Второй закон ньютона раскрыть в виде дифференциального уравнения второго порядка

Второй закон Ньютона – основной закон динамики. Этот закон выполняется только в инерциальных системах отсчета.

Приступая к формулировке второго закона, следует вспомнить, что в динамике вводятся две новые физические величины – масса тела m и сила а также способы их измерения. Первая из этих величин – масса – является количественной характеристикой инертных свойств тела. Она показывает, как тело реагирует на внешнее воздействие. Вторая – сила – является количественной мерой действия одного тела на другое.

Второй закон Ньютона – это фундаментальный закон природы; он является обобщением опытных фактов, которые можно разделить на две категории:

1. Если на тела разной массы подействовать одинаковой силой, то ускорения, приобретаемые телами, оказываются обратно пропорциональны массам:

при F = const.

1. Если силами разной величины подействовать на одно и то же тело, то ускорения тела оказываются прямо пропорциональными приложенн силам:

при m = const.

Обобщая подобные наблюдения, Ньютон сформулировал основной закон динамики:

Сила, действующая на тело, равна произведению массы тела на сообщаемое этой силой ускорение:

Это и есть второй закон Ньютона. Он позволяет вычислить ускорение тела, если известна его масса m и действующая на тело сила :

В Международной системе единиц (СИ) за единицу силы принимается сила, которая сообщает телу массой 1 кг ускорение 1 м/с 2 . Эта единица называется ньютоном (Н). Ее принимают в СИ за эталон силы (см. §1.7):

Если на тело одновременно действуют несколько сил (например, и то под силой в формуле, выражающей второй закон Ньютона, нужно пониматьравнодействующую всех сил:

Рисунок 1.8.1. Сила – равнодействующая силы тяжести и силы нормального давления действующих на лыжницу на гладкой горе. Сила вызывает ускорение лыжника

Если равнодействующая сила то тело будет оставаться в состоянии покоя или равномерного прямолинейного движения. Таким образом, формально второй закон Ньютона включает как частный случай первый закон Ньютона, однако первый закон Ньютона имеет более глубокое физическое содержание – он постулирует существование инерциальных систем отсчета.

Второй закон Ньютона[править | править вики-текст]

Основная статья: Второй закон Ньютона

Второй закон Ньютона — дифференциальный закон движения, описывающий взаимосвязь между приложенной к материальной точке силой и получающимся от этогоускорением этой точки. Фактически, второй закон Ньютона вводит массу как меру проявления инертности материальной точки в выбранной инерциальной системе отсчёта (ИСО).

Масса материальной точки при этом полагается величиной постоянной во времени и независящей от каких-либо особенностей её движения и взаимодействия с другими телами [4][5][6][7] .

Современная формулировка[править | править вики-текст]

При подходящем выборе единиц измерения, этот закон можно записать в виде формулы:

где — ускорение материальной точки;
— равнодействующая всех сил, приложенных к материальной точке;
— масса материальной точки.

Второй закон Ньютона может быть также сформулирован в эквивалентной форме с использованием понятия импульс:

В инерциальной системе отсчета скорость изменения импульса материальной точки равна равнодействующей всех приложенных к ней внешних сил.

где — импульс точки, — её скорость, а — время. При такой формулировке, как и при предшествующей, полагают, что масса материальной точки неизменна во времени [8][9][10] .

Иногда предпринимаются попытки распространить сферу применения уравнения и на случай тел переменной массы. Однако, вместе с таким расширительным толкованием уравнения приходится существенным образом модифицировать принятые ранее определения и изменять смысл таких фундаментальных понятий, как материальная точка, импульс и сила [11][12] .

Замечания[править | править вики-текст]

Когда на материальную точку действуют несколько сил, с учётом принципа суперпозиции, второй закон Ньютона записывается в виде:

Второй закон Ньютона, как и вся классическая механика, справедлив только для движения тел со скоростями, много меньшими скорости света. При движении тел со скоростями, близкими к скорости света, используется релятивистское обобщение второго закона, получаемое в рамках специальной теории относительности.

