 1 Н — это сила, которая сообщает телу массой 1 кг ускорение 1 м/с 2 в направлении действия силы.

О сложении сил. Одновременное действие на материальную точку нескольких сил F_vF₂ . F_n, эквивалентно действию одной силы, называемой равнодействующей (результирующей) силой и равной их геометрической сумме:

Утверждение (3.6) является обобщением опытных фактов.

Отметим, что силы F_x, F₂. F„, подчиняющиеся принципу суперпозиции (3.6), действуют на данное тело независимо. Каждая сила F, — это сила, с которой /-е тело действовало бы на данную материальную точку в отсутствие других тел. Поэтому F, сообщает телу ускорение я, независимо от того, действует только один /-й источник сил или все п источников одновременно. Поскольку ускорение тела является векторной величиной, то результирующее ускорение будет определяться векторным сложе-

нием всех я,, т.е. а — . Таким образом, в рассмотренном случае в вы-

ражении (3.3) под силой F будет пониматься геометрическая сумма всех сил, действующих на тело.

Видео:Форш П. А. - Теоретическая механика - Формализм Лагранжа. Уравнения Лагранжа для материальной точкиСкачать

1.2.4 Второй закон Ньютона: для материальной точки в ИСО

Лекция: Второй закон Ньютона: для материальной точки в ИСО

Второй закон Ньютона

Для того, чтобы придать любому телу ускорения, необходимо взаимодействовать с ним. Чем больше масса тела, тем большую силу следует приложить для получения большего ускорения.

Второй закон Ньютона через импульс:

Более того, из этого следует, что если к телам приложить одинаковую силу так, что масса одного тела меньше, чем масса другого, то первое тело будет приобретать большее ускорение.

О сновные принципы решения задач на 2 закон Ньютона

1. Если две величины из формулы Второго закона Ньютона известны, то следует преобразовать её так, чтобы можно было определить неизвестную величину. После этого следует подставить все значения, выраженные в СИ.

2. Если известна только одна ФВ из закона, но даны дополнительные кинематические величины, то для определения неизвестной величины следует воспользоваться дополнительными кинематическими формулами.

3. Если даны силы, действующие на тело, то прежде, чем найти неизвестную, следует найти равнодействующую по принципу суперпозиции.

Видео:Алгоритм решения задач на второй закон Ньютона часть 1| Физика TutorOnlineСкачать

Билеты к экзамену по теоретической механике ФАКИ

1. Аксиомы классической механики (законы Ньютона). Преобразования Галилея. Понятие об инвариантности и ковариантности уравнений механики.

2. Кинематика точки. Проекция скорости и ускорения точки на оси сопровождающего трехгранника.

3. Криволинейные координаты точки. Разложение скорости и ускорения в локальном базисе криволинейной системы координат. Второй закон Ньютона в общековариантной форме (уравнения Лагранжа для свободной материальной точки).

4. Способы задания ориентации твердого тела: углы Эйлера, направляющие косинусы

5. Теорема Эйлера о конечном повороте твердого тела.

6. Алгебра кватернионов

7. Кватернионный способ задания ориентации твердого тела (присоединенное отображение).

8. Формулы сложения поворотов твердого тела в кватернионах. Параметры Родрига-Гамильтона.

9. Кинематические уравнения вращательного движения твердого тела в кватернионах (уравнения Пуассона) в проекциях на неподвижные и подвижные оси.

10. Угловая скорость твердого тела. Формула Эйлера для распределения скоростей в твердом теле. Формула Ривальса для распределения ускорений в твердом теле.

11. Кинематика сложного движения. Законы сложения скоростей и ускорений точек в сложном движении. Формула Кориолиса.

12. Формулы для угловой скорости и углового ускорения тела в сложном движении.

13. Кинематические уравнения вращательного движения твердого тела в углах Эйлера.

14. Теоремы об изменении импульса и момента импульса системы материальных точек в инерциальном базисе.

15. Кинетическая энергия системы материальных точек. Теорема Кёнига.

16. Работа и мощность силы. Теорема об изменении кинетической энергии системы материальных точек в инерциальном базисе.

17. Cилы инерции. Применение основных теорем и законов механики в неинерциальных системах отсчета. Вид основных теорем динамики в кениговых системах отсчета.

18. Потенциальное поле. Теорема об изменении полной энергии. Закон сохранения энергии для консервативных систем.

19. Движение материальной точки в центральном поле. Законы сохранения. Уравнение Бине. Уравнение конических сечений.

20. Задача двух тел. Законы Кеплера.

21. Теоремы об изменении импульса и момента импульса для системы переменного состава.

22. Реактивное движение. Уравнение Мещерского. Формула Циолковского.