Следует учитывать, что нельзя рассматривать частный случай (при ) второго закона как эквивалент первого, так как первый закон постулирует существование ИСО, а второй формулируется уже в ИСО.

В уравнении движения динамической системы входит полный набор переменных, определяющий состояние этой системы (например, все координаты и скорости, или все координаты и импульсы), а также их производные по времени, что позволяет, зная такой набор в некий момент времени, вычислить его для момента времени, отстоящего на малый (бесконечно малый) промежуток времени. В принципе, повторяя этот процесс вычисления последовательно большое (бесконечное) количество раз, можно вычислить значение всех этих переменных для момента времени, как угодно далеко [2] отстоящего от начального. С помощью такого процесса можно (выбрав достаточно малым, но конечным) получить приближённое численное решение уравнений движения. Однако чтобы получить точное [3] решение, приходится применять другие математические методы.

В современной квантовой теории термин уравнение движения нередко используется для обозначения именно только классических уравнений движения, то есть как раз для различения классического и квантового случая. В таком употреблении, например, слова «решение уравнений движения» означают именно классическое (неквантовое) приближение, которое может затем так или иначе использоваться при получении квантового результата или для сравнения с ним. В этом смыслеуравнения эволюции волновой функции не называют уравнениями движения, например упомянутые ниже уравнение Шредингера и уравнение Дирака нельзя назвать уравнением движения электрона. Определённую ясность тут вносит дополнение, указывающее на то, об уравнении движения чего идёт речь: так, хотя уравнение Дирака нельзя назвать уравнением движения электрона, его можно, даже в смысле, обсуждаемом в этом абзаце, назвать классическим уравнением движения спинорного поля.

Дата добавления: 2016-01-29 ; просмотров: 4610 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ

Видео:Алгоритм решения задач на второй закон Ньютона часть 1| Физика TutorOnlineСкачать

Второй закон Ньютона — формула, применение и примеры решения

Видео:Линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентамиСкачать

Общие сведения

Знакомство с правилами Ньютона начинается в старших классах средних образовательных школах. Формулу 2 закона Ньютона можно сформулировать в таком виде: a = F / m, где F — результирующая сила, m — масса тела и a — ускорение. Расшифровка формулы (формулировка правила) следующая: ускорение тела в инерциальных системах отсчета прямо пропорционально зависит от результирующей силы, действующей на него, и обратно пропорционально его массе.

Правило и высшая математика

В высших учебных заведениях на уроках по физике (динамика) II правило Ньютона записывается в дифференциальной форме: d (p) / d (t) = F. В этом случае второй закон Ньютона, формулировка которого имеет вид: сила, действующая на материальную точку, прямо пропорционально зависит от ее производной импульса в определенный момент времени.

Исходя из формулы d (p) / d (t) = F, можно произвести некоторые математические преобразования для получения упрощенного соотношения. Импульс тела (p) определяется при помощи такого уравнения: p = m * v, где m — масса материальной точки (тела), а v — ее скорость. Если произвести подстановку этого соотношения в дифференциальную запись, то получится такое выражение: d (m * v) / d (t) = F. Используя свойства дифференциалов, константу (m) можно вынести: m * (d (v) / d (t)) = F.

Величина d (v) / d (t) является ускорением, следовательно, формула записывается следующим образом: m * a = F или a = F / m.

Основные величины

Один из элементов формулы II закона Ньютона — масса тела, показывающая реакцию тела на воздействие внешних сил и являющаяся количественным показателем инертных свойств вещества. Она обладает такими характеристиками:

1. Отсутствие зависимости от скорости перемещения.
2. Эквивалентность сумме масс всех частиц, из которых состоит тело.
3. Не изменяется (константа).
4. Не является векторной величиной (отсутствует направление движения).

Единицей измерения в международной системе является килограмм (кг). При решении задач рекомендуется переводить производные значения (тонны, граммы и т. д. ) в кг.

Следующим компонентом формулы является ускорение (а), которое показывает, какое будет изменение скорости движения тела или материальной точки в текущий момент. Если тело движется равномерно, а = 0. При равноускоренном движении объекта величина «а» растет до определенного значения с течением времени. Ускорение обладает такими характеристиками:

1. Зависит от скорости и времени.
2. Векторная величина.
3. Зависит от воздействия внешних сил.
4. Всегда направлено в сторону действия результирующей силы.

Единицей измерения является м/с 2 . Она вычисляется по формуле: a = v / t, где v — скорость в текущий момент времени t. Физический смысл a: изменение скорости тела, равной 1 м/с за единицу времени 1 с. Кратко запись выглядит так: 1 м/с 2 = 1 м/с * 1 с.

​Силой называется векторная величина, которая воздействует на материальные объекты со стороны других тел. Она бывает результирующей и единичной. Первая состоит из группы сил — трения, тяжести, реакции опоры, тяги и т. д. Вторая представляет только одну единицу, т. е. силу тяжести или тяги, трения или реакцию опоры. Параметры, характеризующие F:

1. Количественная величина.
2. Точка, к которой приложена F.
3. Направление действия.

В учебниках по физике можно встретить понятие равнодействующей силы. Она эквивалентна результирующей. Например, в известной басне Крылова персонажи тянут воз в разные стороны, который не двигается. Из этого следует, что равнодействующая сила тяги равна сумме векторов всех сил, приложенных персонажами (Ft = -Ft1 + Ft2 — Ft3 + Ft4 = 0, т. к. по условию Ft1, Ft2, Ft3 и Ft4 имеют различные векторы воздействия).

Величина F измеряется в ньютонах. Физический смысл 1 Н может формулироваться следующим образом: сила в 1 ньютон, действующая на тело массой 1 кг, сообщает ему ускорение, равное 1 м/с 2 Математически уравнение записывается таким образом: 1 Н = 1 кг * 1 м/с 2 .

Алгоритм перевода значений

При решении задач каждая единица должна переводиться в стандарт СИ. Физики разработали специальные алгоритмы, позволяющие выражать одно значение через другое. Если требуется перевести массу, нужно знать основные производные величины:

1. 1 тонна (1 т) = 10 3 кг.
2. 1 грамм (1 г) = 10^(-3) кг.

Значение силы (F) дается в ньютонах или килоньютонах (10 3 Н). В основном сложности возникают у новичков при переводе значений ускорения в стандарт СИ.

Для этой цели следует воспользоваться следующими правилами:

1. Записать значение.
2. Сравнить единицу измерения с м/с 2 .
3. Если указана км/с 2 , требуется умножить искомое значение на 10 3 .
4. При дм/с 2 (дм — дециметр) — на 10.
5. Если см/с 2 , необходимо разделить на 10 2 .
6. 1 м/(мин)^2 = 1 м/c 2 / 60 (1 мин = 60 секунд).
7. 1 м/ч 2 = 1 м/c 2 / 3600 (1 час = 3600 секунд).

Для примера требуется разобрать единицу измерения, равную 20 км/ч 2 . Воспользовавшись правилами перевода, можно записать следующее: 20 * 1000 / 3600 = 5,6 (м/с 2 ).

Видео:ЭТО ОБЯЗАТЕЛЬНО НУЖНО ЗНАТЬ — Второй Закон Ньютона или от чего зависит ускорение телаСкачать

Пример решения задачи

Формула позволяет решать задачи простой и повышенной сложности. Последние относятся к тем, в которых не дано 2 элемента соотношения, а известен всего лишь один. Чтобы узнать практическое применение формулы, нужно решить задание. Например, требуется найти массу тела, которому сообщается сила (F), равная 2 кН. Кроме того, оно движется равноускоренно. Значение скорости (v) эквивалентно 57 км/ч в текущий момент времени (t), равный 2 с. Чтобы было понятно, необходимо решать задачу по такому алгоритму:

1. Произвести перевод значений в систему СИ: 2 кН = 2 * 10 3 (Н) и v = 57 * 1000 / 3600 = 15,83 (м/с). Необходимо обратить внимание на запись единиц измерения величины при выполнении вычислений.
2. Записать основную формулу II правила Ньютона: a = F / m.
3. Выразить массу (m) через силу (F) и ускорение (а): m = F / a.
4. Выполнить определение ускорения: a = v / t = 15,83 / 2 = 7,92 м/с 2 .
5. Подставить в формулу (пункт 3) и вычислить: m = 2 * 10 3 / 7,92 = 252,5 (кг).
6. Проверить единицу измерения результата вычисления: m = Н / м / с 2 = Н * с 2 / м = [(кг * м) / (с 2 )] * [с 2 / м] = кг. Масса измеряется в килограммах, следовательно, результат проверки эквивалентен единице измерения, т. е. кг = кг.