23. Геометрия масс твёрдого тела: тензор инерции и эллипсоид инерции, главные оси инерции, теорема Гюйгенса-Штейнера для тензора инерции.

24. Формулы для кинетической энергии и кинетического момента твёрдого тела.

25. Динамические уравнения Эйлера твёрдого тела с неподвижной точкой.

26. Движение твёрдого тела с неподвижной точкой по инерции (случай Эйлера). Первые интегралы уравнений движения. Геометрическая интерпретация Пуансо.

27. Движение динамически симметричного тела в случае Эйлера. Параметры свободной регулярной прецессии.

28. Момент, поддерживающий вынужденную регулярную прецессию динамически симметричного тела с неподвижной точкой.

29. Случай Лагранжа. Первые интегралы уравнений движения. Прецессионная теория быстрого волчка (гироскопа).

30. Механические связи и их классификация. Число степеней свободы системы. Возможные и виртуальные перемещения.

31. Общее уравнение динамики для системы материальных точек с идеальными связями.

32. Вывод уравнений Лагранжа для системы материальных точек с голономными связями.

33. Подсчет обобщенных сил. Случай потенциальных и обобщенно потенциальных сил. Линейность обобщенного потенциала по обобщенным скоростям.

34. Cвойства уравнений Лагранжа: структура кинетической энергии, разрешимость уравнений Лагранжа относительно старших производных.

35. Первые интегралы уравнений Лагранжа: циклические, Пенлеве-Якоби. Уравнения Лагранжа в неинерциальных системах отсчёта.

1. Положения равновесия. Принцип виртуальных перемещений. Условия равновесия голономной системы в терминах обобщенных сил. Случай потенциальных сил.

2. Устойчивость. Прямой метод Ляпунова. Теоремы Ляпунова об устойчивости и асимптотической устойчивости равновесия стационарной системы.

3. Теорема Четаева о неустойчивости равновесия стационарной системы.

4. Теорема Барбашина–Красовского об условиях асимптотической устойчивости и неустойчивости равновесия стационарной системы (без доказательства).

5. Теорема Лагранжа об устойчивости равновесия консервативной системы. 1-я теорема Ляпунова о неустойчивости равновесия консервативной системы.

6. Влияние гироскопических и диссипативных сил на устойчивость равновесия. Теорема об асимптотической устойчивости строго диссипативных систем.

7. Теорема Ляпунова об устойчивости по линейному приближению положения равновесия стационарных систем (без доказательства).

8. Критерий Рауса–Гурвица асимптотической устойчивости линейных стационарных систем (без доказательства).

9. Малые колебания консервативной системы в окрестности устойчивого положения равновесия.

10. Главные (нормальные) координаты консервативной системы.

11. Вынужденные колебания линейных стационарных систем под действием гармонической вынуждающей силы. Частотные характеристики.

12. Канонические уравнения Гамильтона. Переход от уравнений Лагранжа к уравнениям Гамильтона при помощи преобразования Лежандра. Физический смысл функции Гамильтона в случае консервативной системы.

13. Первые интегралы уравнений движения гамильтоновых систем. Циклические первые интегралы и интеграл Якоби.

14. Скобки Пуассона и их свойства. Критерий первого интеграла. Теорема Якоби–Пуассона.

15. Понижение порядка уравнений Гамильтона в случае циклических координат.

16. Понижение порядка уравнений Гамильтона для обобщенно консервативных систем. Уравнения Уиттекера.

17. Действие по Гамильтону. Вариационный принцип Гамильтона.

18. Ковариантность уравнений Лагранжа по отношению к преобразованиям координат и времени.

19. Теорема Эмми Нетер.

20. Канонические преобразования гамильтоновых систем. Локальный критерий каноничности.

21. Критерий каноничности преобразований в терминах производящих функций.

22. Фазовый поток гамильтоновых систем как семейство унивалентных канонических преобразований.

23. Свободные канонические преобразования. Задание свободных канонических преобразований с помощью производящих функций.

24. Преобразование функции Гамильтона при канонических преобразованиях.

25. Уравнение Гамильтона–Якоби. Полный интеграл уравнения Гамильтона–Якоби. Теорема Якоби.

26. Случаи разделения переменных в уравнении Гамильтона–Якоби.

27. Интегральные инварианты Пуанкаре и Пуанкаре–Картана гамильтоновых систем.

28. Обратные теоремы теории интегральных инвариантов. Теорема Ли Хуа-чжуна об универсальных интегральных инвариантах первого порядка гамильтоновых систем (без доказательства).

29. Теорема Лиувилля о сохранении фазового объема гамильтоновой системы.