Необходимо отметить, что расчет ускорения в 4 пункте можно упустить, подставив «а» в конечную формулу: m = F / (v / t) = F * t / v.

Таким образом, применение II закона Ньютона позволяет решать практически любые задачи на движения, поскольку он является базовым соотношением динамики.

Видео:Операционное исчисление. Решить неоднородное дифференциальное уравнение 2 порядкаСкачать

Взаимодействие тел. Второй закон Ньютона

Этот видеоурок доступен по абонементу

У вас уже есть абонемент? Войти

На этом уроке мы узнаем, как зависит ускорение тела от приложенной силы и от массы тела, и рассмотрим второй закон Ньютона, который объединяет эти зависимости. Также увидим, какой вид приобретает данный закон для неинерциальных систем отсчета. В конце урока будут рассмотрены виды взаимодействия, которые существуют в природе.

Видео:Линейное неоднородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами 4y''-y=x^3-24x #1Скачать

3.2. Второй и третий законы Ньютона

Для описания воздействия вводят понятие силы. Под действием сил тела либо изменяют скорость движения , то есть приобретают ускорения (динамическое проявление сил), либо деформируются, то есть изменяют свою форму и размеры (статическое проявление сил). В каждый момент времени сила характеризуется числовым значением, направлением в пространстве и точкой приложения.

Сила — результат и проявление взаимодействия. Это векторная величина,являющаяся в классической(не квантовой) физике количественной характеристикой взаимодействия.

Рис. 3.1. Сила, действующая на пружину

Для того, чтобы установить, какие силы действуют на тело, необходимо определить, с какими другими телами взаимодействует данное тело. Сила всегда есть результат взаимодействия физических тел. Наверное по этой причине Р. Фейнман в своих «Фейнмановских лекциях по физике» назвал силы инерции, не являющиеся результатом взаимодействия рассматриваемого тела с другими телами и появляющиеся только в неинерциальных системах отсчета, псевдосилами.

Видео 3.2. Для того, чтобы выяснить, какие силы действуют на тело, необходимо установить, с какими телами оно взаимодействует. «Знаменитая» задача о соскальзывании тела с наклонной плоскости.

Из опыта известно, что при одинаковых воздействиях различные тела неодинаково изменяют скорость своего движения, то есть, иными словами, приобретают различные ускорения, поэтому в уравнение, связывающее силу, действующую на тело, и его ускорение должна входить некоторая характеристика самого тела. Такой характеристикой является масса тела m.

Рис. 3.2. Две различных силы, действующих на тело, вызывают его ускорение.

Установленный экспериментально второй закон Ньютона утверждает:

Произведение массы материальной точки на её ускорение равно векторной сумме сил, приложенных к этой точке:

Рис. 3.3. Несколько сил, действующих на тело, могут нейтрализовывать друг друга.

Сразу подчеркнем, что это справедливо только при нерелятивистских скоростях движения, то есть скоростях малых по сравнению со скоростью света в вакууме: .

Второй закон Ньютона нередко формулируется так. Произведение массы тела на его ускорение равно векторной сумме сил, приложенных к телу.

Видео 3.3. Взаимодействие тележек: второй и третий законы Ньютона.

Рис. 3.4. Только внешние силы вызывают ускорение системы (в данном случае — две тележки с грузами.)

Необходимо оговорить, что в такой формулировке, если речь идет о протяженном теле, которое нельзя считать материальной точкой, второй закон Ньютона описывает только поступательное движение протяженного тела, при котором все точки тела имеют одинаковые ускорения, скорости и перемещения. Вращательное движение тела в таком виде — второй закон Ньютона описать не в состоянии. Вращение протяженного тела кардинальным образом зависит от того, в каких его точках приложены силы к телу. Очевидно, что в случае материальной точки этот вопрос лишен смысла: все силы приложены к этой точке. В написанном выше уравнении, а именно:

нет никаких указаний на то, каковы точки приложения сил к протяженному телу.

Рис. 3.5. Движение катушки зависит не только от приложенных сил, но и точек их приложения.

Для описания вращательного движения протяженного тела написанное выше уравнение второго закона Ньютона модифицируется так, чтобы в нём в явном виде присутствовали радиус-векторы точек приложения сил. В результате такой модификации в правой части уравнения вместо сил появляются моменты сил.

Рис. 3.6. Вращение тела вокруг неподвижной оси.

Учитывая, что ускорение , второй закон Ньютона можно записать в виде трех полностью

эквивалентных друг другу соотношений:

каждое из которых позволяет подчеркнуть какой-то из аспектов этого закона.

Рис. 3.7. Силы,возникающие при ускоренном движении системы.

Начнем с достаточно тривиальных обстоятельств.

Если для краткости, стоящую в правой части векторную сумму сил обозначить

и вспомнить, что сила может быть нестационарной, то есть зависеть от времени, что в большинстве случаев силовые поля неоднородны, то есть сила зависит от координат точки и, что есть такие силы, как например, сила жидкого трения, которая зависит от скорости движения тела в жидкости, то получается, что в общем случае .

Тогда, из (3.2.3) вытекает, что

уравнение второго закона Ньютона есть дифференциальное уравнение второго порядка, разрешенное относительно старшей (второй) производной.

Именно по этой причине уравнение второго закона Ньютона чаще всего называют уравнением движения.

Математики доказали, что, во-первых, при определенных требованиях к свойствам функции, стоящей в правой части уравнения — силе — решение уравнения (3.2.4) существует. Отметим, что в физических приложениях эти требования практически всегда выполнены, а если нет, то есть смысл проверить, корректна ли, не слишком ли идеализирована постановка физической задачи. Во-вторых, решений уравнения (3.2.4) бесконечно много и отличаются эти решения значениями двух (уравнение второго порядка) векторных констант, для нахождения которых необходимы начальные условия: необходимо указать начальное положение точки и её начальную скорость в некоторый начальный момент времени t₀

В математике доказано, что решение дифференциальной задачи (3.2.4) — (3.2.5) единственно. Доказанная единственность решения весьма полезна с чисто практической точки зрения: как бы не была найдена функция, обращающая в тождество уравнение (3.2.4) и удовлетворяющая начальным условиям (3.2.5) — это то единственное решение, которое имеет данная задача.

Запись второго закона Ньютона в виде (3.2.2) подсказывает введение новой кинематической характеристики движущейся материальной точки, учитывающей не только её скорость , но и массу m. Если масса постоянна, а это именно так — читайте дальше, то её можно ввести под знак производной и переписать уравнение движения в виде

по определению по определению, есть импульс материальной точки массы m, движущейся с нерелятивистской скоростью , последнее означает (напомним), что .

Релятивистские ограничения применимости ньютоновской механики вообще, и выражения для импульса (3.2.7), в частности, были поняты, разумеется, не во времена Ньютона, а только после создания Эйнштейном специальной теории относительности, которую в данном контексте, разумеется, можно трактовать как механику околосветовых скоростей, когда .

На сегодняшний день (начало 2010 года) исчерпывающего ответа на вопрос, что такое масса не существует. Для решения, в частности и этого вопроса, был построен и ныне испытывается в действии БАК — большой адронный коллайдер.

Сегодня, для наших ограниченных целей, можно утверждать следующее.

Масса — феноменологическая характеристика элементарных частиц, не зависящая от того, движется или покоится частица в данной системе отсчета. Другими словами, масса, как, например, и электрический заряд — ни от чего не зависящее число, характеризующее элементарную частицу. Масса, если она отлична от нуля, количественно характеризует инертные и гравитационные свойства тела. Но, не всё так просто, например, масса фотона равна нулю, но фотон участвует в гравитационном взаимодействии: его «траектория» искривляется в гравитационном поле Солнца, что наблюдено, измерено и результат соответствует предсказаниям общей теории относительности.

В основу общей теории относительности положен, так называемый, «принцип эквивалентности», утверждающий, что масса инертная равна массе гравитационной. Другими словами, нет отдельно инертной массы и отдельно массы гравитационной, есть просто масса «ответственная» за всё. Тот факт, что инертная и гравитационная массы строго пропорциональны друг другу было экспериментально установлено венгерским физиком Этвешем (серия экспериментов 1889–1908 годов) с относительной погрешностью не больше . После этого равенство инертной и гравитационной масс уже не проблема и обеспечивается соответствующим выбором единиц измерения. Результаты экспериментов Этвеша были использованы Эйнштейном при формулировании принципа эквивалентности.

Необходимо признать и принять, что в рамках нерелятивистской ньютоновской механики внятно ответить на вопрос, что такое масса, невозможно. Для этого необходимы представления и средства и специальной и общей теорий относительности, но и их не вполне хватает, ввиду отсутствия на сегодняшний день законченной теории элементарных частиц. Это, впрочем, не привносит никаких трудностей в практическое использование ньютоновской механики.

В системе СИ единицей массы является килограмм (кг). Эта единица измерения является основной.

На рис. 3.8 показаны значения масс некоторых физических объектов.

Рис. 3.8. Массы некоторых физических объектов

Отметим, что если определить энергию E как интеграл движения, сохранение которого у замкнутой системы обусловлено однородностью времени, а импульс как интеграл движения, сохранение которого у замкнутой системы обусловлено однородностью пространства, то масса есть инвариантная величина, равная

Здесь c — скорость света в вакууме, инвариантность которой экспериментально установлена в опытах Майкельсона, Майкельсона и Морли и многочисленных последователей: эксперименты повторялись в течение почти 50 лет (1881 по 1930 год) и, при многократно возраставшей (до 200 раз) точности, дали один и тот же результат. Инвариантность c есть основной постулат специальной теории относительности.

Как уже было сказано структура левой части второго закона Ньютона, записанного в виде (3.2.2) лишь подсказывает выражение для импульса. В действительности можно показать, что как в нерелятивистском так и в релятивистском случаях выражения для импульса (3.2.7) и (3.2.9) являются прямым следствием такого определения импульса:

Импульсом называется сохраняющаяся характеристика замкнутой системы, сохранение которой обусловлено однородностью пространства. Отсюда для одной нерелятивистской частицы следует, что её импульс:

Отметим также, что уравнение движения, записанное в виде (3.2.6) с импульсом из (3.2.9) в отличие от (3.2.2) справедливо при любых скоростях.

Уравнение движения в форме (3.2.6)

с импульсом можно прочитать так:

Скорость изменения импульса тела равна векторной сумме сил приложенных к телу.

Нередко весьма полезной оказывается и такая, следующая из (3.2.10), формулировка:

Приращение импульса тела за некоторое время равно произведению средней суммарной силы, действующей на тело, на время её действия:

Второй закон Ньютона устанавливает единицу измерения силы .

В системе СИ единицей силы является ньютон (H):

1 ед. силы СИ = 1 ед. массы СИ • 1 ед. ускорения СИ = 1 кг • 1 м/с 2 = 1 H.>>

http://www.plib.ru/library/book/17005.html – Стрелков C.П. Механика Изд. Наука 1971 г. – стр. 73–75: опыт с обрывом нитей, привязанных к массивному шару сверху и снизу;

http://vivovoco.rsl.ru/VV/JOURNAL/NATURE/10_99/HOOK.PDF — журнал Природа 1999 г. №10 — закономерности удара в механических системах (А.П. Иванов)

Как уже отмечалось, сила не обязана быть постоянной: она может зависеть от времени, от положения тела в пространстве, от его скорости. Поэтому решение уравнения движения в общем случае — достаточно непростая задача. Приведем пример решения такой задачи.

Пример. На покоящееся в начале координат тело массой m в момент времени t = 0 начинает действовать периодическая сила

где — орт оси 0х, а Т — период изменения силы. Половину периода сила направлена вдоль положительного направления оси 0х, следующую половину периода — в противоположную сторону. Найти зависимость от времени скорости частицы и ее положения (координаты) на оси 0х.

Поскольку максимальное значение силы равно введем обозначение для максимального ускорения

Тогда уравнение движения примет вид:

Отсюда скорость в момент времени t, с учетом того, что в начальный момент времени частица покоится , равна

Положение тела на оси 0х также определяется интегрированием. Учитывая, что в начальный момент времени частица находится в начале координат (x(0) = 0), получаем

Графики зависимостей от времени ускорения (в единицах ), скорости (в единицах ) и координаты (в единицах ) показаны на рис. 4.

Рис. 3.9. Зависимость ускорения (1), скорости (2) и положения (3) частицы от времени

График ускорения, естественно, повторяет график силы. Скорость изменяется с тем же периодом, что и сила и ускорение, но, в отличие от силы и ускорения, нигде не меняет знака: скорость, набранная за время полупериода положительной силы , снижается до нуля за время действия отрицательной силы. Среднее за период значение координаты растет пропорционально времени. Сама координата осциллирует около этой линейной зависимости. Среднее за период значение скорости постоянно и равно

оно показано пунктиром на рис. 3.9. (2). Зависимость от времени средней координаты показана пунктиром на рис. 3.9. (3).

Рис. 3.10. Несколько сил, действующих на тело.

Как быть, если на нашу точку действует не одна сила, а несколько. В механике большое значение имеет принцип независимости действия сил:

Полное же ускорение тела равно сумме этих «частичных» ускорений. Согласно этому принципу, силы и ускорения можно разлагать на составляющие, использование которых приводит к существенному упрощению решения задач:

Сумму сил F называют равнодействующей (или результирующей) силой, приложенной к телу.

http://www.plib.ru/library/book/17005.html – Стрелков С.П. Механика Изд. Наука 1971 г. – стр. 102–109: примеры решения задач с применением уравнения Мещерского, формула Циолковского;

http://www.teormex.net/knigi.html# — Тарг С.М. Краткий курс теоретической механики, Изд. Высшая школа, 1995 г. – § 80–81 — излагается методика решения задач динамики прямолинейного движения материальной точки с интересными примерами;

http://ufn.ru/ufn94/ufn94_5/Russian/r945c.pdf – журнал УФН – замечание к §39 учебника Матвеева А.Н. Механика и теория относительности (изд. 2003 г.), об особенностях движения заряженных нерелятивистских частиц в переменном поле плоской электромагнитной волны (Б .Болотовский, А. Серов).

Третий закон Ньютона утверждает, что

Действие тел друг на друга всегда носит характер взаимодействия. Силы, с которыми взаимодействуют тела, равны по величине, противоположны по направлению и направлены вдоль одной общей прямой.

Рис. 3.11. Иллюстрация равенства сил

Видео 3.4. Расталкивание тележек взрывом: третий закон Ньютона.

Если силу, действующую на первое тело в результате его взаимодействия со вторым телом обозначить (первый индекс — номер того тела, на которое действует сила), а силу, действующую на второе тело в результате его взаимодействия с первым телом, соответственно , то равенство сил по величине и их противоположность по направлению можно записать в виде

Или, что то же самое:

Две равные по величине и противоположно направленные силы образуют, как говорят, «пару сил». Тот факт, что силы взаимодействия, согласно третьему закону Ньютона, направлены вдоль одной общей прямой можно сформулировать так: плечо a пары сил взаимодействия равно нулю. Сказанное поясняет нижеследующий рисунок. Согласно третьему закону Ньютона левая (на рисунке) ситуация а) имеет место, правая — в) невозможна.

Рис. 3.12. Различные примеры приложения сил.

Если бы два тела составляющие в совокупности замкнутую систему могли взаимодействовать так, как показано в правой — в) части рисунка, то такая замкнутая система сама себя раскручивала бы, что противоречит закону сохранения момента импульса и чего в эксперименте никто никогда не видел. А если бы не выполнялось соотношение (3.2.12), то такая замкнутая система сама себя ускоряла бы, что противоречит закону сохранения импульса и чего также в эксперименте никто никогда не видел.

Отметим, что в простейшем случае двух покоящихся частиц, имеющих только скалярные характеристики, такие как масса, электрический заряд и тому подобное, третий закон Ньютона является вполне очевидным следствием однородности и изотропии пространства для замкнутой системы. В этом случае единственное физически выделенное направление в пространстве это направление единичного вектора параллельного прямой, проходящей через те точки пространства, в которых покоятся частицы. Соответственно, силы взаимодействия могут быть направлены только по или против .

Рис.3.13. Направление силы взаимодействия двух материальных точек.

Однако закон равенства действия и противодействия выполняется лишь в предположении о бесконечной скорости распространения сигналов. Даже в простейшем случае электро-магнитного взаимодействия третий закон Ньютона соблюдается только в пределе В качестве примера рассмотрим взаимодействие двух положительных зарядов Q₁ и Q₂ (Q₁ > 0; Q₂ > 0), движущихся соответственно со скоростями v₁ и v₂ , на каждой из которых со стороны другого заряда действуют силы F₁ и F₂ (Рис. 3.14)

Рис.3.14. Электромагнитное взаимодействие движущихся зарядов (В этом случае третий закон Ньютона не выполняется, т.к. заряды не являются изолированной системоу. В этом взаимодействии участвуют также и поля E и H).

Каждую из этих сил F₁ и F₂ можно предоставить в виде двух составляющих. Первая составляющая есть сила электрического взаимодействия по закону Кулона. Она действует по линии, соединяющей заряды, F_1(el) = –F_2(el) и удовлетворяет требованиям третьего закона Ньютона. Но кроме электрического взаимодействия зарядов существует их магнитное взаимодействие: каждый из движущихся зарядов в точке нахождения другого заряда создаёт магнитное поле с индукцией B. Магнитное поле действует на заряд, движущийся со скоростью v, с силой Лоренца, направленной перпендикулярно скорости.

В ситуации, изображенной на рис. 3.14, поле B₁, создаваемое зарядом Q₁ в точке нахождения заряда Q₂, направленного перпендикулярно плоскости рисунка к нам, а поле B₂, создаваемое зарядом Q₂ в точке нахождения заряда Q₁, направленного перпендикулярно плоскости чертежа от нас. Магнитная сила Лоренца, перпендикулярна скорости v и магнитной индукции B. Силы Лоренца F₁(m) и F₂(m), действующие на каждый из зарядов Q₁ и Q₂, не совпадают по направлению и, следовательно, не могут удовлетворять закону действия и противодействия. Из рисунка очевидно, что результирующая сила действия первого заряда на второй («действие») НЕ равна результирующей силе второго заряда на первый («противодействие»), т. е. третий закон Ньютона не выполняется.

Заметим, что при силы магнитного происхождения много меньше электрических. Поскольку отклонение от закона равенства действия и противодействия обусловлено магнитными силами, то это отношение при не очень больших скоростях несущественно и им обычно можно пренебречь.

🎦 Видео

Дифференциальные уравнения, не формально на примере закона Ньютона.Скачать

ЛОДУ 2 порядка c постоянными коэффициентамиСкачать

Второй закон НьютонаСкачать

Второй закон Ньютона, масса. 9 класс.Скачать

Линейное однородное дифференциальное уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами.Скачать

Задача Коши ➜ Частное решение линейного однородного дифференциального уравненияСкачать

14. Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядкаСкачать

Второй закон Ньютона | Физика 9 класс #11 | ИнфоурокСкачать

Дифференциальное уравнение от Бермана ★ Решите дифференциальное уравнение 2-го порядка ★ xy''=y'Скачать

Приведение ДУ 2 порядка в частных производных к каноническому видуСкачать

Линейное неоднородное дифференциальное уравнение 2 способаСкачать

19. Метод вариации произвольных постоянных. Линейные неоднородные диф уравнения 2-го порядкаСкачать

Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентамСкачать